第九章扭转变形详解

第九章扭转

§9-1 引言

工程问题中，有很多杆件是受扭转的。自行车的中轴受扭转。

齿轮传动示意图

圆杆各横截面绕杆的轴线作相对转动受力特点：

圆截面直杆受到一对大小相等、转向相反、作用面垂直于杆的轴线外力偶作用（矢量与轴线一致）

变形特点：M e

M e 工程中主要承受扭转的构件称为“轴”，实际构件工作时除发生扭转变形外，还常伴随有弯曲、拉压等其他变形形式。

扭力偶：使杆产生扭转变形的外力偶M e

扭转角：轴的变形以横截面间绕轴变形的相对角位移。

§9-2 动力传递与扭矩

Ⅰ、传动轴的外力偶矩

传动轴的转速n ；所传递的功率P (kW)作用在该轮上的外力偶矩M e 。

已知：求：传动轮的转速n 、功率P 及其上的外力偶矩M e 之间的关系：)(n P 0247M e m N ⋅=(P —马力)

M e

M e A B min)

/()(9549r n kW P M e =ωM P =ωP

M =

Ⅱ、扭矩及扭矩图圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩，用符号T 表示。

e

M T =1

1利用截面法来确定.

扭矩的符号规定按右手螺旋法则确定:

扭矩矢量离开截面为正，指向截面为负。

仿照轴力图的做法，可作扭矩图，表明沿杆轴线各横截面上扭矩的变化情况。

e M T =11

T T M e

M e A B

11B

M e A

M e 11x M e T 图

+

x T

例1: 一传动轴如图，转速n = 300r/min；主动轮输入

的功率P

1= 500kW，三个从动轮输出的功率分别为：

P2= 150kW，P3= 150kW，P4= 200kW。试作轴的扭矩图。

首先必须计算作用在各轮上的外力偶矩m

kN 9.15m N )300500

9549(1⋅=⋅×=M m

kN 78.4m N )300

150

9549(32⋅=⋅×==M M m

kN 37.6m N )300

200

9549(4⋅=⋅×=M 解：22

11

33

M 1M 2

M 3M 4A

B

C

D

分别计算各段的扭矩

m

kN 78.421⋅−=−=M T m

kN 37.643⋅==M T 22

1133

M 1M 2M 3M 4A B C

D

T 11

1x

M 2A

T 2

A

M 2

B

M 322

x

T 3

33

D

M 4x

223

9.56kN m

T M M =−−=−⋅

扭矩图T max = 9.56 kN·m

在CA 段内

M 1M 2M 3

M 4

A

B

C

D 4.78

9.56

6.37

T 图(kN·m)

一、扭转试验与假设：§9-3 切应力互等定理与剪切胡克定律

1、相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但圆周的大小、形状、间距都未变；（各横截面如同刚性圆片）

2、纵向线倾斜了同一个角度γ ，表面上所有矩形均变成平行四边形。

平面假设：圆轴受扭转时其横截面如同刚性平面一样绕杆的轴线转动。

表面变形特点：

拉压杆：正应力

表面正方格子倾斜的角度—直角的改变量γ切应变

γ

ϕ

A B

D C

γA

B

C D

B 1

A 1D 1

C 1D'

D 1'C 1'

C'横截面上没有正应力产生，只有切应力，方向与圆周相切，即与半径垂直。（纯剪切应力状态）

d x

dz

d y τ

′

τy

z

x

由切应力构成的剪力由切应力构成的剪力τdydz τ′τdxdy

τ′由于微单元体处于平衡状态，则

dxdydz dxdydz ττ′=ττ

′=切应力互等定理：在微体的两个互垂截面上，垂直于截面交线的切应力数值相等，而方向均指向或均离开该交线。切应力互等定理：适用于空间任意应力状态。

二、切应力互等定理

G τγ

=三、剪切胡克定律

当切应力不超过材料的剪切比例极限p

τ对于各向同性材料，弹性模量E 、泊松比μ与切变模量G 之间存在如下关系

2(1)

E

G μ=

+在剪切弹性范围内，切应力与切应变成正比

§9-4 圆轴扭转横截面上的应力

物理方面静力学方面

几何关系

A、几何关系

根据平面假设

a b

O1O

2

a b

d x

EG G G ′=≈ρργγtan AD DD '

=≈γγtan x

d d ϕ

ρ=

γ

M e

M e

d ϕγ

D'G'

G E

T T

O 1

O 2

a b a

b

d x

D A

γρ

ρ

d ϕ

γ

D'

G'

G E

O 1

O 2D A

γρ

ρ

d x

d

x

R d d ϕ×=