几何证明角平分线模型(中级)
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A
B
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几何证明——角平分线模型(中级)
【知识要点】
1、角平分线:
(1)角平分线性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等(作用:证明两条线段相等); (2)逆定理:在角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。(作用:证明两角相等或一
条射线是一个角的角平分线)。
2、角平分线常见用法(或辅助线作法):
①垂两边:如图1,已知BP 平分ABC ∠,过点P 作PA AB ⊥,PC BC ⊥,则PA PC =。
②截两边:如图2,已知BP 平分MBN ∠,点A BM 上,在BN 上截取BC BA =,则ABP ∆≌CBP ∆。 ③角平分线+平行线→等腰三角形:
如图3,已知BP 平分ABC ∠,//PA AC ,则AB AP =; 如图4,已知BP 平分ABC ∠,//EF PB ,则BE BF =。
(1) (2) (3) (4)
④三线合一(利用角平分线+垂线→等腰三角形):
如图5,已知AD 平分BAC ∠,且AD BC ⊥,则AB AC =,BD CD =。
(5)
3、角平分线比例定理
如图6,AD 为ABC ∆的角平分线,则
AB BD AC CD =或AB AC
BD CD
=
。
(6)
【经典例题】
例1、已知如图,ABC ∆中,BC AC =,AD 平分CAB ∠,若ο
90=∠C ,求证:CD AC AB +=;
C
例2、如图,在ABC Rt ∆中,ο
90=∠ACB ,AB CD ⊥于D ,AF 平分CAB ∠交CD 于E ,交CB 于F ,
且AB EG //交CB 于G 。试求:CF 与GB 的大小关系如何?
E C
A
B
D
F
G
例3、已知如图,ABC ∆中,BC AC =,AD 平分CAB ∠,若ο
108=∠C ,求证:BD AC AB +=;
例4、如图:已知I 是ABC ∆的内心,//DI AB 交BC 于点D ,//EI AC 交BC 于E 。求证:DIE ∆的周长等于BC 。
A
B
C
I
D
E
例5、如图:已知在ABC ∆中,ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线交于点D ,DE ∥BC ,交AB 于点E ,交AC 于点F ,求证:FC BE EF -=。
F
E
D
A
B
C
M
例6、如图,已知ABC ∆中CD AC AB BAC ,,90==∠ο
垂直于ABC ∠的平分线BD 于D ,BD 交AC 于E ,
求证:CD BE 2=。
E
D A
B
C
【提升训练】
1、如图,已知ABC ∆的周长是OC OB ,,21分别平分ABC ∠和ACB ∠,BC OD ⊥于D ,且3=OD ,求
ABC ∆的面积.
D
O
B C
A
2.如图,△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60.其三条角平分线交于点O,则S△ABO
:S△BCO:S△CAO=.
3.如图,∠AOB=30°,OP平分∠AOB,
PC∥OB,PD⊥OB,如果PC=6,那么PD等于.
4.如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为50和39,求△EDF的面积.
5.已知如图在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,∠A的平分线交CD于F,BC于E,过点E作EH⊥AB 于H.求证:EC=CF=EH.
6.已知:如图,平行四边形ABCD各角的平分线分别相交于点E,F,G,H,求证:四边形EFGH是矩形.
7.如图,等边△ABC 中,AO 是∠BAC 的角平分线,D 为AO 上一点,以CD 为一边且在CD 下方作等边△CDE ,连接BE .
(1)求证:△ACD ≌△BCE ;
(2)延长BE 至Q ,P 为BQ 上一点,连接CP 、CQ 使CP=CQ=5,若BC=8时,求PQ 的长.
8.如图,已知在△ABC 中,∠B=90°,两直角边AB=7,BC=24,在三角形内有一点P 到各边的距离都相等,则这个距离是多少?
9.已知:如图在△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC ,交BC 于D ,若BC=32,且BD :CD=9:7,求:D 到AB 边的距离.
10.如图,△ABC 中,点D 在BC 上,记△ABD 的面积为S 1,△ACD 的面积为S 2,若S 1:S 2=AB :AC ,则AD 是△ABC 的角平分线.请说明理由.
11、如图,已知在ABC ∆中,分别以BC AC ,为边向外作正BCE ∆、正ACD ∆,BD 与AE 交于M ,求证:(1)BD AE =。(2)MC 平分DME ∠。
12、已知:如图,AP 、CP 分别是ABC ∆外角MAC ∠和NCA ∠的平分线,它们交于点P ,求证:BP 为
MBN ∠的平分线。
B
N
13、如图,DB DA DAC BAD AC AB =∠=∠=,,2,求证:AC DC ⊥。
B
14、如图,已知AC ∥BD 、EA 、EB 分别平分CAB ∠和CD DBA ,∆过点E ,求证:BD AC AB +=。
D
A
15、如图,ABC ∆中,AD 是A ∠的平分线,F E ,分别为AC AB ,上一点,且ο
180=∠+∠BAF EDF ,求证:DF DE =。