第六节 定积分应用

旋转体的体积微元
dV πy dx
2
y
y y(x)
2
π[ y ( x )] d x
旋转体的体积为
b
O
x
V
π [ y ( x )]
a
2
dx
如果旋转体是由曲线 x x ( y ) 和直线 y c y d , x 0 所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一 周形成的，它被垂直于 y 轴的诸多平行平面所 分割，成为很多横切片。
2
2.在极坐标中计算 极坐标：如图示，以极径 和极角 来确 定平面上点的坐标，记为 ( , ) 极坐标与直角坐 标的关系为
x cos y s in
y y
( , )


o x x
如果曲线由极坐标方程 线
( )
( )
体积微元为
d V π x d y π[ x ( y )] d y
2 2
y
d
y
x
此旋转体体积为
x x( y)
d
V

c
π [ x ( y )] d y
2
o
c
x
【例题】求上下底面半径分别为 r , R 高为h 的 圆台体积。 解：把圆台看作一个直角梯形（如图所示） 绕 y 轴旋转一周形成的。梯形斜边的方程为
⑵ 无限求和： 定义在区间 [ a , b ] 上的积分量 元的总和，即
b
I
是所有微
I
dI


a
f ( x )d x
利用微元法可以计算很多如几何的、物理 的或其它方面的无限可加量的求和问题。
二、平面图形的面积
1.在直角坐标中计算 【例题】求由抛物线 y x 4 x 5 ，横轴及 直线 x 3, x 5 所围成的图形面积
d
图形面积
A 1 2
2π
a
0
2
d
2
a
2

3
2π 0

4π 3
3
a
2
6
【例题】计算心形线 a (1 cos ) 所围成的图形面积并求心形线与圆 面积。 解： 心形线围成图形的面积
A 1 2
2π
(a 0)
a
交集的

0
d
2
源自文库
a
2 2π
2
(1 co s )
y
它所对应的面积元素
d A x1 ( y ) x 2 ( y ) d y
y dy
y
d
图形面积
d
x x2 ( y )
O
x x1 ( y )
x
A

c
x1 ( y ) x 2 ( y ) d y
c
【例题】计算被抛物线 y 所围成的图形面积. 解：抛物线 y
2
2
2 x 与直线 x y 4
2 0
【例题 】 ⑴ 求椭圆
x a cos t y b sin t
所围成的图形面积。
y
x
O
x
x dx
解： 图形关于两坐标轴都对称
a
0
A 4 A1 4 y d x 4
0
2

b sin t d ( a co s t )
2
4ab

0
1 sin t d t 4 a b a b 2 2
2
y x
2
和
y
2
x
y
2
y
x
x 的交点坐标为
y x
2
原点 (0, 0 ) 和点 (1 ,1) ， 图形定义于区间
(0 ,1)
上
dx
x
在垂直于 x 轴的方向 上，取区间 [ 0 ,1 ] 上任一子 区间 [ x , x d x ] , 在此子区 间上对应的面积元素为： （见图示）
2
解： 函数方程为
y ( x 2) 1
2
10
10
8
6
面积微元为
5
dS ydx
2 3
f ( x) 4
故
2
S
( x 4 x 5)d x 1 0
2 3
0 1 1 0 1 2 x 3 4 5 6 6
【例题】计算由两条抛物线 所围成的图形面积. 解： 解出两条抛物线 y x 和y
x R R r h y ( R r h
h
)(
Rh R r
y
y)
h
r
圆台体积
V
πx
0
2
dy
o
R
x
h
V

0
πx dy =π(
2
Rr h
h
)
2
(
0
Rh Rr
y) dy
2
π R r 2 Rh 3 Rh 3 ( ) [( ) ( h) ] 3 h R r R r
2
任取子区间 [ y , y d y ] 它所对应的面积元素
dA ( y y )d y
2
y
x
dy
y x
2
两条抛物线所围成的
1
x
图形面积为：A (
0
y y )d y [
2
2 3
3
y
2

1 3
y ]0
3 1
1 3
一般说来，如果平面图形由曲线 y y ( x ) 和 y y 2 ( x ) 及直线 x a ，x b 所围成,在区间 [ a , b ] 内任取子区间 [ x , x d x ] ，它所对应的面积元素
2
交集的面积
2
2

π 2
a
(1 co s ) d
2
2)a
2

(
3π 4
2)a
2
三、体积 1.旋转体的体积
一个平面图形绕此平面内一条直线旋 转一周而形成的立体称为旋转体，这条直 线称为旋转轴。圆柱（圆盘）、圆锥、球 体等都是最简单的旋转体，计算旋转体的 体积的方法有“切片”法和圆柱薄壳法
0
2
d


a
2 2π
2
a
2
(1 2 co s co s
0
2
)d
2π
[
3 2
2 sin
sin 2 4
2
]0

3 2
πa
2
a (1 cos )
a
d
2a
O
A
3 2
πa
2
心形线与圆
A1 πa 2
πa 2
( 5π 4
2
2 π
a
第六节
定 积 分 的 应 用
一、微元法
按定积分概念，定积分
b
I

a
f ( x )d x lim
0

i 1
n
f ( i ) x i
取决于函数
f ( x ) 和它的定义区间 [ a , b ]
。
定积分 I 对于区间具有可加性是指区间 上对应的总量等于所有子区间[ x , x x ] 上对 应的部分量 I 之和。凡是需要用定积分来 度量的量，必须具有可加性这一基本特征。
在区间 [ 0 , 2 ] 为 d A
y 2x
y x4
2 2 x dx
2 x ( x 4 )]d x
在区间 [ 2 ,8 ] 为 d A [
y
y 2x
x
x
x dx
y x4
y 2x
2
8
A 2
0
2 xdx
(
2
2 x x 4 )d x 1 8
dA (
2 x x )d x ——面积元
y
y x
y x
2
dx
x
因此，两条抛物线所围成的图形面积为
1
A
(
0
x x )d x [
2
2 3
3
x
2
1 3
x ]0
3 1
1 3
类似的，若将所求面积的图形看作定义于 y 0 到 y 1 区间内，由曲线 x y ，x y 所围 y 成，则
给出，这条曲线与从原点出发的两条射 , 围成一个曲边扇形。
在极角 的变化区间 [ , ] 内任取一个 微小的子区间 [ , d ] ，它所对应的微小 曲边扇形就是极坐标中的面积元素，即
dA 1 2
( )d
2
曲边扇形面积由定积分给出：
A 1
若函数
x
f (x)
在区间 [ a , b ] 上连续，变上限积 对积分上限的导数为 I ( x )
f (x)
分
I (x)

a
f ( x )d x
也就是说用定积分度量的整体量 I 在[ a , b ] 内子 区间 [ x , x x ] 上所对应的部分量 I 的近似值 就是 I ( x ) 在 x 点的微分，即
【例题 】求椭圆 解：面积元为
x a
2 2

y b
2 2
1
所围图形的面积。
y
x dS ydx b 1 dx a
2
x
O
x
x dx
x S 4 b 1 dx a 0
a
2

2
令
x a sin
原式
4 a b c o s d ab
2
⑵ 求星形线
图形面积。
0
x a cos t 3 y a sin t
3
a 0 0 t 2π
所围成的
a
解：图形关于两坐标轴都对称
A1
A 4 A1 4 y d x
0
π 2

π 2 2
a sin t d ( a co s t ) 3 a
3 3 π 2 π 2
1
y
d A y1 ( x ) y 2 ( x ) d x
y y1 ( x )
图形面积为
b
a
O
x
x dx b
x
A

a
y1 ( x ) y 2 ( x ) d x
y y2 ( x )
如果平面图形是由曲线 x x1 ( y ) ，x x 2 ( y ) 和 x 直线 y c ，y d 所围成（意味着 y 是自变量， 是函数），在区间[ c , d ] 内任取子区间 [ y , y d y ]
I d I I ( x ) x f ( x )d x
按微分概念，子区间 [ x , x x ] 上部分量 I 与近 似值 d I 之差为 x 0 时，比 x 高阶的无穷小
通常把定积分度量的量 I 在 [ a , b ] 的子区间 [ x , x x ] 上所对应的部分量 I 近似为子区间长 度 x 的线性函数 I d I f ( x )d x 。
2
y
x
y
2
(8, 4 )
x y4
2
)d y
y dy y
x
2
( 2, 2 )
图形面积
4
A
2
(y 4
y
2
)d y 1 8
2
如果分割 化区间 [ 0 ,8 ]
x
的变
y
y 2x
在其中任取子区间
[ x, x x]
x
x
x dx
此时，它所对应 的面积元素需要分段 表达：

2
( )
d
2

( )d


( )


o
【例题】计算Archimedes螺线上一段弧 a 0 2 π 与极轴所围成的图形面积。
解： 取极角 为积分 变量，螺线内的面积元 素
2a
dA
1 2
d
2
1 2
a d
2 2
( ) a
d I 称为积分量 I 的微元（元素）
用微元法解决具体问题时，在确定积分变 量 x 和积分区间 [ a , b ] 之后，关键步骤是找出积 分量 I 的微元 d I f ( x )d x ，然后计算定积分
b
I
dI

a
f ( x )d x
按定积分微元法概念： ⑴ 无限细分： 将函数 f ( x ) 的定义区间 [ a , b ] 细分成无 穷多个子区间任意取其中一个记为 [ x , x d x ] 以函数在 x 点的值 f ( x ) 和小区间长度 d x 的积 作为积分量 I 的微元 d I f ( x )d x ；
y
y y(x)
O
x
⑴ “切片”法
y x 由曲线 y y ( x ) 和直线 x a ， b ， 0 所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周形成的旋 转体被垂直于 x 轴诸多平行平面所分割，成 为很多纵切片。在子区间 [ x , x d x ] 上的窄曲 边梯形所生成的半径为 y ( x ) 的薄圆盘形切片 就是旋转体的体积微元。
2

0
sin t (1 sin t )d t
4 2
3a [

0
sin t d t
4

0
sin t d t ]
6
A
2
3πa 8
2
1 π 5 3 1 π 3πa 2 3 3a ( ) 4 2 2 6 4 2 2 32
⑶ 求旋轮线
与y
0
所围成的图形面积。
2 πr 2π
x r ( sin ) y r (1 cos )
, (0
2π)
之一拱
解：
A

0
ydx
2π

0
4
r (1 co s ) d
2 2
π
4r
2

0
sin

2
d 8r
2
sin x d x
4 0
3 1 π 2 8 r 2 3π r 4 2 2
2 x 与直线 x y 4
y
的两个交点分
(8, 4 )
x y4
别是 ( 2 , 2 ) , ( 8 , 4 ) 如果分割 化区间 [ 2 , 4 ] ,
y
的变
y dy y
x
y
2
2
x
( 2, 2 )
在其中任取子区间
[ y, y dy ]
它所对应的面积元素
dA ( y 4 y