圆锥曲线(抛物线、椭圆、双曲线)标准方程推导

圆锥曲线(抛物线、椭圆、双曲

线)标准方程推导

几何定义是在平面中，由所有满足到一定点与到一定直线距离相等的点所组成的图形，把这个定点称为焦点(focus)、定直线称为准线(directrix)。

为了方便推导，把这一定点放在x轴正方向上，定直线垂直x 轴放在x轴负半轴上，且原点刚好在两者中间。上面这些都仅仅是为了推导方便而已。

设曲线上的点坐标为(x,y)，于是，

\begin{aligned} d(F, P) &=d(P, D) \\ \sqrt{(x-

a)^{2}+(y-0)^{2}} &=|x+a| \\ (x-a)^{2}+y^{2}

&=(x+a)^{2} \\ x^{2}-2 a x+a^{2}+y^{2} &=x^{2}+2 a

x+a^{2} \\ y^{2} &=4 a x \end{aligned}

四种不同开口的标准型：

二、椭圆(Ellipse)

几何意义是在平面中，由所有到两个顶点距离之和为定值的点所组成的图形，把这两个定点称为焦点(foci)，

也是为了推导的方便，把这两个焦点对称放在x轴正负半轴上，令两段距离之和为2a，根据两点之间距离公式进行如下推导：

\begin{aligned} d\left(F_{1}, P\right)+d\left(F_{2}, P\right) &=2 a \\ \sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-

c)^{2}+y^{2}} &=2 a \\ \sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=& 2 a-

\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ (x+c)^{2}+y^{2}=& 4 a^{2}-4 a \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ &+(x-c)^{2}+y^{2} \\

x^{2}+2 c x+c^{2}+y^{2}=& 4 a^{2}-4 a \sqrt{(x-

c)^{2}+y^{2}} \\ &+x^{2}-2 c x+c^{2}+y^{2} \\ 4 c x-4 a^{2}=&-4 a \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ c x-a^{2}=&-a

\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ \left(c x-a^{2}\right)^{2}=& a^{2}\left[(x-c)^{2}+y^{2}\right] \\ c^{2} x^{2}-2

a^{2} c x+a^{4}=& a^{2}\left(x^{2}-2 c

x+c^{2}+y^{2}\right) \\ \left(c^{2}-a^{2}\right)

x^{2}-a^{2} y^{2} &=a^{2} c^{2}-a^{4} \\ \left(a^{2}-c^{2}\right) x^{2}+a^{2} y^{2} &=a^{2}\left(a^{2}-

c^{2}\right) \end{aligned}

令 b^2=a^2-c^2 （根据三角形两边之和大于第三边推出

c

所以，

\begin{aligned} b^{2} x^{2}+a^{2} y^{2} &=a^{2} b^{2} \\ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} &=1

\end{aligned}

常见的两种椭圆标准方程，一种是横躺在x轴上，一种是“站立”着，关键就是看x和y下面哪个数值比较大，哪个大，那么长的对称轴就在哪个方向上。

三、双曲线(Hyperbola)

几何意义是在平面内，由所有到两个顶点距离之差为定值的点所组成的图形，我们把这两个也叫做焦点(foci)，与椭圆相比就是把“和”改成了“差”

为了推导的方便，也是与椭圆一样的操作，把焦点放在x轴两侧，关于原点对称

设满足要求的点坐标为(x,y)，根据两点之间距离公式进行如

下推导：

\begin{aligned} d\left(F_{1}, P\right)-d\left(F_{2},

P\right) &=\pm 2 a \\ \sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}-&

\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=\pm 2 a \\

\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=& \pm 2 a+\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ (x+c)^{2}+y^{2}=& 4 a^{2} \pm 4 a \sqrt{(x-

c)^{2}+y^{2}} \\ &+(x-c)^{2}+y^{2}\\ x^{2}+2 c

x+c^{2}+y^{2}=&4 a^{2} \pm 4 a \sqrt{(x-

c)^{2}+y^{2}}+x^{2}-2 c x+c^{2}+y^{2} \end{aligned}

\begin{aligned} 4 c x-4 a^{2} &=\pm 4 a \sqrt{(x-

c)^{2}+y^{2}} \\ c x-a^{2} &=\pm a \sqrt{(x-

c)^{2}+y^{2}} \\ \left(c x-a^{2}\right)^{2}

&=a^{2}\left[(x-c)^{2}+y^{2}\right] \\ c^{2} x^{2}-2 c a^{2} x+a^{4} &=a^{2}\left(x^{2}-2 c

x+c^{2}+y^{2}\right) \\ c^{2} x^{2}+a^{4} &=a^{2}

x^{2}+a^{2} c^{2}+a^{2} y^{2} \\ \left(c^{2}-

a^{2}\right) x^{2}-a^{2} y^{2} &=a^{2} c^{2}-a^{4} \\ \left(c^{2}-a^{2}\right) x^{2}-a^{2} y^{2}

&=a^{2}\left(c^{2}-a^{2}\right) \end{aligned}

另外， b^2=c^2-a^2 （这里还是根据三角形两边之和大于第

三边推出a

\begin{aligned} b^{2} x^{2}-a^{2} y^{2} &=a^{2} b^{2} \\ \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} &=1

\end{aligned}

对于双曲线，开口是左右还是上下，那就看是x前面的符号为正还是y前面的符号为正了，跟大小没有任何关系了：

x前面的系数为正，开口是左右的

y的前面符号为正，开口是上下的

四、圆锥曲线判断方法

下面仅是大致判断是哪一类的圆锥曲线，具体还是要转化为标准型，下面是在A、C不同时为0且不相同的情况下

1.如果AC=0，是抛物线

2.如果AC>0，是椭圆（A、C相等是圆）

3.如果AC<0，是双曲线

要是万一遇到了 Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0 的情况，那么就先配方一下再进行判断。当然，上面也说了这种方法只能让我们大致决定是哪一种圆锥曲线，到底是不是还是要转化为标准型的，比如

x^2+2y^2+4y+3=0 ,看 x^2,y^2 前面的系数可以判断是一个椭圆，但是我们配方之后会发现：

x^2+2(y+1)^2=-1 ，这下就尴尬了，这样的图形是不存在。

另外，在Michael Sullivan的Precalculus这本书中也提到了利用选择坐标轴的方法把一般式转化为标准形式，比如

xy=1 通过顺时针旋转45°转化为 x^2-y^2=1 ，这个后续有机会再来说。

除此之外对于学生挑战比较大的是，圆锥曲线不是中心点在原点的情况，而是需要平移变化得到的，这部分可以结合图形的变化， F(x,y)=0 沿着 \binom{a}{b}进行平移得到 F(x-a,y-b)=0 ，注意和函数图像变化的一个区分：

OK，今天的分享就先到这里，圆锥曲线本身内容比较多，建议大家还是去看教材系统的学习一下，国内高中就更加要看了，高考必考题。

这篇断断续续写了好几天，今天又带队来参加DMMC了，和两年前相比感觉不一样了，祝大家能取得一个好成绩。

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