近世代数教学PPT

描述法:
如果一个集A是由一切具有某一性质的元 素所组成的，那么就用记号
A {x | x具有某一性质
来表示.
A {x | 1 x 1, x R } 表示一切大于-1且小于1
的实数的所组成的集合.
常用的数集：
全体整数的集合，表示为Z 全体有理数的集合，表示为Q 全体实数的集合，表示为R
全体复数的集合，表示为C
不含任何元素的集合叫空集. 表示为：Ø
枚举法:
例如,我们把一个含有n个元素 a1,a2,,an 的
集合的有限集合表示成：a1,a2,,an . 前五个
正整数的集合就可以记作 1,2,3,4,5 .
拟枚举： 自然数的集合可以记作 1,2,3,4,5....n..... , 拟枚
举可以用来表示能够排列出来的的集合, 像 自然数、整数…
设A，B是两个集合，令 A B {x | x A但x B} 也就是说，A B 是由一切属于A但不属于B 的元素所
组成的，称为A与B 的差.
注意：并没有要求B是A的子集. 例如，Q C Ø
积运算：
设A，B是两个集合，令 A B {(a,b) | a A,b B} 称 A B 为A与B的笛卡儿积（简称为积）. 是一切元素 对（a, b ）所成的集合，其中第一个位置的元素a取自 A，第二个位置的元素b取自B.
阿贝尔
加罗华
被誉为天才数学家的伽罗瓦（1811-1832）是近世代数的创始人之一。他深入 研究了一个方程能用根式求解所必须满足的本质条件，他提出的“伽罗瓦域”、 “伽罗瓦群”和“伽罗瓦理论”都是近世代数所研究的最重要的课题。伽罗瓦群理 论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。他给方程可解性问题提供了全面而透 彻的解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。伽罗瓦群论还给出了判断 几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方 体的问题都是不可解的。最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代 替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数 学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展 产生了巨大影响。同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构 主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响。
Kummer的想法是：如果上面的方程有正 整数解，假定η是一个n次本原单位根，那么 xn+yn=zn 的等式两边可以作因子分解 zn=(x+y)(x+ηy)…(x+ηn-1y),象整数中的因子分解 一样，如果等式右边的n个因子两两互素，那么 每个因子都应是另外一个“复整数”的n次方幂,
进行适当的变换之后有可能得到更小的整数 x1,y1,z1使 xn+yn=zn 成立，从而导致矛盾。如果 上面等式右边的n个因子有公因式，那么同除这 个公因式再进行上面同样的讨论。
诺特, 1882年3月23日生于德国埃尔朗根，1900年入埃朗 根大学，1907年在数学家哥尔丹指导下获博士学位。1916年 后，她开始由古典代数学向抽象代数学过渡。1920年，她已 引入「左模」、「右模」的概念。1921年写出的<<整环的理 想理论>>是交换代数发展的里程碑。建立了交换诺特环理论， 证明了准素分解定理。1926年发表<<代数数域及代数函数域 的理想理论的抽象构造>>，给戴德金环一个公理刻画，指出 素理想因子唯一分解定理的充分必要条件。诺特的这套理论也
直到1824年一位年青的挪威数学家 N.Abel (1802-1829) 才证明五次和五次以上的一般代数方程 没有求根公式。但是人们仍然不知道什么条件之下一 个已知的多项式能借助加、减、乘、除有理运算以及 开方的方法求出它的所有根,什么条件之下不能求根。
最终解决这一问题的是一位法国年青数学家 E.Galois(1811—1832)，Galois引入了扩域以及群的 概念，并采用了一种全新的理论方法发现了高次代数 方程可解的法则。在Galois之后群与域的理论逐渐成 为现代化数学研究的重要领域，这是近世代数产生的 一个最重要的来源。
分配律 : A B C A B A C A B C A B A C
两个集的并与交的概念可以推广到任意n个集合上去， 设 A1, A2 ,, A是n 给定的集合. 由 A1, A2 ,, 的An 一切元素 所成的集合叫做 A1, A2 ,, 的An 并；
由A1, A2 ,, An的一切公共元素所成的集合叫做
近世代数
《近世代数》课程是现代数学的基础,既 是中学代数的继续发展，也是高等代数课程的 继续和发展,同时它又同拓扑学、实变函数与泛 函分析构成现代数学的三大基石，是进入数学 王国的必由之路，是数学与应用数学专业学生 必修的重要基础课。
同学应当具备有初等代数，高等代数的 背景，此外还有初等数论等方面的知识背景。
近世代数理论的三个来源
(1) 代数方程的解 (2) Hamilton四元数的发 (3) Kummer理想数的发现
（1） 代数方程的解
两千多年之前古希腊时代数学家就能够利用开 ax2+bx+c=0 方法解二次方程 。16世纪初欧洲 文艺复兴时期之后，求解高次方程成为欧洲代 数学研究的一个中心问题。1545年意大利数学 家 G.Cardano(1501-1576)在他的著作《大术》 （Ars Magna）中给出了三、四次多项式的求根 公式，此后的将近三个世纪中人们力图发现五 次方程的一般求解方法，但是都失败了。
(2)Hamilton四元数的发现
长期以来人们对于虚数的意义存在不同的看法，后来发现 可以把复数看成二元数(a,b)=a+bi，其中i2= -1。二元数按 (a,b)±(c,d)=(a±c,b±d)，(a,b)(c,d)=(ad+bc,ac-bd)的法则进行代 数运算，二元数具有直观的几何意义；与平面上的点一一对应。 这是数学家高斯提出的复数几何理论。二元数理论产生的一个 直接问题是：是否存在三元数？经过长时间探索，力图寻求三 元数的努力失败了。但是爱尔兰数学家W.Hamilton(1805-1865) 于1843年成功地发现了四元数。四元数系与实数系、复数系一 样可以作加减乘除四则运算，但与以前的数系相比，四元数是 一个乘法不交换的数系。从这点来说四元数的发现使人们对于 数系的代数性质的认识提高了一大步。四元数代数也成为抽象 代数研究的一个新的起点，它是近世代数的另一个重要理论来 源。
Kummer方法的前提是形如a+bη的复整数也象 整数一样具有唯一的素因子分解，其中a与b是通 常整数。并不是对于每个整数n,复整数a+bη都具 有唯一分解性，Kummer把这种复整数的因子分解 称为理想数的分解。
用这种方法 Kummer证明了n≤100时费马大定 理成立,理想数的方法不但能用于费马问题研,实 际上是代数数论的重要研究内容，其后德国数学 家R.Dedekind(1831-1916)把理想数的概念推广为 一般的理想论，使它成为近世代数的一个重要的 研究领域。
§1 集 合 §2 映射与变换 §3 代数运算 §4 运算率 §5 同态与同构 §6 等价关系与集合的分类
§1 集 合
表示一定事物的集体，我们把它们称为集合或集， 如“一队”、“一班”、“一筐”. 组成集合的东西 叫这个集合的元素.
我们常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用 小写拉丁字母a，b，c，…表示元素. 如果a是集合A的
设A，B是两个集合，如果A 的每一元素都是B 的 元素，那么就说Ａ是Ｂ的子集，记作 A B ，或记 作 B A . 根据这个定义，Ａ是Ｂ的的子集当且仅当
对于每一个元素x，如果 x A ，就有 x B .
A是B的子集，记作：
(A B) (Байду номын сангаас : x A x B)
如果集合A与B的由完全相同的元素组成部分的， 就说A与B 相等，记作：A=B. 即
就是现代数学中的“环”和“理想”的系统理论，一般认为抽 象代数形式的时间就是1926年，从此代数学研究对象从研究代 数方程根的计算与分布，进入到研究数字、文字和更一般元素
的代数运算规律和各种代数结构，完成了古典代数到抽象代数
的本质的转变。诺特当之无愧地被人们誉为抽象代数的奠基人 之一。
第一章 基本概念
近世代数是在19世纪末至20世纪初发展起来的 数学分支。
1930年荷兰数学家范德瓦尔登（B.Lvan der Wearden 1930-1996） 根据该学科领域几位创始 人的演讲报告,综合了当时近世代数的研究成果, 编 著了《近世代数学》(Moderne Algebra）一书,这 是该学科领域第一本学术专著，也是第一本近世代 数的教科书。
(A B) (x : x A x B)
以集合A的所有子集为元素的集合，称为A的幂集， 记为P(A). 如果集合A包含无限多个元素，则记为 A =；如 果A包含ｎ个元素，则记为 A =ｎ，此时 P(A) 2n
并运算 设A，B是两个集合. 由A的一切元素和B的一切
元素所成的集合叫做A与B的并集（简称并），记作 A B.
元素，就说a属于A，记作 a A ；如果a不是集合A
的元素，就说a不属于A，记作 a A ；
例如，设A是一切偶数所成的集合，那么4∈A，
而 3. A
一个集合可能只含有有限多个元素，这样的 集合叫做有限集合. 如，学校的全体学生的集 合；一本书里面的所有汉字的集合等等这些 都是有限集合.
如果一个集合是由无限多个元素组成的， 就叫做无限集合. 如，全体自然数的集合；全 体实数的集合.
（3）Kummer理想数的发现
17世纪初法国数学家费马(P.Fermat 1601-1665） 研究整数方程时发现当n≥3时，方程
xn+yn=zn 没有正整数解，费马认为他能够证明这个 定理，但是其后的三百多年中人们研究发现这是一个 非常困难的问题，这一问题被后来的研究者称为费马 问题或费马大定理，此定理直到1995年才被英国数学 家A.Wiles证明。对费马问题的研究在三个半世纪内从 未间断过，欧拉、高斯等著名数学家都对此作出过重 要贡献。但最重大的一个进展是由E.Kummer作出的。