恒成立问题解题策略

不等式恒成立问题解题策略：
① 分离参数法； ② 转换主元法； ③ 数形结合型
例1：若函数 y sin 2x (a 4)(sin x cos x) a 的定义域为一切实数，求实数
a
的范围。
【理解题意】
1、定义域为一切实数是什么意思？怎样用式子表示？
sin 2 x (a 4)(sin x cos x) a 0恒成立。
【思路形成】
2、三角不等式如何转化为普通不等式？
换元：
t sin x cos x
t 2 (a 4)t a 1 0, t [ 2, 2 ]
转化为：
【模仿解题】
问题3：二次不等式恒成立，如何求参数范围？
转化为：
f (t ) t 2 (a 4)t a 1, t [ 2, 2 ]
隐性的
数学方法
显性的
解题方法的掌握
数学基础知识点的理解和掌握
谢 谢 倾 听！
2、求函数最值的最基本方法——单调性。
3、判断数列单调性——相邻两项大小的比较。
4、比较大小——求差比较法、求商比较法。
恒成立问题的解题策略
示例：（1）若不等式 x 2 ax 1 0 对 x R一切 恒 成立，求a 的取值范围。
变式：若改为 x 1, 2 ,求a的取值范围。
数学思想
恒成立问题解题策略
等式恒成立问题解题策略：
① 赋值法； ② 化为基本函数； ③ 分离变量；
不等式恒成立问题解题策略：
① 分离参数法； ② 转换主元法； ③ 数形结合型
赋值型—利用特殊值求解
• 例1：已知函数f(x)=sinx+acosx图像的一
条对称轴方程为x= 4 ,求实数a的值
解：f (0) f ( ) a 1 2
1
思路1：化简----乘积的形式常通过约分。 但本题难以完成。 思路2：回到基础-----利用函数单调性求最值。 求差法运算复杂，考虑用求商比较法（这是由 特点所至）
f (n 1) f ( n)
1 2n 3 (1 ) 2n 3 2n 5
2n 4 2n 5 2n 3
的最小值大于等于０。
问题4：二次函数在某范围内的最值如何确定？ 问题5：如果用分离变量该如何讨论？
已知关于t的方程t 2 2t a 0的一个根为1 3i.(a R)。
1 求方程的另一个根及实数a的值； 2 是否存在实数m，使对x R时，不等式
log a ( x 2 a) m2 2km 2k 对k [1, 2]恒成立？ 若存在，试求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由..
变式：方程 22 x m2 x 1 0 恒有两个不同实数解， 求m的取值范围.
解1：令t 2 (0, )
x
原式为t 2 mt 1 0 转化为方程在(0, )有两个不同解 0 m2 4 0 x1 x2 m 0 x x 1 0 1 2
思考：已知函数f x 2sin(3x )(| | 的一条对称轴方程为x


2
)图像

4
求实数的值
基本函数——二次函数等
数解，求m的取值范围。
例2：若方程 x 2 mx 1 0 恒有两个不同的实
解：由 0 m 4 0
2
基本函数——二次函数等
f (n 1) f ( n)
4n 2 16 n 16 4n 2 16 n 15
1
因此，f (n 1) f (n), f (n)为单调递增函数， 4 n 1时，f (n)最小值为 。 3 5 4 5 所以，a . 15
【解题后的反思】
1、不等式恒成立，确定参数取值范围——分离参数法。
解1：m( x y 1) x y 3 0 x y 1 0 直线过定点A（1,2） x y 3 0 当PA l时，距离最大； 当不垂直时，距离是以PA为直角边的斜边
解2：d
| 2(m 1) (1 m) m 3 | (m 1) 2 (1 m) 2
解： 1 ）x2 1 3i, a x1x2 4
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2)m 2km 2k log4 ( x 4)恒成立
2 2
得m2 2km 2k log4 ( x2 4)min 1
转换主元，化为关于k的一次不等式：
即g (k ) (2 2m)k m 1 0恒成立
基本函数——二次函数等
解2：令t 2 (0, )
x
原式为t mt 1 0
2
t 1 1 m (t ) t t
2
1 转化为y=m与y= (t )在(0, )两个交点 t 得m 2
分离变量
例3：已知点P（2， 1）和直线l: (m 1) x (1 m) y m 3 0, 当m为何值时，点P到直线的距离 最大？最大值是多少？
(4m 2) 2 2(m 2 1) 利用判别式法求d 2的值域 转化为(8-d )m 8m 2 d 0
2 2 2
8 4(8 d )(2 d ) 0
2 2 2
得0 d 10
恒成立问题解题策略
等式恒成立问题解题策略：
① 赋值型—利用特殊值求解； ② 化为基本函数； ③ 分离变量；
恒成立问题解题策略
什么是恒成立问题？
以函数、数列、三角函数、解析几何为载体具 有一定的综合性，解决这类问题，主要运用等价转 化的数学思想，涉及到一次函数、二次函数的性质、
图像，渗透换元、化归、数形结合、函数与方程等
思想方法，有利于考查学生的综合能力，在培养思 维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用，因 此也是历年高考的一个热点。恒成立问题按形式可 分为以下不等式恒成立和等式恒成立等等。
2
2 g ( 1) (2 2 m ) m 1 0 2 g (2) 2(2 2m) m 1 0 m 1
例2、设an n 5, bn 2n 1, 对任意n N , 1 1 1 使得不等式a n 2 an (1 )(1 ) (1 )恒成立， b1 b2 bn 求a的范围。
【理解题意】 【思路形成】a
1 1 1 (1 )(1 ) (1 )恒成立 3 5 2n 1 2n 3
1 1 1 (1 )(1 ) (1 )】最小值。 3 5 2 n 1 2n 3 1
1
因此，a 【
设f (n)
1 1 1 (1 )(1 ) (1 ) 3 5 2n 1 2n 3