无阻尼自由振动

1 2 22 32 42


1 ˆ v
kn
n

NN
（11-15）
N个振型形式所组成的方阵为：
1 1 21 31 41 N 1
1 ,
(n) e11 (n) E01
2 1 2n 3 1.5Bn 2 5 2 B n 0 3n
1
( n ) 1 0 E 10 (n) E00 V0n 0
T m
n
1

2 n
m mf
T T m n m
n
§11.5 正交条件
T 由 m mn 0
m n 得到
(11-42)
2 n T m
T 0 m mfmf n
由（11-39）前乘以
1/
T
，得出 mfmf
1
n
mfmf 0 mfm m n m n 2
ˆ sin(t ) v(t ) v
（11-2）
取两次导数的自由振动的加速度：
2 v sin(t ) 2 v v 2 mv sin(t ) kv sin(t ) 0 [k 2 m]v 0
（11-3） （11-4）
其中B
2
600
令上式行列式为0，化简的三次方程
B 3 5.5 B 2 7.5 B 2 0 12 210.88 2 ; 963 . 96 2 2 3 2125.20 1 14.522 (rad / s ) 31 . 048 2 3 46.100
T
(11-43)
同理可以得出很多类似关系式。所以包括两个基本关系式在 内的完整的二族正交关系式间接的可以写成（11-44）。
m m k n 0
T m 1 b
b
(11-44)
b=0或b=1时，可以分别得到（11-38a）或者（11-38b）
§11.5 正交条件 规格化 定义：如果一个自由度的幅值取1，并以这个指定的值为基 准确定其他自由度的位移，这就叫做关于特定坐标的振型规格化。
T 1
2 T n m
1
，导出
1
km km m km k
m n
n
由（11-40）得到
T 1 1 m
km kn 0
T m 1
(11-40) (11-41)
km km k 0
由（11-39）前乘以 1 / 系式

2 n
mf得到第二组的第一个附加关
§11.2 振型分析
§11.2 振型分析
运动方程可写为
(n) v ˆn 0 E
其中
2 n k n E m
（11-8）
（11-9）
§11.2 振型分析
2 n 是刚度矩阵减去 n 因此， m ；由于它与频率有 E 关，所以每一个振型是不同的，振动的形状可以按照任何 一个坐标所表示的各点的位移来确定。为此假定位移向量 的第一个元素是一个单位幅值，即
(11-35)
在振型频率不同的情况下得出第一个正交条件 ，对质量正交。
ˆT ˆ v m mv n 0
n m
(11-36)
§11.5 正交条件 用 v 前乘式（11-33）直接导出第二个正交条件 ˆT m 即
2 T ˆT ˆ ˆ v k v m n n v m mv n
对等号右面应用式（11-36）时，显然有
T T ˆ n -f In ˆm -f Im v v
把（11-33）代入得
2 T 2 T ˆ m mv ˆ n n ˆ n mv ˆm m v v
(11-34)
§11.5 正交条件
考虑矩阵的乘积的转置和m的对称性，上式改写为
T ˆ ˆn 0 vm mv 2 m 2 n
无阻尼自由振动
第十一章 无阻尼自由振动
§11.1 §11.2 §11.3 §11.4 §11.5 振动频率分析 振型分析 振动分析的柔度法 轴向力的影响 正交条件
§11.1 振动频率分析 无阻尼自由振动体系的运动方程：
kv 0 mv
（11-1）
假定多自由度体系的自由振动是简谐振动，可写成：
1 3 1 .5 B 2 0 2 5 2B
1 B 1 0
§11.2 振型分析
振型1
振型2
§11.2 振型分析
振型3
其中各振型假定顶层质量的位移为1。
§11.2 振型分析
图E11-2
图E11-1框架的振动特性
§11.3 振动分析的柔度法
§11.3 振动分析的柔度法
规格化需要满足的条件
ˆT m ˆ 0 m n
(11-45) (11-46)
利用一个标量因子来实现规格化计算。 标量因子 规格化计算
ˆ T mV ˆ M ˆ V m n n ˆ V ˆ M ˆ 1/ 2 n n n
(11-47)
§11.5 正交条件
由这种类型的和规格化和与质量矩阵相关的振型正交化公式 （11-38b）可以得出
对（11-4）前乘

1 ~ f 2
[k 2m]v 0 （11-4）
1
2
I f m v

0
（11-17）
~ 其中I为单位矩阵，柔度矩阵 f 是刚度矩阵k的逆矩阵
具有非零解可得：
1

2
I

f m

0
（11-18）
仿照式(11-6)计算方程的根。两种解法唯一的区别是 (11-18)的根为频率平方的倒数而不是频率平方。
T ˆ ˆ I m
(11-48)
此方法规格化的阵型称为相应于质量矩阵的标准正交阵型
§11.5 正交条件
例题 E11-3 通过例题E11-2中算得的振型来说明振型正交特性和标准正交规格 化方法。 规格化因子
ˆ n 2 m M in i
i 1 3
其值为
ˆ 1.8131 M 1 ˆ 2.4740 M 2 ˆ 22.596 M 3
ˆT ˆ v m kv n 0
m n
(11-37)
对于无量纲振型则正交条件表示为
T m mn 0 T m kn 0
mn mn
(11-38a) (11-38b)
§11.5 正交条件 附加关系式 在式（11-33）中用连乘法直接推导附加正交关系式。
kn mn
在此情形中,无阻尼运动方程变成:
（11-26）
kv k G v p 0 sin t mv
（11-27）
§11.4 轴向力的影响
由此,按作用荷载频率发生的稳态反应:
v t
加速度变成:

ˆ s in t v
（11-28a）
v t


2
ˆ s in t v
§11.4 轴向力的影响
§11.4 轴向力的影响
自由振动：
kv 0 mv
（11-1）
m v + k v -k G v m v kv 0
频率方程变为：
（11-19）
k
2
m
0
（11-20）
分析振型和频率时只须将组合刚度矩阵 k 代替弹性 刚度矩阵 k 。体系在轴向力作用下减小了结构的有 效刚度，振型频率也降低。
ˆ 1n v v ˆ 2n v ˆ 3n ˆ Nn v
1 v ˆ 2n v ˆ 3n ˆ Nn v
（11-10）
§11.2 振型分析
展开式(11-8)得
（11-11a）
§11.2 振型分析
G0
ˆ p v
0
（11-30b）
§11.4 轴向力的影响
求解条件:
k G k Go 0

(11-31)
当作用的荷载允许为零时,式(11-30b)可写成
2 ˆ=0 k m G k Go v
(11-32)
§11.5 正交条件
§11.5 正交条件
（11-23）
§11.4 轴向力的影响
把式(11-22)代入(11-21)得特征方程：
k
G k
G 0
ˆ v
0
（11-24）
在下述条件下能得出这组方程的非零解：
k G k
G 0
0
（11-25）
§11.4 轴向力的影响
简谐振动的屈曲
假定有如下形式的荷载向量:
p(t) = p0sint
2 ,
1

N

1 N 2N 3N 4N
（11-16）
N 2
§11.2 振型分析
利用式(11-14)求图E11-1所示结构 的振型来说明振型分析的方法,在例E111中结出了这个结构的振动矩阵,取该矩 阵的第二和第三行,式(11-14)可写成
(E ( n ) )-1E (n) V 0n 00 01
（11-28b）
§11.4 轴向力的影响 把式(11-28)代入(11-27)得
mv ˆ+ k v ˆ- k G v ˆ p0
2
（11-29）
用 k 表示体系的动力刚度

k k m
2

（11-30a）
把它代入(11-29),并用 G 表示几何刚度,导出
k G k
基本条件 利用Betti定律证明，例如图11-1所示，考虑一个结构体系的 两个不同振型。
图11-1
振型形式和产生的惯性力
§11.5 正交条件 体系自由振动时的运动方程
2 ˆ n n ˆn kv mv
(11-33)
其中右面表示施加的荷载向量 f I ，左面表示弹性抗 力 f s 。由Betti定律得
(n) e11 (n) E01
( n ) 1 0 E 10 ( n ) V E 0 00 0n
E
(n) 01
（11-11b）
从而 及
E
(n) 00
V 0n 0
（11-12） （11-13）
e
(n) 11
(n) E 10 V 0n 0
Байду номын сангаас
求解得出位移幅值
(E ( n ) )-1E (n) V 0n 00 01
（11-14）
§11.2 振型分析
1n 2n 3n N n 1 v ˆ 2n v ˆ 3n ˆ Nn v
v
0 k m
2
（11-5） （11-6）
k 2m 0
式（11-6）为体系的频率方程 其中频率向量ω为：
1 2 3 N
（11-7）
例题：求如图所示的结构的振动频率
m
0 1.0 0 这个框架的质量 m 1(千磅 秒2 / 英寸) 0 1.5 0 与刚度矩阵是 0 2.0 0 1 1 0 k 600(千磅 / 英寸) 1 3 2 0 2 5 1 0 1 B k 2 m 600(千磅 / 英寸) 2 1 3 1.5 B 2 5 2B 0
2 n
(11-39)
此式前乘
m km
T
1
导出
1 2 n T m
km kn m kn
T m
由（11-38b）得到
T m kn 0
m n (11-38b)
(11-40)
T m km 1kn 0
§11.5 正交条件 此式（11-39）两边前乘
T 1 1
m km km
§11.4 轴向力的影响
屈曲荷载
如果振动的频率为零：
kv k
G
v 0
G 0
（11-21） （11-22）
用基准荷载乘以荷载因子表示几何刚度：
k
G
G k
L
基准荷载是由如下的单元几何刚度系数形成：
kGij = N0 x x x dx
0 ' i ' j
其中： i , j 为插值函数