相量法

F | F | e | F |
j
极坐标式
2
几种表示法的关系：
Im
F a jb
F | F | e | F |
j
b
|F|
F

o a Re
| F | a 2 b 2 b θ arctan a
或
a | F | cos b | F | sin
( 2) i1 ( t ) 10 cos(100 t 300 ) i2 ( t ) 10 sin(100 t 150 )
i2 (t ) 10 cos(100t 1050 )
j 300 (105 0 ) 135 0
i2 (t ) 3 cos( 100 t 150 0 )
yu yi j 2）j <0， u滞后i |j | 角。
wt
正弦量之间的相位差不随计时起点的变化而变化。
9
特殊相位关系：
j 0， 同相：
u, i
u i
j = ，反相：
u, i u iw t
0
wt
u, i u i 0
0
j =/2，正交:
wt
10
例
计算下列两正弦量的相位差。
(1) i1 ( t ) 10 cos(100 t 3 4) j 3 4 ( 2) 5 4 0 i2 ( t ) 10 cos( 100 t 2) j 5 4 2 3 4
Im I ，I m 2 I 2
13
同理，正弦电压有效值与最大值的关系：
Um U ，U m 2U 2
正弦电流、电压也可以表示为：
i 2I cos(wt y i )，u 2U cos(wt y u )
若交流电压有效值为：U=220V ， U=380V 其最大值为：Um311V Um537V 工程上正弦电压、电流一般指有效值，如设备的铭
Re[ F (t )] 2Icos(wt y i ) i
Imcos(wt+yi)
i(t ) F (t ) 一一对应 jy i i(t ) I Ie Iy
i
旋转矢量
正弦量对应的相量
F(t)包含了三个要素：I、yi 、w；相量包含了两 个要素：I , yi 。
16
有效值相量：
2）正弦信号是一种基本信号，任何非正弦周期信
号均可分解为一系列不同频率的正弦分量。
7
1.正弦量 按正弦规律变化的电压或电流。 例：i(t)=Imcos(wt+y) 正弦量为周期函数(T, f ) 1 2 T w 2 f f T
O i Im T 2Im 2 t
wt
2.正弦量的三要素
2）角频率：w 3）初相位：y




jw t I Re 2 e jw
di j wI dt
I idt jw
正弦量的微分、积分运算变成对应相量的乘、除运算。
相量乘除运算：用极坐标式计算。
21
§8-4 电路定理的相量形式
1.基尔霍夫定律的相量形式
同频率正弦量的加、减运算可变成对应相量的加、
试写出电流的瞬时值表达式。 解
i 50 2cos(314t 15 ) A

18
2.相量图
在复平面上用有向线段表示相量的图称为相量图。
Iy i 2I cos(ωt y i ) I i
Uy u 2U cos(wt y u ) U u
相量图可以直观地表示出 各个正弦量有效值和初相位
y =-/2
y
y =0
y =/2
1）振幅（最大值）：Im
峰－峰值： imax-imin=2Im
相位：w t+y 单位：rad/s(弧度/秒)
主值范围：|y|
8
同一个正弦量，计时起点不同，初相位也不同。
3.相位差
设 u(t)=Umcos(wt+yu), i(t)=Imcos(wt+yi)，则 相位差 ：j =(wt+yu)-(wt+yi)=yu-yi 1）j >0， u超前i j 角； u, i u o i |j |
时域形式
已知 i 2 I cos(wt ψi )
L
di 则 u L 2wLI sin( wt y i ) dt 2w L I cos(wt y i 90 )
相量形式
+ U -
wLIy i 90 I Iy i U
jwL
相量关系
U u超前i 90°
e jwt ) Re( 2U e jwt ) u u1 u2 Re( 2U 1 2 e jwt 2U e jwt ) Re( 2 (U U )e jwt ) Re( 2U 1 2 1 2
U U U 1 2
相量加减运算：用代数式计算。
牌额定值、电网电压等级及交流测量仪表的读数等。
但绝缘水平、耐压值指的是最大值。
14
§8-3 相量法的基础
由于正弦稳态电路中同频率正弦量的加、减、微 分、积分运算后仍是同频率的正弦量，因此求解正 弦稳态电路时只需求出有效值和初相位。 相量法的思想：复数变换
正弦量 (三角函数)
正弦量运算 （三角函数运算） 待求正弦量 反变换 复数变换 相量 （复数） 相量运算 (复数运算) 相量结果
1 U U jwLI I jwL
U=wLI
I
相量模型
yi
yu=yi +90°
24
4.电容元件VCR的相量形式
i + u -
I
+ U -
已知 u 2U cos(wt y u ) du 则iC 2wCU sin( wt y u ) dt C 2wCU cos(wt y u 90 ) y 90 Iy I wCU u 相量形式 U

u1



U 1




VCVS
µ u1 u2



U U 1 2

相量模型
26
例1
试判断下列表达式的正、误。
1. U u w Li I
2. i 5 cosw t 50
0
L U U 4. wL L L I I L
C 1 U 5. jw C C jwC I
Iy i(t ) 2I cos(wt y i ) I i
模：表示正弦量的有效值； 辐角：表示正弦量的初相位。 同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
Uy u(t ) 2U cos(wt y u ) U u
I y ，U U y 最大值相量： I m m i m m u
j 300 (150 0 ) 120 0
(3) i1 (t ) 5 cos(100 t 30 )
0
i2 (t ) 3 cos(100 t 30 )
0
两个正弦量进行相位比较时应满足：同频率、同函
数、同符号，且在主值范围内比较。
11
4.有效值
1）有效值定义 物 理 意 义
减运算。因此在正弦稳态电路中，KCL和KVL可以 用相量形式表示。
KCL：
KVL：
i(t ) 0 u(t ) 0
I 0 U 0
表明 流入任一结点的所有支路电流用相量表示
时仍满足KCL；而任一回路所有支路电压用相量表
示时仍满足KVL。
22
2.电阻元件VCR的相量形式 i 时域形式 R
U
同频正弦量的加减运算变成对应相量的加减运算。
20
2）正弦量的微分、积分运算
Iy i 2 I cos(wt y i ) I i
微分运算:
di d e jw t Re 2 I dt dt j w e jw t Re 2 I
积分运算:


e jw t dt i d t Re 2 I
3
2.复数运算 ①加减运算 —— 采用代数式 若 F1=a1+jb1， F2=a2+jb2 则 F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2)
Im F2
F1+F2
Im
F1+F2
F2
F1 o 图解法 Re o
F1 Re
F2 F1-F2
4
②乘除运算 —— 采用极坐标式 若 F1=|F1| 则:
1 ，F2=|F2| 2
F1 F2 1 2
F1 F2 F1 e j1 F2 e j 2 F1 F2 e j(1 2 )
模相乘 角相加
F1 | F1 | θ1 | F1 | e jθ1 | F1 | j( θ1θ2 ) e jθ 2 F2 | F2 | θ2 | F2 | e | F2 | |F1| θ1 θ2 |F2|
第八章 相量法
• §8-1 复数
• §8-2
• §8-3
正弦量
相量法的基础
• §8-4
电路定理的相量形式
1
§8-1 复数
1.复数的表示形式 Im b 代数式 |F| F
F a jb
(j 1 为虚数单位)

o a Re 三角函数式
F | F | e
j
指数式
F | F | e j | F | (cos j sin ) a jb
时域形式
u
1 jωC
相量关系
I
U u滞后i 90°
1 I jwCU U I jwC
I=w CU yi=yu+90°
25
相量模型
yu
5.受控源VCR的相量形式 在正弦稳态电路中，受控源的电压或电流与控制 电压或电流是同频率的正弦量。因此受控源的VCR 也可以用相量形式表示。
已知 i 2I cos(wt y i )
UR
+ u I
则 u Ri 2RI cos(wt y i )
相量形式
Iy ，U RI y I i i
U
yu
+
U
相量关系
R
RI U
U=RI
-
I
yu=yi
相量模型
y u =y i
23
u、i 同相
3.电感元件VCR的相量形式 i + u I
15
1.正弦量的相量表示 设正弦电流 i 2 I cos(wt y i ) 复常数 构造复指数函数： F (t ) 2 Ie j(wt y i ) 2 Ie jy i e jwt +j 2Icos(wt y i ) j 2Isin( wt y i ) w
wt
Im
yi
O
+1
模相除 角相减
5
③旋转因子 复数 ej =1∠
Im
F• ej
F• ej
旋转因子
特殊旋转因子： 0

Im
F Re
jFFra Baidu bibliotek
e j
j
π 2
F
Re
jF
6
e
j

2
j
0
e
j
1
F
§8-2 正弦量
正弦电流电路：正弦电源激励下的线性电路，其 稳态响应都是与激励同频率的正弦电压或电流（正 弦量），又称为正弦稳态电路。 正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十 分重要的地位。这是由于正弦电路有如下优点： 1）正弦信号易于产生、传送和使用，其加、减、 微分、积分运算后仍是同频率的正弦信号；
直流I R
交流i
R
W RI T
2
W Ri dt
2 0
T
电流有效 值定义为
1 T 2 I i dt T 0
def
均方根值
1 T 2 U u dt T 0
def
12
2）正弦量的有效值
设 i(t)=Imcos(wt+yi)，则电流i 的有效值为：
1 T 2 2 I I cos (wt y i ) dt m T 0 T T 1 cos 2(wt y ) T 2 i cos (wt y i )dt dt 0 0 2 2 1 2 T Im I m 2I I Im 0.707 I m T 2 2
注意：相量只是用来表示正弦量，并不等于正弦量。
17
o 例1 已知 i 141.4 cos(314t 30 )A u 311.1cos(314t 60o )V
试用相量表示i, u . 解 例2 已知
o I 10030 A o U 220 60 V
I 5015 A, f 50Hz .
Im
U

之间的关系。
注意：只有同频率的正弦 量才能画在同一相量图中。
yu yi
I
Re
19

3.相量的运算 1）正弦量的加、减运算
e jw t ) u1 2U1 cos(wt y 1 ) Re( 2U 1 e jw t ) u 2 U cos(wt y ) Re( 2U
2 2 2 2