空间向量的正交分解

1 1 2 2 3 3
a b (a 1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) ;
a
(a1 , a2 , a3 ),( R) ;
a b a1b1 a2b2 a3b3
;
a // b a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ( R) ; a1 / b1 a2 / b2 a2 / b2 .
C
z
D1 A1 F1 E1 B1 C1
D
O
A
x
17 17 | BE1 | , | DF1 | . 4 4 15 B BE1 DF1 15 16 cos BE1 , DF1 . | BE1 | | DF1 | 17 17 17 4 4
y
练习一：
1.求下列两个向量的夹角的余弦：
注意：
（1）当 cos a , b 1 时， a 与 b 同向；
a 与 b 反向； （2）当 cos a , b 1 时，
（3）当cos a , b 0 时，a b 。 思考：当 0 cos a , b 1 及 1 cos a , b 0 时， 的夹角在什么范围内？
化简整理，得 4 x 6 y 8z 7 0
即到 A 、B 两点距离相等的点的坐标 ( x , y , z ) 满
足的条件是 4 x 6 y 8z 7 0
例2
B1 E1 如图，在正方体 ABCD A1B1C1 D1 中，
A1B1 D1F1 4
，求 BE1 与 DF1 所成的角的余弦值。
z
a
A(x,y,z) O j y
k i x
三、空间向量基本定理
前面我们定义了空间向量的加、减 、数乘、数量积四 种运算，从而空间的有关问题可以转化为空间向量的这四 种运算来处理. 另外，我们还发现类似平面向量基本定理，空间也有 空间向 量基本定理，也就 是说： 已知三个不共面 向量 a 、 b、 c ，那么对于空间任一向量 p ，都存在有序实数组
点O叫做原点，向量i、j、k都叫做坐标向量.通 过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。
二、向量的直角坐标表示
给定一个空间坐标系和向 量 a ,且设i、j、k为坐标向量， 由空间向量基本定理，存在唯 一的有序实数组( x , y, z)使
z
a
A(x,y,z)
k
a = x i+ y j+ zk 有序数组(x, y, z)叫做 a 在空间
解：设正方体的棱长为1，如图建
C1
z
D1 A1
F1 E1 B1
立空间直角坐标系 O xyz ，则
3 B(1,1, 0) , E1 1, ,1 , 4
C
D
O
B
y
1 D(0 , 0 , 0) , F1 0 , ，1 . 4
A
x
1 3 BE1 1, ,1 (1,1, 0) 0 , ,1 , 4 4
例2
B1 E1 如图，在正方体 ABCD A1B1C1 D1 中，
A1B1 4
D1F1
，求 BE1 与 DF1 所成的角的余弦值。
1 1 DF1 0 , ，1 (0 , 0 , 0) 0 , ，1 . 4 4
15 1 1 BE1 DF1 0 0 1 1 , 16 4 4
六、应用举例
A 例1 已知 A(3 , 3 ,1)、 B(1, 0 , 5) ，求：
（1）线段 AB 的中点坐标和长度； 解：设 M ( x , y , z ) 是 AB 的中点，则
M
B
3 ∴点 M的坐标是 2 , , 3 . 2
1 1 3 O OM (OA OB) (3 , 3 ,1) 1, 0 , 5 2 , , 3 , 2 2 2
a b a1b1 a2b2 a3b3 0 ;
五、距离与夹角
1.距离公式 （1）向量的长度（模）公式
| a |2 a a a12 a22 a32
| b | b b b b2 b3
2 2 1 2
2
注意：此公式的几何意义是表示长方体的对 角线的长度。
d A, B ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z2 z1 )
2.两个向量夹角公式
a1b1 a2 b2 a3b3 a b cos a, b ; 2 2 2 2 2 2 | a || b | a1 a2 a3 b1 b2 b3
d A, B (1 3)2 (0 3)2 (5 1)2 29 .
A
M
（2）到 A 、B 两点距离相等的点 P ( x , y , z ) 的 坐标 x , y , z 满足的条件。
O
B
解：点 P ( x , y , z )到 A 、B 的距离相等，则
( x 3) 2 ( y 3) 2 ( z 1) 2 ( x 1) 2 ( y 0) 2 ( z 5) 2 ,
（2）空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，已知 A( x1 , y1 , z1 ) 、 B( x2 , y2 , z2 ) ，则
AB
( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )
( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 ( z2 z1 )2
2 2 2
| AB | AB AB
x, y, z ，使得 p xa yb zc ，而这种表示式是唯一的.
把 a , b, c 叫做空间的一个基底, a, b, c 叫做基向量.


这样空间的有关问题就转化为了三个基向量的运算问 题,这将会使问题更容易处理,而且方向性强.
四、向量的直角坐标运算
设a (a1, a2 , a3 ),b (b1, b2 , b3 )则 a b (a b , a b , a b ) ;
直角坐标系O--xyz中的坐标， 记作.
i
x
O j
y
a ( x, y, z )
在空间直角坐标系O--xyz中，对空间任一点， A,对应一个向量OA，于是存在唯一的有序实数 组x,y,z，使 OA=xi+yj+zk 在单位正交基底i, j, k中与向量OA对应的有 序实数组(x,y,z)，叫做点A在此空间直角坐标系中 的坐标，记作A(x,y,z)，其中x叫做点A的横坐标， y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.
一、空间直角坐标系 单位正交基底：如果空间的一个基底的 三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个 基底叫做单位正交基底，常用来 i , j , k 表示 空间直角坐标系：在空间选定一点O和一 个单位正交基底 i、j、k 。以点O为原点， 分别以i、j、k的正方向建立三条数轴：x轴、 y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了 一个空间直角坐标系O--xyz
(1) a (2 , 3 , 3) , b (1, 0 , 0) ;
(2) a (1, 1,1) , b (1, 0 ,1) ;
2.求下列两点间的距离：
(1) A(1,1, 0) , B(1,1,1) ;
(2) C (3 ,1, 5) , D(0 , 2 , 3) .