指数函数的概念及图像和性质

指数函数的概念及图像和性质
指数函数的定义
一般地，函数x
y a =（a ＞0且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R .
我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结合的方法来研究. 先来研究a ＞1的情况
下面我们通过用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数2x
y =的图象
再研究，0＜a ＜1的情况，用计算机完成以下表格并绘出函数1()2
x
y =的图象.
x
从图中我们看出12()2
x
x
y y ==与的图象有什么关系?
通过图象看出12(
)2
x
x
y y y ==与的图象关于轴对称,实质是2x y =上的x ,y 点(-)x y x ,y y 1
与=()上点(-)关于轴对称.2
讨论：12()2
x
x y y ==与的图象关于y 轴对称，所以这两个函数是偶函数，对吗？
②利用电脑软件画出115,3,(),()35x x
x x y y y y ====的函数图象.
问题：1：从画出的图象中，你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律.
从图上看x y a =（a ＞1）与x
y a =（0＜a ＜1）两函数图象的特征.
问题2：根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性.
问题3：指数函数x
y a =（a ＞0且a ≠1），当底数越大时，函数图象间有什么样的关系.
x
（1）在[,]x
a b f x a 上,()=（a ＞0且a ≠1）值域是[(),()][(),()];f a f b f b f a 或 （2）若0,x f x f x x ≠≠∈则()1;()取遍所有正数当且仅当R; （3）对于指数函数()x f x a =（a ＞0且a ≠1），总有(1);f a = （4）当a ＞1时，若1x ＜2x ，则1()f x ＜2()f x ；
x 例1 比较下列各题中两个数的大小： (1) 3 0.8 , 30.7 (2) 0.75-0.1, 0.750.1
例2 (1)求使4x>32成立的x 的集合； (2)已知a 4/5>a
2 ,
求实数a 的取值范围.
指数函数y=a x(a>0,a≠1)底数a对函数图象的影响，
我们通过两个实例来讨论
a>1和0<a<1两种情况。

（2）动手实践
动手实践一：
在同一直角坐标系下画出y=2x和y=3x的图象，
比较两个函数的增长快慢
一般地，a>b>1时，
（1）当x<0时，总有a x<b x<1；
（2）当x=0时，总a x=b x=1有；
（3）当x>0时，总a x>b x>1有；
（4）指数函数的底数a越大，当x>0时，其函数值增长越快。

动手实践二：
分别画出底数为0.2,0.3,0.5,2,3,5的指数函数图象.
总结y=a x(a>0,a≠1)，a对函数图象变化的影响。

结论：
（1）当X>0时,a越大函数值越大；当x<0时,a越大函数值越小。

（2）当a>1时指数函数是增函数，当x逐渐增大时，函数值增大得越来越快；当0<a<1时指数函数是减函数，当x逐渐增大时，函数值减小得越来越快。

例题分析
例4 比较下列各题中两个数的大小：
(1) 1.8 0.6, 0.8 1.6; (2) (1/3) -2/3, 2 -3/5 .
(1)解由指数函数性质知1.8 0.6 >1.8 0=1,
0.8 1.6 <0.8 0=1,所以
1.8 0.6> 0.8 1.6
(2) 解由指数函数性质知(1/3) -2/3 >1,
2 -3/5 <1,所以
(1/3) -2/3> 2 -3/5
例5 已知-1<x<0，比较3-x , 0.5-x的大小，
并说明理由。

解（法1）因为-1<x<0 ，所以0<-x<1。

而3>1，因此有3-x>1
又0<0.5 <1，因而有0<0.5 -x <1
故3-x >0.5-x
（法2 ）设a=-x>0, 函数f(x)=x a当x>0时
为增函数，而3>0.5>0,故f(3)>f(0.5)
即3-x >0.5-x
小结：
在比较两个指数幂大小时，常利用指数函数和幂函数的单调性。

相同底数比较指数，相同指数比较底数。

故常用到中间量“1”。