2.1波函数的统计解释.
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2.1波函数的统计解释
2
粒子在t时刻，出现在点（ x, y, z )处的单位体积几率， 即几率密度为： w( x, y, z , t ) C ( x, y, z , t ) C （ x , y , z , t ) d 1 C 1
2 2
( x, y, zt )
2
令 ( x, y, z , t） C （x, y, z , t ), 在t时刻，在（x, y, z )点附近的体元 d内找到粒子的几率为 : dW ( x, y, z , t ) ( x, y, z , t ) d 几率密度是： w( x, y, z , t ) ( x, y, z , t )
（下一页）
1926年，德国物理学家玻恩（Born , 1882--1972) 提出了德布罗意波的统计解释，认为波函数体现了发
现粒子的概率（几率），这是每个粒子在它所处环境
中所具有的性质。
（下一页）
由此 ， * 代表单位体积内发现一个粒子的 几率，因而称几率密度。 这就是德布罗意波函数的 物理意义。 玻恩提出的波函数与经典的波函数的意义完全不同的。 经典的波函数意味着有某种实在的物理量的空间 分布做周期性的变化，是可测量的。 玻恩提出的波函数一般是不可测量的。可测 量的 ，一般是 。它的含义是几率。
2 2 2
所以，归一化为： （x, y, z, t）d 1
对几率分布来说，重要的是相对几率分布。故
和 C描述的相对几率分布是完全相同的。
经典波的波幅如增加一倍，则相应的波动能量
将为原来的四倍，代表了不同的波动状态。
（下一页）
用电子双缝衍射实验说明概率波的含义 (1)入射强电子流 (2)入射弱电子流 • 概率波的干涉结果 波函数统计诠释涉及对世界本质的认 识争论至今未息。
粒子在t时刻，出现在点（ x, y, z )处的单位体积几率， 即几率密度为： w( x, y, z , t ) C ( x, y, z , t ) C （ x , y , z , t ) d 1 C 1
2 2
( x, y, zt )
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令 ( x, y, z , t） C （x, y, z , t ), 在t时刻，在（x, y, z )点附近的体元 d内找到粒子的几率为 : dW ( x, y, z , t ) ( x, y, z , t ) d 几率密度是： w( x, y, z , t ) ( x, y, z , t )
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1926年，德国物理学家玻恩（Born , 1882--1972) 提出了德布罗意波的统计解释，认为波函数体现了发
现粒子的概率（几率），这是每个粒子在它所处环境
中所具有的性质。
（下一页）
由此 ， * 代表单位体积内发现一个粒子的 几率，因而称几率密度。 这就是德布罗意波函数的 物理意义。 玻恩提出的波函数与经典的波函数的意义完全不同的。 经典的波函数意味着有某种实在的物理量的空间 分布做周期性的变化，是可测量的。 玻恩提出的波函数一般是不可测量的。可测 量的 ，一般是 。它的含义是几率。
2 2 2
所以，归一化为： （x, y, z, t）d 1
对几率分布来说，重要的是相对几率分布。故
和 C描述的相对几率分布是完全相同的。
经典波的波幅如增加一倍，则相应的波动能量
将为原来的四倍，代表了不同的波动状态。
（下一页）
用电子双缝衍射实验说明概率波的含义 (1)入射强电子流 (2)入射弱电子流 • 概率波的干涉结果 波函数统计诠释涉及对世界本质的认 识争论至今未息。
量子力学讲义chapter2波函数的统计解释培训讲学
➢Motivation: 物理上: • 势场在平衡位置附近展开 U(x)~k(x-x0)^2 • 任何连续谐振子体系无穷多个谐振子集合 • 辐射场简谐波的叠加 • 原子核表面振动,理想固体(无穷个振子) • 真正可以严格求解的物理势(不是间断势) • 描述全同粒子体系产生,湮灭算符
2020/7/31
• 将势场曲线正题右移a,波函数和能级怎么变?
2020/7/31
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一维方势阱偶宇称能谱图
2020/7/31
2020/7/31
一维方势阱奇宇称能谱图
2020/7/31
2020/7/31
具有不同的深度 但是宽度相同的方势阱(1)
nxNne1 22x2Hnx
Nnቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1/22n
1/2 n!
2020/7/31
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§2.5 一维谐振子
产生湮灭算符
2020/7/31
2020/7/31
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§2.5 一维谐振子
➢思考题: • 半壁振子(两种情况)(图)(暂缺)
2020/7/31
§2.5 一维谐振子
2020/7/31
§2.1 波函数的统计解释
➢粒子性 颗粒性(V) 轨道(X)
➢波动性 物理量周期分布(V and X) 将”粒子分布”视为物理量 叠加性->干涉,衍射(V)
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• 将势场曲线正题右移a,波函数和能级怎么变?
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一维方势阱偶宇称能谱图
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具有不同的深度 但是宽度相同的方势阱(1)
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§2.5 一维谐振子
产生湮灭算符
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§2.5 一维谐振子
➢思考题: • 半壁振子(两种情况)(图)(暂缺)
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§2.5 一维谐振子
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§2.1 波函数的统计解释
➢粒子性 颗粒性(V) 轨道(X)
➢波动性 物理量周期分布(V and X) 将”粒子分布”视为物理量 叠加性->干涉,衍射(V)
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量子力学教程-周世勋-第二章波函数
在上式中令 a=0，然后再将 x 改为 x − a 得：
δ [( x − a) 2 ] =
δ ( x − a)
x−a
（2.2-20）
（8） ln x 的微商
m iπ ⎧ ⎪ln x e = ln x m iπ x < 0 ln x = ⎨ x>0 ⎪ ⎩ln x
所以得：
d ln x 1 = ± iπδ ( x) dx x
ε → 0+
lim
1 1 = ± iπδ ( x) ，或 x m iε x 1 1 1 lim ( − ) 者说 iπ ε →0+ x m iε x
⎧0 x < 0 ⎪ ⎪1 x x=0 ∫ −∞ δ ( x ')dx ' = h( x) = ⎨ ⎪2 ⎪1 x > 0 ⎩
H(x)称为亥维赛（heaviside）单元函数。显然有：
（2.2-14）
dh( x) = δ ( x) dx
（6）根据（2.2-6）式可得：
（2.2-15）
f ( x) = ∫ ∞ −∞ f ( a )δ ( x − a ) da f (a) = ∫ ∞ −∞ f ( x )δ ( x − a ) dx
+ε = ∫a a −ε f ( a )δ [( x − a )( a − b)]dx + ∫
b +ε
b −ε
f (b)δ [(b − a)( x − b)]dx
=
∞ f ( x) f (a) f (b) + =∫ [δ ( x − a ) + δ ( x − b)]dx −∞ a − b a −b a −b
值得注意的是，不同体系的态的叠加是没有意义的。例如，在双狭缝衍射中，如果封闭其中的 一个狭缝，则可得到两个单狭缝体系，这两个单狭缝体系以及双狭缝体系都是不同的体系，所以双 狭缝衍射中的可能态不能视为两个单狭缝衍射可能态的叠加。
自由粒子的薛定谔方程-2023年学习资料
▲为什么用1y描述波函数而不用Ψ？-因为Ψ是复数，有物理意义的是1少2，而不是Ψ。-经典物理：-一个经典波 以用实数也可以用复数表示，用复数表示仅-仅是为了数学上的方便，实际上只有实部才有物理意义。-量子力学：-所 在量子力学中，用必2-来描述波函数的物理意义。-量子力学的波函数一般必须用复数表示，有物理意义的即-不是实 ，也不是虚部，而是它的绝对值-的平方山2，所以Ψ也叫几率振幅，或几率幅。
2.量子力学对态迭加原理的解释-在Ψ，状态下→无论何时测量某物理量G如能量，-都有一个确定值81-在Ψ2状 下→无论何时测量某物理量G如能量，-都有一个确定值82-根据态叠加原理：-Ψ=C1+C2Ψ2-→体系可能态 ▲在Ψ态下测量力学量G,能得到什么样的结果呢？-在Ψ态下测量力学量G的结果，每次测得的结果是不确定的，-即 能是8，也可能是82但不会是另外的值，而测得8及-82的相对概率是确定的.
实物粒子不会产生或湮灭，必定会在空间某点出现，-在整个空间出现的几率为1-数学上表示为：-F,Pd:=1→ 函数的归一化条件-o0-Wydr=1-00-满足上式的波函数-子，→归一化的波函数-为方便引入符号-<4, =ydr-归一化条件：∫yydr=1一<4，y>=1或<yy>1
量子力学基本假设告诉我们-业与CΨ描写同一量子状态，即描写同一量子-状态的波函数形式是不唯一的，对是不是归 一化的波函数，w=cy，C为常数通常需-要把波函数归一化（利用波函数的归一化条-件。-cy2dx=1→lc
量子力学基本假设告诉我们-归一化常数C的解不确定，可以是正负实数：-也可是复数1esP=e.e5=1.lc ce2-δ为常数，可取任意常实数值-为了方便，一般规定归一化常数C取正实数。-不讨论相因子（δ=0），即归 化的波函数-不会有相因子的不确定性。
波函数和薛定谔方程
px ∂ 2Ψ = − Ψ， ∂x 2 h2
2
py ∂ 2Ψ = − Ψ 2 2 ∂y h pz ∂ 2Ψ = − Ψ ∂z 2 h2
2
2
h p2 2 − ∇ Ψ= Ψ 2m 2m (3)
是同一个量子态的不同表述
Ψ (r,t)是以坐标 r 为自变量的波函数， 坐标空间波函数，坐标表象波函数； C(p, t) 是以动量 p 为自变量的波函数， 动量空间波函数，动量表象波函数； 二者描写同一量子状态。
r r Ψ (r , t ) 与 c( p, t ) 有类似的物理意义 r 2 Ψ (r , t ) 是指在t时刻，粒子在r处出现的概率密度 r 2 c( p, t ) 是指在t时刻，粒子具有动量p的概率密度
与能量为E及动量为p 的粒子相联系的波（物质波） h E 的频率及波长为 λ= ν = p i rr h ( p⋅r − Et ) r 自由粒子平面波函数 ψ (r , t ) = Ae h
2.1 波函数的统计解释
另一种理解： 为防止电子间 发生作用，让 电子一个一个 地入射，发现 时间足够长后 的干涉图样和 大量电子同时 入射时完全相 同。（1989） 粒子是基本的，电子的波动性是大量电子之 间相互作用的结果。
2.3 含时薛定谔方程
2.3.1 经典粒子的动力学方程
r r dr t = t 0时刻，已知初态是： r0 , p0 = m dt
t = t0
2r r d r 粒子满足的方程是牛顿 方程： F = m 2 dt
从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻 t 粒子的状态 r 和 p 。因为初条件知道的是坐标及其对时间的一阶导 数，所以方程是时间的二阶常微分方程。
dτ ∫ ∞
→∞
2.2 态叠加原理
第二章 波函数和薛定谔方程
n 2
{
n/2 n 1 / 2
(n为偶数) n为奇数
1 En n 2
n 0,1,2,
En1 En
E0 1 2
n x N n e
1 2 x2 2
H n x
N n 1/ 2 n 2 n!
第二章 波函数和Schroinger方程
质子在钯中的波函数 /groups/materials%20characterisation/hydrogen%20in%20palladium.s html
薛定谔 ERWIN SCHRODINGER (1887-1961)
具有相同的深度 但是宽度不同的方势阱(1)
具有相同的深度 但是宽度不同的方势阱(2)
§2.4 一维方势阱
思考题: 半壁无限势阱时的解如何?
§2.5 一维谐振子
• • • • • • Motivation: 物理上: 势场在平衡位置附近展开 U(x)~k(x-x0)^2 任何连续谐振子体系无穷多个谐振子集合 辐射场简谐波的叠加 原子核表面振动,理想固体(无穷个振子) 真正可以严格求解的物理势(不是间断势) 描述全同粒子体系产生,湮灭算符
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
一维束缚态波函数可取为实数
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
一维束缚态本征函数的图象(图见后)
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
一维束缚态本征函数的图象
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
一维束缚态本征函数的图象
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
角度部分的解
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
量子力学 第二章 波函数和薛定谔方程
x px
t E J
二.量子力学中的测量过程 1.海森伯观察实验 2.测量过程 被测对象和仪器，测量过程即相互作用过程，其影响 不可控制和预测。
三.一对共轭量不可能同时具有确定的值是微观粒 子具有波动性的必然结果。
并不是测量方法或测量技术的缺陷。而是在本质上 它们就不可能同时具有确定的值
i p
p2 2
对自由粒子：
2 E p
2
∴
2 i 2 t 2
3.力场中运动粒子的波动方程 能量关系：
E p2 U (r , t ) 2
2 i 2 U (r , t ) t 2
4.三个算符
2 H 2 U 2
1。与宏观粒子运动不同。
2。电子位置不确定。
3。几率正比于强度，即 ( r , t )
2
结论：
波函数的统计解释：波函数在空间某一点的 强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒 子的几率成正比。
2 数学表达： (r , t ) | (r , t ) |
归一化：
2 (r , t )d | (r , t ) | d 1
3 2 i ( pr Et )
e
(r ) p
1 (2)
3 2
e
i pr
(r , t )
( r ) dp dp dp x y z c( p, t ) p
其中：
而：
i Et c( p, t ) c( p) e
而在晶体表面反射后的晶电子状态
状态的迭加。
p
为各种值的
波函数的统计解释-2022年学习资料
2.1.1波动一粒子两重性矛盾的分析-能否认为粒子是由波组成？-比如说，电子是三维空间的物质波包，波包-的 小即电子的大小，波包的速度即电子的-速度，但物质波包是色散的，即使原来的物-质波包很小，但经过一段时间后， 会扩散-到很大的空间去，或者形象地说，随着时间-的推移，粒子将越来越“胖”，这与实验相-矛盾。
电子双缝实验-P1-P2-P12-薄金属片-电子枪-二二二三-磷探-打开-缝二打开-双缝齐开-测屏-二关闭 缝一关闭-段（相同）时间后每个探测器上的电子数目
2.1.1波动一粒子两重性矛盾的分析-能否认为波是由粒子组成？-粒子的单缝和双缝实验表明，如减小入射粒-子 度，让粒子近似的一个一个从粒子源射-出，实验发现，虽然开始时底片上的感光点-是无规则的，但只要时间足够长， 光点足-够多，底片上仍然会出现衍射条纹。如果波-是由粒子组成，那末，波的干涉、衍射必然-依赖于粒子间的相互 用。这和上述实验结-果相矛盾，实际上，单个粒子也具有波动性-的。
2.1.1波动一粒子两重性矛盾的分析-◆经典波动测是以场量（振幅、相位等）来-描述其运动状态，遵从经典波动 程，波-的能量和动量周期性分布于波所传播的空-间而不是集中在空间一点，即波的能量-动量是空间广延的。波与其 物质体系相-互作用时，可同时与波所在广延空间内的-所有物理体系相互作用，其能量可连续变-化，波满足叠加原理 “非定域”是波动-性运动的特性。
2.1.1波动—粒子两重性矛盾的分析-在经典物理中，粒子和波各为一类宏观体-系的呈现，反映着两类对象，两种 质形-态，其运动特点是不相容的，即具有粒子-性运动的物质不会具有波动性；反之具有-波动◆-综上所述，微观粒子既不是经典的粒子又不-是经典的波，或者说它既是量子概念的 子-又是量子概念的波。其量子概念中的粒子性-表示他们是具有一定的能量、动量和质量等-粒子的属性，但不具有确 的运动轨道，运-动规律不遵从牛顿定律；其量子概念中的波-动性并不是指某个实在物理量在空间的波动：-而是指用 函数的模的平方表示在空间某处-粒子被发现的概率。
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dW (x, y, z,t) (x, y, z,t) 2 d
(x, y, z,t) (x, y, z,t) 2
2
C (x, y, z,t) d 1
2
(x, y, z,t) d 1 (1)
2
(x, y, z,t) d 1
(1) ——波函数的归一化条件
波函数乘以一常数，其 描述的概率波不变，即 描写的粒子状态不变。
1
C (x, y, z,t) 2 d
(x, y, z,t) C(x, y, z,t)
(x, y, z,t) 和 (x, y, z,t) 描写的是粒子的同一状态
(x, y, z,t) dW (x, y, z,t) C (x, y, z,t) 2 d
微观粒子：研究它在某地点出现的几率有多大
三、波函数的归一性：
设波函数 x, y, z, t 描写粒子的状态
在空间一点（x,y,z）处和时刻t:
波的强度是 2
——表示Φ的共轭复数
dW(x, y, z,t) ——在时刻t，在坐标x→x+dx、y → y+dy、
z → z+dz的无限小区域内找到粒子的几率
dW d dxdydz dW (x, y, z,t) 2
dW(x, y, z,t) C (x, y, z,t) 2 d
C为比例常数
几率密度 (x, y, z,t) dW (x, y, z,t) C (x, y, z,t) 2 d
表示某时刻、在空间某点附近 单位体积内粒子出现的几率
电子在空间出现的概率 分布显示了电子运动的 波动性
电子出现的概率分布规律 表现为波强度的分布规律
德布罗意波或物质波（概率波Probability Wave）
微观粒子的波动性乃是粒子统计运动规律的一种特殊表现 粒子保持完整的颗粒结构在空间以概率波的形式运 动的性质——波粒二象性（Wave particle duality） 二、波函数的物理意义
满足（1）的波函数——归一化波函数
把 (x, y, z,t) 换成 (x, y, z,t) 的步骤
——归一化(Normalization)
C ——归一化常数
C
1
(x, y, z,t) 2 d
若 (x, y, z,t) 2 d 发散， C＝0 则无意义！
经典波和微观粒子几率波的区别：
1、经典波描述某物理量在空间分布的周期变化，而几 率波描述微观粒子某力学量的几率分布；
2、经典波的波幅增大一倍，相应波动能量为原来四倍, 变成另一状态；几率波的波幅增大一倍不影响粒子 在空间各点出现的几率，即将波函数乘上一个常数, 所描述的粒子的状态并不改变；
例1：有一微观粒子，沿x轴方向运动，描述其运动的波函数为
(2) 如何体现波粒二象性的？ (3) 描写的是什么样的波呢？
（1）波？
1. 波由粒子组成
电子双 缝衍射 实验
实验结果：
单个电子就具有波动性
感光时间较短
感光时间足够长
最终
2. 粒子由波组成 什么是波包？
波包是各种波数（长）平面波的迭加。
电子是波包
实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个 原子内，其广延不会超过原子大小≈1 Å 。
电子究竟是
粒子？
波？
“ 电子既不是粒子也不是波 ” “ 电子既是粒子也是波”
粒子和波动二重性矛盾的统一
经典概念粒子 1. 有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性; 2．有确定的运动轨道 3. 每一时刻有一定位置和速度
经典概念波
1. 实在的物理量的空间分布作周期性的变化; 2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。
某时刻t，在空间某点r处，粒子出现的几
率正比于该时刻、该点处的波函数的模
结论
的平方 r,t2 。
总结： 衍射实验揭示的电子的波动性是： 许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一 个电子在许多次相同实验中的统计结果。
波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，
在此基础上，Born 提出了波函数意义的统计解释。
电子双缝衍射
衍射条纹 极大值
衍射条纹 极小值
波动观点
波的强度最大 波函数振幅绝对值的
平方即 2最大
波的强度为零
波函数振幅绝对值的
平方
2
=0
粒子观点 感光点的密度最大 电子到达的数目多 电子出现的概率大
感光点的密度为零 到达的电子数目为零 电子出现的概率为零
感光强度的分布∝电子出现的概率分布 感光强度的分布∝电子波函数振幅绝对值的平方
波函数是什么呢？
2 与粒子(某时刻、在空间某处)出现的几率成正比
物质波是什么呢？ 物质波既不是机械波，又不是电磁波，而是几率波！
几率波是描写微观体系的统计行为，而不是单个粒子的 单次过程。
结论
对微观粒子，讨论其运动轨道是没有意义 的。波函数反映的只是微观粒子运动的统计规
律。
宏观物体：讨论它的位置在哪里 区别
(x) A 1）将此波函数归一化；2）求出粒子坐标的概率分
Born解释(1926年)
电子双 缝衍射 实验
实验结果：
感光时间较短
感光时间足够长
最终
分析及讨论：
底板接收的电 子是一个一个 的完整体
条纹由大量电 子密集与稀疏 有规律交替出 现形成
粒子性表现
衍射波的强度分布对应于 电子数的密度分布
波动性表现
电子聚集密度的分布决定 于单个电子在底板上出现 概率的分布
粒子在整个空间出现的几率：
C
2
(x, y, z,t) d 1
C
1
(x, y, z,t) 2 d
概率波(x, y, z,t)和 C(x, y, z,t) 的相对概率是相同的
(x1, y1, z1, t) 2 (x2, y2, z2 ,t) 2
C (x1, y1, z1, t) 2 C (x2 , y2 , z2 ,t) 2
第二章 波函数和薛定谔方程
§1 波函数的统计解释
（一）波函数
自由粒子
A exp
i Βιβλιοθήκη ( p r
Et)
de Broglie 波
描写粒子状态
的波函数，它
通常是一个复 函数。
如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动？
(r , t )
量子力学第一条假设
• 3个问题？ (1) 是怎样描述粒子的状态呢？