2.1波函数的统计解释.
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电子究竟是
粒子？
波？
“ 电子既不是粒子也不是波 ” “ 电子既是粒子也是波”
粒子和波动二重性矛盾的统一
经典概念粒子 1. 有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性; 2．有确定的运动轨道 3. 每一时刻有一定位置和速度
经典概念波
1. 实在的物理量的空间分布作周期性的变化; 2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。
(2) 如何体现波粒二象性的？ (3) 描写的是什么样的波呢？
（1）波？
1. 波由粒子组成
电子双 缝衍射 实验
实验结果：
单个电子就具有波动性
感光时间较短
感光时间足够长
最终
2. 粒子由波组成 什么是波包？
波包是各种波数（长）平面波的迭加。
电子是波包
实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个 原子内，其广延不会超过原子大小≈1 Å 。
电子在空间出现的概率 分布显示了电子运动的 波动性
电子出现的概率分布规律 表现为波强度的分布规律
德布罗意波或物质波（概率波Probability Wave）
微观粒子的波动性乃是粒子统计运动规律的一种特殊表现 粒子保持完整的颗粒结构在空间以概率波的形式运 动的性质——波粒二象性（Wave particle duality） 二、波函数的物理意义
波函数是什么呢？
2 与粒子(某时刻、在空间某处)出现的几率成正比
物质波是什么呢？ 物质波既不是机械波，又不是电磁波，而是几率波！
几率波是描写微观体系的统计行为，而不是单个粒子的 单次过程。
结论
对微观粒子，讨论其运动轨道是没有意义 的。波函数反映的只是微观粒子运动的统计规
律。
宏观物体：讨论它的位置在哪里 区别
第二章 波函数和薛定谔方程
§1 波函数的统计解释
（一）波函数
自由粒子
A exp
i
(
p
r
Et)
de Broglie 波
描写粒子状态
的波函数，它
通常是一个复 函数。
如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动？
(r , t )
量子力学第一条假设
• 3个问题？ (1) 是怎样描述粒子的状态呢？
满足（1）的波函数——归一化波函数
把 (x, y, z,t) 换成 (x, y, z,t) 的步骤
——归一化(Normalization)
C ——归一化常数
C
1
(x, y, z,t) 2 d
若 (x, y, z,t) 2 d 发散， C＝0 则无意义！
经典波和微观粒子几率波的区别：
Born解释(1926年)
电子双 缝衍射 实验
实验结果：
感光时间较短
感光时间足够长
最终
分析及讨论：
底板接收的电 子是一个一个 的完整体
条纹由大量电 子密集与稀疏 有规律交替出 现形成
粒子性表现
衍射波的强度分布对应于 电子数的密度分布
波动性表现
电子聚集密度的分布决定 于单个电子在底板上出现 概率的分布
1、经典波描述某物理量在空间分布的周期变化，而几 率波描述微观粒子某力学量的几率分布；
2、经典波的波幅增大一倍，相应波动能量为原来四倍, 变成另一状态；几率波的波幅增大一倍不影响粒子 在空间各点出现的几率，即将波函数乘上一个常数, 所描述的粒子的状态并不改变；
例1：有一微观粒子，沿x轴方向运动，描述其运动的波函数为
电子双缝衍射
衍射条纹 极大值
衍射条纹 极小值
波动观点
波的强度最大 波函数振幅绝对值的
平方即 2最大
波的强度为零
波函数ຫໍສະໝຸດ Baidu幅绝对值的
平方
2
=0
粒子观点 感光点的密度最大 电子到达的数目多 电子出现的概率大
感光点的密度为零 到达的电子数目为零 电子出现的概率为零
感光强度的分布∝电子出现的概率分布 感光强度的分布∝电子波函数振幅绝对值的平方
粒子在整个空间出现的几率：
C
2
(x, y, z,t) d 1
C
1
(x, y, z,t) 2 d
概率波(x, y, z,t)和 C(x, y, z,t) 的相对概率是相同的
(x1, y1, z1, t) 2 (x2, y2, z2 ,t) 2
C (x1, y1, z1, t) 2 C (x2 , y2 , z2 ,t) 2
微观粒子：研究它在某地点出现的几率有多大
三、波函数的归一性：
设波函数 x, y, z, t 描写粒子的状态
在空间一点（x,y,z）处和时刻t:
波的强度是 2
——表示Φ的共轭复数
dW(x, y, z,t) ——在时刻t，在坐标x→x+dx、y → y+dy、
z → z+dz的无限小区域内找到粒子的几率
某时刻t，在空间某点r处，粒子出现的几
率正比于该时刻、该点处的波函数的模
结论
的平方 r,t2 。
总结： 衍射实验揭示的电子的波动性是： 许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一 个电子在许多次相同实验中的统计结果。
波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，
在此基础上，Born 提出了波函数意义的统计解释。
dW d dxdydz dW (x, y, z,t) 2
dW(x, y, z,t) C (x, y, z,t) 2 d
C为比例常数
几率密度 (x, y, z,t) dW (x, y, z,t) C (x, y, z,t) 2 d
表示某时刻、在空间某点附近 单位体积内粒子出现的几率
dW (x, y, z,t) (x, y, z,t) 2 d
(x, y, z,t) (x, y, z,t) 2
2
C (x, y, z,t) d 1
2
(x, y, z,t) d 1 (1)
2
(x, y, z,t) d 1
(1) ——波函数的归一化条件
(x) A 1）将此波函数归一化；2）求出粒子坐标的概率分
波函数乘以一常数，其 描述的概率波不变，即 描写的粒子状态不变。
1
C (x, y, z,t) 2 d
(x, y, z,t) C(x, y, z,t)
(x, y, z,t) 和 (x, y, z,t) 描写的是粒子的同一状态
(x, y, z,t) dW (x, y, z,t) C (x, y, z,t) 2 d
粒子？
波？
“ 电子既不是粒子也不是波 ” “ 电子既是粒子也是波”
粒子和波动二重性矛盾的统一
经典概念粒子 1. 有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性; 2．有确定的运动轨道 3. 每一时刻有一定位置和速度
经典概念波
1. 实在的物理量的空间分布作周期性的变化; 2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。
(2) 如何体现波粒二象性的？ (3) 描写的是什么样的波呢？
（1）波？
1. 波由粒子组成
电子双 缝衍射 实验
实验结果：
单个电子就具有波动性
感光时间较短
感光时间足够长
最终
2. 粒子由波组成 什么是波包？
波包是各种波数（长）平面波的迭加。
电子是波包
实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个 原子内，其广延不会超过原子大小≈1 Å 。
电子在空间出现的概率 分布显示了电子运动的 波动性
电子出现的概率分布规律 表现为波强度的分布规律
德布罗意波或物质波（概率波Probability Wave）
微观粒子的波动性乃是粒子统计运动规律的一种特殊表现 粒子保持完整的颗粒结构在空间以概率波的形式运 动的性质——波粒二象性（Wave particle duality） 二、波函数的物理意义
波函数是什么呢？
2 与粒子(某时刻、在空间某处)出现的几率成正比
物质波是什么呢？ 物质波既不是机械波，又不是电磁波，而是几率波！
几率波是描写微观体系的统计行为，而不是单个粒子的 单次过程。
结论
对微观粒子，讨论其运动轨道是没有意义 的。波函数反映的只是微观粒子运动的统计规
律。
宏观物体：讨论它的位置在哪里 区别
第二章 波函数和薛定谔方程
§1 波函数的统计解释
（一）波函数
自由粒子
A exp
i
(
p
r
Et)
de Broglie 波
描写粒子状态
的波函数，它
通常是一个复 函数。
如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动？
(r , t )
量子力学第一条假设
• 3个问题？ (1) 是怎样描述粒子的状态呢？
满足（1）的波函数——归一化波函数
把 (x, y, z,t) 换成 (x, y, z,t) 的步骤
——归一化(Normalization)
C ——归一化常数
C
1
(x, y, z,t) 2 d
若 (x, y, z,t) 2 d 发散， C＝0 则无意义！
经典波和微观粒子几率波的区别：
Born解释(1926年)
电子双 缝衍射 实验
实验结果：
感光时间较短
感光时间足够长
最终
分析及讨论：
底板接收的电 子是一个一个 的完整体
条纹由大量电 子密集与稀疏 有规律交替出 现形成
粒子性表现
衍射波的强度分布对应于 电子数的密度分布
波动性表现
电子聚集密度的分布决定 于单个电子在底板上出现 概率的分布
1、经典波描述某物理量在空间分布的周期变化，而几 率波描述微观粒子某力学量的几率分布；
2、经典波的波幅增大一倍，相应波动能量为原来四倍, 变成另一状态；几率波的波幅增大一倍不影响粒子 在空间各点出现的几率，即将波函数乘上一个常数, 所描述的粒子的状态并不改变；
例1：有一微观粒子，沿x轴方向运动，描述其运动的波函数为
电子双缝衍射
衍射条纹 极大值
衍射条纹 极小值
波动观点
波的强度最大 波函数振幅绝对值的
平方即 2最大
波的强度为零
波函数ຫໍສະໝຸດ Baidu幅绝对值的
平方
2
=0
粒子观点 感光点的密度最大 电子到达的数目多 电子出现的概率大
感光点的密度为零 到达的电子数目为零 电子出现的概率为零
感光强度的分布∝电子出现的概率分布 感光强度的分布∝电子波函数振幅绝对值的平方
粒子在整个空间出现的几率：
C
2
(x, y, z,t) d 1
C
1
(x, y, z,t) 2 d
概率波(x, y, z,t)和 C(x, y, z,t) 的相对概率是相同的
(x1, y1, z1, t) 2 (x2, y2, z2 ,t) 2
C (x1, y1, z1, t) 2 C (x2 , y2 , z2 ,t) 2
微观粒子：研究它在某地点出现的几率有多大
三、波函数的归一性：
设波函数 x, y, z, t 描写粒子的状态
在空间一点（x,y,z）处和时刻t:
波的强度是 2
——表示Φ的共轭复数
dW(x, y, z,t) ——在时刻t，在坐标x→x+dx、y → y+dy、
z → z+dz的无限小区域内找到粒子的几率
某时刻t，在空间某点r处，粒子出现的几
率正比于该时刻、该点处的波函数的模
结论
的平方 r,t2 。
总结： 衍射实验揭示的电子的波动性是： 许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一 个电子在许多次相同实验中的统计结果。
波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，
在此基础上，Born 提出了波函数意义的统计解释。
dW d dxdydz dW (x, y, z,t) 2
dW(x, y, z,t) C (x, y, z,t) 2 d
C为比例常数
几率密度 (x, y, z,t) dW (x, y, z,t) C (x, y, z,t) 2 d
表示某时刻、在空间某点附近 单位体积内粒子出现的几率
dW (x, y, z,t) (x, y, z,t) 2 d
(x, y, z,t) (x, y, z,t) 2
2
C (x, y, z,t) d 1
2
(x, y, z,t) d 1 (1)
2
(x, y, z,t) d 1
(1) ——波函数的归一化条件
(x) A 1）将此波函数归一化；2）求出粒子坐标的概率分
波函数乘以一常数，其 描述的概率波不变，即 描写的粒子状态不变。
1
C (x, y, z,t) 2 d
(x, y, z,t) C(x, y, z,t)
(x, y, z,t) 和 (x, y, z,t) 描写的是粒子的同一状态
(x, y, z,t) dW (x, y, z,t) C (x, y, z,t) 2 d