第十章图论及LTI电路的矩阵法介绍

割集：割集是连通图G的一个支路集合，把这些
支路移去将使图G分离成二个部分，但是如果少移 去其中一条支路，则图仍将是连通的。这就是说割 集是把一个连通图G分成两个分裂的子图所需割断 数量最少的一组支路。通常用Ci表示i第个割集。 例如图8-6中，{b1，
b5，b6，b3}构成
一个割集，如图中 虚线所示。
图8-1(b)
支路：与两个节点ni、nj相关联的线段，称为支路， 图中b1，b2，b3，b4，b5，b6均称之为支路，通常用bi 表示第i支路。
图：就是由有限个节点 ( 节点集 ) 和有限条支路
(支路集)组成的集合，在该集合中每条支路恰好连
接着两个节点，而支路仅在节点上相交。
通常我们用G表示图。在一个图里所有的支 路构成支路集，用β表示，即β△{b1，b2，…，
树支数目和连支数目：一个连通图具N个节点和B 条支路，则树T每两个节点之间至少有一条支路方能
连在一起，如果要连通Βιβλιοθήκη Baidu个节点，要有N-1条支路，
又由于树T不能包含回路，所以N个节点间支路数也 不可能多于N-1条，因此对于一个具有N个节点和B 条支路的连通图，它的树T含有N-1条树支和B-(N-1) 条连支。
但支路集{b1，b5，b6}和{b2，b5，b1，b3}则不是割集。 基本回路：若在选定的连通图G的树T加入一条连支
则可得到一个且仅仅一个回路，若依次加入所有的连
支，则得到相应的各个回路Li，所有的这些回路称为
基本回路；或者更简单地说基本回路就是单连支回路， 例如图 (b)中的l1、l2、l3、l4就是基本回路。
基本割集：若选定连通图 G的树T，每次割断T
中一条树支和若干条连支可以得到一个且仅仅
一个割集，依此方式，割断T中所有的树支，就
得到相应的各个割集Ci，所有这些割集称为基本 割集，或叫单树支割集。例如图(c)的c1，c2，c3， c4，c5均为基本割集。
因为对应于树T的每一条树支有一个基本割集、对
点组成，则称蜕化子图。
子图
n1
b1
b5
b3
n3
n2
节点的维数：与一个节点相关联的支路的数目称为 该节点的维数。例如上图中，节点n1，n2，n5，n6都 是三维的，而节点n3，n4是四维的。而零维节点称为
孤立点。
通路：长度为m的通路是m条不同支路与m+1个不同
节点依次连接而成的一条路径，在这条路径中除始点 与终点两个节点为一维外，其余各节点都是二维的。
压和电流的参考方向以及网络中元件的特性。而
任何集中参数的电网络都可用基尔霍夫电压和电 流定律（KVL和KCL）以及支路特性方程(VCR)来 描述，因此只要着重讨论电路中各元件之间的连 接关系，而不管支路元件的性质，则每一条支路
都可以用一条有向的线段(线段的方向代表支路
的电压、电流参考方向 )来表示，这样就可把一
连通图与非连通图： 如果一个图，在它的任意两
个节点之间，至少存在一条通路，那样这样的图为
连通图。例如上图(a)是连通图，而图(b)是非连通图。
回路：构成闭合路径的支路集，就是回路。回路是
一个连通图。长度为m而始端节点与终端节点相重合的
通路称为长度为 m的回路，长度为1的回路称为自回路。
对于有向图给定的回路，常指定一顺时针方向，
或逆时针方向作为回路的参考方向。
网孔：精确的定义为：若连通平面线图的一个回路
内部不存在任何支路，则此回路称为网孔。
树：在一个连通图Gn中取一个子图Gs，当且仅
当Gs满足下列三个条件时，则称子图Gs为Gn的 树，记为T，这三个条件是： ① Gs是连通图； ② Gs包含原图Gn中的全部节点；
③ Gs中不包含任何回路。
bB}；而所有的节点构成节点集合，用γ表示，
γ△{n1，n2，…，nN}。这里B是支路数，N是节
点数，因此一个图G可以用 G ( , )表示。
• 无向图与有向图：如果图 G中每条支路都不指
明支路方向，则称之为无向图，用 Gn 表示，如
图 8-1(b) 所示；如果图 G 中每条支路都规定一定
个复杂的电路抽象转换为一个由点和线段集合
成的图形 ( 拓朴图 ) 。例如图 8-1(a) 所示网络，就 可抽象为8-1(b)、(c)那样的拓朴图。
1. 图论的基本概念
节点：一条线段的端点， 或者一个孤立的点称之为节 点，如右图中n1，n2，n3，n4 均称之为节点，通常我们用 ni表示第i个节点。
如图8-4(a)所示的图Gn，它的两个树分别如图8-4(b)、 (c)，但是8-4(d)和(e)则不是它的一个树，因为(d)中包含
一个回路，而(e)是不连通的。同一连通图G具有许多不
同的树
树支、树余和连支：构成树的各条支路称为树支， 图Gn中除去树以外的所有支路形成Gn的另一个子图， 称为树余(反树)，属于反树的各条支路称为连支。例 如图8-5中图Gn的树支如图8-5(b)实线所示，而(b)中虚 线为连支。
第10章 图论及LTI电路系统的矩阵分析法
本 章 内 容
•
图论的基本概念
•
• •
电路系统的图矩阵表示方法、
支路方程和网络图矩阵间的相互关系 电路与系统方程的图矩阵分析法(自学）
10.1 图论基础
电路分析中的分析模型都是用具有特定元件特 性的二端元件所组成的网络，要完整的描述这样 的网络，就必须知道支路间的连接特性、支路电
如图中，支路集{b4，b8，b9，b2}在节点n1和n2之 间构成通路，其相应节点为n1，n5，n4，n6，n2，其中n1 和n2分别为始端节点与终端节点；
而支路{b5，b7，b10，b6}就不能构成n1与n2之间
的一条通路，因为在该支路集中节点 n3 的维数 超过了二维。由此可以通俗地说：“通路就是 两个节点之间一条无叉道的路径。”
应于每一条连支有一个基本回路，因此一个具有N个节
点和B条支路的连通图Gn有N-1个基本割集、B-(N-1)个
的方向，则称之为有向图，用 Gd 表示，如下图
所示。
•子图：如果图 Gs ( s , s ) 的节
点集γs是图G的节点集γ的子集，
支路集βs是支路集β的子集，则
称图Gs是图G的子图。
例如图中，由γs ={n1，n2，n3}和βs ={b1，b3，b5}构 成的图就是该图的子集，若子集仅由一个孤立的节