圆中定值问题

圆中定值问题

定值问题是近年来中考和竞赛中的热点和难点，它要求学生能运用动与静、变与不变

的辨证关系进行分析、猜想、论证，从而使问题获得解决.

图形背景：如图，在平面直角坐标系中，M为x轴正半轴上一点，以M为圆心的圆分别

交x轴、y轴于A、B、C、D四点.

此图虽简单，但内涵极为丰富，它可以与直角三角形、射影定理、垂径定理等有关知

识联系，演变成一系列定值问题.

（以下各题如无特殊说明，圆心M的坐标（3，0），半径为5）

一.探究a b⋅型定值问题

例1.如图2，点P是上一动点，连接CP并延长交x轴于点Q，连接PD交x轴于点H，当点P在⋅为定值，并求其值.

上运动时，试探究MQ MH

二. 探究a

b

型定值问题

例2.如图，点P是上一动点，过点C作⊙M的切线交x轴于点Q，连接PO，当点P在上运动时，

试探究PO

PQ为定值，并求其值.

型定值问题

三. 探究a b

例3.如图，若以M（1，0）为圆心，2为半径的⊙M分别交坐标轴于A、B、C、D四点，点P是上一动点，过点D作⊙M的直径DH交AP于F点，连接PH交x轴于点E，当点P在上运动时，试探究ME+MF为定值，并求其值.

变式练习.

如图，若以M（1，0）为圆心，2为半径的⊙M分别交坐标轴于A、B、C、D四点，若P是上一动点，连接HP交x轴于E，当点P在上运动时，试探究ME-MF为定值，并求其值.

四. 探究11

a b

+型定值问题

例4.如图，过C点作⊙M的切线交x轴于Q点，连接CA，过A点的直线EF交CQ于E点，交y轴于F

点，当直线EF绕点A旋转时，探究

11

CE CF

+为定值，并求其

值.

五. 探究型定值问题

例5.如图，点P是上一动点，连接PC、PB、PD，当点P在上运动时，探究PC PD

PB

为定值，并

求其值.

变式练习.

如图，点P是上一动点，连接PC、PB、PD，若点P在上运动时，探究PC PD

PB

为定值，并求其

值.

六.探究直线过顶点

例6.如图，点P是y轴上一动点（点P在C点的上方），过点P作⊙M的切线PE、PF，切点为E、F，连接FE并延长交x轴于点R，当点P在y轴上运动时，试探究点R为顶点，并求其坐标.

七.探究线段长度不变

例7.如图，过C点作⊙M的直径CE，点P是上一动点，以PM 为直径作⊙N交CE于S点，交x轴于T点，当点P在上运动时，

探究ST为定值，并求其值.

八.探究三角形外接圆的半径不变

例8.如图，点P是上一动点，过点P作⊙M的直径PF，延长DP、FC交于点E，当点P在上运动时，试探究△PEF的外接圆的半径不变.

课后练习

=-+分别交y轴、x轴于A、B两点，以y轴上一点M为圆心作⊙M切AB于点B，⊙如图，直线y x

M交x轴于点C，交y轴于D、E两点.

（1）求圆心M的坐标；

（2）作直径BR，F是弦BC上任意一点，过点F作FG⊥FG交直线AB于点G，GH⊥x轴于H，点F在运动过程中，线段FH的长是否变化？若不变，

求其值；若变化，说明理由；

（3）如图，过点O 、C 、E 三点作⊙N ，P 是⊙M 上的弧BE 上的一个动点，连接CP 交⊙N 于点Q ，连接PB.当点P 在弧BE 上运动时，给出两个结论：①PQ PB CQ

-为定值；②PQ PB

CQ

+为定值.其中有且只有一个是正确的，请证明正确的结论并求出其值.

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