2.4用向量法讨论平行和垂直-北师大版高中数学选修2-1课件

线线垂直 l1 l2 e1 e2 e1 e2 0 ； 线面垂直 l1 1 e1 // n1 e1 n1 ；
面面垂直1 2 n1 n2 n1 n2 0.
若 e ( a 1 ,b 1 ,c 1 ) ,n ( a 2 ,b 2 ,c 2 ) , 则
l e / / n e n a 1 a 2 , b 1 b 2 , c 1 c 2 .
线线平行 l1 // l2 e1 // e2 e1 e2 ；
线面平行l1 // 1 e1 n1 e1 n1 0 ；
面面平行1 // 2 n1 // n2 n1 n2 .
注设 意直 ：线 这l里的 的方 线向 线向 平量 行为 包e 括 线(a 线1 ,重b 1 合,c 1 ，),线平 面面 平行的
(1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG
依题意得A(1,0,0), P(0,0,1),
11 E(0, , )
22
G( 1 ,1 ， 0 ) 22
PA(1,0,1),EG(1,0,1)
Z
P
22
E
所P 以 A2E， GP 即 /A/EG
而EG平面EDB,
且PA平面EDB
D
C Y
所以 P， A //平E 面DA B
CD中点，求证：D1F 平面ADE
DA(1,0,0)， DE(1,1,,1) 2
设平面ADE的一个法向量
z
D1
A1
C1 B1
为n=(x，y，z)
E
D
C
则 由 n D A 0 ， n D E 0 得 Ax F B y
x00 0
则 x = 0 ， 不 妨 取 y 1 ， 得 z 2
x
线线平行 l1 // l2 e1 // e2 e1 e2 ；
线面平行l1 // 1 e1 n1 e1 n1 0 ；
面面平行1 // 2 n1 // n2 n1 n2 .
注设 意直 ：线 这l里的 的方 线向 线向 平量 行为 包e 括 线(a 线1 ,重b 1 合,c 1 ，),线平 面面 平行的
得u (1 , 1 ,1) 22
平面C1BD的一个法向量是
vC A 1( 1 , 1 ,1)
u v 0,
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平面EBD 平面C1BD.
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练习.在正方体AB C A 1B D 1C 1D 1 中，E、F分别是BB1,，
y
1 2
z
0
所 以 n =(0 ， 1 ， -2)
又因为D1F(0,12,1) 所以D1F//n
所以 D 1F平 面 ADE
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设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
例5 正方体 AB C A 1B D 1C 1D 1 求证：平面EBD 平面C1BD.
,E是AA1中点，
证明： 设正方体棱长为2, 建立如图所示坐标系
E(0,0,1) B(2,0,0) D(0,2,0)
EB(2,0,1)
ED(0,2,1)
E
设平面EBD的一个法向量是
u(x,y,1)
由 u E B u E D 0
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
（一）. 平行关系：
(1) l / /m a / /b a b ；
a
l
b
m
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
(2) l / / ① a u a u 0 ；
u
a
α
②a∥ AC ③ a x A B y A D
包法 括向 线量 在为 面n 内 ，(面a 2 面,b 2 平,c 行2 )包,则 括面面重合.
l / / e n 0 a 1 a 2 b 1 b 2 c 1 c 2 0 ;
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A1
则 Ｄ １ Ｆ D A 0 ， Ｄ １ Ｆ D E 0
C1 B1
E
则 Ｄ １ Ｆ D A ， Ｄ １ Ｆ D E ． D F
C y
所以 D 1F平 面 ADE
A x
B
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平行或重合
巩固性训练2
1.设 u , v 分别是平面α,β的法向量,根据
下列条件,判断α,β的位置关系.
(1)u (2,2,5),v (6,4,4) (2)u (1,2,2),v (2,4,4)
垂直 平行或重合
(3)u (2,3,5),v (3,1,4) 相交
巩固性训练3
1、设平面 的法向量为(1,2,-2),平面 的法向量为
当 a2,b 2,c20 时 ,e//n a a 1 2b b 1 2c c1 2
巩固性训练1
1.设 a , b 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下
列条件,判断l1,l2的位置关系.
(1)a (2,1,2),b(6,3,6) 平行或重合
(2)a (1,2,2),b(2,3,2)
垂直
(3)a (0,0,1),b(0,0,3)
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
（二）、垂直关系：
(1) lma b ab0
l
a
b
m
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设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
G
B
X
解3：如图所示建立空间直角坐标系，
点D为坐标原点，设DC=1
(1)证明：依 题 意 得 A (1 ,0 ,0 ),P (0 ,0 ,1 ),E (0 ,1,1), B(1,1，0)
22
PA(1,0,1), DE (0, 1 , 1)
Z DB=(1,1， 0)
22
设平面EDB的法向量为 n(x,y,1) P
2、垂直关系：
设直线 l1 , l2 的方向向量分别为 e1 , e2 ，平面 1 ,2 的法向量分别为 n1, n2 ，则
线线垂直 l1 l2 e1 e2 e1 e2 0 ； 线面垂直 l1 1 e1 // n1 e1 n1 ；
面面垂直1 2 n1 n2 n1 n2 0.
PA(1,0,1), DE (0, 1 , 1)
22
Z DB=(1,1， 0)
设 P A xD E yD B
P
解得 x＝－２,ｙ＝１
E
即 P A 2 D E D B
于 是 P A 、 D E 、 D B 共 面
而 PA平 面 ED B
D
所以 P， A //平E 面DB A
X
C Y
B
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A E = 3 F G AE // FG
2
D
AE与FG不共线
A
AE//FG
X
几何法呢？
EG
C
F
Y
B
例3 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正
方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC, E是PC的
Z
中点， (1)求证：PA//平面EDB.
解1 立体几何法
P
E
D
C Y
A
G
B
X
解法2
如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1
n•b0
(4)解方程组，取其个 中解 的， 一即得法向
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
（一）. 平行关系：
(1) l / /m a / /b a b ；
a
l
b
m
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
则 n D E , n D B
于是12y120n1, 1, 1
E
xy0
P A n 0 P A n 而 PA平 面 ED B A 所以 P， A //平E 面DB
X
D
C Y
B
解4：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1
(1)证明：依 题 意 得 A (1 ,0 ,0 ),P (0 ,0 ,1 ),E (0 ,1,1),B(1,1，0) 22
2.4.用向量法求平行和垂直
平面的法向量：如果表示向量 n 的有向线段所在
直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平
面 ,记作 n ⊥ ，如果 n ⊥ ，那 么 向 量n
叫做平面 的法向量.
l
给定一点A和一个向量 n ,那么 过点A,以向量 n 为法向量的平面是
完全确定的.
n
几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
若 e ( a 1 ,b 1 ,c 1 ) ,n ( a 2 ,b 2 ,c 2 ) , 则
A
2.一个平面的所有法向量都
互相平行;
3.向量n 是平面的法向量，向
量m 是与平面平行或在平面
内，则有 n m 0
问 题 ： 如 何 求 平 面 的 法 向 量 ？
(1)设出平面的法向量n为 (x, y, z)
(2)找出（求出）平 两面 个内 不的 共线的 向量的坐 a标 (a1,b1,c1),b(a2,b2,c2) (3)根据法向量的定关义于 x建 , y,立 z的 方程组 n•a0
(-2,-4,k),若 // ，则k= 4
；若
则 k= -5
。
2、已知 l // ，且 l 的方向向量为(2,m,1)，平面
的法向量为(1,1/2,2),则m= -8
.
3、若 l 的方向向量为(2,1,m),平面 的法向量为
(1,1/2,2),且 l ，则m= 4
.
例2 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形,
(2) la//u au
l
u
a
C
A
B
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1、平行关系：
设直线 l1 , l2 的方向向量分别为 e1 , e2 ，平面 1 ,2 的法向量分别为 n1, n2 ，则
例4 正方体 AB C A 1B D 1C 1D 1中，E、F分别
是BB1,，CD中点，求证：D1F 平面ADE.
证明：设正方体棱长为1，以 D A ， D C ,D D 1为单位
正交 基底，建立如图所示坐标系D-xyz，
DA(1,0,0)， DE(1,1,,1)
1
2
z
D1
D1F (0, 2,1)
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
(2) la//u au
l
u
a
C
A
B
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则 （3）u v uv0
β
uv
α
1、平行关系：
设直线 l1 , l2 的方向向量分别为 e1 , e2 ，平面 1 ,2 的法向量分别为 n1, n2 ，则
PD⊥底面ABCD，PD=DC=6, E是PB的中点，
DF:FB=CG:GP=1:2 . 求证：AE//FG.
证 ：如图所示, 建立空间直
角坐标系.
Z
P A(6,0,0), E(3,3,3),
F(2,2,0), G(0,4,2),
A E = ( - 3 , 3 , 3 ) , F G = ( - 2 , 2 , 2 )
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
(3) / / ① u / /v u v.
u
α
v
β
u
设直线 l,m 的方向向量分wk.baidu.com为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
（二）、垂直关系：
(1) lma b ab0
l
a
b
m
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
(2) l / / ① a u a u 0 ；
u
a
α
②a∥ AC ③ a x A B y A D
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
(3) / / ① u / /v u v.
u
α
v
β
u
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
包法 括向 线量 在为 面n 内 ，(面a 2 面,b 2 平,c 行2 )包,则 括面面重合.
l / / e n 0 a 1 a 2 b 1 b 2 c 1 c 2 0 ;
2、垂直关系：
设直线 l1 , l2 的方向向量分别为 e1 , e2 ，平面 1 ,2 的法向量分别为 n1, n2 ，则