第九章扭转变形详解
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第九章扭转
§9-1 引言
工程问题中,有很多杆件是受扭转的。自行车的中轴受扭转。
齿轮传动示意图
圆杆各横截面绕杆的轴线作相对转动受力特点:
圆截面直杆受到一对大小相等、转向相反、作用面垂直于杆的轴线外力偶作用(矢量与轴线一致)
变形特点:M e
M e 工程中主要承受扭转的构件称为“轴”,实际构件工作时除发生扭转变形外,还常伴随有弯曲、拉压等其他变形形式。
扭力偶:使杆产生扭转变形的外力偶M e
扭转角:轴的变形以横截面间绕轴变形的相对角位移。
§9-2 动力传递与扭矩
Ⅰ、传动轴的外力偶矩
传动轴的转速n ;所传递的功率P (kW)作用在该轮上的外力偶矩M e 。
已知:求:传动轮的转速n 、功率P 及其上的外力偶矩M e 之间的关系:)(n P 0247M e m N ⋅=(P —马力)
M e
M e A B min)
/()(9549r n kW P M e =ωM P =ωP
M =
Ⅱ、扭矩及扭矩图圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩,用符号T 表示。
e
M T =1
1利用截面法来确定.
扭矩的符号规定按右手螺旋法则确定:
扭矩矢量离开截面为正,指向截面为负。
仿照轴力图的做法,可作扭矩图,表明沿杆轴线各横截面上扭矩的变化情况。
e M T =11
T T M e
M e A B
11B
M e A
M e 11x M e T 图
+
x T
例1: 一传动轴如图,转速n = 300r/min;主动轮输入
的功率P
1= 500kW,三个从动轮输出的功率分别为:
P2= 150kW,P3= 150kW,P4= 200kW。试作轴的扭矩图。
首先必须计算作用在各轮上的外力偶矩m
kN 9.15m N )300500
9549(1⋅=⋅×=M m
kN 78.4m N )300
150
9549(32⋅=⋅×==M M m
kN 37.6m N )300
200
9549(4⋅=⋅×=M 解:22
11
33
M 1M 2
M 3M 4A
B
C
D
分别计算各段的扭矩
m
kN 78.421⋅−=−=M T m
kN 37.643⋅==M T 22
1133
M 1M 2M 3M 4A B C
D
T 11
1x
M 2A
T 2
A
M 2
B
M 322
x
T 3
33
D
M 4x
223
9.56kN m
T M M =−−=−⋅
扭矩图T max = 9.56 kN·m
在CA 段内
M 1M 2M 3
M 4
A
B
C
D 4.78
9.56
6.37
T 图(kN·m)
一、扭转试验与假设:§9-3 切应力互等定理与剪切胡克定律
1、相邻圆周线绕杆的轴线相对转动,但圆周的大小、形状、间距都未变;(各横截面如同刚性圆片)
2、纵向线倾斜了同一个角度γ ,表面上所有矩形均变成平行四边形。
平面假设:圆轴受扭转时其横截面如同刚性平面一样绕杆的轴线转动。
表面变形特点:
拉压杆:正应力
表面正方格子倾斜的角度—直角的改变量γ切应变
γ
ϕ
A B
D C
γA
B
C D
B 1
A 1D 1
C 1D'
D 1'C 1'
C'横截面上没有正应力产生,只有切应力,方向与圆周相切,即与半径垂直。(纯剪切应力状态)
d x
dz
d y τ
′
τy
z
x
由切应力构成的剪力由切应力构成的剪力τdydz τ′τdxdy
τ′由于微单元体处于平衡状态,则
dxdydz dxdydz ττ′=ττ
′=切应力互等定理:在微体的两个互垂截面上,垂直于截面交线的切应力数值相等,而方向均指向或均离开该交线。切应力互等定理:适用于空间任意应力状态。
二、切应力互等定理
G τγ
=三、剪切胡克定律
当切应力不超过材料的剪切比例极限p
τ对于各向同性材料,弹性模量E 、泊松比μ与切变模量G 之间存在如下关系
2(1)
E
G μ=
+在剪切弹性范围内,切应力与切应变成正比
§9-4 圆轴扭转横截面上的应力
物理方面静力学方面
几何关系
A、几何关系
根据平面假设
a b
O1O
2
a b
d x
EG G G ′=≈ρργγtan AD DD '
=≈γγtan x
d d ϕ
ρ=
γ
M e
M e
d ϕγ
D'G'
G E
T T
O 1
O 2
a b a
b
d x
D A
γρ
ρ
d ϕ
γ
D'
G'
G E
O 1
O 2D A
γρ
ρ
d x
d
x
R d d ϕ×=