关于向量及张量的乘法_朱正元

(f
g ) = f g ij11……ijrs11++ rs22
ij11…… ijrs11 ijrs 11++ 11…… ijrs11++ rs22
易知 ,如上定义的张量积 f g 与基的选取无关 .
可以看到 ,两个张量相乘就是它们作为多重线性函数的张量积 .
由于 E. Cart an外微分方法的深远意义 ,使得反对称张量在流形理论的研究中发挥了巨大
第 1期
朱正元: 关于向量及张量的乘法
57
特别地 ,当 ai= bi 时 ,把
a1 a1 a1 a2 … a1 an
( a1 ,… , an ) 2 =
a2 a1 a2 a2 …
…
……
a2 an …
( 9)
an a1 an a2 … an an 称为 n 个向量的 Gram 行列式 ,记作 G( a1,… , an ) .
2000年 1月 第 9卷 第 1期
中央民族大学学报 (自然科学版 ) Journal of t he CU N ( N atu ral Sci ences Edi tion )
Jan. 2000 V ol. 9 N o. 1
关于向量及张量的乘法
朱正元
(中央民族大学数学系 , 北京 100081)
对于变换 ( 1) ,它的逆变换是
ej = dij e′i ( j = 1,… , n)
( 2)
其中 且
dij = cij |dij|= |cij|
2 向量乘法
1. Rn 中两个向量的数量积 设 Rn 中的两个向量
a= aj ej , b= bj ej
收稿日期: 1999年 5月
第 1期
朱正元: 关于向量及张量的乘法
( 11)
5. 某些应用
利用上述向量乘法不难得出以下性质: 1° n - 1个向量的向量积与 n- 1个向量中的每一个都正交 . 2° n - 1个向量的向量积是零向量的充要条件为它们线性相关 . 3° n 个向量 a1 ,… , an 线性相关的充要条件为 G( a1 ,… , an )= 0
摘 要
本文对于向量乘法、张量乘法作了一些必要的讨论 ,同时指出它们之间的某些关系及其应用 .
关键词: 数量积 ;向量积 ;混合积 ;张量积 ;外积 中图分类号: O 183
1 引 言
我们知道在三维欧氏空间 R3中 ,向量有两种基本的乘法运算: 数量积 (内积 )和向量积 ,并
在此基础上又建立了混合积 .但在四维以至 n 维空间中这三种乘法是否还能成立? 能否直接推
4. 向量乘法之间的关系
( 1)设 Rn ( n> 2)中 n 个有序向量 a1 ,… , an ,则有
[a1 ,… , an- 1 ] an = ( - 1)n- 1 ( a1 ,… , an )
( 7)
事实上 ,
[a1 ,… , an - 1 ]· an = an1 A1+ an2 A2+ …+ ann An
an1
an2 … ann
a
1 1
a21 … an1
a
1 1
=…
a
2 1
…
… …
an1 …
=
( - 1)n- 1
… a1
n- 1
… a2
n- 1
… …
… an
n- 1
a1 n- 1
a2 n- 1
…
an n- 1
an1
an2 … ann
= ( - 1)n- 1 ( a1 ,… , an )
( 2)两个混合积的积
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则称
n
∑ aj bj
( 3)
j= 1
为 a与 b的数量积或内积 ,记作 a· b
以下证明这种定义方式与基的选择无关 .
利用 ( 2)式 ,可将 a与 b写作
a= a′i e′i , b= b′i e′i
其中 a′i =
aj dij ,b′i =
bk
d
i k
故 a′ib′i = ajbk dij dik
设有 Rn ( n> 1)中两组向量 a1 ,… , an 及 b1 ,… , bn 作其混合积的积 ,并利用两个向量的数
量积有
a1 b1 a1 b2 … a1 bn
( a1 ,… , an ) ( b1 ,… , bn ) =
a2 b1 a2 b2 …
…
……
a2 bn …
( 8)
an b1 an b2 … an bn
现引入张量的乘法 ,设
f∈
Vrs
1 1
,
g∈
Vr s
2 2
,张量
f
和张量
g 的 (张量 )积
f
g ∈ Vsr11++ sr22
定义如下:
( f g ) ( v* 1 ,… , v* r 1+ r 2 , v1 ,… , vs1+ s2 ) =
=
f
( v*
Байду номын сангаас
1 ,…
, v*
r1 , v1,…
, vs1 ) g ( v*
a21 a2 2
a22 a23
a 23 a 21
记 0- e1e2 , 0- e2 e3 , 0- e3 e1 分别为基向 量 e1 , e 2 , e3 所生成的三个坐标平面 ,记 a1 , a2 所张成的
平行四边形为 M.因此 ,等式右端各项依次表示 M 在坐标面 0- e1e2、 0- e2e3 , 0- e3e1 上投影的
这是与 R3 中向量积所满足的算律相一致的 .
最后 ,我们不妨在 R3 中考察外积 Λ的几何背景 .
设 e 1 , e2 , e3 是 R3 中的一组基 ,则对于 R3 中的两个向量 a1= ai1 ei , a2= ai2 ei ,引进运算 Λ,
使之满足重线性和反交换性 ,于是有
a1 Λ a2= a11 a1 2 e1 Λ e 2+ a12 a13 e 2 Λ e3+ a13 a11 e 3 Λ e1
al = a′il e′i , ( l = 1,… , n )
则由 ( 6)有
|a′il|=
|alj dij|=
|alj||d
i j
|
如果 {ei }与 { e′i }同类 (|dij|= 1) ,故
|a′il|= |alj|
如果异类时 ,则有
|a′il|= - |ajl|
因此 ,当 { ei }变成同类基时 ,则混合积不变 ,否则变号 .
r 个 s个
r个 s个
的元素称为 r阶反变 , s阶共变 (协变 )的 ( r , s)型张量 . ( r, s)型张量是定义在
V* ×… × V* × V×… × V
r个
s个
上的 F 值 ( r+ s)重线性函数 .
约定
V
1 0
=
V , V 01=
V*
, V00=
F
1阶反变 (共变 )张量即为反变 (共变 )向量 .
e ′1
[a1 ,… , an - 1 ]=
a′11 …
e′2 …… a′21 …… … ……
e ′n a′n1 …=
a′n1- 1 a′n2- 1 …… a′nn- 1
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中央民族大学学报 (自然科学版 )
第 9卷
n
∑ ej d1j j= 1
n
∑ ej
d
2 j
…
j= 1
n
∑ ej dnj j= 1
e′i = cij e j ( i = 1,… , n )
( 1)
其中|cij|是正交行列式 ,其值为± 1. 若|cji|= 1,则称这两组基所对应的两个标架同向 ,否则称为反向 . Rn 中的所有基划分成两
类 ,同向者为一类 ,反向者为另一类 ,指定一类标准正交基之后 ,这时称 Rn 是有定向的 .
作用 ,以下给出反对称共变张量 (外形式 )的外积运算 .
首先 ,定义 r 阶反称共变张量空间为
Λr ( V*
)=
Ar
(
V
0 r
)
, r≥
2,
Ar 是
r 阶共变张量的反对称化算子 .
设 f ∈ Λr ( V* ) , g∈ Λs ( V* ) ,定义映射
Λ: Λr ( V* )×Λs ( V* )→Λr+ s ( V* )
的 n 个分量分别是第一行元素的代数余子式 A1 ,… , An
于是有
[a1 ,… , an - 1 ] = Ai ei
( 5)
对于另一组基 {e′i } ,设上述 n- 1个向量可表为
al = a′il e′i
则有
a′il =
ajl
d
i j
( 6)
于是 ,根据 ( 1)、 ( 6)就基 { e′i }而言
3. Rn 中 n 个向量的混合积 设 Rn ( n> 1)中的 n 个有序向量 a1 ,… , an 在基 {ei }下可表示为
ai = aij e j ( i , j = 1,… , n)
则行列式
|aji|
称为 a1 ,… , an 的混合积 ,记作 ( a1 ,… , an ) .
对于另一组基 {e′i } ,设
=
a
j 1
d1j
…
aj1
d
2 j
…
…
aj1 dnj …
= [a1 ,… , an- 1 ]|dij|
ajn-
1
d
1 j
anj - 1 d2j …
ajn- 1 dnj
= [a1 ,… , an - 1 ]|cij|
如果 {ei }与 { e′i }同类 ,即|cij|= 1,亦即 ,在定向的 Rn 中 ,上述定义的向量积保持不变 .
n 个向量 a1 ,… , an 线性无关的充要条件为 G( a1 ,… , an ) > 0
3 张量乘法与外积
设 V 是域 F 上的 n维向量空间 , V* 是 V 的对偶空间 ,张量空间
Vrs = V … V V* … V* = L ( V* ,… V* , V ,… , V ; F )
交的向量有两个 ,故 R3 中 (两个向量 )的向量积不能直接推广到 R4 中去 .以下介绍它的另一种
推广 .
设 Rn ( n> 2)中的 n - 1个有序向量 a1 , a2 ,… , an - 1在基 {ei }下可表示为
al = ail ei ( i = 1, 2,… , n, l = 1, 2,… , n - 1)
广?若不能 ,又应如何加以修正使其能够成立 .进一步地 ,对于张量空间有张量积和外积两种基
本乘法运算 ,它们与向量乘法又有什么异同 .本文将回答这些问题 .
我们以 Rn 表示 n 维欧氏空间 , { ei } ( i= 1, 2,… , n )是 Rn 的一组标准正交基 .设另一组标准
正交基为 {ei′} ,采用 Einstein 的总和记法有
则称向量
e1 e 2 … … en
a11
a21 … … an1
( 4)
… … …… …
a1 n- 1
a2 n- 1
……
an n- 1
为 a1 , a2 ,… , an- 1的向量积 . 记作 [a1 , a2 ,… , an- 1 ].
应该指出 ,上述行列式只是一种形式记法 ,第一行由 n 个基向量组成 ,并且 [a1 , … , an - 1 ]
( f , g )→ fΛg=
( r+ r!
s )! s!
Ar+ s ( f
g)
把 Λ称为外乘 . ( r+ s)阶反称共变张量 fΛg 称为 f 与 g 的外积 .
外积是双线性的 ,特别地它满足反交换律:
fΛg= ( - 1)rs gΛf , f ∈ Λr ( V* ) , g∈ Λs ( V* )
∵ |d ij|是正 交行 列式
n
∑ ∴
dij
d
i k
=
Wjk
i= 1
n
n
n
∑ ∑ ∑ 故 a′ib′i =
aj
bk
d
i j
dki
=
aj bkWjk =
aj bj
i= 1
i= 1
j= 1
2. Rn 中 n - 1个向量的向量积
在 R4 中设两个无关向量 a与 b ,则 a , b决定一个二维平面 R2 . 但在 R2 上一点处与 R2 正
r 1+
1 ,…
, v*
, v r1+ r 2 s 1+
1,…
, vs1+
s2 )
其中对于任意
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中央民族大学学报 (自然科学版 )
第 9卷
( v* 1 ,… , v* ) ∈ r1+ r 2
V0 r 1+ r2
和
( v1 ,… , vs1+ s2 ) ∈ Vs01+ s2
此外 , f
g 关于基 {ei }的分量是 f 的分量和 g 的分量的乘积 ,即
有向面积 .
至此 ,我们对于向量和张量的各种乘法运算作出了讨论 .
参考文献
1 L. P Eisenhar t Riema nnia n Geomet ry. Princeto n U niv er sity Press, 1949 2 朱鼎勋 .空间解析几何 .北京: 北京师大出版社 , 1981 3 陈省身 .微分几何 .北京: 北京大学出版社 , 1983 4 白正国等 .黎曼几何初步 .北京: 高等教育出版社 , 1992
对于 ( 9)式进一步有 ,在 Rn 中 k (≤ n- 1)个向量 a1 ,… , ak ,我们规定
( a1 ,… , ak ) 2 =
a1 a1 … ……
a1 ak …
( 10)
显然这个定义与基的选择无关 .
ak a1 … ak ak
特别地 ,当 k= n- 1时 ,有
[a1 ,… , an- 1 ]2 = ( a1 ,… , an - 1 )2 .