正定矩阵概念及例题22页PPT
高等代数课件§6.3 正定二次型与正定矩阵
f
x2 1
x2 2
5
x2 3
2t x1x2
2x1x3 4x2 x3
为正定二次型?
解
二次型的矩阵为
A
1 t 1
t 1 2
251 ,
要使二次型为正定二次型 , 则A的各阶顺序 主子式均为正 , 即
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1＞0
（1） xTAx ＞0 ，则称 f 为正定二次型，
相应地矩阵A称为正定矩阵；
（2） xTAx ＜0 ，则称 f 为负定二次型，相应
地矩阵A称为负定矩阵；
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（3）xTAx≥ 0 ，则称 f 为半正定二次型，相应
地矩阵A称为半正定矩阵；
（4）xTAx ≤0 ，则称 f 为半负定二次型，相应
0 1 2
2
5 2
2 6
2 0
2 0 4
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解 (1) 2＞0,
2 2
1 2
5＞0,
2 1 0
1 2 1 4＞0, ∴该矩阵为正定矩阵.
0 1 2
解 (2)∵-5＞0, 5 2 26 ＞0, 2 6
, 1t
t 1
1 t 2＞0,
1t t1
1
2 5t 2 4t ＞0,
1 2 5
1 t 2＞0
因此
5t
2
4t ＜0
解之得 4＜t＜0 5
故当 4 ＜t＜0 时,该二次型为正定二次型. 5
正定二次型及正定矩阵.ppt
2 2 ( 3) f x1 , x 2 x1 3 x 2 为负定二次型
1 为负定矩阵。 3 2 2 (4) f x1 , x2 , x3 x1 3 x2 为半负定二次型
交矩阵P，使得P T AP , 其中 diag(1 , 2 , , n )
对于任意非零向量 x x T Ax x T ( P 1 )T P 1 x ( P 1 x )T ( P 1 x )
T 设y P 1 x （y1 , y2 ,, yn） , 则y为非零向量
1
1
2
1
E n
设C PQ, 则C T AC E , 所以A与单位阵合同。
若A与单位阵合同，则存在可逆矩阵C,使A=
CTEC= CTC，则对于非零向量x xT Ax xT C T Cx (Cx )T (Cx )
C可逆，x 0, 故Cx 0，则(Cx )T (Cx ) 0 所以f正定。
1 3 为半负定矩阵。 0 2 2 (5) f x1 , x 2 x1 3 x2 为不定二次型
1 为不定矩阵。 3
二、正(负)定二次型的判别
准则1 对称矩阵A为正定的充分必要条件是： A的 特征值全为正． 证明 必要性 假设i ( i 1,2 , n)为A的特征值， i 为对应于i的
第六章
二次型
中南财经政法大学信息系
一、正(负)定二次型的概念
定义6.6 具有实对称矩阵A的n元二次型为
f X X AX
T
x1 x 1) 如果对于任意的非零向量 X＝ 2 ，都有 xn
正定矩阵
5.4 正定矩阵 5.4.1 正定矩阵[1] 二次型的分类n 个变数的二次型∑===nj i Tji ij n x A x x x a x x q 1,1),,( ，其实就是定义在n R 的一个二次齐次函数，对n R 的每个特定向量q x ,0对应一个函数值)(0x q ，依据)(x q 值的符号，在教材184页上给出了二次型的分类定义：1．正定二次型。
若对一切nR x ∈，当0)(0>=⇒≠Ax x x q x T称二次型)(x q 正定。
显然，正定二次型也就是函数值定正的二次型（当然有唯一的例外，0=x 时，0=q ）。
2．正半定（或半正定）二次型。
若对一切nR x ∈，皆有0)(≥=Ax x x q T，且至少有一 00≠x 能使0)(0=x q .3．负定。
对二次型Ax x x q T=)(，当(-q )为正定时，称q 为负定二次型。
4．负半定（或半负定）。
对二次型Ax x x q T=)(，当(-q )为正半定时，称q 为负半定二次型。
5．不定二次型。
若二次型Ax x q T=既能取正值，又能取负值，称为不定二次型。
容易明白，对标准形的二次型（以下给出的均为充要条件）。
若系数全正为正定二次型；若系数全为非负，且至少有一为0，则为正半定二次型； 若系数全负为负定二次型；若系数全为非正，且至少有一为0，则为负半定二次型； 若系数有正、有负，则为不定二次型。
对于不是标准形的二次型，为确定其类型，可通过化成标准形，并依据惯性律而作出判断。
例19 设n a a a ,,,21 是n 个实数，问它们满足什么条件时，二次型212322221121)()()(),,,(x a x x a x x a x x x x q n n n ++++++=是正定二次型。
解 乍一看，这是n 个带正系数1的平方项之和，应明显是正定的。
但与定义一对照，发现这并非是二次型的标准形，每一项都是线性型而非单独变换的平方。
经济学的数学工具教学-第四章 二次型和正定矩阵-PPT精品文档
由于 i j ，则 xix j 0
第四章
二次型和正定矩阵
• 在本章中，我们将介绍特征值和特征向量， 然后介绍由特征向量组成的矩阵，并且运 用这些知识来判断二次型的正定性，与此 同时，我们也介绍特征值与行列式、秩、 迹的关系，最后我们介绍用行列式来判断 二次型正定性的方法，作为特征值方法的 补充。
第一节 引言
• 二次型 完整形式：
• 定理 如果 A 为对称矩阵，那么其所有特征值都为实数。 例
2 A 2 2 1
2 2 2 A I ( 2 ) ( 1 ) 2 3 21
则 A I 0为二次方程
其两个特征值为 1 0 和 2 3
定理 如果A为对称矩阵，那么对应着不同特征值的特征向量正 交。
• 证明 令 i 和 j 是两个不同特征值，分别对应于特征向量 x i 和 x 。 j 那么有 Axj j xj Axi i xi 分别左乘 x j 和 x i ，有 j xA x x i x j xx i j jA i ix jx i
已知A的两特征值为 1 0 和 2 3
1 0
I)x0得到 Ax 0 由(A 1
即
2 2
2 x1 0 1 x2
由方程可得 x2 2x1，那么 作为特征向量我们取
1 2 2 2 x x 1 3 x 1 x 1 2 1 1 3
线性代数 第4节 正定矩阵
全为正， 因此二次型正定.
7
n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是 A 的 准则2 顺序主子式全大于零. 证略.
其中 A (aij )nn 的 k 阶顺序主子式是指行列式
a11 | Ak | a 21 ak 1
a12 a 22
a1k a2k ,
i 1 j 1
T 取 X i (0, ,1, ,0) ，则有
n
n
f ( X i ) aii 0, (i 0,1,.n) .
4.若 A 和 B 为正定矩阵，则 A+B 也为正定矩阵. 证 对任意非零向量X ，
X T ( A B) X X T AX X T BX 0 .
设 B T AB 为正定阵, 必要性：
这就是说,齐次线性方程组Bx 0 只有零解,
因此 B 列满秩,即 r ( B) n ；
T T T T T 充分性: 因为 ( B AB ) B A B B AB ,
可见 B AB 为实对称阵.
T
将上述过程逆推,即可得证.
23
T
证
因为 ( A A) A A , 故 A A 是 n 阶对称矩阵.
T T
T
T
又 r( A) n ，可知齐次线性方程组AX o 仅有零解，
于是 所以对任意 X o ，必有AX o ，
X T ( AT A) X ( AX )T ( AX ) 0 ,
即二次型 X T ( AT A) X 为正定二次型，
即矩阵 A A 为正定， A 的秩 r ( A) n ， A A 为 且 则 正定矩阵.
T
类似结论有：
正定矩阵ppt
X
T i
O)A
Xi O
0.
即Ai为正定矩阵,故其行列式 Ai 0.
, xi ),
14
充分必要性.设矩阵A的所有顺序主子式>0.要证 明A是正定矩阵.用数学归纳法证明.n=1时显然:
a11 0, x1 0,a11 x12 0.
设对于n－1结论成立.An-1正定,存在n-1阶非退化矩
阵G,使得
2 5 0 2 5 0 2 0 7 2 0 7
5
( 6)( 5)( 7) 4( 5) 4( 7) ( 6)( 5)( 7) 8 48 ( 6)( 2 12 35) 8( 6) ( 6)( 2 12 27) =( 3)( 6)( 9).
定义 如果实二次型f=XTAX对于某些向量X为 正数,并且对于对于某些向量X为负数,则称二 次型是不定的.
2
二、正定矩阵的充分必要条件
定理 实对称矩阵A正定的充分必要条件是其 特征值都是正数.
证明 设实对称矩阵A的特征值 1, ,n 都是正数. 存在正交矩阵Q,使得 QTAQ= , 为对角矩阵, 其对角线元素为1, ,n , 对于X O, 令Y Q1X ,
X T P T PX (PX )T PX PX 2 0.
设A正定,则A合同于单位矩阵,即存在可逆矩 阵,使得A=PTEP=PTP.
10
例 A正定,B实对称,则存在可逆矩阵R, 使得 RTAR和RTBR同时为对角形. 证明存在P,使得PTAP=E,PTBP实对称,存在正交 矩阵Q,使得 QTPTBPQ=D为对角形,令R=PQ,则
C2TC1T AC1C2
En1
TG
O 1
En1
TG
G T
ann
En1 O
GT
北京航空航天大学线性代数第六章64正定二次型和正定矩阵.ppt
答疑时间：星期二晚上18:00－20:30 星期四晚上18:00－20:30
答疑地点：J4-102 Email: liyongzhu@
朱立永
线性代数
第六章 二次型
§6.1 二次型及其矩阵表示 §6.2 化二次型为标准形 §6.3 惯性定理 §6.4 正定二次型和正定矩阵
线性代数
§6.4 正定二次型和正定矩阵
定义6.4.1 设 f (x1, x2 ,, xn ) X T AX 为n元
实二次型. 若对于任意非零实向量 X
(x1, x2, , xn )T 0 ,都有
f (x1, x2 , , xn ) X T AX＞0 则称实二次型 f 为正定二次型;相应的实对 称矩阵 A称为正定矩阵.
件是 A的特征值全大于0,从而正定矩阵的
行列式大于0. 证 由定理5.3.5,必有正交矩阵 Q ,使
线性代数
1
QT AQ Q1AQ B
2 ,
n
其中,1, 2, , n 是 A 的全部特征值.因为
，
A正定的充要条件是B 正定.而 B对应的
二次型为
，
Y T BY
1 y12
2
y
2 2
n
y
2 n
由定理6.4.1可知,该二次型正定的充分必
要条件是 i 0(i 1, 2, , n).
线性代数
由于 A B 12 n＞ 0 ,即正定矩阵 的行列式大于0.证毕.
例6.4.1 判断实二次型 f (x1, x2, x3)
3x12 3x22 x32 4x1x2 的正定性.
，
解 二次型 f 的矩阵为
A3 A t
1
正定矩阵——精选推荐
正定矩阵
正定矩阵式⾃共轭矩阵的⼀种。
正定矩阵类似复数中的正实数。
定义：对于对称矩阵M，当且仅当存在任意向量x，都有
若上式⼤于等于零，则称M为半正定矩阵。
正定矩阵记为M>0。
也被称为正定⼆次型
正定矩阵的判定
1、所有特征值为正数（根据谱定理，若条件成⽴，必然可以找到对⾓矩阵呢D和正定矩阵P，使M=P^-1DP）；
2、所有的顺序主⼦式为正定；
3、Cholesky分解得到的矩阵，其主对⾓线上的元素全为正数；
4、矩阵有半双线性映射形式。
⾸先解释双线性映射。
假设三个向量空间X, Y和Z，有Z = B(X, Y)。
对于X或Y中的任意向量都有到Z的唯⼀映射。
如果把X固定，Y中的元素就存在到Z的线性映射，反过来也⼀样。
所谓半双线性映射，就是它的两个参数⼀个是线性的，另⼀个是半线性的（或共轭线性）。
如：
复数空间的内积都是半双线性的。
正定矩阵的性质
1、正定矩阵均可逆，且逆矩阵也为正定矩阵；
2、正定矩阵与正实数的乘积也为正定；
3、迹Tr(M)>0；
4、存在唯⼀的平⽅根矩阵B，使得：。