高中数学必修一之知识讲解_指数与指数幂的运算_提高

指数与指数幂的运算
【学习目标】
1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质
(1)理解n 次方根，n 次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计算；
(2)能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化；
(3)能利用有理指数运算性质简化根式运算.
2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集；
3.通过指数范围的扩大，我们要能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力；
4.通过对根式与分数指数幂的关系的认识，能学会透过表面去认清事物的本质． 【要点梳理】
要点一、整数指数幂的概念及运算性质 1．整数指数幂的概念
()
())
,0(1
010*
Z*n a a
a a a Z n a a a a n n a
n n ∈≠=≠=∈⋅⋅⋅=-
个
2．运算法则 （1）n
m n
m
a a a +=⋅；
（2）()
mn n
m
a a =；
（3）()0≠>=-a n m a a
a n
m n m ，；
（4）()m
m m
b a ab =.
要点二、根式的概念和运算法则 1．n 次方根的定义：
若x n =y(n ∈N *
，n>1，y ∈R)，则x 称为y 的n 次方根.
n 为奇数时，正数y 的奇次方根有一个，是正数，记为n y ；负数y 的奇次方根有一个，是负数，记为
n
y ；零的奇次方根为零，记为00=n ；
n 为偶数时，正数y 的偶次方根有两个，
记为负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，
0=. 2．两个等式
（1）当1n >且*
n N ∈
时，n
a =；
（2）⎩⎨
⎧=)
(||)(,为偶数为奇数n a n a a n n
要点诠释：
①要注意上述等式在形式上的联系与区别；
②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成||a 的形式，这样能避免出现错误．
要点三、分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论，我们约定a>0，n ，m ∈N *
，且
m
n
为既约分数，分数指数幂可如下定义： 1
n
a =
m m n
a ==-
1m n
m n
a
a
=
要点四、有理数指数幂的运算 1．有理数指数幂的运算性质
()Q b a ∈>>βα,00，，
(1);a a a
α
β
αβ
+⋅=
(2)();a a αβαβ
= (3)();ab a b ααα
=
当a>0，p 为无理数时，a p
是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用. 要点诠释：
(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；
(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如
244
2)4()4(-≠-；
(3)幂指数不能随便约分.如2
14
2)4()4(-≠-.
2.指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：a 2－b 2＝（a －b ）（a ＋b ），（a ±b ）2＝a 2±2ab ＋b 2，（a ±b ）3
＝a 3±3a 2b ＋3ab 2±b 3，a 3－b 3＝（a －b ）（a 2＋ab ＋b 2），a 3＋b 3＝（a ＋b ）（a 2－ab ＋b 2）的运用，能够简化运算.
【典型例题】 类型一、根式
例1.计算：（1； （2
.
【答案】
【解析】对于（1）需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质求解.对于（2），则应分子、分母同乘以分母的有理化因式.
（1
=
=
2
|-|2|
=
2-
（2
（2
11
=
【总结升华】对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全n次方，再解答，或者用整体思想来解题.化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可，如本例（2）
的分子、分母中同乘以1).
举一反三：
【变式1】化简：（1
（2
|3) x<
【答案】（1
1；（2）
22(31),
4(13).
x x
x
---<<
⎧
⎨
-≤<
⎩。

类型二、指数运算、化简、求值
例2.用分数指数幂形式表示下列各式（式中a>0）：
（1）2
a （2）3a （3；（4 【答案】52a ；113a ；34a ；54
y
【解析】先将根式写成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质化简即可。

（1）11522
2
2
2
2
;a a a a
a +=⋅==
（2）221133
3
3
3
3
a a a a
a +
=⋅==；
（31131322
22
4
()()a a a a =⋅==； （4）解法一：从里向外化为分数指数幂
=
=112
2
2
y xy x ⎛⎫
⋅
⎪⎝⎭
=54
y
解法二：从外向里化为分数指数幂。

1
2 =1
1222[)]y x =111
2363223{[()]}y x y x y x =1112
3
6
2
4
12
3y x y x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⋅
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
=54
y
【总结升华】此类问题应熟练应用*
0,,,1)m n
a a m n N =>∈>且n 。

当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简。

举一反三：
【高清课堂：指数与指数运算369050 例1】 【变式1】把下列根式用指数形式表示出来，并化简
（1）5
2a a ⋅ 【答案】（1）1310
10
2a ；（2）23
x
-。

【变式2】把下列根式化成分数指数幂：
（1
（2
0)
a>；（3
）3b；（4。

【答案】
7
12
2；
3
4
a；
11
3
b；
3
5
x-
【解析】（1
1
77
6
212
22
⎛⎫
==
⎪
⎝⎭
；
（2
313
224
()
a a
====；
（3
）
211 3333
b b b b
=⋅=；
（4
=
3
5
913
535
11
()
x
x x
-
===。

例3.计算：
(1)
1
11
12
00.253
4
73
(0.0081)3()81(3)
88
-
-
-
-
-
⎡⎤
⎡⎤
-⨯⋅+
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
；
(2)43
3
3
33
3
9
1
6
24
3
3
7+
-
-
+-
【答案】3；0；2
【解析】(1)原式=3
3
1
3
10
)
3
2
3
1
(
3
1
)3.0(2
1
1=
-
=
+
-
-
-；
(2)原式=0
3
3
2
3
6
3
73
3
3
3=
+
-
-；
(3)原式=-5+6+4-π-(3-π)=2；
【总结升华】（1）运算顺序(能否应用公式)；（2）指数为负先化正；（3）根式化为分数指数幂. 举一反三：
【变式1】计算下列各式：
(1)6
3
4
25
.0
3
1
)3
2
(
2
8
)
6
7
(
)
8
1
(⨯
+
⨯
+
-
⨯
-
；(2)3
3
3
2
3
3
2
3
1
3
4
)
2
1(
4
2
8
a
a
b
b
ab
a
b
a
a
⨯
-
÷
+
+
-
. 【答案】(1)112 （2）a
【解析】(1)原式=6
2
1
6
3
1
4
1
4
1
3
)
3
1
)(
1
(
)
3(
)
2(
2
)
2(
1
8⨯
+
⨯
+
⨯
-
-
112
3
2
2
23
2
4
1
4
3
=
⨯
+
+
=+；
(2)原式3
1
3
1
3
1
3
1
2
3
1
3
1
3
1
2
3
1
3
1
2
)
2(
2
)
(
)
8
(
a
b
a
a
b
b
a
a
b
a
a
⨯
-
⨯
+
+
-
=a
b
a
b
a
a
=
-
-
=
+
+
3
3
1
3
3
1
3
1
3
1
3
1
)
2(
)
(
)
8
(
.
例4.化简下列各式. （1
21111
3
3
2
2a b b
-
-
-；
（2）
1
112
2
2m m m
m
--+++； （3）10.5
23
3
277(0.027)21259-⎛⎫
⎛⎫+- ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
. 【答案】1
a
；1122m m -+；0.09
【解析】（1）即合并同类项的想法，常数与常数进行运算，同一字母的化为该字母的指数运算；（2）对字母运算的理解要求较高，即能够认出分数指数的完全平方关系；（3）具体数字的运算，学会如何简化运算.
（1）原式21111()11111532
3
2
21326
236
1
56
6
1a
b a b
a
b
a a
a b
⨯--
---+--⋅=
===
； （2）2
11
22111
2
21111
2222
2m m m m m m m m m m -----⎛⎫+ ⎪++⎝⎭==+++ （3）10.5
23
3
277(0.027)21259-
⎛⎫⎛⎫
+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
255
=0.0933
++-
举一反三： 【变式1】化简
222222223
3
3
3
x y x y x
y
x
y
------
--
+--
+-
【答案】-【解析】应注意到22
3
x x --与之间的关系，对分子使用乘法公式进行因式分解，
原式22223
3
33
333322223
33
3
()()()()x y x y x
y
x
y
-
-
-
-
--
--
+-=
-
+-
222222222
2
2
2
33
3
333
3
3()()[()()]x x
y
y x x y
y -
-
-
--
-
-
-
=-⋅+-++
23
2()
xy -
=-=-【总结升华】根式的化简结果应写为最简根式.(1)被开方数的指数与根指数互质；(2)被开方数分母为
1，且不含非正整数指数幂；(3)被开方数的每个因数的指数小于根指数.
【变式2】化简下列式子：
【答案】
；
2x(x1)
2(x1)
≥-
⎧
⎨
-<-
⎩
【解析】(1)
原式===
2
6
+
===
(2)222
4
4
(
18
+
=+
=
==
>
=
(3)332
x3x x1
-==-
x1(x1)
|x1|
x
1(x1)
+≥-
⎧
=+=⎨
--<-
⎩
2x(x1)
2(x1)
≥-
⎧
=⎨
-<-
⎩
.
【高清课堂：指数与指数运算369050 例4】
例5．已知3
2
1
2
1
=
+-x
x，求
2
3
2
2
2
3
2
3
-
+
-
+
-
-
x
x
x
x
的值。

【答案】
1
3
【解析】从已知条件中解出x的值，然后代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件3
2
1
2
1
=
+-x
x的联系，进而整体代入求值。

3
2
1
2
1
=
+-x
x，∴1
29
x x-
++=，∴17
x x-
+=
∴22
249
x x-
++=，∴2247
x x-
+=
∴
2
3
2
2
2
3
2
3
-
+
-
+
-
-
x
x
x
x
=
11
1
22
()(1)3
472
x x x x
--
+-+-
-
=
3(71)3151
45453
⨯--
==
【总结升华】对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“化简后代换”方法求值。

本题的关键是先求
33
22
x x-
+及22
x x-
+的值，然后整体代入。

举一反三：
【变式1】(1)已知2x+2-x=a(a为常数)，求8x+8-x的值.
(2)已知x+y=12， xy=9，且x<y ，求
2
12
12121y
x y x +-的值.
【答案】3
3a a -
；3
-
【解析】(1)8x
+8-x
=23x
+2-3x
=(2x )3
+(2-x )3
.
3)3(]3)22)[(22(]223)2(222)2)[(22(])2(22)2)[(22(3
222222a a a a x x x x x x x x x x x x x x x x x x -=-=-++=⋅⋅-+⋅⋅++=+⋅-+=---------
(2)
2
2
122
12
2
1212
12
121212
12
121212
121212
1)()()
(y x y x y
x y x y
x y x y
x y x --=
--⋅
+-=
+-)1........()
(2)(2
1y
x xy y x --+=
又∵ x+y=12， xy=9， ∴(x-y)2
=(x+y)2
-4xy=122
-4×9=108. 又 ∵ x<y ， ∴x-y=36-代入(1)式得:
3
33
692122
12
12
12121-
=-⨯-=
+-y
x y x . 【总结升华】(1)对幂值的计算，一般应尽可能把幂化为底数是质数的指数幂，再考虑同底幂的运算法则以及乘法公式.
(2)一般不采用分别把x ， y ， 2x
的值求出来代入求值的方法，应先将原式进行分母有理化，并用乘法
公式变形，把2x +2-x
，x+y 及xy 整体代入后再求值.
【变式2】已知1
4x x
-+=，求112
2
x x -
+及1x x --的值．
；± 【解析】∵ 1
4x x -+=，∴ x ＞0，
则112
12
2()2426x x x x --+=++=+=，
则112
2
x x
-+=
∵ 12
2
2
()216x x x x --+=++=，
则2
2
14x x
-+=，
∴ 12
2
2
()214212x x x x ---=+-=-=，
∴
1
x x
--==±
例6．（2016 甘肃期末）（1）已知312a b +=
a b
的值．
（2
）化简
13
2
1
2342
1
()(0,0)
4
0.1()
a b
a b
-
--
⋅>>
【思路点拨】（1）化简所求表达式，利用已知条件求解即可．（2）利用有理指数幂以及根式运算法则化简求解即可．
【答案】（1）3；（2）
1
2 4 25
b
【解析】（1）3
1 2
a
b
+=，
3
2
2
22
2
33
333
3
a
a b a b
a b a b
a
+-+
⋅
====．
（2
）
13311
22222
2342
13
44
14
22
()
410025
0.1()
a a
b b
a b
--
--
⋅
=⋅⋅⋅=
【总结升华】本题考查对数运算法则的应用，有理指数幂的运算法则的应用，考查计算能力．。