最新二重积分(1)

合集下载

高等数学年最新二重积分PPT课件

f(i,i)i
(i1,2,..n.)
o
x
D
即
Vi f(xi,yi)i
zf(x,y)
•
i
y (i,i)
(3)求和把这些小曲积顶的柱近体 f(i似 ,的 i) 值体 i加起来
就得到所求的曲顶柱体的体积的近似值，
即
n
n
V Vi f(xi,yi)i
i1
i1
（4）取极限当把区D域无限细分时，即小当区所域有最大
取(一 i,i)作点 , f乘 (i,i)积 i
n
并作和f(i,i)i. i1
如果当个小闭区域的直径中的最大值趋于零时，
则称此极限f(为 x,y)在函闭数区 D上域的二重积分，
f(x,y)d,即
D
n
Df(x,y)dl i0m i1f(i,i)i.
其D 中为积分 f(x,区 y)叫域做，被f(积 x,y)d 函叫数做，
柱体的体积，则（2）近似
n
V Vi i 1
由于 f(x,y)是连续的，在分细割的相情当况下
可以把小曲看顶作柱平体顶近柱似每体个， i上因任此取
一点 i,（ i） ,第 i个小曲顶柱就体可的近体似积看， f（i,i）为高而底 i的为平顶柱体的体积
z
由于面(密 x,y)度是变量，薄片能的直质接量用不密公式 M（ S）来计(算 x,y)是。连但续的，思利想用，
薄片分成许只多要小小快快后所，域占 i的的直小径闭很小，这些近小似快地就看可作以在均 i(在匀小薄闭片
区域的面积 i)上也任记取 (作 i,一 i)则 , 点

二重积分的计算法[精编文档]

第二节二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分
X-型积分区域 Y-型积分区域
二、利用极坐标计算二重积分
将二重积分化为二次积分与直系下二次积分互化
一、利用直角坐标计算二重积分
直角坐标系下化二重积分为二次积分
由曲顶柱体体积的计算可知,
当被积函数 f (x, y) 0
且在D上连续时, 若D为 X – 型区域
f x, y 关于x奇，D关于y轴对称
0,
f
x, y
关于y奇，D关于x轴对称
D
f
x,
y
dxdy
2
f
x,
y
dxdy
f x, y 关于x偶，
D关于y轴对称
D`1
f x, y 关于y偶，
D关于x轴对称
f x, y f (x, y), 称f(x,y)关于x为奇， f x, y f (x, y), 称f(x,y)关于x为偶，
例1. 计算
其中D : x2 y2 a2.
解:
在极坐标系下D
:
0ra
0 2
,
故
原式 D
r d r d
2
d
0
a rer2 d r
0
(1 ea 2 )
由于 ex2 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角
坐标计算.
例2：求I= y2 3x 6 y 9 dxdy,其中: x2 y2 a2.
例5. 计算 D xyd , 其中D 是抛物线
及直线
所围成的闭区域.
解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,
则
D
:
y
1
2
y x
2 y
2

重积分—二重积分的计算(高等数学课件)

1
y2
2 1
1 2
x
2
y
y y
2
2
dy
1 2
2 [ 1
y(
y
2)2
y5 ] dy
45 8
x y2
2
o1 (1,1)
y x2 (4,2)
x
课程小结
本讲主要讲了X型区域和Y型区域的区分，通过例题学习在两种区域下二重积分转化成累次积分的计算方法。
重积分
直角坐标系中二重积分的计算（三）
知识点讲解
1.一般型区域
1.二元极限定义
边界为分段光滑曲线的有界闭域,一般可把它分解成有限个除边界外无公共
内点的 X 型区域或 Y 型区域.
y
如图a 所示, D 被分解成三个区域, 其中I 、III 为X 型
区域,II 为 Y 型区域.
III
II D
I
O
x
图a
2.例题分析
1.二元函数极限
例1 设 D ( x, y) 2x x2 y2 4x , f ( x, y) 为 D上的连
y
D2 ( x, y) 4x x2 y 2x x2 ,0 x 2 , O
D3 ( x, y) 4x x2 y 4x x2 , 2 x 4 .
所以有
I
2
dx
4 x x2
2
2xx2
f ( x, y)dy dx
f ( x, y)dy
0
2 x x2
0
4xx2
变换公式
i
1 2
(ri
ri )2 i
1 2
ri2i
1 2
(2ri
ri )rii
ririi

二重积分的计算方法

二重积分的计算方法在高等数学的学习中，二重积分是一个重要的概念和工具，它在解决许多实际问题和理论推导中都有着广泛的应用。

理解和掌握二重积分的计算方法对于我们深入学习数学以及解决相关的实际问题至关重要。

首先，让我们来明确一下二重积分的定义。

二重积分是在平面区域上对某个二元函数进行积分。

简单来说，就是把平面区域划分成许多小的区域，然后对每个小区域上的函数值乘以小区域的面积，再把这些乘积相加。

接下来，我们来介绍几种常见的二重积分计算方法。

一、直角坐标系下的计算方法在直角坐标系中，二重积分可以表示为两种形式：先对 x 积分再对y 积分，或者先对 y 积分再对 x 积分。

当我们选择先对 x 积分时，我们需要把积分区域投影到 x 轴上，确定 x 的积分限。

然后，对于每个固定的 x 值，在对应的垂直于 x 轴的线段上确定 y 的积分限。

例如，对于积分区域 D 是由直线 y ＝ x ，y ＝ 1 以及 x ＝ 0 所围成的三角形，我们要计算二重积分∬D f(x,y)dxdy。

先对 x 积分，x 的积分限是从 0 到 y ，y 的积分限是从 0 到 1 。

则可以将二重积分化为累次积分：∫₀¹(∫₀ʸ f(x,y)dx)dy 。

同样，如果先对 y 积分，就把积分区域投影到 y 轴上，确定 y 的积分限，然后再确定每个固定 y 值对应的 x 的积分限。

二、极坐标系下的计算方法在某些情况下，使用极坐标系来计算二重积分会更加方便。

极坐标系中的坐标是（r,θ) ，其中 r 表示点到原点的距离，θ 表示极角。

在极坐标系下，二重积分的表达式为∬D f(r cosθ, r sinθ) r dr dθ 。

比如，对于圆形或者扇形的积分区域，使用极坐标系往往能简化计算。

例如，计算以原点为圆心，半径为 R 的圆上的二重积分，积分区域 D 为 x²＋y² ≤ R² 。

在极坐标系中，r 的积分限是从 0 到 R ，θ 的积分限是从 0 到2π 。

二重积分的算法

二重积分的算法二重积分是微积分中的重要概念之一，它在许多科学和工程领域中都有广泛的应用。

二重积分的算法是求解二重积分的方法和步骤，下面将介绍二重积分的算法。

一、二重积分的定义二重积分是对二元函数在有界闭区域上的积分。

设函数f(x,y)在闭区域D上有定义，其中D是一个有界闭区域，D的边界可以用一组参数方程x=x(t)，y=y(t)，a≤t≤b表示。

则称函数f(x,y)在闭区域D 上的二重积分为：∬D f(x,y) dxdy二、二重积分的计算方法二重积分的计算方法有多种，常见的有直角坐标系下的直接计算法和极坐标系下的极坐标变换法。

1. 直接计算法直角坐标系下的直接计算法是将二重积分转化为两个一重积分的叠加，按照积分的定义逐个计算。

具体步骤如下：（1）确定积分区域D的范围和方向；（2）将二重积分转化为两个一重积分，先对y进行积分，再对x进行积分；（3）根据积分区域D的范围和方向，确定积分的上下限；（4）按照一重积分的定义计算每个一重积分；（5）将两个一重积分的结果相加，得到二重积分的结果。

2. 极坐标变换法极坐标系下的极坐标变换法是通过极坐标系下的变换公式将二重积分转化为极坐标系下的一重积分。

具体步骤如下：（1）确定积分区域D的范围和方向；（2）通过极坐标变换公式将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的一重积分；（3）根据积分区域D的范围和方向，确定极坐标下的积分范围和方向；（4）按照一重积分的定义计算极坐标下的一重积分；（5）得到极坐标下的一重积分后，根据极坐标变换公式将其转化为直角坐标系下的二重积分。

3. 其他计算方法除了直接计算法和极坐标变换法外，还有其他一些特殊情况下的计算方法，如利用对称性、变量替换等方法进行计算。

具体使用哪种方法取决于具体的问题和积分区域的特点。

三、二重积分的性质二重积分具有一些重要的性质，包括线性性、保号性、保序性、可加性等。

这些性质在计算二重积分时起到了重要的作用，可以简化计算过程和提高计算效率。

二重积分定理公式

二重积分定理公式
二重积分公式是f(x,y)≦g(x,y)。

设二元函数z=f（x，y）定义在有界闭区域D上，将区域D任意分成n个子域，并以表示第个子域的面积。

在上任取一点作和。

如果当各个子域的直径中的最大值趋于零时，此和式的极限存在，且该极限值与区域D的分法及的取法无关，则称此极限为函数在区域上的二重积分，记为，即。

这时，称在上可积，其中称被积函数，称为被积表达式，称为面积元素，称为积分区域，称为二重积分号。

二重积分应用
在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。

某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

例如二重积分,其中，表示的是以上半球面为顶，半径为a的圆为底面的一个曲顶柱体，这个二重积分即为半球体的体积。

二重积分和定积分一样不是函数，而是一个数字。

因此若一个连续函数f（x，y）内含有二重积分，对它进行二次积分，这个二重积分的具体数值便可以求解出来。

如函数，其积分区域D是由所围成的区域。

其中二重积分是一个常数，不妨设它为A。

对等式两端对D这个积分区域作二重定积分。

二重积分的概念及性质

单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述你的观点
积分区域的可加性
该性质可以用于简化复杂的积分区域，将复杂区域分解为简单区域进行计算。
如果D1和D2是平面上互不相交的可积区域，则它们分别上的二重积分之和等于它们并集上的二重积分。即，如果D=D1∪D2，则 ∫∫Df(x,y)dσ=∫∫D1f(x,y)dσ+∫∫D2f(x,y)dσ。
二重积分的概念
二重积分的计算方法是通过将区域划分为一系列小的矩形或平行四边形，然后计算每个小区域的面积并求和。二重积分是定积分的一种扩展，它涉及到两个自变量的积分。在二维平面中，二重积分表示一个函数在某个区域上的面积。
二重积分的几何意义
如果函数在某个区域上取负值，那么二重积分表示该函数与该区域围成的区域的面积的负值。二重积分的几何意义是二维平面上的面积。具体来说，如果一个函数在某个区域上非负，那么二重积分表示该函数与该区域围成的面积。
得出结果
将所有小矩形的积分结果相加，得到整个矩形区域上的二重积分值。
转换坐标将被积函数从直角坐标转换为极坐标形式，即$x = rhocostheta$，$y = rhosintheta$。分层积分将极坐标下的二重积分拆分成两个累次积分，即先对角度积分再对极径积分。逐个计算对每个角度范围，计算其在极径上的积分值，并求和。得出结果将所有角度范围的积分结果相加，得到整个极坐标区域上的二重积分值。极坐标下的二重积分计算
任意形状区域
对于任意形状的平面区域，可以通过分割成若干个小区域，对每个小区域进行积分，然后将结果相加得到总面积。
平面曲线段的长度计算
直线段
对于直线段，其长度即为该直线的方程在给定区间上的积分。
圆弧

二重积分的计算法08PPT课件

1
D
4x
y x2
xyd xyd xyd
D
D1
D2
xyd xyd xyd
D
D1
D2
1
x
4
x
dx xydy dx xydy
0
x
1
x2
计算比较麻烦
例3 求 I y 1 x2 y2 d ,
D
D : y x, x 1, y 1所围.
y
解 D既可看作X型也可Y型
]12
9 8
1 x2x
解法2 把D看成Y型域，则
D : y x 2,1 y 2,
2
2
xyd 1 dyy xydx
D
2
[y
1
2
x2 2
y
]2y
3
dy
(2 y )dy
1
[y2
y4 8
2
]12
9 8
y
2 y
yx
1
o 1 2x
例2 计算 xyd ，其中D是由抛物线
D
y2 =x 及直线 y 2x, x 1, x 2
所围成的区域.
若改为先对x后对y积分,
2
2x
2
y
1 dxx f ( x, y)dy 1 dy1 f ( x, y)dx
4
2
dy 2
y f ( x, y)d x .
2
y
4
yx 22xy
D1 : 1 x y, 1 y 2 2
D2
a xb
若D（X型）：1 x y 2 x ,a x b
则
f ( x, y)dxdy
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy

二重积分的计算公式

二重积分的计算公式二重积分是微积分中的基本内容之一，它用于计算平面上一些区域内的一些函数的面积或者平面质量分布等问题。

在进行二重积分计算时，首先需要确定被积函数、积分区域以及坐标系，然后通过适当的积分方法进行计算。

本文将介绍二重积分的计算公式及其应用。

一、二重积分计算公式1.矩形区域上的二重积分考虑一个定义在矩形区域D上的函数f(x,y)，该区域上的二重积分可以通过将该区域分为许多小的矩形区域，并对每个小区域内的函数值进行求和，再取极限的方法进行计算。

设矩形区域D的边界为a≤x≤b，c≤y≤d，将其进行分割，得到对应的小矩形区域ΔxΔy，将f(x,y)在该矩形区域上的积分记为ΔI。

则整个矩形区域上的二重积分可以表示为：∬Df(x,y)dA = lim Δx,Δy→0 Σf(x,y)ΔxΔy其中Σ表示对所有小矩形区域进行求和，lim表示小矩形区域的数量趋于无穷小。

2.二重积分的换元法在计算二重积分时，有时可以通过变量替换将原来的积分变为更加简化的形式，这种方法称为换元法。

换元法的基本思想是将原坐标系中的二重积分转化为新坐标系下的二重积分，并通过求导和求逆变换的方法进行计算。

设原坐标系为（x,y），新坐标系为（u,v），变换公式为x=x(u,v)，y=y(u,v)，则原坐标系中的二重积分可以表示为：∬Df(x,y)dA = ∬D′f[x(u,v),y(u,v)]，J(u,v)，dudv其中D′为新坐标系下的区域，J(u,v)为变换矩阵的行列式，J(u,v)，为其绝对值。

二、二重积分的应用1.几何应用二重积分常常用于计算平面几何中的面积和质心等问题。

例如，可以通过对平面上一个区域内的特定函数进行二重积分来计算该区域的面积，并可以通过对函数的乘积进行二重积分来计算该区域的质心位置。

2.物理应用二重积分在物理学中具有广泛的应用，特别是在计算质量分布、重心位置和力矩等问题上。

例如，可以通过对平面上一些区域的质量分布函数进行二重积分来计算该区域的总质量，并可以通过对质量分布函数与各点与一些轴线的距离的乘积进行二重积分来计算该区域对该轴线的力矩。

高数课件27二重积分

二重积分的物理应用
重力场中的质点位移
重力场：地球表面或天体表
面的重力场
质点：质量集中于一点的物
体
位移：质点在重力场中的位
置变化
二重积分：计算质点在重力场中的位移所需的数学工具
电场中的电势计算
电势的定义：电场中单位电荷所具有的电势能
电势的计算公式： U=∫Edx
电势的应用：计算电场中的电势分布，分析电场特性
电势的物理意义：描述电场中电荷所具有的能量状态
磁场中的磁通量计算
磁通量：磁场穿过一个平面的磁力线数量
计算公式：Φ=B·S，其中B为磁感应强度，S为平面面积
应用：计算磁场中的磁通量，了解磁场分布情况
实例：计算一个圆形线圈中的磁通量，了解线圈磁场的分布情况
感谢您的耐心观看
汇报人：
极坐标系下的计算方法
极坐标系下的二重积分定义极坐标系下的二重积分计算公式极坐标系下的二重积分计算步骤极坐标系下的二重积分应用实例
参数方程下的计算方法
确定参数方程的形式
计算参数方程的偏导数
计算参数方程的雅可比矩阵
计算二重积分的值
二重积分的几何应用
计算平面图形的面积计算旋转体的体积计算曲面的面积计算曲线的长度
二重积分的性质
积分区域的可加性
积分区域的可加性是指，如果两个积分区域的可加性是二重积分的一个重要性质，它使得我们可以将复杂的积分区域分解为若干个简单的积分区域，从而简化计算
积分区域的可加性还可以用于证明一些积分公式，如格林公式、高斯公式等
积分区域的可加性还可以用于求解一些复杂的积分问题，如曲面积分、曲线积分等
二重积分是计算曲面面积的一种方法

二重积分的计算方法例题及解析

二重积分的计算方法例题及解析一、利用直角坐标计算二重积分1. 例题- 计算∬_D(x + y)dσ，其中D是由直线y = x，y = x^2所围成的闭区域。

2. 解析- （1）首先确定积分区域D的范围：- 联立方程<=ft{begin{array}{l}y = x y = x^2end{array}right.，- 解得<=ft{begin{array}{l}x = 0 y = 0end{array}right.和<=ft{begin{array}{l}x = 1 y = 1end{array}right.。

- 所以在x的范围是0≤slant x≤slant1，对于每一个x，y的范围是x^2≤slant y≤slant x。

- （2）然后将二重积分化为累次积分：- ∬_D(x + y)dσ=∫_0^1dx∫_x^2^x(x + y)dy。

- （3）先计算内层积分：- ∫_x^2^x(x + y)dy=∫_x^2^xxdy+∫_x^2^xydy。

- ∫_x^2^xxdy=x<=ft(y)<=ft.rve rt_x^2^x=x(x - x^2)=x^2-x^3。

- ∫_x^2^xydy=(1)/(2)y^2<=ft.rvert_x^2^x=(1)/(2)(x^2-x^4)。

- 所以∫_x^2^x(x + y)dy=x^2-x^3+(1)/(2)(x^2-x^4)=(3)/(2)x^2-x^3-(1)/(2)x^4。

- （4）再计算外层积分：- ∫_0^1((3)/(2)x^2-x^3-(1)/(2)x^4)dx=(3)/(2)×(1)/(3)x^3-(1)/(4)x^4-(1)/(2)×(1)/(5)x^5<=ft.rvert_0^1。

- =(1)/(2)-(1)/(4)-(1)/(10)=(10 - 5 - 2)/(20)=(3)/(20)。

二重积分的计算方法最新版本

1 利用直角坐标系计算1.1 积分区域为X 型或Y 型区域时二重积分的计算对于一些简单区域上的二重积分，可以直接化成二次积分来解决．在直角坐标系下，被积分函数(,)f x y 在积分区域D 上连续时，若D 为x 型区域（如图1），即{}12(,)()(),D x y x x x a x b ϕϕ=≤≤≤≤，其中12(),()x x ϕϕ在[,]a b 上连续，则有21()()(,)(,)bx ax Df x y d dx f x y dy ϕϕσ=⎰⎰⎰⎰；（1）若D 为y 型区域（如图2），即{}12(,)()(),D x y y y y c y d ψψ=≤≤≤≤，其中12(),()y y ψψ在[,]c d 上连续，则有21()()(,)(,)dy cy Df x y d dy f x y dx ψψσ=⎰⎰⎰⎰．[1]（2）例1 计算22Dy dxdy x ⎰⎰，其中D 是由2x =，y x =，及1xy =所围成．分析积分区域如图3所示，为x 型区域()1D=,12,x y x y x x ⎧⎫≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭．确定了积分区域然后可以利用公式（1）进行求解．解积分区域为x 型区域()1D=,12,x y x y x x ⎧⎫≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭则2221221xx Dy y dxdy dx dy x x =⎰⎰⎰⎰ y y=xxy=1 D2D1xO 211 2图1321213xxy dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰251133x dx x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰221412761264x x ⎛⎫=+=⎪⎝⎭1.2 积分区域非X 型或Y 型区域二重积分的计算当被积函数的原函数比较容易求出，但积分区域并不是简单的x 型或y 型区域，不能直接使用公式（1）或者（2）进行计算，这是可以将复杂的积分区域划分为若干x 型或y 型区域，然后利用公式123(,)(,)(,)(,)DD D D f x y d f x y d f x y d f x y d σσσσ=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （3）进行计算，例2 计算二重积分Dd σ⎰⎰，其中D 为直线2,2y x x y ==及3x y +=所围成的区域．分析：积分区域D 如图5所示，区域D 既不是x 型区域也不是y 型区域，但是将可D 划分为()(){}12,01,22,13,23x D x y x y x D x y x y y x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭=≤≤≤≤-均为x 型区域，进而通过公式（3）和（1）可进行计算．解 D 划分为()1,01,22x D x y x y x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭，(){}2,13,23D x y x y y x =≤≤≤≤-则12DD D d d d σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰12230122xxxxdx dy dx dy -=+⎰⎰⎰⎰ 120112322x x dx x dx ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰1222013333442x x x ⎡⎤⎡⎤=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦3D oxy1D2D 图4y xOx=2yy=2xx+y=3图51.3 被积函数较为复杂时二重积分的计算二重积分化为二次定积分后的计算可以按定积分的求解进行，但是当被积函数较为复杂，虽然能定出积分限，但被积函数的原函数不易求出或根本求不出，这时可根据被积函数划分积分区域，然后进行计算．例 3 计算二重积分2Dy x dxdy -⎰⎰，其中D 为区域1x ≤，02y ≤≤．分析由于被积函数含有绝对值，其原函数不能直接求得，以至于不能直接化为二次积分进行计算，观察函数本身，不难发现当我们把积分区域划分为21211x y D x ⎧≤≤=⎨-≤≤⎩，22011y x D x ⎧≤≤=⎨-≤≤⎩两部分后，被积函数在每一个积分区域都可以化为基本函数，其原函数很容易求得．解区域D 如图6可分为12D D ，其中21211x y D x ⎧≤≤=⎨-≤≤⎩，22011y x D x ⎧≤≤=⎨-≤≤⎩由公式（3）则12222DD D y x dxdy y x dxdy x ydxdy -=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰221212211523x xdx y x dy dx x ydy π--=-+-=-⎰⎰⎰⎰2 利用变量变换法计算定理1 设(,)f x y 在有界区域D 上可积，变换():,T x x u v =，(),y y u v =，将,u v 平面按段光滑封闭曲线所围成的区域∆一对一地映成,x y 平面上的区域D ，函数(),x u v ，(),y u v 在∆内分别具有一阶连续偏导数且它们的雅克比行列式()()(),,0,x y J u v u v ∂=≠∂，(),u v ∈∆．则()()()()(,),,,,Df x y d f x u v y u v J u v dudv σ∆=⎰⎰⎰⎰ （4）（4）式叫做二重积分的变量变换公式，2.1 根据被积函数选取新变量使被积函数简化OyxD1D2图6当被积函数较为复杂，这时可以考虑利用变量变换化被积函数为简单函数，原积分区域相应的转化为新的积分区域，进而利用公式进行计算．例4 求x y x yDedxdy -+⎰⎰，其中D 是由0,0,1x y x y ==+=所围曲线（图7）分析由于被积函数含有e 的指数，且较为复杂，这时可以考虑替换变量，简化被积函数，如果做替换T ：,.u x y v x y =+=-在变换T 作用下区域D 的原像∆如图8所示，根据二重积分的变量变换公式，积分计算就简单了．解做变换()()12:12x u v T y u v ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ()1,02J u v =>所以12x yux yvDedxdy e dudv -+∆=⎰⎰⎰⎰1012u v v v du e du -=⎰⎰()11012v e e dv -=-⎰ 14e e --=2.2 根据积分区域选择新变量计算二重积分当被积函数比较简单，积分区域却比较复杂时，可考虑积分区域，若有()(),,,u f x y v g x y ==且DyxO图7图8vuO,m u n v αβ≤≤≤≤，则把xy 平面上的积分区域D 对应到uv 平面上简单的矩形区域∆，然后根据二重积分的变量变换公式（4）进行计算．例5 求抛物线22,y mx y nx ==和直线,y x y x αβ==所围区域D 的面积()D μ．分析 D 的面积()DD dxdy μ=⎰⎰．实际是计算二重积分Ddxdy ⎰⎰，其被积函数很简单，但是积分区域却比较复杂，观察积分区域不难发现22,y y m n x x ==；,y yx xαβ==，如果设2,y y u v x x ==，则有,m u n v αβ≤≤≤≤，解 D 的面积()DD dxdy μ=⎰⎰作变换2:u x v T v y u ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，[][],,m n αβ∆=⨯ ()()4,,,.uJ u v u v v=∈∆ 所以()()()22334433=6n m D n m udv D dxdy dudv udu v v βαβαμαβ∆--===⎰⎰⎰⎰⎰⎰．例6 求233Dxdxdy y xy+⎰⎰．22:1,3,,3D xy xy y x y x ====所围区域．分析积分区域的处理与上题类似，可以做变量替换T ：2,y u xy v x==，它把xy 平面上的区域D 对应到uv 平面上的矩形区域∆．解令2:u xy T y v x =⎧⎪⎨=⎪⎩在变换T 作用下，区域D 的原像(){},13,13u v u v ∆=≤≤≤≤， ()1,03J u v v=≠ 所以233113Dx dxdy dudv y xy v uv v ∆=⋅++⎰⎰⎰⎰()3311dudv v v uv =+⎰⎰2ln 23=．2.3 利用极坐标变换计算二重积分当被积函数含有()22f x y +、x f y ⎛⎫⎪⎝⎭或y f x ⎛⎫⎪⎝⎭形式或积分区域的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便，如圆形及圆形区域的一部分，可考虑用极坐标变换cos :sin x r T y r θθ=⎧⎨=⎩，0,02θθπ≤<∞≤≤ 这个变换除原点和正实轴外是一一对应的（严格来说极坐标变换在原点和正实轴上不是一对一的，但可以证明公式（1）仍然成立），其雅可比行列式为r .（1）如果原点0D ∉，且xy 平面上射线θ=常数与积分区域D 的边界至多交于两点，则∆必可表示为()()12r r r θθ≤≤， αθβ≤≤．则有()()()()21,cos ,sin r r Df x y dxdy d f r r rdr βθαθθθθ=⎰⎰⎰⎰ （5）类似地，若xy 平面上的圆r =常数与积分区域D 的边界至多交于两点，则∆必可表示为()()12r r θθθ≤≤，12r r r ≤≤那么()()()()2211,cos ,sin r r r r Df x y dxdy rdr f r r d θθθθθ=⎰⎰⎰⎰（6）（2）如果原点O 为积分区域D 的内点，D 的边界的极坐标方程为()r r θ=，则∆可表示成()0r r θ≤≤，0θπ≤≤则有()()()20,cos ,sin r Df x y dxdy d f r r rdr πθθθθ=⎰⎰⎰⎰（7）（3）如果原点O 在积分区域D 的边界上，则∆为。

高等数学(第二版)课件：二重积分的计算法

所求立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的底为
D (x, y) | 0 y R2 x2 , 0 x R
如图所示。它的顶是柱面 z R2 x2。于是
V1 R2 x2 d.
D
V1 D
R2 x2 d
R
R2 X 2
0 0
R2 x2 dydx
R 0
d
dy
2 y
f (x, y)dx
c
1 y
D
如果积分区域D是非简单区域，即D的边界与穿过D的内部且平行于坐标轴的直线的交点多于两个，则可把D分成若干部分，使每个部分都是简单区域。再在每个区域上用前面两个公式来计算。
定理 (富比尼定理)设 f x, y在平面闭区域 D 上连续，
（1）若闭区域 D 可表示为：a x b, 1 x y 2 x ，其中 1(x) 和 2 (x) 在 a,b 上连续，则
且穿过区域D内部平行于 y 轴的直线与D的边界至多交于两点。
2．水平型区域设区域D为由介于上下两条自变量为 y 的单值连续曲线 x 1( y)与 x 2 ( y) 和两条竖直线 y c与y d 之间所构成的，即可表示为
D (x, y) | c y d,1( y) x 2 ( y)
f
cos ,
sin
d d
d
0
f
cos ,
sin
d
D
(3)极点O 在积分区域 D 的内部，如图所示，这时区域 D可表示为
D , | 0 ( ),0 2
f cos, sin dd
D
2
d
f cos , sin d
0
0
由二重积分的性质3可知，闭区域 D 的面积可表示为

二重积分的概念及计算[精编文档]

原式 = 3 1 x2 y2 d x d y D1 3 x2 y2 1 d x d y D2
的正负号.
y
D3 D2 o 1 32 x
D1
舍去此项
d xd y D1
猜想结果为负但不好估计 .
3 2 (4 3) (1 3 2) 0
Page 15
例3. 判断 ln(x2 y2 ) d x d y ( 0) 的正负.
x
dx
9 8
解法2. 将D看作Y–型区域,
则
D
:
y 1
x y
2 2
o
1 x 2x
I
2
dy
1
y2xyd x
2
1
1 2
x2
y
2d y y
2 1
2
y
1 2
y3
dy 9 8
Page 31
例8. 计算 D xyd , 其中D 是抛物线
给定曲顶柱体:
底： xoy 面上的闭区域 D
D
顶: 连续曲面
侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面求其体积.
解法: 类似定积分解决问题的思想:
“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
Page 2
1)“大化小” 用任意曲线网分D为 n 个区域
1, 2, , n
以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 f (k , k )
Page 17
例5. 估计 I
D
x2
d
y2
2xy
16
的值,
其中
y
D
为
0 x 1, 0 y 2.
解: 被积函数 f (x, y)
1
(x y)2 16

二重积分公式大全

二重积分公式大全1. Fubini定理：Fubini定理是描述二重积分交换变量顺序的重要定理。

它给出了对于在一个有界区域上的函数f(x, y)，可以通过先在y方向上积分再在x 方向上积分，或者反过来，最终得到相同的结果。

∬R f(x, y) dA = ∫∫R f(x, y) dxdy = ∫∫R f(x, y) dydx其中，R代表积分区域。

2.直角坐标系下的二重积分公式：在直角坐标系下，二重积分的形式通常为：∬Rf(x,y)dA其中，dA = dx dy，代表对小矩形面积的微元积分。

3.极坐标系下的二重积分公式：在极坐标系下，二重积分的形式通常为：∬Rf(x,y)dA其中，dA = r dr dθ，代表对极坐标系下小扇形面积的微元积分。

4.垂直于x轴的线的积分：对于一个区域R，在y轴上的两条线分别为y=a(x)和y=b(x)，其中a(x)<=b(x)，则积分可以被写为：∬R f(x, y) dA = ∫a(x) b(x) [∫f(x, y) dy] dx其中，内层积分是在y方向上的积分，其上下限由y=a(x)和y=b(x)给出。

5.垂直于y轴的线的积分：对于一个区域R，在x轴上的两条线分别为x=c(y)和x=d(y)，其中c(y)<=d(y)，则积分可以被写为：∬R f(x, y) dA = ∫c(y) d(y) [∫f(x, y) dx] dy其中，内层积分是在x方向上的积分，其上下限由x=c(y)和x=d(y)给出。

6.极坐标变换的雅可比行列式：当使用极坐标变换时，需要将被积函数表示为f(r,θ)。

此时，雅可比行列式的形式为：J=∂(x,y)/∂(r,θ)=r其中，J表示雅可比行列式。

7.二重积分的应用：二重积分广泛应用于计算几何体的体积、计算物体的质量、计算质心等问题中。

具体应用需要根据具体问题进行推导和计算。

以上是一些常见的二重积分公式，这些公式是二重积分的基础知识，掌握这些公式可以更好地理解和应用二重积分。

二重积分的公式

二重积分的公式二重积分是数学分析中的一个重要概念，它在很多领域都有着广泛的应用。

咱们先来说说二重积分的公式到底是啥。

简单来讲，二重积分的公式可以表示为：$\iint_{D} f(x,y) d\sigma = \int_{a}^{b} \int_{c}^{d}f(x,y) dy dx$ 。

这看起来有点复杂，别着急，咱们慢慢捋捋。

就拿我之前教过的一个学生的经历来说吧。

有一次上课，我给大家讲二重积分，这位同学一脸迷茫地看着我，就好像掉进了一个完全陌生的世界。

我就问他：“咋啦，哪儿不明白？”他皱着眉头说：“老师，这公式看起来太抽象了，根本搞不懂啊。

”我就跟他说：“别着急，咱们慢慢来。

”为了让大家更好地理解这个公式，咱们来想象一下。

假如有一块不规则的农田，我们想知道这块农田的总产量。

那怎么算呢？我们可以把这块农田划分成很多小方格，每个小方格的面积都很小。

然后我们去测量每个小方格的产量，再把所有小方格的产量加起来，这不就大概能得到整块农田的总产量了嘛。

这其实就和二重积分的原理有点像。

在二重积分的公式中，$f(x,y)$ 就好比是每个小方格的产量，而$d\sigma$ 就是小方格的面积。

我们通过对 $x$ 和 $y$ 的积分，就相当于把所有小方格的产量都加起来了。

再比如说，我们要计算一个平面区域上的质量分布。

假设这个平面区域是一块厚度不均匀的铁板，$f(x,y)$ 表示每一点的密度，那么通过二重积分，我们就能算出这块铁板的总质量。

咱们继续深入理解一下这个公式。

在计算二重积分的时候，积分的顺序是有讲究的。

有时候先对 $y$ 积分，有时候先对 $x$ 积分，这得根据具体的函数形式和积分区域来决定。

就像有一次做练习题，题目给了一个积分区域是由两条抛物线围成的。

很多同学一开始就选错了积分顺序，结果越算越乱。

这时候就得仔细观察这个区域的特点，选择合适的积分顺序，才能顺利地算出结果。

还有啊，在实际应用中，比如计算物体的重心、转动惯量等等，二重积分都能发挥大作用。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

二重积分(1)第9章重积分9.1 二重积分1 学习指导1.基本要求⑴理解二重积分的概念，知道二重积分的性质。

⑵掌握二重积分的计算方法，能够熟练地计算各种类型的二重积分。

⑶会利用二重积分解决几何、物理中的主要应用。

2.重点与难点重点二重积分的概念、计算和在几何、物理中的主要应用。

难点计算二重积分时选择合适的坐标系、积分顺序并恰当地配置累次积分的积分限，二重积分在物理上的应用。

3.学习方法⑴二重积分是定积分的推广，因此研究方法、定义、性质都是类似的，学习时应与定积分类比，温故知新，并注意有些性质的几何意义，以便理解和记忆。

⑵计算二重积分的关键是在直角坐标系或极坐标系下将其化为累次积分，选择坐标系和累次积分顺序的目的是使计算简便，它包含两点：一是对被积函数易于寻求原函数；二是对积分区域分块要少且定限容易，当二者不能兼顾时，一般以简化积分区域为主。

通常，当区域是圆形域、扇形域、环形域或它们的一部分，被积函数含有因子«Skip Record If...»或«Skip Record If...»等形式时，利用极坐标计算较简便，其余情况多采用直角坐标系，有时需利用变量代换去计算二重积分。

⑶化二重积分为累次积分的一般方法是“画图定限法”，即画出积分区域«Skip Record If...»的草图，将它分割成几个简单区域（«Skip Record If...»型区域，«Skip Record If...»型区域或«Skip Record If...»型区域），在直角坐标系下是先对哪个变量积分，就在区域«Skip Record If...»上画哪个坐标轴的平行线，而在极坐标系下，则是从原点出发画射线，以此确定累次积分的上下限，此法可形象地叙述为“域中一线插，内限定上下，域边两线夹，外限利用它”。

当区域«Skip Record If...»的草图不易画出时，可以采用“代数定限法”，即联立区域边界曲线组成的不等式组来分别确定各积分变量的变化范围，从而得到累次积分的各个积分限，有时也兼顾应用两种方法综合定限，注意将二重积分化为累次积分时先积分的上下限是常数或后积分的积分变量的函数，而后积分的积分上下限都为常数；同时，两次积分的下限都小于上限，切不可弄错。

⑷计算二重积分时，还须考虑积分区域的对称性及被积函数的奇偶性，尽可能地简化积分计算，在审题过程中注意以下几个原则：一是图形的对称性及被积函数的奇偶性；二是坐标系的选择；三是积分次序的先后顺序；四是计算定积分的准确性，从而更好掌握这一单元的学习。

⑸在计算及理论研究中，有时需要对已知二次积分变换积分顺序，更换的方法是：由已知二次积分的上下限，写出表示积分区域«Skip Record If...»的不等式组，画出积分区域«Skip Record If...»的草图，应注意不论已知二次积分由几项组成，区域«Skip Record If...»的草图都要在一个坐标系下画出，然后根据区域«Skip Record If...»的草图，确定另一种顺序的二次积分的上下限，有时还需改变坐标系后再确定相应的二次积分的上下限。

⑹二重积分的元素法既是定积分微元素法的推广，也是三重积分、曲线积分、曲面积分元素法的基础，应掌握用二重积分元素法导出的解决几何和物理问题的计算公式，这不仅可解决二重积分的应用问题，还可以把这些公式推广到三重积分和线、面积分中去。

一般而言，只需将公式中的积分号“«Skip Record If...»”分别改为相应的积分号“«Skip Record If...»”、“«Skip Record If...»”或“«Skip Record If...»”，被积函数从二元函数改为相应的多元函数。

应用积分方法解决应用问题的一般步骤如下：①分析问题是否为积分问题，即所求量是否对积分区域具有可加性，若是，进行步骤②。

②选择某一种积分，使所求的几何量或物理量能用该积分清楚地表示出来。

③选取适当坐标系，并作草图，使积分表达式简单，定限方便且容易计算，注意选择坐标系时，一般应考虑对称性。

④写出积分表达式并计算所求量。

2 解题指导1.二重积分的性质例1设积分区域«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»«Skip Record If...»⑴比较«Skip Record If...»与«Skip Record If...»的大小，并说明理由；⑵«Skip Record If...»对吗？为什么？⑶«Skip Record If...»对吗？为什么？分析这是利用二重积分性质来讨论二重积分的问题，比较被积函数相等的两个二重积分的大小，需比较两个积分区域的大小，即比较«Skip Record If...»与«Skip Record If...»的大小，关键是判别区域«Skip Record If...»和«Skip Record If...»与被积函数的关系，需用估值定理确定被积函数在«Skip Record If...»上的最大值和最小值。

解⑴作区域«Skip Record If...».已知«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»，由估值定理有«Skip Record If...»（«Skip Record If...»为«Skip Record If...»的面积）。

又知«Skip Record If...»，故«Skip Record If...»，«Skip Record If...»（«Skip Record If...»为«Skip Record If...»的面积）。

«Skip RecordIf...»与«Skip Record If...»关于«Skip Record If...»对称，有«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»⑵«Skip Record If...»由⑴知«Skip Record If...»故«Skip Record If...»⑶«Skip Record If...»由«Skip Record If...»知，«Skip Record If...»关于«Skip Record If...»对称，区域«Skip Record If...»也关于«Skip Record If...»对称，从而有«Skip Record If...»故 «Skip Record If...».例2证明«Skip Record If...».分析这是一个二重积分不等式证明题，注意到«Skip Record If...»与«Skip Record If...»的定义域相同，可对«Skip Record If...»估值，再整理化简，利用不等式及二重积分的性质证明。

证作区域D，由二重积分性质，有«Skip Record If...»因为«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...».由于«Skip Record If...»，故«Skip Record If...»，即«Skip Record If...».又因为«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»,«Skip Record If...»«Skip Record If...».2.二重积分的计算例3计算下列各题：⑴«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»是由抛物线«Skip Record If...»及直线«Skip Record If...»所围的区域；⑵«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»；⑶«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»是以«Skip Record If...»为顶点的三角形；⑷«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...».解题思路计算二重积分的一般步骤是：⑴画出区域的草图；⑵正确选择坐标系；⑶化为二次积分，注意在直角坐标系下应正确选择积分顺序；⑷计算二次积分。

解⑴作区域，在直角坐标系下，若先«Skip Record If...»后«Skip Record If...»积分。

积分区域要分成«Skip Record If...»和«Skip Record If...»，若先«Skip Record If...»后«Skip Record If...»积分。

则无需分块。

方法1先对«Skip Record If...»后对«Skip Record If...»积分，有«Skip Record If...».方法2先对«Skip Record If...»后对«Skip Record If...»积分，有«Skip Record If...».⑵作区域，在直角坐标系下计算，注意到积分上下限均为常数，则由被积函数决定先对«Skip Record If...»积分或先对«SkipRecord If...»积分。