测量误差的基本知识

[∆ ] [l ] = −X n n
式代入上式， 将(1)式代入上式，并移项，得 式代入上式 并移项，
[∆ ] L=X +
n
根据偶然误差的特性，当观测次数 无限增大时 无限增大时， 根据偶然误差的特性，当观测次数n无限增大时，则有
n→∞
lim
[∆ ] = 0
n
那么同时可得
n→ ∞
lim L = X
可以设想，当误差个数 可以设想，当误差个数n→∞，同时又无限缩小误差区间 ，各 ，同时又无限缩小误差区间d∆， 矩形的顶边折线就成为一条光滑的曲线。该曲线称为误差分布曲线 误差分布曲线。 矩形的顶边折线就成为一条光滑的曲线。该曲线称为误差分布曲线。 其函数式为： 其函数式为：
− 2 1 y = f (∆) = e 2σ 2πσ ∆2
由上式可知，当观测次数 无限增大时 无限增大时， 由上式可知，当观测次数n无限增大时，算 术平均值趋近于真值。但在实际测量工作中， 术平均值趋近于真值。但在实际测量工作中， 观测次数总是有限的，因此， 观测次数总是有限的，因此，算术平均值较观 测值更接近于真值。我们将最接近于真值的算 测值更接近于真值。我们将最接近于真值的算 术平均值称为最或然值或最可靠值。 术平均值称为最或然值或最可靠值。
设观测量的真值为X，观测值为 设观测量的真值为 ，观测值为li（i=1，2，3……n)， ， 则观测值的真误差为： 则观测值的真误差为：
∆ 1 = l1 − X ∆ 2 = l2 − X ⋯⋯ ∆ n = ln − X
将各式两边相加，并除以 ， 将各式两边相加，并除以n，得
二 测量误差的分类
(2)偶然误差 在一定的观测条件下， (2)偶然误差——在一定的观测条件下，对某量进行一系列观 偶然误差 在一定的观测条件下 测时，符号和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。 测时，符号和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。 不固定的和 产生偶然误差的原因往往是不固定的 难以控制的 产生偶然误差的原因往往是不固定的和难以控制的。 系统误差能够加以改正，而偶然误差是不可避免的，并且是消 系统误差能够加以改正， 偶然误差是不可避免的 能够加以改正 除不了的。 除不了的。 从单个偶然误差来看， 从单个偶然误差来看，其出现的符号和大小没有一定的规律性 但对大量的偶然误差进行大量统计分析，就能发现规律性， ，但对大量的偶然误差进行大量统计分析，就能发现规律性，并且 误差个数越多，规律性越明显。 误差个数越多，规律性越明显。
5-3 算术平均值及其中误差
• 一 算术平均值（与真值的关系） • 设对某未知量进行n次等精度观测，其观测值分别 为l1，l2，…ln ,则其算术平均值为 •
l1 + l 2 + ⋯ + l n [l ] L= = n n
(1)
算术平均值x作为该未知量的最可靠的数值，又称 最或然值。算术平均值比这组内任一观测值都更为 接近真值。
1 = e 2πσ
∆2 − 2 2σ
三 偶然误差的特性
统计大量的实验结果，表明偶然误差具有如下特性： 统计大量的实验结果，表明偶然误差具有如下特性： 特性1 在一定观测条件下的有限个观测中， 特性 在一定观测条件下的有限个观测中，偶然误差的绝对值 范围) 不超过一定的限值。 范围 不超过一定的限值。(范围 特性2 绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出 特性 绝对值较小的误差出现的频率大， 现的频率小。 绝对值大小 绝对值大小) 现的频率小。(绝对值大小 特性3 绝对值相等的正、负误差出现的频率大致相等。 符号 符号) 特性 绝对值相等的正、负误差出现的频率大致相等。(符号 特性4 当观测次数无限增多时，偶然误差平均值的极限为0， 特性 当观测次数无限增多时，偶然误差平均值的极限为 ， 抵偿性) 即(抵偿性 抵偿性 ∆1 +∆ 2 +L ∆ n [∆]
（4）相对误差 ）
中误差是绝对误差。在距离丈量中， 中误差是绝对误差。在距离丈量中，中误差不能准确地反映出 观测值的精度。例如丈量两段距离， ＝ 观测值的精度。例如丈量两段距离，D1＝100m，m1＝ ， ＝ ±1cm和D2＝300m，m2＝±1cm，虽然两者中误差相等， 和 ＝ ， ＝ ，虽然两者中误差相等， m1＝m2，显然，不能认为这两段距离丈量精度是相同的，这 ＝ ，显然，不能认为这两段距离丈量精度是相同的， 时应采用相对中误差K来作为衡量精度的标准 来作为衡量精度的标准。 时应采用相对中误差 来作为衡量精度的标准。
三 偶然误差的特性
例如某一测区在相同观测条件下观测了358个三角形的全部内角 个三角形的全部内角 例如某一测区在相同观测条件下观测了 由于观测值含有偶然误差， 。由于观测值含有偶然误差，故平面三角形内角之和不一定等 于真值180 于真值
误差区间 dΔ 0″～3″ 3″～6″ 6″～9″ 9″～12″ 12″～15″ 18″～21″ 21″～24″ >24″ ∑ 负误差 个数 k 45 40 33 23 17 13 6 4 0 181 频率 k/n 0.126 0.112 0.092 0.064 0.047 0.036 0.017 0.011 0 0.505 正误差 个数 k 46 41 33 21 16 13 5 2 0 177 频率 k/n 0.128 0.115 0.092 0.059 0.045 0.036 0.014 0.006 0 0.495 个数 k 91 81 66 44 33 26 11 6 0 358 合计 频率 k/n 0.254 0.227 0.184 0.123 0.092 0.072 0.031 0.017 0 1.00
二 测量误差的分类
在测量工作中，应尽量设法消除和减小系统误差。 在测量工作中，应尽量设法消除和减小系统误差。方 法有： 法有： 在观测方法和观测程度上采用必要的措施， ①在观测方法和观测程度上采用必要的措施，限制或 削弱系统误差的影响。 削弱系统误差的影响。 ②找出产生系统误差的原因和规律，对观测值进行系 找出产生系统误差的原因和规律， 统误差的改正。 统误差的改正。 ③将系统误差限制在允许范围内。 将系统误差限制在允许范围内。
两组观测值的中误差为： 解 1、2两组观测值的中误差为： 、 两组观测值的中误差为 m1=±3.0″ ± m2=±3.5″ ±
比较m 可知， 组的观测精度比 组高。 组的观测精度比2组高 比较 1和m2可知，1组的观测精度比 组高。中误差所代 表的是某一组观测值的精度，而不是这组观测中某一次 表的是某一组观测值的精度， 的观测精度。 的观测精度。
lim
n →∞
n
= lim
n →∞
n
=0
5－2 衡量精度的指标
• 一 精度 • 精度：是指对某一个量的多次观测中，误差分布 精度：是指对某一个量的多次观测中， 密集或离散程度 程度。 的密集或离散程度。 •在相同观测条件下， 在相同观测条件下， 在相同观测条件下 对某一量所进行的 一组观测， 一组观测，虽然它 们的真实误差不相 等，但都对应于同 一误差分布， 一误差分布，故这 些观测值误差是相 等的。 等的。
三 偶然误差的特性
该组误差的分布表现出如下规律： 该组误差的分布表现出如下规律：小误差比大误差出现的 频率高，绝对值相等的正、负误差出现的个数和频率相近， 频率高，绝对值相等的正、负误差出现的个数和频率相近，最 大误差不超过24″。 大误差不超过 。 以误差大小为 横坐标， 横坐标，以频率 k/n与区间 的比 与区间d∆的比 与区间 值为纵坐标， 值为纵坐标，绘制 成频率直方图
2 平均误差 在相同的观测条件下，一组独立的真误差为△1、 △2 △3、………… △n 那么平均误差为
∆ θ = lim n →∞ n
当观测次数有限时 计算例5-1的平均误差 计算例 的平均误差
∆ θ =± n
θ1=±2.6″ ±
θ2=±2.6″ ±
我国一般采用中误差作为评判精度的指标
[∆∆] m = lim n →∞ n
2
[∆]2 m=± n
[∆∆ ]
——真误差的平方和， [∆∆ ] = ∆2 + ∆2 + ⋯ + ∆2 真误差的平方和， 真误差的平方和 1 2 n
1 中误差（标准差） 中误差（标准差）
设有1 两组观测值，各组均为等精度观测， 例5-1 设有1、2两组观测值，各组均为等精度观测，它们的 真误差分别为： 真误差分别为： 甲组：+4″， 2″，0″， 4″，+3″； 甲组：+4″，-2″，0″，-4″，+3″； 乙组：+6″， 5″，0″，+1″， 1″； 乙组：+6″，-5″，0″，+1″，-1″； 试计算1 两组各自的观测精度。 试计算1、2两组各自的观测精度。
三 偶然误差的特性
几个概念
在测量工作中， 角度和高差等，称为观测 在测量工作中，观测的对象如长度 角度和高差等，称为观测 量。 任一个观测量，客观上存在着一个能代表其真正大小的数值， 任一个观测量，客观上存在着一个能代表其真正大小的数值， 称为该量的“真值” 称为该量的“真值”。 测量所获得的数值称为观测值。 测量所获得的数值称为观测值。 观测值 进行多次测量时，观测值之间往往存在差异。 进行多次测量时，观测值之间往往存在差异。这种差异实质上 表现为观测值与其真实值 简称为真值 之间的差异， 观测值与其真实值( 真值) 表现为观测值与其真实值(简称为真值)之间的差异，这种差异称为 真误差，简称误差。 真误差，简称误差。 Δi=Li-X 式中Δ 就是观测误差， 真误差，简称误差。 式中Δi就是观测误差，通常称为 真误差，简称误差。
5－2 衡量精度的指标
二 衡量精度的指标 1 中误差（标准差） 中误差（标准差） 设在相同的观测条件下，对某量进行 次重复 设在相同的观测条件下，对某量进行n次重复 观测，其观测值为l 观测，其观测值为 1，l2、…，ln，相应的真误 ， 差为∆ 则观测值的中误差m为 差为 1，∆2，…，∆n。则观测值的中误差 为： ，
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二 测量误差的分类
根据性质不同， 根据性质不同，观测误差可分为系统误差和偶然误差 两类。 两类。 （1）系统误差——在一定的观测条件下进行一系列 系统误差 在一定的观测条件下进行一系列 观测时，符号和大小保持不变或按一定规律变化的误差， 观测时，符号和大小保持不变或按一定规律变化的误差， 称为系统误差。 称为系统误差。 系统误差具有积累性，对测量结果影响很大。 系统误差具有积累性，对测量结果影响很大。
（3）容许误差（限差） ）容许误差（限差） 在一定条件下，偶然误差绝对值不应超过的限值称 称 容许误差， 为容许误差，也称为限差或极限误差 在实际应用的测量规范中，常以 倍 在实际应用的测量规范中，常以2倍或3倍中误差作为 倍 偶然误差的容许值， 偶然误差的容许值，即 ∆容=2σ≈2m ∆容=3σ≈3m 或 如果观测值中出现了大于容许误差的偶然误差， 如果观测值中出现了大于容许误差的偶然误差，则认 为该观测值不可靠，应舍去不用，并重测。 为该观测值不可靠，应舍去不用，并重测。
相对误差K是误差 的绝对值与观测值 大小的比值： 相对误差 是误差m的绝对值与观测值 大小的比值： 是误差 的绝对值与观测值D大小的比值
|m| 1 K= = D D |m|
上式中当m为中误差时， 称为相对中误差。 称为相对中误差 上式中当 为中误差时，K称为相对中误差。 为中误差时 上面例相对误差为： K1=1/10000; k2=1/3000
第五章
测量误差的基本知识
5.1 测量误差及其分类
一 、测量误差及其来源 观测误差来源于三个方面： 观测误差来源于三个方面： 观测者视觉鉴别能力和技术水平； ①观测者视觉鉴别能力和技术水平； 仪器、工具的精密程度； ②仪器、工具的精密程度； 观测时外界条件的好坏。 ③观测时外界条件的好坏。 三个方面综合起来，称为观测条件。 三个方面综合起来，称为观测条件。观测条件将影响观测 等精度观测； 成果的精度。观测条件相同的各次观测称为等精度观测 成果的精度。观测条件相同的各次观测称为等精度观测； 观测条件不相同的各次观测，称为非等精度观测 非等精度观测。 观测条件不相同的各次观测，称为非等精度观测。 • 一般认为，在测量中人们总希望测量误差越小越好，甚至 一般认为，在测量中人们总希望测量误差越小越好， 趋近于零。 趋近于零。 • 在实际生产中，据不同的测量目的，允许含有一定程度的 在实际生产中，据不同的测量目的， 误差 • • • • • •