中考总复习《等腰三角形》课件
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2024年九年级数学中考专题：二次函数等腰三角形存在性问题 两圆一线课件
C
二、两圆一线画法
尺规作图
二、两圆一线画法（尺规作图）
1、探究实验：以线段AB为边做一个等腰三角形？ 2、作图：如图，在平面直角坐标系找一点P，使得ΔABP为
等腰三角形，则满足要求的点P 有几个？
三、例题解析
二次函数等腰三角形存在性问题 -----两圆一线
三、例题解析
如图,抛物线与x轴交于A. B两点,与y轴交C点,点A的坐标 为(2,0),点C的坐标为(0,3)它的对称轴是直线x=−0.5 (1)求抛物线的解析式； (2)M是坐标轴上任意一点，当△MBC为等腰三角形时， 求M圆一线
目录
CONTENTS
一、等腰三角形 二、两圆一线画法 三、例题解析 四、方法归纳
一、等腰三角形
一、等腰三角形
等腰三角形 定义：
有两条边相等的三角形为等腰三角 形，相等的两条边叫做腰
如图：ΔABC,AB=AC, 则ΔABC为等腰三角形
A
B
做题技巧
1、做题工具： 圆规，直尺
2、做题方法： 两圆一线
3、做题思想： 数形结合，分 类讨论
谢谢
轴上找出点P，使△CDP为等腰三角形，请直接写出满足条件 的所有点P的坐标
2.如图所示，二次函数y=k（x-1）2+2的图像与一次函数y=kx-k+2 的图像交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交 于C、D两点，其中k＜0．
（1）求A、B两点的横坐标；
（2）若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；
四、方法归纳
四、方法归纳
2、分类讨论
4、写结果
1、先作图
3、计算点的坐标
五、学以致用
五、学以致用
1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点 （A在B的左侧），与y轴交于点C（0，4），顶点为（1，4.5） （1）求抛物线的函数关系式； （2）如图①，设该抛物线的对称轴与x轴交于点D，试在对称
中考数学一轮复习：第19课时等腰三角形课件
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4. (202X龙岩5月质检8题4分)三个等边三角形的摆放位置如图，若∠3＝60°，
则∠1＋∠2的度数为( B )
A. 90°
B. 120° C. 270°
D. 360°
第4题图
No
B. ∠AEF＝ 12∠ABC D. ∠AEB＝∠ACB
No
第1题图
第19课时 等腰三角形
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2. (202X莆田5月质检14题4分)如图，△ABC中，AB＝3 5 ，AC＝4 5 ，点F在
AC上，AE平分∠BAC，AE⊥BF于点E.若点D为BC中点，则DE的长为 5
____2____．
第2题图
例题图①
例题图②
No
第19课时 等腰三角形
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类型一 等腰三角形的判定及计算(202X.5)
1. (202X宁德5月质检10题4分)如图，已知等腰△ABC，AB＝BC，D是AC上一点，
线段BE与BA关于直线BD对称，射线CE交射线BD于点F，连接AE，AF.则下列关
系正确的是( B ) A. ∠AFE＋∠ABE＝180° C. ∠AEC＋∠ABC＝180°
第1题图
No
第19课时 等腰三角形
解：在△BAD和△CAD中，
AB＝AC
BD＝CD ，
AD＝AD
△BAD≌△CAD(SSS)．
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠BDA＝∠CDA＝90°，AD⊥BC，
即AD是底边BC的高．
∴BC边上的中线、高以及∠BAC的平分线互相重合
No
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第19课时 等腰三角形
No
第19课时 等腰三角形
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类型二 等边三角形性质的相关计算(202X.5)
2015年人教版中考数学总复习课件(考点聚焦+归类探究+回归教材)：第19课时 等腰三角形(共32张PPT)
失分盲点 分类讨论防漏解 (1)遇到等腰三角形的问题时，注意边有腰与底之分，角 有底角和顶角之分； (2)遇到高线的问题要考虑高在形内和形外两种情况．
考点聚焦 归探究四
等边三角形的判定与性质的综合应用
命题角度： 等边三角形的判定与性质的综合．
考点聚焦
归类探究
回归教材
第19课时┃ 等腰三角形
例4 [2014· 温州] 如图19－3，在等边三角形ABC中，点 D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE， 交BC的延长线于点F. (1)求∠F的度数； (2)若CD＝2，求DF的长．
图19－3
考点聚焦
归类探究
回归教材
第19课时┃ 等腰三角形
考点聚焦
归类探究
回归教材
第19课时┃ 等腰三角形
探究二
等腰三角形的判定
命题角度： 等腰三角形的判定．
考点聚焦
归类探究
回归教材
第19课时┃ 等腰三角形
例2 [2014· 襄阳] 如图19－2，在△ABC中，点D，E分 别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件： ①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC. (1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等 腰三角形(用序号写出所有成立的情形)? (2)请选择(1)中的一种情形，写出证明过程．
解：(1)∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°. ∵DE∥AB， ∴∠EDF＝∠B＝60°，∠DEC＝∠A＝60°. ∵EF⊥DE， ∴∠DEF＝90°， ∴∠F＝180°－∠DEF－∠EDF＝30°.
考点聚焦
归类探究
回归教材
第19课时┃ 等腰三角形
(2)∵∠DEC＝60°，∠DEF＝90°， ∴∠CEF＝30°＝∠F， ∴CE＝CF. 又∵∠EDF＝∠CED＝∠ACB＝60°， ∴△CDE为等边三角形， ∴CD＝CE， ∴DF＝DC＋CF＝DC＋CE＝2CD. ∵CD＝2， ∴DF＝4.
中考数学专题复习课件(第20讲_等腰三角形)
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考 点 知 识 精 讲 中 考 典 例 精 析
7．如图，在边长为 4 的正三角形 ABC 中，AD⊥BC 于点 D，以 AD 为一边向右作正三 角形 ADE.
举 一 反 三
(1)求△ABC 的面积 S； (2)判断 AC、DE 的位置关系，并给出证明．
考 点 训 练
答案：(1)S＝4 3 (2)AC⊥DE
考 点 训 练
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考 点 知 识 精 讲 中 考 典 例 精 析
6． 如图， △ABC 内有一点 D， 且 DA＝DB＝DC， 若∠DAB＝20° ， ∠DAC＝30° ， 则∠BDC 的大小是( A ) A．100° B．80° C．70° D．50°
举 一 反 三
考 点 训 练
)
(3)(2010· 烟台 )如图，在等腰三角形 ABC 中， AB＝ AC，∠ A＝ 20° .线段 AB 的垂直平分 线交 AB 于 D，交 AC 于 E，连结 BE，则∠ CBE 等于( ) A． 80° B． 70° C．60° D．50°
举 一 反 三
考 点 训 练
例 1(3)题
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举 一 反 三
【解答】 (1)根据“三角形任意两边之和大于第三边”知腰应为 7， 该三角形三边为 7、 7、 3.故选 B. (2)当 40° 为底角时，顶角为 100° ； 40° 也可以为顶角．故选 C. (3)∵DE 垂直平分 AB ，∴EA ＝ EB ，∴∠EBD ＝∠A ＝ 20° .∵∠ A ＝ 20° ， AB ＝ AC ， ∴∠ABC＝∠C＝80° ，∴∠CBE＝80° －20° ＝60° ，故选 C. 考 (4)等腰三角形分别是△ ABC、△ABD、△BCD、△BCE、△CDE.故选 A. 点
2015年广西中考数学总复习课件第20课时 等腰三角形(共64张PPT)
边对等角)”分三种情况解答即可．
[ 点评 ] 本题考查了等腰三角形的判定．构造等腰三角形时 本着截取相同的线段就能作出等腰三角形的思路，思考要全面周 到，做到不重不漏．
第20课时
等腰三角形
变式题1
如图4－20－6，在等边三角形ABC中，中线AD，BE
相交于点F，则图中等腰三角形共有( D )
A．3个 B．4个
C．等腰三角形的两个底角相等
D．等腰三角形的一边不可以是另一边的2倍
第20课时
等腰三角形
5．若等腰三角形的周长为26，一边长为11，则腰长为
( C )
A．11 B．7.5
C．11或7.5
D．10
6．等腰三角形的一个内角等于50°，则其他两个内角各为 65°，65°或50°，80° ________________________________ ．
第20课时
等腰三角形
9．已知：如图4－20－3，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的
中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E和F.
(1)求证：DE＝DF；
(2)若∠B＝60°，BE＝3 cm，求△ABC的周长．
图4－20－3
第20课时
等腰三角形
解：(1)证明：连接AD，∵AB＝AC，点D为BC边的中点，∴AD
第20课时
等腰三角形
7．如图4－20－1，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，AB＝5 cm
，则DC的长为_______________ ． 2.5 cm
图4－20－1
第20课时
等腰三角形
8 ．如图 4－20－2，在△ ABC中，∠B＝ 90°， AB ＝BD ，AD ＝
CD，求∠CAD的度数．
中考数学总复习 第一部分 教材同步复习 第四章 三角形 第17讲 等腰三角形与直角三角形课件
125/9/2021
2．（2016·江西 12 题 3 分）如图是一张长方形纸片 ABCD，已知 AB＝8，AD＝7， E 为 AB 上一点，AE＝5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点 P 落在长 方形 ABCD 的某一条边上，则等腰三角形 AEP 的底边长是_5___2_或__4__5_或___5__________.
1224/9/2021
如答图 2 所示， 当∠B′ED＝90°时，点 C 与点 E 重合．
∵AB′＝10，AC＝6，∴B′E＝4． 设 BD＝DB′＝x，则 DE＝CD＝8－x. 在 Rt△B′DE 中，DB′2＝DE2＋B′E2，即 x2＝（8－x）2 ＋42．解得 x＝5，∴BD＝5． 综合所述，BD 的长为 2 或 5．
第一部分 教材同步复习
第四章 三角形
第17讲 等腰三角形与直角三角形
12/9/2021
Байду номын сангаас
知识要点 · 归纳
知识点一 等腰三角形的性质与判定
概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形
（1）两底角相等，即∠B＝∠C； （2）两腰相等，即 AB＝AC； 性质 （3）是轴对称图形，有一条对称轴，即 AD； （4）“三线合一”（即顶角的①__平_分__线___、底边上的中线和底边上的高互 相重合）
• （2）若图形中含折叠，考虑用折叠的性质，然后在直角三角形中，设 未知量，列方程求解．
• （3）若所求为线段和（或可转化为线段和的形式），考虑用证全等转 化到直角三角形中求解.
1227/9/2021
12/9/2021
122/9/2021
重难点2 直角三角形的多解题 重点 例3 （2018·宜春模拟）如图，Rt△ABC 纸片中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8， 点 D 在边 BC 上，以 AD 为折痕将△ABD 折叠得到△AB′D，AB′与边 BC 交于点 E.若△DEB′为直角三角形，则 BD 的长是__2_或__5___.
2．（2016·江西 12 题 3 分）如图是一张长方形纸片 ABCD，已知 AB＝8，AD＝7， E 为 AB 上一点，AE＝5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点 P 落在长 方形 ABCD 的某一条边上，则等腰三角形 AEP 的底边长是_5___2_或__4__5_或___5__________.
1224/9/2021
如答图 2 所示， 当∠B′ED＝90°时，点 C 与点 E 重合．
∵AB′＝10，AC＝6，∴B′E＝4． 设 BD＝DB′＝x，则 DE＝CD＝8－x. 在 Rt△B′DE 中，DB′2＝DE2＋B′E2，即 x2＝（8－x）2 ＋42．解得 x＝5，∴BD＝5． 综合所述，BD 的长为 2 或 5．
第一部分 教材同步复习
第四章 三角形
第17讲 等腰三角形与直角三角形
12/9/2021
Байду номын сангаас
知识要点 · 归纳
知识点一 等腰三角形的性质与判定
概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形
（1）两底角相等，即∠B＝∠C； （2）两腰相等，即 AB＝AC； 性质 （3）是轴对称图形，有一条对称轴，即 AD； （4）“三线合一”（即顶角的①__平_分__线___、底边上的中线和底边上的高互 相重合）
• （2）若图形中含折叠，考虑用折叠的性质，然后在直角三角形中，设 未知量，列方程求解．
• （3）若所求为线段和（或可转化为线段和的形式），考虑用证全等转 化到直角三角形中求解.
1227/9/2021
12/9/2021
122/9/2021
重难点2 直角三角形的多解题 重点 例3 （2018·宜春模拟）如图，Rt△ABC 纸片中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8， 点 D 在边 BC 上，以 AD 为折痕将△ABD 折叠得到△AB′D，AB′与边 BC 交于点 E.若△DEB′为直角三角形，则 BD 的长是__2_或__5___.
广东省中考第一轮复习第17讲等腰三角形、直角三角形课件
(2)AC＝EF.
证明：∵AF∥BC，∴∠FAE＝∠AEB. ∵AB＝AE，∴∠B＝∠AEB，∴∠B＝∠FAE.
∠B＝∠FAE，
在△ABC 和△EAF 中，AB＝AE， ∠BAC＝∠AEF，
∴△ABC≌△EAF，∴AC＝EF.
4．(2019·甘肃天水)如图，等边三角形OAB的边长 为2，则点B的坐标为( B )
A．(1，1) C．( 3，1)
B．(1， 3) D．( 3， 3)
5．如图，在等腰三角形ABC中，AD是BC边上的 高，E是AD上的一点．
(1)求证：△ BEC是等腰三角形．
证明：∵△ABC 是等腰三角形，AD 是 BC 边上的高， ∴AD 为 BC 边上的垂直平分线． ∵点 E 在 AD 上，∴BE＝CE， ∴△BEC 为等腰三角形．
第17讲 等腰三角形、直角三角形
名师导航 知识梳理 考点精练 中考实战
年份 真题类型
考点分布
考查分值
2015 2016
等腰三角形与直角三角形的
解答题 性质
3＋3＝6(分)
等腰三角形的定义及分类讨
2017
解答题 论
3分
2018 2019
解答题 解答题
等腰三角形的判定 等腰三角形与直角三角形的 判定
3分 3＋3＝6(分)
B组 能力提升 6．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出 来的，借助如图的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等 分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在点O相连并 可绕点O转动、点C固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中 滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是( D )
A．60° B．65° C．75° D．80°
2020预测 等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质与判定
等腰三角形ppt课件
何图形的基本性质把复杂作图拆
解成基本作图，逐步操作.
感悟新知
知3－练
例6 如图13.3-11， 在△ ABC 中，D 为AC 的中点，DE ⊥
AB，DF ⊥ BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求
证：△ ABC 是等腰三角形．
解题秘方：利用“等角对等边”
判定等腰三角形，只需证明三
角形两个内角相等即可.
角的度数，再利用三角形的内角和等于18 0 °
列出方程，求出未知数的值即可.
知2－练
感悟新知
解：设∠ A=x°.
知2－练
∵ AD=DE，∴∠ AED= ∠ A=x°.
∵ DE=EB，∴∠ EBD= ∠ BDE= x°.
∴∠ BDC= ∠ A＋ ∠ EBD= x°.
∵ BC=BD，∴∠ C= ∠ BDC= x°.
∵ AB=AC，∴∠ ABC= ∠ C= x°.
∴ x＋ x＋ x =18 0，解得x =4 5 .∴∠
A=45°.
感悟新知
知2－练
5 -1. [新考向知识情境化中考·衢州]“三等分角”大约是在
公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的
“三等分角仪”能三等分任一角．
感悟新知
知2－练
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
感悟新知
知1－练
1-2.[期末·广州南沙区]若等腰三角形的周长是28 cm，一条
边长为6 cm，则它的腰长为______
11 cm.
感悟新知
知识点 2 等腰三角形的性质
知2－讲
必定是锐角
1. 性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成
解成基本作图，逐步操作.
感悟新知
知3－练
例6 如图13.3-11， 在△ ABC 中，D 为AC 的中点，DE ⊥
AB，DF ⊥ BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求
证：△ ABC 是等腰三角形．
解题秘方：利用“等角对等边”
判定等腰三角形，只需证明三
角形两个内角相等即可.
角的度数，再利用三角形的内角和等于18 0 °
列出方程，求出未知数的值即可.
知2－练
感悟新知
解：设∠ A=x°.
知2－练
∵ AD=DE，∴∠ AED= ∠ A=x°.
∵ DE=EB，∴∠ EBD= ∠ BDE= x°.
∴∠ BDC= ∠ A＋ ∠ EBD= x°.
∵ BC=BD，∴∠ C= ∠ BDC= x°.
∵ AB=AC，∴∠ ABC= ∠ C= x°.
∴ x＋ x＋ x =18 0，解得x =4 5 .∴∠
A=45°.
感悟新知
知2－练
5 -1. [新考向知识情境化中考·衢州]“三等分角”大约是在
公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的
“三等分角仪”能三等分任一角．
感悟新知
知2－练
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
感悟新知
知1－练
1-2.[期末·广州南沙区]若等腰三角形的周长是28 cm，一条
边长为6 cm，则它的腰长为______
11 cm.
感悟新知
知识点 2 等腰三角形的性质
知2－讲
必定是锐角
1. 性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成
2024年中考数学复习课件 第17讲 等腰三角形与直角三角形
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8.(2019·三州联考20题3分)三角板是我们学习数学的好帮手.将一对
直角三角板如图放置,点C在FD的延长线上,点B在ED上,AB∥CF,
∠F=∠ACB=90°,∠E=45°,∠A=60°,AC=10,则CD的长度
是 15-5 .
6
7
8
9
10
11
第17讲 等腰三角形与直角三角形— 真题试做
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方法指导
1.在解决与直角三角形相关问题时,要联想到与其相关的知
识:(1)两锐角互余;(2)勾股定理;(3)斜边上的中线等于斜
边的一半;(4)30°角所对直角边等于斜边的一半.
2.常过直角三角形直角顶点作斜边垂线,构造相似三角形求
线段长度.
例2
3
4
第17讲 等腰三角形与直角三角形— 重难突破
命题点 2 直角三角形的性质及计算
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第17讲 等腰三角形与直角三角形— 真题试做
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命题点 1 等腰三角形的性质及计算 (贵阳6年1考,遵义6年2考,毕节
6年1考)
1.(2020·毕节9题3分)等腰三角形的两条边长分别为3和7,则这个等腰
三角形的周长是 ( C
A.10
湘教:八上P61~P67,八下P2~P18
考点梳理
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第17讲
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等腰三角形与直角三角形— 思维导图
定义
定义
性质
性质
直角三角形
等腰三角形
判定
判定
等腰三角
形与直角
三角形
定义
性质
判定
等边三角形
2024年广东省深圳市九年级中考数学一轮教材梳理复习课件+第20讲+等腰三角形
∘ − ，
∠ = ∠ − ∠ = − ∘ ,
∴ ∠ = ∘ − ∠ − ∠ = ∘ − ∘ − − − ∘ = ∘ .
①当∠ = ∠时，∘ − = − ∘ ,∴ = ∘ .
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【方法总结】1.当等腰三角形的腰和底、顶角、底角不明确时,需分类讨论.
2.等腰三角形的性质“等边对等角”,是三角形中边与角关系转化的纽带.当利
用方程思想求角度时,等腰三角形的性质在用含未知数的代数式表示角时起到
关键作用.
3.等腰三角形常常与线段垂直平分线的性质定理结合运用,在证明线段或角相
在 △ 中，∵ ∠ = ∘ , = ,∠ = ∘ ,
∴ = = ,∴ = − = .
中考总复习·数学
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1.(2021·广州)如图，在△ ABC中,AC = BC，∠B = 38∘ ,D
是AB边上一点，点B关于直线CD的对称点为B′，当
切性质,包括具有“三线合一”的性质,等边三角形也是轴对称图形,并且有3条
对称轴.
2.等边三角形有一个特殊的角60∘ ,所以当等边三角形出现高时,往往会结合直
角三角形30∘ 角的性质.
3.等边三角形判断方法的选择
（1）若已知三边关系,则考虑运用等边三角形的定义进行判定;
（2）若已知三角关系,则根据“三个角都相等的三角形是等边三角形”进行
∠ = ∠,
在△ 和△ 中， ∠ = ∠,
= ,
∴△ ≌△ ,∴ = , = ,
∴ ∠ = ∠,∴ ∠ = ∠,∴ = ,即△ 是等
腰三角形.
中考总复习·数学
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∠AQC = 3∠B,求∠B的度数.
第四单元 第十九讲 等腰三角形与直角三角形++++课件+2025年九年级中考数学总复习人教版(山东)
过点F作DE∥BC,交AB于D,交AC于E,那么下列结论正确的是 ( C )
①△BDF,△CEF都是等腰三角形;②DE=BD+CE;
③△ADE的周长为AB+AC;④BD=CE.
A.③④
B.①②
C.①②③
D.②③④
(2)已知△ABC中,AB=AC=4,∠A=60°,则△ABC的周长为________.
股定理求解.
(4)折叠问题中求解线段长度问题,常常将某些条件汇集到一个直角三角形中,再
根据勾股定理列方程求解.
山东3年真题
38
1.(2023·菏泽中考)△ABC的三边长a,b,c满足(a-b)2+ 2 − − 3+|c-3 2|=0,
(4)在直角三角形中,若有斜边中点,可考虑直角三角形斜边上的中线等于斜边的
一半.
37
2.勾股定理常见应用与技巧:
(1)已知直角三角形的任意两个边长,可直接利用勾股定理求得第三条边长.
(2)已知三角形的三边长,可运用勾股定理的逆定理确定此三角形是否为直角三角
形.
(3)立体图形表面的最短路径问题,可将立体图形展开,构造直角三角形后利用勾
交AC于点D,如果DE垂直平分BC,那么∠A的度数为
A.31° B.62° C.87° D.93°
(C)
8
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
知识要点
3.直角三角形的性质与判定
互余
直角三角形的两个锐角__________
性
斜边
30°角所对的直角边等于______的一半
质
斜边
直角三角形斜边上的中线等于__________的一半
平方和
勾股定理:直角三角形中两直角边的____________等于斜边的平方
中考数学冲刺复习——等腰三角形的性质与判定(共35张PPT)
等腰三角形的性质与判定
01 等腰三角形的性质
等腰三角形的性质： 1．等腰三角形的两个底角相等，简称等边对等角. 2．等腰三角形顶角的角分线、底边上的中线、底边上
的高互相重合，简称“三线合一”.
1.等腰三角形顶角为150°，则底角度数为____.
2019/5/21
4
2. 等腰三角形一个角为70°，则其余两个角的度数为
2019/5/21
16
3.若一个三角形的三个角度数之比是1∶4∶1，则这个三角形按边分类应为________三角 形.
2019/5/21
17
4.如图，在 中，∠BAD=80°，∠B=50°，∠C=25°，若CD=2，则AB=______.
2019/5/21
18
5．如图， 中，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，MN经过点O，且MN∥BC，若AB=12， AC=18，则 的周长为______.
2019/5/21
9
7．如图，在等腰三角形△ABC中，顶角∠A=50°，边AC的垂直平分线交AB边于E，则∠BCE的度数为_________.
2019/5/21
10
8．如图，已知AC⊥BD于E，AB=BC.求证：∠1=∠2.
2019/5/21
11
9. 如图， 中，AB=AC，点D、E、F分别在三边上，G是EF的中点，且BD=CF，BE=CD. 求证：DG⊥EF.
2019/5/21
33
2.如图，矩形OABC的边OA、OC都在坐标轴上，顶点B的坐标为(4,3)，动点P从O点出发在线段OA上以每秒2个单位 长度的速度向终点A运动，点D在对角线AC上，且AD=2，设运动时间为t秒． (1)请写出△APD的面积S关于t 的函数关系式________，此时t的取值范围是________． (2)若在动点P从O点出发的同时，有一动点Q从A点出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，动点P停 止时，点Q也随之停止，请问在运动过程中，当t为何值时，CP⊥PQ？ (3)在点P的运动过程中，是否存在以A、D、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出此时t的值和对应的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
01 等腰三角形的性质
等腰三角形的性质： 1．等腰三角形的两个底角相等，简称等边对等角. 2．等腰三角形顶角的角分线、底边上的中线、底边上
的高互相重合，简称“三线合一”.
1.等腰三角形顶角为150°，则底角度数为____.
2019/5/21
4
2. 等腰三角形一个角为70°，则其余两个角的度数为
2019/5/21
16
3.若一个三角形的三个角度数之比是1∶4∶1，则这个三角形按边分类应为________三角 形.
2019/5/21
17
4.如图，在 中，∠BAD=80°，∠B=50°，∠C=25°，若CD=2，则AB=______.
2019/5/21
18
5．如图， 中，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，MN经过点O，且MN∥BC，若AB=12， AC=18，则 的周长为______.
2019/5/21
9
7．如图，在等腰三角形△ABC中，顶角∠A=50°，边AC的垂直平分线交AB边于E，则∠BCE的度数为_________.
2019/5/21
10
8．如图，已知AC⊥BD于E，AB=BC.求证：∠1=∠2.
2019/5/21
11
9. 如图， 中，AB=AC，点D、E、F分别在三边上，G是EF的中点，且BD=CF，BE=CD. 求证：DG⊥EF.
2019/5/21
33
2.如图，矩形OABC的边OA、OC都在坐标轴上，顶点B的坐标为(4,3)，动点P从O点出发在线段OA上以每秒2个单位 长度的速度向终点A运动，点D在对角线AC上，且AD=2，设运动时间为t秒． (1)请写出△APD的面积S关于t 的函数关系式________，此时t的取值范围是________． (2)若在动点P从O点出发的同时，有一动点Q从A点出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，动点P停 止时，点Q也随之停止，请问在运动过程中，当t为何值时，CP⊥PQ？ (3)在点P的运动过程中，是否存在以A、D、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出此时t的值和对应的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
中考数学复习 第四单元 三角形 第19课时 等腰三角形数学课件1
(2)请选择(1)中的一种情形,写出证明过程.
(2)选①②证明如下:
在△BOE和△COD中,
∵∠EBO=∠DCO,∠EOB=∠DOC,BE=CD,
∴△BOE≌△COD,∴BO=CO,∴∠OBC=∠OCB,
∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB,
即∠ABC=∠ACB,∴AB=AC,
即△ABC是等腰三角形.
2
角形 ABC 的底角的度数为
.
[答案] 15°或45°或75°
[解析]分情况讨论:
(1)当∠ABC为顶角时,△ABC为等腰直角三角形,如图①,此时∠C=45°;
1
(2)当∠ABC 为底角,∠BAC 为锐角时,如图②,BD= AC,∴∠BAC=30°,则∠ABC=75°;
2
1
(3)当∠ABC 为底角,∠BAC 为钝角时,如图③,BD= AC,∴∠BAD=30°,∠BAC=150°,
又∵∠ADB=∠C+∠DAC,
∴2∠C=∠ADB,
70°
∴∠C=
2
=35°.
图19-2
| 考向精练 |
1.[2018·湖州]如图19-3,AD,CE分别是
[答案]B
△ABC的中线和角平分线.若AB=AC,
[解析] ∵AB=AC,AD是△ABC的中线,
∠CAD=20°,则∠ACE的度数是 (
∴AD⊥BC.∵∠CAD=20°,
-∠ECD=180°-50°-50°=80°,故选D.
3.[2019·黔三州]如图19-5,以△ABC的顶
[答案] 34°
点B为圆心,BA长为半径画弧,交BC边于
[解析]根据题意可得
点D,连接AD.若∠B=40°,∠C=36°,则
(2)选①②证明如下:
在△BOE和△COD中,
∵∠EBO=∠DCO,∠EOB=∠DOC,BE=CD,
∴△BOE≌△COD,∴BO=CO,∴∠OBC=∠OCB,
∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB,
即∠ABC=∠ACB,∴AB=AC,
即△ABC是等腰三角形.
2
角形 ABC 的底角的度数为
.
[答案] 15°或45°或75°
[解析]分情况讨论:
(1)当∠ABC为顶角时,△ABC为等腰直角三角形,如图①,此时∠C=45°;
1
(2)当∠ABC 为底角,∠BAC 为锐角时,如图②,BD= AC,∴∠BAC=30°,则∠ABC=75°;
2
1
(3)当∠ABC 为底角,∠BAC 为钝角时,如图③,BD= AC,∴∠BAD=30°,∠BAC=150°,
又∵∠ADB=∠C+∠DAC,
∴2∠C=∠ADB,
70°
∴∠C=
2
=35°.
图19-2
| 考向精练 |
1.[2018·湖州]如图19-3,AD,CE分别是
[答案]B
△ABC的中线和角平分线.若AB=AC,
[解析] ∵AB=AC,AD是△ABC的中线,
∠CAD=20°,则∠ACE的度数是 (
∴AD⊥BC.∵∠CAD=20°,
-∠ECD=180°-50°-50°=80°,故选D.
3.[2019·黔三州]如图19-5,以△ABC的顶
[答案] 34°
点B为圆心,BA长为半径画弧,交BC边于
[解析]根据题意可得
点D,连接AD.若∠B=40°,∠C=36°,则
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个 D．0个
4、如图，在△ABC中，AB＝AC，BF＝CD，BD＝CE， ∠FDE＝α，则下列结论正确的是( ) A．2α＋∠A＝180° B．α＋∠A＝90° C．2α＋∠A＝90° D．α＋∠A＝180°
整合提升 冲刺中考
5、在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点Q是 线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交直线AB 于点P. 当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．
考点梳理 聚焦中考
考点1 等腰三角形的概念与性质
常见 结论
(1)等腰三角形两腰上的高相等 (2)等腰三角形两腰上的中线相等 (3)等腰三角形两腰上的角平分线相等 (4)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于 顶角的一半
(5)等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行
(6)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离 之和等于一腰上的高
归类探究 点击中考
考点3 等边三角形
2、[2015·铜仁] 如图，点D在等边三角形ABC的边AB 上，点F在边AC上，连接DF并延长交BC的延长线于点E， EF＝FD.
求证：AD＝CE.
考点梳理 聚焦中考
考点4 线段的垂直平分线
经过线段的中点与这条 定义 线段垂直的直线叫做这
条线段的垂直平分线 线段垂直平分线上的 性质 点与这条线段两个端 点的距离相等
整合提升 冲刺中考
1、若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个
等腰三角形的底角为
.
2、在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在坐
标轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的
点P共有
个．
整合提升 冲刺中考
3、如图,△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分 别与CD、CE交于点M、N，有如下结论，其中结论正确 的有( ) ①△ACE≌△DCB； ②CM＝CN；
考点梳理 聚焦中考
考点3 等边三角形
定义 性质
三边相等的三角形是等边三角形
（1）等边三角形的各角都相等，并且 每一个角都等于60°
（2）等边三角形是轴对称图形，有3条 对称轴
判定
(1)三个角都相等的三角形是等边三角形
(2)有一个角等于60°的等腰三角形是 等边三角形
回回归归教教材材 剖析中考
考点3 等边三角形
命题角度： 1．根据定义证明三角形是等腰三角形； 2．应用“等角对等边”判定三角形是等腰三角形； 3．等腰三角形的判定与性质综合运用，证明线段相等或 角相等．
归类探究 点击中考
考点2 等腰三角形的判定
2、 [2014·襄阳] 如图20－6，在△ABC中，点D、 E分别在边AC、AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条 件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC. (1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等 腰三角形？(用序号写出所有成立的情形) (2)请选择(1)中的一种情形，写出证明过程．
命题角度： 1．利用等腰三角形的性质求角的度数或证明角相等； 2．利用等腰三角形的性质求线段的长度或证明线段相等； 3．利用等腰三角形两腰上的高(中线)，两底角的平分线的性 质，得到相等的角度或相等的线段．
归类探究 点击中考
考点1 等腰三角形的概念与性质 1、 [2014·无锡] 如图，在△ABC中，AB＝AC，
（1）一边上的高与这边上的中线重合的三角形 是等腰三角形
常见 （2）一边上的高与这边所对的角的平分线重合 结论 的三角形是等腰三角形
（3）一边上的中线与这边所对的角的平分线重 合的三角形是等腰三角形
回回归归教教材材 剖析中考
考点2 等腰三角形的判定
1．[八上P67习题第7题] 如图20－2，∠C＝36°，∠B＝72°， ∠BAD＝36°. (1)求∠1和∠2的度数； (2)找出图中的等腰三角形，并加以证明．
(7)等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰 距离之差等于一腰上的高
回归教材 剖析中考
考点1 等腰三角形的概念与性质
1、[八上P66习题第1(3)题] 已知一个等腰三角形的周长 为12，一边长为5，则它的另外两边长分别________．
2、[八上P62练习第2(4)题] 在△ABC中，AB＝AC，如果有一 个角是50°，那么另两个角的度数分别是________．
到一条线段两个端点距 判定 离相等的点，在这条线
段的垂直平分线上
回回归归教教材材 剖析中考
考点4 线段的垂直平分线
1、[八上P57习题第3题] 已知：如图20－1，AB＝ AE，BC＝ED，AF垂直平分CD. 求证：∠B＝∠E.
归类探究 点击中考
考点4 线段的垂直平分线
2、[2015·毕节] 如图，等腰△ABC的底角为72°， 腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点E，垂足为D， 连接BE，则∠EBC的度数为________．
整合提升 冲刺中考
6、如图，在平面直角坐标系中，已知点A(5，0)，B(4，4)． (1)求过O，A，B三点的抛物线的解析式； (2)作直线x＝m交抛物线于点P，交线段OB于点Q，当 △PQB为等腰三角形时，求m的值．
沭阳如东实验学校初三数学组
考点梳理 聚焦中考
考点1 等腰三角形的概念与性质
定义 性质
有两边相等的三角形是等腰三角形．相等的 两边叫腰，第三边为底
轴对 称性
等腰三角形是轴对称图形， 有一条对称轴
定理1
等腰三角形的两个底角相等 (简称为：等边对等角)
定理2
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线 和底边上的高互相重合，简称“三线合一”
1、[八上P67习题第8题] 已知：如图20－3，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E在BC上，AD⊥AB， AE⊥AC. 求证：△AED是等边三角形．
命题角度： 1．应用等边三角形的三个内角都为60°求角度； 2．应用等边三角形的三边相等求边长； 3．应用等边三角形的判定方法证明一个三角形是等边三角形； 4．等边三角形的性质与判定的综合应用．
M是BC的中点，D、E分别是AB、AC边上的点，且BD＝CE. 求证：MD＝ME.
2、 [2015·南通] 如图，△ABC中，D是 BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝102°，则 ∠ADC＝________°.
考点梳理 聚焦中考
考点2 等腰三角形的判定
定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个 角所对的边也相等(简写成：等角对等边)
4、如图，在△ABC中，AB＝AC，BF＝CD，BD＝CE， ∠FDE＝α，则下列结论正确的是( ) A．2α＋∠A＝180° B．α＋∠A＝90° C．2α＋∠A＝90° D．α＋∠A＝180°
整合提升 冲刺中考
5、在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点Q是 线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交直线AB 于点P. 当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．
考点梳理 聚焦中考
考点1 等腰三角形的概念与性质
常见 结论
(1)等腰三角形两腰上的高相等 (2)等腰三角形两腰上的中线相等 (3)等腰三角形两腰上的角平分线相等 (4)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于 顶角的一半
(5)等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行
(6)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离 之和等于一腰上的高
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考点3 等边三角形
2、[2015·铜仁] 如图，点D在等边三角形ABC的边AB 上，点F在边AC上，连接DF并延长交BC的延长线于点E， EF＝FD.
求证：AD＝CE.
考点梳理 聚焦中考
考点4 线段的垂直平分线
经过线段的中点与这条 定义 线段垂直的直线叫做这
条线段的垂直平分线 线段垂直平分线上的 性质 点与这条线段两个端 点的距离相等
整合提升 冲刺中考
1、若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个
等腰三角形的底角为
.
2、在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在坐
标轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的
点P共有
个．
整合提升 冲刺中考
3、如图,△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分 别与CD、CE交于点M、N，有如下结论，其中结论正确 的有( ) ①△ACE≌△DCB； ②CM＝CN；
考点梳理 聚焦中考
考点3 等边三角形
定义 性质
三边相等的三角形是等边三角形
（1）等边三角形的各角都相等，并且 每一个角都等于60°
（2）等边三角形是轴对称图形，有3条 对称轴
判定
(1)三个角都相等的三角形是等边三角形
(2)有一个角等于60°的等腰三角形是 等边三角形
回回归归教教材材 剖析中考
考点3 等边三角形
命题角度： 1．根据定义证明三角形是等腰三角形； 2．应用“等角对等边”判定三角形是等腰三角形； 3．等腰三角形的判定与性质综合运用，证明线段相等或 角相等．
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考点2 等腰三角形的判定
2、 [2014·襄阳] 如图20－6，在△ABC中，点D、 E分别在边AC、AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条 件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC. (1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等 腰三角形？(用序号写出所有成立的情形) (2)请选择(1)中的一种情形，写出证明过程．
命题角度： 1．利用等腰三角形的性质求角的度数或证明角相等； 2．利用等腰三角形的性质求线段的长度或证明线段相等； 3．利用等腰三角形两腰上的高(中线)，两底角的平分线的性 质，得到相等的角度或相等的线段．
归类探究 点击中考
考点1 等腰三角形的概念与性质 1、 [2014·无锡] 如图，在△ABC中，AB＝AC，
（1）一边上的高与这边上的中线重合的三角形 是等腰三角形
常见 （2）一边上的高与这边所对的角的平分线重合 结论 的三角形是等腰三角形
（3）一边上的中线与这边所对的角的平分线重 合的三角形是等腰三角形
回回归归教教材材 剖析中考
考点2 等腰三角形的判定
1．[八上P67习题第7题] 如图20－2，∠C＝36°，∠B＝72°， ∠BAD＝36°. (1)求∠1和∠2的度数； (2)找出图中的等腰三角形，并加以证明．
(7)等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰 距离之差等于一腰上的高
回归教材 剖析中考
考点1 等腰三角形的概念与性质
1、[八上P66习题第1(3)题] 已知一个等腰三角形的周长 为12，一边长为5，则它的另外两边长分别________．
2、[八上P62练习第2(4)题] 在△ABC中，AB＝AC，如果有一 个角是50°，那么另两个角的度数分别是________．
到一条线段两个端点距 判定 离相等的点，在这条线
段的垂直平分线上
回回归归教教材材 剖析中考
考点4 线段的垂直平分线
1、[八上P57习题第3题] 已知：如图20－1，AB＝ AE，BC＝ED，AF垂直平分CD. 求证：∠B＝∠E.
归类探究 点击中考
考点4 线段的垂直平分线
2、[2015·毕节] 如图，等腰△ABC的底角为72°， 腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点E，垂足为D， 连接BE，则∠EBC的度数为________．
整合提升 冲刺中考
6、如图，在平面直角坐标系中，已知点A(5，0)，B(4，4)． (1)求过O，A，B三点的抛物线的解析式； (2)作直线x＝m交抛物线于点P，交线段OB于点Q，当 △PQB为等腰三角形时，求m的值．
沭阳如东实验学校初三数学组
考点梳理 聚焦中考
考点1 等腰三角形的概念与性质
定义 性质
有两边相等的三角形是等腰三角形．相等的 两边叫腰，第三边为底
轴对 称性
等腰三角形是轴对称图形， 有一条对称轴
定理1
等腰三角形的两个底角相等 (简称为：等边对等角)
定理2
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线 和底边上的高互相重合，简称“三线合一”
1、[八上P67习题第8题] 已知：如图20－3，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E在BC上，AD⊥AB， AE⊥AC. 求证：△AED是等边三角形．
命题角度： 1．应用等边三角形的三个内角都为60°求角度； 2．应用等边三角形的三边相等求边长； 3．应用等边三角形的判定方法证明一个三角形是等边三角形； 4．等边三角形的性质与判定的综合应用．
M是BC的中点，D、E分别是AB、AC边上的点，且BD＝CE. 求证：MD＝ME.
2、 [2015·南通] 如图，△ABC中，D是 BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝102°，则 ∠ADC＝________°.
考点梳理 聚焦中考
考点2 等腰三角形的判定
定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个 角所对的边也相等(简写成：等角对等边)