数值分析_迭代法
《数值分析》第4章 解线性方程组的迭代法
都成立，则称矩阵范数 || ||s和向量范数 || ||相t 容.
注意：为了保证矩阵范数和向量范数相容，最常用的矩阵范数
是由相应向量范数导出的.
4.1.3 矩阵范数和矩阵序列的极限
定理4 设 || |是| R中n 的向量范数，对于任何 A Rn，n若
4.1.2 向量范数和向量序列的极限
定义2 (向量范数) 如果在 Rn中定义了实值函数，记为 || ，||
对所有 x, y Rn以及 R，若满足 （1） || x || 0，当且仅当 x 0时， || x || (0非负性) ；
（2） || x ||| | || x |(|齐次性)；
（3） || x y |||| x || || y(|三| 角不等式). 则称 || x ||为向量 x的范数 (或模).
于是有
c1 || x(k) x* || || x(k) x* || c2 || x(k) x* ||
lim ||
k
x(k)
x* || 0
lim ||
k
x(k)
x*
||
0
4.1.2 向量范数和向量序列的极限
例1 计算向量 x (5,1,3)的T 常用范数.
解
|| x || 5
|| x ||1 9
（3）|| A B |||| A || || B；||(三角不等式) （4） || AB |||| A || || B；|| 则称 || A ||为矩阵 A 的范数.
4.1.3 矩阵范数和矩阵序列的极限
相容性： 设有矩阵范数 || ||s和向量范数 || ||，t 如果对任何向量 x Rn
数值分析--第6章 解线性方程组的迭代法
数值分析--第6章解线性方程组的迭代法第6章 解线性方程组的迭代法直接方法比较适用于中小型方程组。
对高阶方程组，即使系数矩阵是稀疏的，但在运算中很难保持稀疏性，因而有存储量大，程序复杂等不足。
迭代法则能保持矩阵的稀疏性，具有计算简单，编制程序容易的优点，并在许多情况下收敛较快。
故能有效地解一些高阶方程组。
1 迭代法概述迭代法的基本思想是构造一串收敛到解的序列，即建立一种从已有近似解计算新的近似解的规则。
由不同的计算规则得到不同的迭代法。
迭代法的一般格式(1)()(1)()(,,,),0,1,k k k k m kF k +--==x x x x式中(1)k +x 与()(1)(),,,k k k m --x x x 有关，称为多步迭代法。
若(1)k +x 只与()k x 有关，即(1)()(),0,1,k k kF k +==x x称为单步迭代法。
再设kF 是线性的，即(1)(),0,1,k kk kk +=+=x B x f式中n nk ⨯∈B R ，称为单步线性迭代法。
kB 称为迭代矩阵。
若k B 和kf 与k 无关，即(1)(),0,1,k k k +=+=x Bx f称为单步定常线性迭代法。
本章主要讨论具有这种形式的各种迭代方法。
1.1 向量序列和矩阵序列的极限由于nR 中的向量可与nR 的点建立——对应关系，由点列的收敛概念及向量范数的等价性，可得到向量序列的收敛概念。
定义6.1 设(){}k x 为n R 中的向量序列，nx R ∈，如果()lim 0k k x x →∞-=其中为向量范数，则称序列(){}k x 收敛于x ，记为()lim k k x x →∞=。
定理6.1 nR 中的向量序列(){}k x 收敛于nR 中的向量x 当且仅当()lim (1,2,,)k i i k x x i n →∞==其中()()()()1212(,,,),(,,,)k k k k T Tnnx x x x x x x x ==。
数值分析课件-数值分析14-线性方程组的迭代法
a13 L a23 L 0L
O
a1n a2n
a3n M
0
0
a12 a11
a13 L a11
a1n a11
a21 a22
0
a23 L a22
a2 n a22
BJ
a31 a33
a32 a33
0
L
a3n a33
M
M
M
OM
an1 ann
an2 ann
an3 ann
j 1
n
aij x(jk )
j i1
bi )
x ( k 1) 1
1 a11
(a12 x2(k)
a13 x3(k )
a14 x4(k )
a1n xn(k )
b1 )
x ( k 1) 2
1 a22
(a21 x1(k1)
a23 x3(k )
a24 x4(k )
a2n xn(k )
b2 )
x ( k 1) 2
2
得 x(1) = ( 0.5000, 2.8333, -1.0833 )T
M
x(9) = ( 2.0000, 3.0000, -1.0000 )T
举例（续）
SOR 迭代格式
x1( k x2( k
1) 1)
x(k) 1
x(k) 2
1
2 x1(k)
x(k) 2
2
8
x ( k 1) 1
Jacobi 迭代
令 A = D - L- U， 其中 D diag(a11, a22,K , ann),
0
L
a21
M
an1
0 a12 L
0 OO
,
数值分析非线性方程的数值解法
数值分析非线性方程的数值解法数值分析是一种应用数学方法来分析和解决数学问题的领域。
非线性方程是数值分析中一类重要的问题，其解法包括了迭代法、牛顿法、割线法等。
本文将详细介绍这些数值解法及其原理和应用。
一、迭代法迭代法是解非线性方程的一种常用数值方法。
该方法的基本思想是通过不断迭代逼近方程的根，直到达到所需精度或满足停止准则为止。
迭代法的求根过程如下：1.选择适当的初始值x0。
2. 利用迭代公式xn+1 = g(xn)，计算下一个近似根。
3.重复步骤2，直到满足停止准则为止。
常用的迭代法有简单迭代法、弦截法和牛顿法。
简单迭代法的迭代公式为xn+1 = f(xn)，其中f(x)为原方程的一个改写形式。
该方法的收敛性要求函数f(x)在解附近有收敛性且导数在一个区间内收敛。
弦截法的迭代公式为xn+1 = xn - f(xn) * (xn-xn-1) / (f(xn)-f(xn-1))。
该方法通过连接两个点上的函数值的割线来逼近方程的根。
牛顿法的迭代公式为xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn)，其中f'(x)为f(x)的导数。
该方法通过用切线来逼近方程的根。
二、牛顿法牛顿法是解非线性方程的一种常用迭代法。
该方法通过使用方程的导数来逼近方程的根。
迭代过程如下：1.选择适当的初始值x0。
2. 利用迭代公式xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn)，计算下一个近似根。
3.重复步骤2，直到满足停止准则为止。
牛顿法的收敛速度较快，但要求方程的导数存在且不为0。
三、割线法割线法是解非线性方程的另一种常用迭代法。
该方法通过连接两个点上的函数值的割线来逼近方程的根。
迭代过程如下：1.选择适当的初始值x0和x12. 计算下一个近似根xn+1 = xn - f(xn) * (xn-xn-1) / (f(xn)-f(xn-1))。
3.重复步骤2，直到满足停止准则为止。
割线法的收敛速度介于简单迭代法和牛顿法之间。
第六章 迭代法-数值分析
由极限存在准则得 即
k
lim xi( k ) xi =0
k
(i 1, 2, , n)
, n)
lim xi( k ) xi
(i 1, 2,
定义：设{ A( k ) }为n阶方阵序列，A为n阶方阵，如果 lim A( k ) A 0
k
其中 为矩阵范数，则称序列{ A( k ) }收敛于矩阵A，记为 lim A( k ) A
g
n
其中bij
aij aii
, (i j , i, j 1, 2,
, n), g i
bi (i 1, 2, aii
, n).
迭代公式x ( k 1) Bx ( k ) g (k 0,1, 2, )用方程组表示为
(k ) (k ) (k ) ( k 1) b13 x 3 b1n x n g x b 1 12 x 2 1 (k ) (k ) (k ) ( k 1) b 23 x 3 b 2 n x n g x2 b 21 x 1 2 ( k 1) (k ) (k ) (k ) b n1 x1 b n 2 x 2 b n,n 1 x n 1 g x n n 因此，在Jacobi迭代法的计算过程中，需同时保留两个
k k
即x是方程组Ax b的解。
引入误差向量
k
(k ) (k ) lim x x lim 0 所以 等价于 k
( k 1)
x
( k 1)
x
由
x ( k 1) Mx ( k ) g
x Mx g
则可得
( k 1)
数值分析2 迭代法
§2简单迭代法——不动点迭代(iterate)迭代法是数值计算中的一类典型方法，被用于数值计算的各方面中。
一、简单迭代法设方程f(x)=0 (3)在[a,b]区间内有一个根*x ，把(3)式写成一个等价的隐式方程x=g(x) (4)方程的根*x 代入(4)中，则有)(**=x g x (5)称*x 为ｇ的不动点（在映射ｇ下，象保持不变的点），方程求根的问题就转化为求(5)式的不动点的问题。
由于方程(4)是隐式的，无法直接得出它的根。
可采用一种逐步显式化的过程来逐次逼近，即从某个[a,b]内的猜测值0x 出发，将其代入(4)式右端，可求得)(01x g x =再以1x 为猜测值，进一步得到)(12x g x =重复上述过程，用递推关系——简单迭代公式求得序列}{k x 。
如果当k →∞时*→x x k ,}{k x 就是逼近不动点的近似解序列，称为迭代序列。
称(6)式为迭代格式，g(x)为迭代函数，而用迭代格式(6)求得方程不动点的方法，称为简单迭代法，当*∞→=x x k k lim 时，称为迭代收敛。
构造迭代函数g(x)的方法：(1)=x a x x -+2，或更一般地，对某个)(,02a x c x x c -+=≠；(2)x a x /=； (3))(21xa x x +=。
取a=3,0x =2及根*x =1.732051，给出三种情形的数值计算结果见表表 032=-x 的迭代例子问题：如何构造g(x)，才能使迭代序列}{k x 一定收敛于不动点？误差怎样估计？通常通过对迭代序列}{k x 的收敛性进行分析，找出g(x)应满足的条件，从而建立一个一般理论，可解决上述问题。
二、迭代法的收敛性设迭代格式为),2,1,0()(1 ==+k x g x k k而且序列}{k x 收敛于不动点*x ，即∞→→-*k x x k (0时）因而有)3,2,1(1 =-≤-*-*k xx x x k k (7)由于),(),)((11*-*-*∈-'=-x x x x g x x k k k ξξ当g(x)满足中值定理条件时有),(),)((11*-*-*∈-'=-x x x x g x x k k k ξξ (8)注意到(8)式中只要1)(<<'L g ξ时，(7)式成立.经过上述分析知道,迭代序列的收敛性与g(x)的构造相关,只要再保证迭代值全落在[a,b]内，便得：假定迭代函数g(x)满足条件(1) 映内性：对任意x ∈[a,b]时，有a ≤g(x) ≤b ；(2) 压缩性：g(x)在[a,b]上可导，且存在正数Ｌ<1，使对任意 x ∈[a,b]，有L x g <')( （9）则迭代格式)(1k k x g x =+对于任意初值0x ∈[a,b]均收敛于方程x=g(x)的根，并有误差估计式011x x LL x x kk --≤-*（10）证明 ：收敛性是显然的。
数值分析-方程迭代法
实验内容1 用下列方法求方程201303==--x x x 在附近的根，要求准确到四位有效数字。
（1）牛顿法。
（2）单点弦截法（3）双点弦截法2 用Aitken 法求方程0123=--x x 在5.10=x 附近的根，精度要求为410-=ε。
三 实验步骤（算法）与结果1： 用双点弦截法求方程201303==--x x x在附近的根①算法的C 语言代码：#include<stdio.h>#include<math.h>double f(double x){ double f;f=x*x-1/x;return f;}void main(){double y=0,z=0,x;printf("please enter a number near the root: ") ;scanf("%f",&x);for (y=f(x),z=f(y);fabs(z-y)>5e-5;){x=(x*z-y*y)/(x-2*y+z) ;y=f(x);z=f(y);}printf("the root is:") ;printf("X=%-10.4f\n",z);}②实验结果：如下图，按题要求输入2，则可得结果X=1.46562：用Aitken 法求方程0123=--x x在5.10=x 附近的根①算法的C 语言代码：#include<stdio.h>#include<math.h>double f(double x){double f=pow(x,3)-3*x-1;return f;}void main(){double f1,f2,x=2.0,y=1.5,z;for(;fabs(y-x)>5e-5;){f1=f(x);f2=f(y);z=y-f2*(y-x)/(f2-f1);x=y;y=z;}printf("the root is:") ;printf("X=%-10.4f\n",y);}②实验结果：如下图，在程序代码中预先设置接近于根的两个值x1=2.0与x2=1.5作为初值，则可得结果X=1.8794.。
数值分析--第三章--迭代法
数值分析--第三章--迭代法迭代⼀般⽅程：本⽂实例⽅程组：⼀.jacobi迭代法从第i个⽅程组解出xi。
线性⽅程组Ax=b，先给定⼀组x的初始值，如[0,0,0]，第⼀次迭代，⽤x2=0，x3=0带⼊第⼀个式⼦得到x1的第⼀次迭代结果，⽤x1=0,x3=0,带⼊第⼆个式⼦得到x2的第⼀次迭代结果，⽤x1=0,x2=0带⼊第三个式⼦得到x3的第⼀次迭代结果。
得到第⼀次的x后，重复第⼀次的运算。
转化成⼀般的形式：（其中L是A的下三⾓部分，D是A的对⾓元素部分，U 是上三⾓部分）得到迭代公式：其中的矩阵B和向量f如何求得呢？其实，矩阵B的计算也很简单，就是每⾏的元素/该⾏上的对⾓元素⼆.Gauss-Seidel迭代法【收敛速度更快】这个可以和jacobi法对⽐进⾏理解，我们以第⼆次迭代为例（这⾥的第⼀次迭代结果都⽤⼀样的，懒得去换）从上表对⽐结果可以看出，Jacobi⽅法的第⼆次迭代的时候，都是从第⼀次迭代结果中，获取输⼊值。
上⼀次迭代结果[2.5,3.0,3.0]，将这个结果带⼊上⾯式⼦1，得到x1=2.88，；将[2.5,3.0,3.0]替换成[2.88,3.0,3.0]带⼊第⼆个式⼦的运算，这⾥得到x2=1.95，所以把[2.88,3.0,3.0]替换成[2.88,1.95,3.0]输⼊第三个式⼦计算X3=1.0.这就完成了这⼀次的迭代，得到迭代结果[2.88,1.95,1.0],基于这个结果，开始下⼀次迭代。
特点：jacobi迭代法，需要存储，上⼀次的迭代结果，也要存储这⼀次的迭代结果，所以需要两组存储单元。
⽽Gauss-Seidel迭代法，每⼀次迭代得到的每⼀个式⼦得到的值，替换上⼀次迭代结果中的值即可。
所以只需要⼀组存储单元。
转化成⼀般式：注意：第⼆个式⼦中的是k+1次迭代的第⼀个式⼦的值，不是第k次迭代得值。
计算过程同jacobi迭代法的类似三.逐次超松弛法SOR法上⾯仅仅通过实例说明，Jacobi和Seidel迭代的运算过程。
数值分析——二分法及迭代法
数值分析——二分法及迭代法数值分析是研究用数值方法解决数学问题的一门学科。
在数值分析中，二分法和迭代法是两种常用的数值求解方法。
本文将对二分法和迭代法进行详细介绍，并比较它们的特点和适用范围。
一、二分法二分法是一种通过将问题分解为两个子问题，并选择其中一个子问题进行求解的方法。
它适用于解决连续函数的求根问题。
二分法的基本思想是利用中值定理，通过不断缩小区间来逼近根的位置。
具体步骤如下：1.选取一个初始的区间[a,b]，确保f(a)和f(b)的符号相反。
2.计算区间的中点c=(a+b)/23.判断f(c)的符号，并更新区间。
若f(c)与f(a)符号相反，则更新区间为[a,c]；否则更新区间为[c,b]。
4.重复步骤2和步骤3，直到满足停止准则（例如满足一定精度要求，或达到最大迭代次数）。
5.最后得到的近似根为区间的中点c。
二分法的优点是收敛速度快，且能够保证收敛到根的位置。
然而，二分法的缺点是每次迭代只能减少一半的区间长度，所以其收敛速度相对较慢。
此外，二分法需要事先确定区间，并且要求f(a)和f(b)的符号相反，这对于一些问题来说可能并不容易实现。
因此，二分法主要适用于单峰函数求根问题。
二、迭代法迭代法是一种通过迭代逐步逼近解的方法。
它适用于一般的数值求解问题。
迭代法的基本思想是通过不断迭代的过程，将原始问题转化为一个具有相同解的等价问题，并通过逐步逼近来求解。
具体步骤如下：1.选取一个初始的近似解x_0。
2.根据迭代公式x_{k+1}=g(x_k)，计算下一个近似解x_{k+1}，其中g(x)是一个适当的函数。
3.判断迭代是否达到停止准则（例如满足一定精度要求，或达到最大迭代次数）。
若满足停止准则，则停止迭代；否则返回步骤2继续迭代。
4.最终得到的近似解为迭代过程中的最后一个近似解x_k。
迭代法的优点是适用范围广，可以求解一般的数值问题。
此外，迭代法的迭代公式可以根据具体问题的特点进行选择，使得迭代过程更加高效。
数值分析中的迭代法收敛性分析
数值分析中的迭代法收敛性分析迭代法是数值分析领域中常用的一种数值计算方法，通过迭代逼近的方式求解数值问题。
在使用迭代法时，我们需要关注其收敛性，即迭代过程是否能够逼近问题的解。
本文将探讨数值分析中的迭代法收敛性分析方法。
一、迭代法的基本概念迭代法是一种通过逐次逼近的方式求解数值问题的方法。
在求解问题时，我们通过不断使用公式迭代计算，直到满足某个特定的条件为止。
迭代法在实际应用中广泛使用，例如求解方程组、求解最优化问题等。
二、迭代法的数学模型我们可以用以下数学模型描述迭代法的过程：设迭代公式为：x_(n+1) = g(x_n)，其中x_n表示第n次迭代的结果，g(x)为迭代函数。
三、迭代法的收敛性在使用迭代法时，我们希望迭代过程能够收敛到问题的解。
迭代法的收敛性分析是判断迭代过程是否能够收敛的关键。
1.线性收敛如果迭代法满足以下条件：1）对于任意的x_0，如果|x_n - x*| / |x_(n-1) - x*| ≤ C (0 < C < 1)，其中x*为问题的解，那么称迭代法是线性收敛的。
2）线性收敛的迭代法需要满足条件|x_1 - x*| / |x_0 - x*| ≤ C (0 < C <1)。
2.超线性收敛如果迭代法满足以下条件：对于任意的x_0，如果|x_n - x*| / |x_(n-1) - x*|^p ≤ C (0 < C < 1, p > 1)，那么称迭代法是超线性收敛的。
3.二次收敛如果迭代法满足以下条件：对于任意的x_0，如果|x_n - x*| / |x_(n-1) - x*|^2 ≤ C (0 < C < 1)，那么称迭代法是二次收敛的。
四、判断迭代法的收敛性在实际应用中，判断迭代法的收敛性是非常重要的。
下面介绍几种常用的判断方法。
1.收敛准则根据数列极限的定义，如果一个数列{x_n}满足：对于任意ε > 0，存在正整数N，当n > N时，有|x_n - x*| < ε，则称{x_n}收敛于x*。
数值分析迭代法的基本原理
数值分析迭代法的基本原理
数值分析迭代法是在数值计算中常用的一种方法，它对于求解非线性方程组和
系统动力学方程组具有广泛的应用，常用来较准确地估算未知量。
迭代法的基本原理是把复杂的问题拆分为一系列实现以求测函数的小过程，将
求解过程的每一步都视为迭代操作。
为了使求解的精度提高，要求每步迭代都可以达到合理的精度，可以使用收敛率来反映求解的精度。
一般的，收敛率大于某一数值（比如0.001）时，认为迭代法已经可以得到较完美的解。
数值分析迭代法还使用了复杂的误差估计方法，通过它可以得到良好的估算未
知量。
为此，迭代模型要加入某种形式的误差估计方法，以衡量求解精度，优化迭代收敛性。
通常，它将利用同伴雅可比（Jocobian）行列式来预估函数的局部变化，从而获得准确的估算未知量。
总的来看，数值分析迭代法广泛应用于工程设计与实验诊断等领域，是计算技
术研究工作者必不可少的一种重要的方法手段，具有解决复杂的非线性方程组、系统动力学方程组的能力。
数值分析11-线性方程组的迭代法
Ax = b
A= M - N
Mx = Nx + b
x M 1Nx M 1b
给定一个初始向量 x(0)，可得迭代格式：
x ( k 1) Bx ( k ) g
其中 B 称为迭代矩阵。
k = 0, 1, 2, …
若产生的迭代序列 {x(k)} 收敛到一个确定的向量 x*，则
在计算 xi 时，如果用 x1 ,, xi 1 代替 x1 ,, xi 1 ，则 可能会得到更好的收敛效果。此时的迭代公式为
x1( k 1) ( x2k 1) ( k 1) xn
( ( ( b1 a12 x2k ) a13 x3 k ) a1n xnk ) a11 ( ( b2 a21 x1( k 1) a23 x3 k ) a2 n xnk ) a22
x* 就是原方程组的解。
Jacobi 迭代
令 A = D - L- U， 其中 D diag(a11, a22 ,, ann ),
0 a 21 L an1 0 an,n1
0 a12 a1n 0 , U an1,n 0 0
解得
x
( k 1)
D L Ux
1
(k)
D L b k = 0, 1, 2, …
1
此迭代格式称为高斯-塞德尔 (Gauss-Seidel) 迭代
BG D L U 称为 GS 迭代矩阵
1
SOR 迭代
在 GS 迭代中 k k ( xi( k 1) bi ai1 x1( k 1) ai ,i 1 xi(11) ai ,i 1 xi(1) ai ,n xnk ) aii
数值分析迭代法范文
数值分析迭代法范文迭代法的基本思想是通过重复执行一些计算步骤，不断逼近问题的解。
该方法常用于求解无法通过解析方法求得解的问题，如非线性方程的根、方程组的解等。
在数值分析中，迭代法可用于求解各种数学问题，例如求解微分方程、积分、优化等。
在迭代法中，关键是选择一个适当的迭代函数和初始值。
迭代函数是一个映射，将当前的迭代结果映射到下一次迭代的结果。
迭代法通过重复应用迭代函数来不断逼近问题的解。
迭代法的步骤一般如下：1.选择一个初始值作为迭代的起点。
2.应用迭代函数计算下一次迭代的结果。
3.检查迭代的结果是否满足终止条件，如果满足则迭代结束，取得近似解；否则返回第二步继续迭代。
4.根据需要，可以设置最大迭代次数或迭代误差限制，以确保迭代的收敛性和计算效率。
迭代法的收敛性是评价其有效性的重要指标。
一个迭代法的收敛性是指当迭代次数趋于无穷大时，迭代结果是否与问题的解趋于一致。
常用的判断迭代法收敛性的方法是通过计算迭代序列的极限，判断序列是否收敛到所求解。
迭代法有很多的变种和改进方法，常用的有简单迭代法、牛顿迭代法、埃特金迭代法等。
每种迭代法有其适用的问题类型和求解效果，需要根据具体问题的特点进行选择。
例如，简单迭代法是一种基础的迭代算法，通过反复迭代计算近似解。
它适用于求解非线性方程的根，通过对原方程进行变形，找到满足一些条件的迭代函数，然后通过迭代计算逼近根的解。
牛顿迭代法是一种通过线性化原方程并应用牛顿法的迭代法。
它适用于求解非线性方程的根和优化问题。
该方法通过构造局部线性逼近来逐渐逼近所求解，具有较快的收敛速度。
埃特金迭代法是一种通过构造适当的迭代函数和近似解序列的加权平均值来提高迭代收敛速度的方法。
它适用于求解线性方程组和非线性方程的根等问题。
总而言之，数值分析迭代法是一种重要的数值计算方法。
通过选择适当的迭代函数和初始值，迭代法能够通过重复计算逼近复杂问题的解。
迭代法具有广泛的应用领域和多样化的改进方法，可以有效地解决科学和工程领域中的各种数学问题。
数值分析-- 解线性方程组的迭代法
算法1(高斯 塞德尔迭代法) 设Ax b, A Rnn非奇异，
且aii 0(i 1,2,, n),数组x(n)开始存放x(0),后存放x(k),
N0为最大迭代次数.
1. xi 0.0(i 1,2,,n),
2. 对于k 1,2,, N0,
i1
n
xi
( bi
j1aij x j
j i 1
aij
A D LU,
其中
a11 D
a22
0
,
L
a21 annan1 Nhomakorabea0
an,n1
0
,U
0
a12 0
a1n
.
an1,n
0
就有
Dx(k1) Lx(k) Ux(k) b
雅可比迭代法的矩阵表示形式为
x(k1) D1(L U ) x(k) D1b BJ x(k) f
a21x1
a22x2
a2n xn
b2
an1x1 an2x2 annxn bn
Ax=b.
(2.1)
进行矩阵分裂
A=M-N,
(2.2)
其中M为可选择的非奇异矩阵,且使Mx=d容易求解.
于是,
Ax=b⇔x=M-1Nx+M-1b.
可得一阶定常迭代法:
取初始向量x(0)，
x
(
k
1)
Bx(k )
零元素多，适合用迭代法。
我们将介绍迭代法的一般理论及雅可比迭代法、高 斯—塞德尔迭代法、超松弛迭代法，研究它们的收 敛性。
例1 求解线性方程组
8 x1 4 x1
3x2 2 11x2
x3 x3
20, 33,
6x1 3x2 12x3 36.
数值分析-牛顿迭代法
������ (������ )
方程 1：设f1 (x)=x������ -1
������
当∣ ������������ +1 − ������������ ∣≤ ������ =10−5 时停止循环
∴ ������������+1 = ������������ − ������ ������ ,k=0,1,2,3…… x������ +������
四、 实为 x=0.5671
方程 2：
所以得出结果为 x=1.7556
五、 说明与分析
牛顿迭代法公式：������������ +1 = ������������ − ������ (������ ������ ),k=0,1,2,3……
������
������ (������ )
对于方程 1，由于方程简单，并且初始值与最终值相差较小，所以迭代次数 也少，方法快捷、准确。 对于方程 2，因为涉及到对数并且初始值与最终值相差有一定距离，所以迭 代次数较多。 在以上两个方程的计算中，我发现初始值对牛顿迭代法影响很大。 牛顿迭代法在初始值接近于近似根处的迭代速度要比远离近似根初始值的 迭代速度快很多， 而且近似值和函数近似值要精确很多，所以在进行牛顿迭代法 进行根的近似求解时，初始值的选择非常重要。 牛顿迭代法能快速求出其他方法求不出或者难以求出的解，但牛顿迭代法计 算量比较大。因每次迭代除计算函数值外还要计算其他数据。
fprintf('The procedure was successful.') return else n=n+1; x0=x1;f0=f1; end end if n==N+1 fprintf('the method failed after N iterations. '), end 保存为:newton1.m 方程 1： fx='x-exp(-x)'; dfx='1+exp(-x)'; newton1(fx,dfx,.5,10^(-5),10) 方程 2： fx='log(10)+x-2'; dfx='log(10)/x+1'; newton1(fx,dfx,1.5,10^(-5),15)
数值分析中的迭代方法与收敛性分析
数值分析中的迭代方法与收敛性分析迭代方法是数值分析中一种重要的算法，用于求解数值问题。
迭代方法基于一个初始猜测解，并通过不断迭代逼近真实解。
本文将介绍迭代方法的基本原理以及如何进行收敛性分析。
一、迭代方法的原理迭代方法的基本原理是通过不断更新猜测解来逼近真实解。
假设我们要求解一个方程f(x)=0，其中f(x)表示一个函数。
我们可以通过选择一个初始猜测解x0，然后使用迭代公式x_{k+1}=g(x_k)来生成下一个近似解x_{k+1}，其中g(x_k)是一个迭代函数。
通过不断迭代，我们希望逐渐接近真实解。
二、常见的迭代方法在数值分析中，有许多常见的迭代方法被广泛应用于求解不同类型的数值问题。
以下是几种常见的迭代方法：1. 不动点迭代法不动点迭代法通过将方程f(x)=0转化为等价的x=g(x)的形式来求解。
其中g(x)是一个迭代函数，可以通过不断迭代x_{k+1}=g(x_k)逼近真实解。
不动点迭代法的收敛性通常需要满足收敛性条件，如Lipschitz条件或收缩映射条件。
2. 牛顿迭代法牛顿迭代法通过利用函数的导数信息来加速收敛速度。
迭代公式为x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}，其中f'(x_k)表示函数f(x_k)的导数。
牛顿迭代法的收敛性通常需要满足局部收敛性条件，如满足Lipschitz条件和拟凸性条件。
3. 雅可比迭代法雅可比迭代法用于求解线性方程组Ax=b，其中A是系数矩阵，b是常数向量。
迭代公式为x_{k+1}=D^{-1}(b-(L+U)x_k)，其中D、L和U分别是矩阵A的对角线、下三角和上三角部分。
雅可比迭代法的收敛性要求系数矩阵A满足严格对角占优条件。
三、迭代方法的收敛性分析在使用迭代方法求解数值问题时，我们需要进行收敛性分析，以确定迭代方法是否能够逼近真实解。
常用的迭代收敛性分析方法包括：1. 收敛域分析收敛域分析用于确定迭代方法的收敛域，即迭代过程中能够保证收敛的初始猜测解的范围。
数值分析3迭代法
不动点迭代产生序列的收敛速度
数列的 r 阶收敛概念 设 lim x n x * , 若存在 a>0 , r>0 使得
n
lim
| x n 1 x * | | x n x* |
r
n
a
则称数列{xn} r 阶收敛.
特别: (1) 收敛阶r=1时,称为线性收敛; (2) 收敛阶r>1时,称为超收敛; (3) 收敛阶r=2 时,称为平方收敛
序列的收敛阶数越高,收敛速度越快
10/16
例2.3 方程 x3+10x-20=0,取 x0 = 1.5, 证明迭代法
x n 1 20 /( x 10 )
2 n
是线性收敛
x + 1 0 x -2 0
3
证:令 f (x) = x3 + 10x –20, 绘出 y = f(x) 图形可知 方程的根 x*≈1.5, 令
( x)
10 /( x 4 )
x n 1 ( x n ) x 0 1 .5
( n = 0,1,2,……)
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fi=inline('0.5*sqrt(10-x^3)'); x0=1.5;er=1;k=0; while er>0.00001 x=fi(x0); er=abs(x-x0); x0=x;k=k+1; end fi=inline('sqrt(10/(4+x))'); x0=1.5;er=1;k=0; while er>0.00001 x=fi(x0); er=abs(x-x0); x0=x;k=k+1; end
3/16
例2.2 方程 x3 + 4x2 – 10 = 0 在 [1, 2] 上有一
数值分析第三章线性方程组的迭代法课件
§ 3.3.2 Gauss—Seidel 迭代法的矩阵表示
将A分裂成A =D+L+U，则Ax b 等价于
(D+L+U )x = b
于是,则高斯—塞德尔迭代过程
Dx(k1) Lx(k1) Ux(k) b
因为 D 0 ,所以 D L D 0
故
(D L)x(k1) Ux(k) b
x(k1) (D L)1Ux(k) (D L)1b
e(k) x(k) x* Gx(k1) d (Gx* d) G(x(k1) x* ) Ge(k1)
于是 e(k) Ge(k1) G 2e(k2) Gk e(0)
由于 e (0)可以是任意向量,故 e(k) 收敛于0当且仅
故 (D L)x(k1) (1)D U x(k) b
显然对任何一个ω值,(D+ωL)非奇异, (因为假设 aii 0,i 1,2,, n )于是超松弛迭代公式为
x(k1) (D L)1 (1)D U x(k) (D L)1b
令 L (D L)1 (1)D U
f (D L)1b
则超松弛迭代 公式可写成
称为雅可比迭代公式, B称为雅可比迭代矩阵
雅可比迭代矩阵表示法，主要是用来讨论其收敛 性，实际计算中，要用雅可比迭代法公式的分量 形式。即
x1(k 1)
1 a11
(a12 x2(k )
a13 x3(k )
a1n xn(k )
b1 )
x2(k 1)
1 a 22
(a21 x1(k )
a23 x3(k )
§ 3.4.2超松弛迭代法的矩阵表示 设线性方程组 Ax=b 的系数矩阵A非奇异,且主对角
元素 aii 0(i 1,2,, n) , 则将A分裂成
数值分析中的迭代法研究
数值分析中的迭代法研究数值分析是数学和计算机科学的交叉学科，研究如何使用数值方法来处理和解决数学问题。
在数值计算中，迭代法是一种常见且重要的方法，用于求解方程组、逼近函数、求极值点等数学问题。
本文将介绍迭代法在数值分析中的应用和研究进展。
1. 迭代法的基本原理迭代法是一种通过逐步逼近的方式来求解数学问题的方法。
它基于以下基本原理：通过不断反复进行计算，使得计算结果逐渐趋近于问题的准确解，直到满足预设的精度要求。
2. 迭代法在方程求解中的应用迭代法在方程求解中有广泛的应用。
例如，对于非线性方程f(x)=0，可以通过迭代来求解。
最简单的迭代公式为x_{n+1} = g(x_n)，其中 g(x) 是一个逼近方程解的函数。
通过不断迭代计算，并选择适当的初始值 x_0，可以得到方程的近似解。
3. 迭代法在函数逼近中的应用函数逼近是数值分析的重要内容之一。
迭代法在函数逼近中可以通过泰勒级数展开和牛顿法等方法实现。
通过不断迭代计算，可以逼近函数的值，并得到一定精度的结果。
4. 迭代法在求极值点中的应用求解函数极值点是数学中的常见问题。
迭代法也可以用来寻找函数的极值点。
通过选择适当的迭代公式和初始值，可以通过迭代逼近的方式找到函数的局部或全局最大或最小值。
5. 迭代法的优缺点及改进方法迭代法作为一种常见的数值方法，具有优点和缺点。
其优点在于可以适用于复杂的数学问题，并且具有较高的灵活性和适应性。
然而，迭代法的收敛速度可能较慢，需要选择合适的初始值和迭代公式。
为了解决这个问题，研究者们提出了一系列改进方法，如加速收敛的算法和自适应调整步长的方法等。
6. 迭代法在实际应用中的案例研究迭代法在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在工程领域中，迭代法可以用于计算电路中的稳态工作点，通过不断迭代来找到电流和电压的准确值。
此外，迭代法还可以应用于经济学、物理学、生物学等领域，解决各种实际问题。
7. 迭代法的未来发展趋势随着计算机技术和数值算法的不断进步，迭代法在数值分析中的研究也在不断深入。
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华北科技学院上机报告系（部）专业、班级姓名学号课程名称数值分析上机题目实验六，实验七任课教师指导教师成绩（优、良、中、及格、不及格）华 北 科 技 学 院 基 础 部实验六 解线性方程组的迭代法1.目的与要求：1） 熟悉求解线性方程组的有关理论哈方法。
2） 会编制雅可比迭代和高斯—塞得尔迭代法。
3） 通过实际计算，进一步了解各算法的优缺点，选择合适的数值方法。
2．雅可比迭代法算法设方程组AX=b 的系数矩阵的对角元素0(1,2,,),iii n a≠=L M 为迭代次数容许的最大值,ε为容许误差.① 取初始向量(0)(0)(0),(,,,)12Tx x x x n =L 令k=0;② 对1,2,,i n =L 计算 (1)()11();nk k ii ij j j iij ixb a x a +=≠=-∑③ 如果(1)()1,nk k iii xx ε+=-<∑则输出(1)k x+,结束;否则执行④,④ 如果,k M ≥则不收敛,终止程序;否则1,k k ←+转②.1.分别用雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法解下列方程组:2),311300010000151335901100002709311000000230010793000090,00030577050200000747300012000003041007000050027270022910RI V R V =---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎢⎥⎢==----⎢⎥⎢-⎢⎥⎢⎢⎥⎢--⎢⎥⎢--⎢⎥⎢⎢⎥⎢--⎣⎦⎣⎦其中⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥1.用雅可比迭代法计算： #include "stdafx.h" #include "iostream.h" #include"stdio.h" #include"math.h" #include"conio.h" #include"malloc.h" #include <stdlib.h> #define EPS 1e-8 #define MAX 100float *Jacobi(float a[9][10],int n) { float *x,*y,s; double epsilon; int i,j,k=1; x=(float *)malloc(n*sizeof(float)); y=(float *)malloc(n*sizeof(float)); for(i=0;i<n;i++) x[i]=0; while(1) { k++; epsilon=0; for(i=0;i<n;i++) { s=0; for(j=0;j<n;j++) { if(j==i) continue;s=s+a[i][j]*x[j];}y[i]=(a[i][n]-s)/a[i][i];epsilon=epsilon+fabs(y[i]-x[i]);}//if (epsilon>EPS);if(k>=MAX){return y;}for(i=0;i<n;i++)x[i]=y[i];}}void main(){int i;float a[9][10]={{31,-13,0,0,0,-10,0,0,0,-15}, {-13,35,-9,0,-11,0,0,0,0,27},{0,-9,31,-10,0,0,0,0,0,-23},{0,0,-10,79,-30,0,0,0,-9,0},{0,0,0,-30,57,-7,0,-5,0,-20},{0,0,0,0,7,47,-30,0,0,12},{0,0,0,0,0,-30,41,0,0,-7},{0,0,0,0,-5,0,0,27,-2,7},{0,0,0,0,0,0,0,-2,29,-10}};float *x;x=(float *)malloc(9*sizeof(float));printf("结果为：\n");x=Jacobi(a,9);for(i=0;i<9;i++)printf("x[%d]=%f\n",i,x[i]);}程序运行结果如下：结果为：x[0]=-0.200550x[1]=0.368393x[2]=-0.731859x[3]=-0.300318x[4]=-0.446577x[5]=0.399384x[6]=0.121501x[7]=0.151792x[8]=-0.334359Press any key to continue2.用高斯-塞德尔迭代法：#include "stdafx.h"#include"stdio.h"#include"math.h"#include"conio.h"#include "iostream"#include"malloc.h"#define N 100void main(){int i;float *x;float c[90]={31,-13,0,0,0,-10,0,0,0,-15,-13,35,-9,0,-11,0,0,0,0,27,0,-9,31,-10,0,0,0,0,0,-23,0,0,-10,79,-30,0,0,0,-9,0,0,0,0,-30,57,-7,0,-5,0,-20,0,0,0,0,7,47,-30,0,0,12,0,0,0,0,0,-30,41,0,0,-7,0,0,0,0,-5,0,0,27,-2,7,0,0,0,0,0,0,0,-2,29,-10};float *GauseSeide(float *,int);x=GauseSeide(c,9);for(i=0;i<9;i++)printf("x[%d]=%f\n",i,x[i]);}float *GauseSeide(float *a,int n){int i,j,nu=0;float *x,dx,d,wucha;x=(float *)malloc(n*sizeof(float));for(i=0;i<=n-1;i++)x[i]=0.0;while(fabs(wucha)>1e-8){for(i=0;i<=n-1;i++){d=0.0;for(j=0;j<=n-1;j++)d+=*(a+i*(n+1)+j)*x[j];d=d-*(a+i*(n+1)+i)*x[i];dx=(*(a+i*(n+1)+n)-d)/(*(a+i*(n+1)+i));wc=x[i]-dx;x[i]=dx;}if(nu>=N){printf("迭代发散\n");exit(1);}nu++;}return x;}程序运行结果如下：x[0]=-0.200551x[1]=0.368393x[2]=-0.731860x[3]=-0.300318x[4]=-0.446577x[5]=0.399384x[6]=0.121500x[7]=0.151792x[8]=-0.334359Press any key to continue实验七方程求根1.目的与要求：1） 通过对二分法与牛顿迭代法作编程练习与上机运算，进一步体会二分法与牛顿迭代法的不同特点；2） 编写割线迭代法的程序，求非线性方程的解，并与牛顿迭代法作比较。
2.二分法算法给定区间[a,b]，并设f(a)与f(b)符号相反，取为ε根的容许误差，δ为|f(x)|的容许误差。
① 令c=(a+b)/2② 如果(c-a)<ε或|f(c)|<δ，则输出c ，结束；否则执行③， ③ 如果f(a)f(c)>0，则令a:=c ；否则b:=c ，重复①，②，③。
3.牛顿迭代法算法给定初始值ε,0x 为根的容许误差，η为|f(x)|的容许误差，N 为迭代次数的容许值。
①如果0)(0='x f 或迭代次数大于N ，则算法失败，结束；否则执行②， ②计算)()(0001x f x f x x '-=，③若ε<-01x x 或η<)(1x f ，则输出1x ，程序结束；否则执行④， ④ 10x x =，转向(1).实验内容：1.用牛顿法求方程01=-xxe 在10=x 附近的解.#include "stdafx.h" #include <iostream> #include <stdio.h> #include <math.h> #define N 100 #define EPS 1e-6 #define ETA 1e-8void main() { float f(float); float f1(float); float x0,y0; float Newton(float (*)(float),float (*)(float),float);printf("Please input x0\n");scanf("%f",&x0);printf("x(0)=%f\n",x0);y0=Newton(f,f1,x0);printf("\nThe root of the equation is x=%f\n",y0);}float Newton(float (*f)(float),float (*f1)(float),float x0){float x1,d;int k=0;do{x1=x0-f(x0)/f1(x0);if((k++>N)||(fabs(f1(x1))<EPS)){printf("\nNewton method failed");exit(0);}d=(fabs(x1)<1?x1-x0:(x1-x0)/x1);x0=x1;printf("x(%d)=%f\t",k,x0);}while(fabs(d)>EPS&&fabs(f(x1))>ETA);return x1;}float f(float x){return x*exp(x)-1;}float f1(float x){return exp(x)+x*exp(x);}程序运行结果如下：Please input x01x(0)=1.000000x(1)=0.683940 x(2)=0.577454 x(3)=0.567230 x(4)=0.567143 x(5)=0.567143The root of the equation is x=0.567143Press any key to continue2.编写一个割线法的程序，求解上题。