勾股定理在折叠问题中的应用(讲义及答案)

勾股定理在折叠问题中的应用

➢ 课前预习

1. 观察图形，回顾轴对称的性质：

（1）全等变换：对应边________，对应角_________； （2）对应点所连的线段被对称轴_____________．

l

A'

B'

C'

C

B

A

2. 如图，乐乐将△ABC 沿DE ，EF 分别翻折，顶点A ，B 均落在点O 处，且EA 与

EB 重合于线段EO ，若∠DOF =139°，则∠C 的度数为（ ） A ．38°

B ．39°

C ．40°

D ．41°

O

F

E

D C

B

3. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC =6，BC =8，点D 在BC 边上，将直

角边AC 沿直线AD 折叠，点C 恰好落在斜边AB 上的点E 处．设DE 的长为x ，则CD =__________，BD =_________．（用含x 的代数式表示）

D

E

A

B

C

➢ 知识点睛

1. 轴对称（折叠）的思考层次

（1）全等变换：对应边_______、对应角_______． （2）对称轴性质：

①对应点所连线段_____________________； ②对称轴上的点_______________________．

（3）组合搭配：长方形背景下的折叠常出现______三角形．

（4）作图：关注_______和________，有时需要依据不变特征分析转化，补全图形．

①当对称轴已知时，直接作点的对称点，找对应点；

②当对应点已知时，作对应点所连线段的垂直平分线，找对 称轴（折痕）； ③当对称轴过定点时，常作弧找对应点．

➢ 精讲精练

1. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC =6 cm ，BC =8 cm ，点D 在BC 边

上，将直角边AC 沿直线AD 折叠，点C 恰好落在斜边AB 上的点E 处，则线段CD 的长为__________．

D

E

A

B

C

N

M

F

C

B E D

A

第1题图 第2题图

2. 如图，将边长为4 cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A

落在点F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长为__________．

3. 如图，在长方形ABCD 中，AB =5 cm ，在DC 上存在一点E ，将△AED 沿直线AE

折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处，若△ABF 的面积为30 cm 2，则EF 的长为_______．

F E

D C B

A

4. 如图，在长方形ABCD 中，点E 在AB 边上，将长方形ABCD 沿直线DE 折叠，

点A 恰好落在BC 边上的点F 处．若AE =5，BF =3，则CF 的长为_______．

B

F

C

D A E

D

E

A

B C

第4题图 第5题图

5. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =2，BC =4，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕分别交AB ，BC 于点D ，E ，则BE=__________，DE=__________．

6. 如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在

CD 边上的B'处，点A 的对应点为A'．若B'C =3，则AM 的长为__________．

M

C B

D

A

B'

A'

B C F

A

E M

D

第6题图 第7题图

7. 如图，将长方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边的中点E 处，压平后得到折

痕MN ，若AB =2，BC =4，则AM = ______．

8. 如图，在长方形ABCD 中，AB =3，AD =5，现将该长方形沿BD 折叠，使点C 落在

点C′处，BC′交AD 于点E ，则AE 的长为________．

E

D

C B

A

C′

9. 如图，在长方形ABCD 中，AB =15 cm ，点E 在AD 上，且

AE =9 cm ，连接EC ，将长方形ABCD 沿直线BE 翻折，点A 恰好落在EC 上的点A'处，则A'C =_________．

A'

B A D

C

E

F

C

B

E D

A C'

第9题图 第10题图

10. 如图，在长方形ABCD 中，AB =3，AD =9，将此长方形折叠，使点D 与点B 重合，

折痕为EF ，则EF 的长为_________．

11. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =3，将△ABC 沿AB 翻折，点C 的对

应点为C ′，则CC ′的长为_________．

C

B A

B

第11题图 第12题图 12. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =BC=2，将△ABC 沿直线l 翻折，点A 落在

边BC 的中点D 处，直线l 与边AC 交于点E ，则AE 的长为_________．

13. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，点P 在线段AC 上．若将△PBC

沿PB 折叠，使点C 的对应点C ′落在AB 边上，则BP 的长为_________．

A

C

B

14. 如图，长方形纸片ABCD ，AB =8 cm ，BC =20 cm ，M 是边BC 的中点，沿过M 的直

线折叠纸片，点B 恰好落在边AD 上的点B ′处，则AB ′的长为_________．