苏教版学高中数学必修二立体几何初步棱柱棱锥和棱台讲义

学

习目标核心素养

１．通过观察实例，概括出棱柱、棱锥、棱台的定义．（重点）２．掌握棱柱、棱锥、棱台的结构特点及相关概念．（易错、易混点）

３．能运用这些结构特点描述现实生活中简单物体的结构．（难点）１．通过观察棱柱、棱锥、棱台的生成过程，抽象出对应的定义，进一步提升学生的数学抽象素养．

２．借助于具体几何体来解决问题，提升学生的直观想象数学素养.

１．棱柱的相关概念及特点

（１）棱柱的相关概念

一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱．

平移起止位置的两个面叫做棱柱的底面，多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的侧面，相邻侧面的公共边叫做侧棱．

（２）棱柱的特点

棱柱的两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形．

２．棱锥的概念及特点

（１）棱锥的概念

当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥．

（２）棱锥的特点

棱锥的底面是多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．

３．棱台的概念及特点

（１）棱台的概念

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，一个仍然是棱锥，另一个我们称之为棱台．即棱台是棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分．

（２）棱台的特点

棱台的两个底面是相似的多边形，侧面都是梯形，侧棱延长后都相交于一点．

４．多面体的概念

棱柱、棱锥和棱台都是由一些平面多边形围成的几何体．由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．

１．思考辨析

（１）棱柱的侧面是平行四边形．（）

（２）棱台的侧棱延长后不一定交于一点．（）

（３）棱台的侧面是梯形．（）

（４）面数最少的多面体是四面体．（）

[答案] （１）√（２）×（３）√（４）√

２．如图所示的几何体中，________是棱柱，________是棱锥，________是棱台．

１３４⑥５[由棱柱、棱锥和棱台的定义知，１３４符合棱柱的定义，⑥符合棱锥的定义，２是一个三棱柱被截去了一段，５符合棱台的定义．故１３４是棱柱，⑥是棱锥，５是棱台．]３．下列叙述是棱台性质的是________．（填所有正确的序号）

１两底面相似；

２侧面都是梯形；

３侧棱都平行；

４侧棱延长后交于一点．

[答案] １２４

４．三棱锥是________面体．

四[因为三棱锥有四个面，故三棱锥是四面体．]

棱柱、棱锥和棱台的概念及结构特点

１五棱柱中五条侧棱长度相同；

２三棱柱中底面三条边长度都相同；

３三棱锥的四个面可以都是钝角三角形；

４棱台的上底面的面积与下底面的面积之比一定小于１．

（２）下列说法正确的是__________．

１棱锥的侧面不一定是三角形；２棱锥的各侧棱长一定相等；３棱台的各侧棱的延长线交于一点；４有两个面互相平行，其余各面都是梯形，则此几何体是棱台．

（３）下列三个命题，其中不正确的是__________．

１用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；

２两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；

３有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．

思路探究：判断几何体结构特征的主要依据是棱柱、棱锥、棱台的概念．

（１）１３４（２）３（３）１２３[（１）由棱柱的特点知命题１正确；

三棱柱的底面不一定为等边三角形，所以命题２不正确；如图所示，取以点O为端点

的三条线段OA，OB，OC，使得∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝１00°，且OA＝OB＝OC，

这时△AOB，△BOC，△COA都是钝角三角形，只有△ABC为等边三角形，可让点C沿OC无限靠近点O，则∠ACB就可趋近于１00°，所以每个面都可以是钝角三角形，故命题３正确；由棱台的定义知，棱台是由棱锥截得的，截面是棱台的上底面，故上底面的面积一定小于下底面的面积，所以命题４正确．综上所述，可知１３４正确．

（２）棱锥的侧面是有公共顶点的三角形，但是各侧棱不一定相等，故１２不正确；棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的，故各个侧棱的延长线一定交于一点，３正确；棱台的各条侧棱必须交于一点，故４错误．

（３）必须用一个平行底面的平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分才是棱台，故１不正确；两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体并不能说明各条侧棱是否交于一点，故不能判定２正确；有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体不一定是棱台，３不正确．]

对于判定关于棱柱、棱锥、棱台的命题真假的问题，求解的关键是抓住棱柱、棱锥、棱台的概念与特征．除此之外，还可以利用举例或找反例的方法来判断．

１棱柱的侧面不可能是三角形；

２棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点；

３多面体至少有４个面；

４将一个正方形沿不同方向平移得到的几何体都是正方体．

其中真命题是________．

１２３[１２均为真命题；对于３，一个图形要成为空间几何体，则它至少需有４个顶点，３个顶点只能构成平面图形，当有４个顶点时，可围成４个面，所以一个多面体至少应有４个面，而且这样的面必是三角形，故３也是真命题；对于４，当正方形沿与其所在平面垂直的方向平移，且平移的长度恰好等于正方形的边长时，得到的几何体才是正方体，故４不正确．故填１２３．]

简单多面体的结构特点及截面

１１１１１１１

判断这个几何体是棱柱吗？若是棱柱，指出是几棱柱．若不是棱柱，请你试

用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为２的三棱柱，并指出截

去的几何体的特征．在立体图中画出截面．

思路探究：依据棱柱的定义进行判断．

[解] （１）因为这个几何体的所有面中没有两个互相平行的面，所以这个几何体不是棱柱．