小学奥数 数形结合

专题二 数形结合

【方法简介】

数形结合的思想是一种重要的数学思想方法，就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有数的严谨与形的直观之长,是优化解题过程的重要途径之一,有助于把握数学问题的本质,“数”和“形”是紧密联系的。我们在研究“数”的时候，往往要借助于“形”，在探讨“形”的性质时，又往往离不开“数”。由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷.

【应用场合】简易方程：路程问题、和差倍问题，几何应用，统计与可能性 【典型应用1】简易问题

应用1：在简易方程题目中最为关键的一点就是找等量关系，通过画线段图就能清晰找出这种关系.先选对参照物，分清楚研究对象，再根据题目画出研究对象的数量关系，最后设未知数，列方程.

【题1】小胖和小巧一共有208张邮票，小胖的邮票张数是小巧的3倍，小胖、小巧各有多少张邮票？ [略解]

解：设小巧有x 张邮票，那么小胖有3x 张邮票.

2083=+x x ,2084=x ,52=x .

答：小巧有52张邮票，那么小胖有156张邮票.

【技巧贴士】这是一道典型的和倍问题，首先找出等量关系，从图中可以看出小巧与小胖的邮票数之和为208张，再列方程.最后提醒别忘了算小胖的邮票数. 【题2】

一辆客车和一辆轿车从宁波出发开往上海，轿车比客车迟开0.3小时，客车平均每小时行驶90千米，轿车平均每小时行108千米.轿车开出多少小时后追上客车？ [略解]

解：设轿车开出小x 时后追上客车.

x x 108903.090=+⨯，x 1827=，5.1=x

答：轿车开出1.5小时后追上客车.

【技巧贴士】 这是道追及问题，在本题中因为客车与轿车行驶的路程是相等的，我们可以将两辆车的路程画作两段来分析题目,这样更容易找出等量关系. 【题3】

小刘和小王两家之间的路程是1500千米，两人同时从家里出发相向而行，小刘平均每分钟走72米，小王平均每分钟走75米，几分钟后两人还相距324米？ [略解]

解：设x 分钟后两人还相距324米.

150********=++x x ，8=x

答：设8分钟后两人还相距324米.

【技巧贴士】

本道题目是将相遇问题进行了改变，我们还可以这样理解题目，小王和小刘之间还有324米就相遇了，所以1500米减去324米，就是他们一共走的总路程，即方程为32415007572-=+x x .

【巩固练习】第一期

第一部分基础达标

1.商店里出售精装、平装两种集邮册.精装集邮册的售价比平装集邮册贵9.6元，是平装集

邮册价格的1.6倍，这两种集邮册的售价分别是多少元？

2.一辆轿车和一辆大巴士先后从南京出发开往上海，大巴士先行150千米后轿车也出发了，

大巴士平均每小时行80千米，轿车平均每小时行100千米.轿车几小时后追上大巴士？

3.上海到宁波的高速公路全长296千米，两辆旅游巴士车同时从两地出发，途中巴士车A

休息了0.6小时，结果巴士车B1.85小时后与A车在途中相遇.已知B车平均每小时行驶92千米，A车平均每小时行多少千米？

第二部分强化训练

4.动物园里的狮子和老虎的数量相差14只，狮子的数量比老虎的2倍还多2只，则动物园里

的狮子和老虎各有多少只？

5.一盒巧克力平均分给几个小朋友，如果每人分6颗，那么还剩下14颗；如果每人分8颗，

那么正好分完.一共有多少小朋友？这盒巧克力有多少颗？

6.甲乙两人相距若干米，如果两人相对而行，2分钟可以相遇；如果两人同时同向而行，

甲在乙后，6分钟可以追上乙.如果乙每分钟走60米，那么甲每分钟走多少米？

7.暑假里小诗和小琪从学校出发骑车去电影院看电影.已知小诗骑车速度为每分钟220米，

小琪为每分钟280米.小诗出发6分针后小琪去追赶，结果两人同时达到电影院，小琪骑了多少分钟？如果小诗19:00出发，电影19:30开始，那么他们两人能否在电影院开映前进入电影院？

8.甲、乙两地相距1500米，有两人分别从甲、乙两地同时相向出发，10分钟后相遇，如果

两人各自提速20%，仍从甲、乙两地同时相向出发，则出发后多少秒后相遇？

9.在一个600米的环形跑道上，兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步，两人每隔12

分钟相遇一次，若两个人速度不变，还是在原来出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方向跑，则两人每隔4分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分钟？

10.甲、乙二人分别从A、B两地同时出发匀速相向而行，出发后8小时两人相遇．若两人每

小时都多走2千米，则出发后6小时两人就相遇在距离AB中点3千米的地方．已知甲比乙行得快．甲原来每小时行多少千米？

【典型应用2】几何应用

应用2：几何题目的实质是以形化数，现阶段我们应该掌握基础图形的面积公式、周长公式和体积公式。有些平面图形从表面上看，根本不是长方形或正方形，但我们可以运用所学的知识将其转化为标准的长方形和正方形，再进行解答.遇到立体图形时，我们应该从图形的不同角度看问题，注意长宽高的变化.

【题1】如图，把一张长19厘米，宽13厘米的长方形白纸折成右图形壮，EC=5.5厘米，求阴影部分的面积．

[略解] 解：（5.5+13）×13÷2-（13-5.5）×19÷2=18.5×13÷2-7.5×19÷

2=120.25-71.25=49（平方厘米）.答：阴影部分的面积是49平方厘米．

【技巧贴士】求组合图形面积一般用割补法，弄清楚阴影部分是哪些图形的和或差.在这道题中，阴影部分的面积=梯形的面积-折过来的部分的面积，又因梯形的上底、下底和高分别为5.5厘米、13厘米和19厘米，折过来的部分的两条直角边分别为19-5.5=13.5厘米、19厘米，从而利用梯形和三角形的面积公式即可求解．

【题2】有个零件形状如图，这个零件的体积是多少立方厘米？如果1立方厘米铁的重量为7.8克，用铁制成的这种零件有多少重？

[略解]解：（1）零件的体积：6×3×2+（9-6）×3×6=36+54=90（立方厘米）答：这个零件的体积是90立方厘米．

（2）90×7.8=702（克）答：用铁制成的这种零件重702克．