(完整word版)华南理工大学高数(上)期末考题参考答案

华南理工大学高数（上）期末考题参考答案

一、填空题（每小题3分，共15分） 1.设x y +=1arctan ，则=

=0x dy dx 4

1

. 2.=+→x

x x 10

)sin 1(lim e .

3.已知△ABC 的三个顶点的坐标为)1,1,0(),0,1,2(),1,0,1(C B A ,则∠=

BAC 2

6 . 4.曲线)1(ln 2

1412e x x x y ≤≤-=

的弧长等于)1(41

2+e .

5.

⎰

+∞

-=

2

dx xe x 2

1

. 二、选择题（每小题3分，共15分） 1. 设

,)(),()(2x x h x g x f dx

d ==则)()]([D x h f dx d =.

（A ）)(2

x g ； （B ）)(2x xg ； （C ）)(2

2

x g x ； （D ）)(22

x xg . 2.设,275)(-+=x

x

x f 则0→x 时，（ B ）.

（A ）)(x f 与x 是等价无穷小量； （B ）)(x f 与x 是同阶但非等价无穷小量； （C ）)(x f 是比x 高阶的无穷小量； （D ）)(x f 是比x 低阶的无穷小量. 3.设)(x g 在),(∞+-∞上严格单调减少，)(x f 在0x x =处有极大值，则（A ）. （A ）)]([x f g 在0x x =处有极小值；（B ）)]([x f g 在0x x =处有极大值；

（C ）)]([x f g 在0x x =处有最小值；（D ）)]([x f g 在0x x =处有既无极值也无最值； 4.下列函数中，在定义域上连续的函数是（ B ）

（A ）⎪⎩⎪⎨⎧=≠=;0,0,

0,sin )(x x x x x f （B ）⎪⎩⎪⎨⎧

=≠=;0,0,0,1sin )(x x x

x x f （C ）⎪⎩

⎪⎨⎧=≠-+=;0,0,0,11)(x x x x x f （D ）⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=.0,0,0,1)(x x x e x f x

5.若连续曲线)(1x f y =与)(2x f y =在],[b a 上关于x 轴对称，则积分

dx x f dx x f b

a

b

a

)()(21⎰⎰

+的值为（ D ）

（A ）dx x f b

a

)(2

1⎰

； （B ）dx x f b a

)(22⎰； （C ）dx x f x f b

a

)]()([221-⎰； （D ）0

三、解答下列各题（每小题7分，共28分）

1. 设参数方程⎪⎩

⎪⎨⎧+=+=⎰t du u u y t x 022

2,1),1ln(，求2

2

dx y d . 解 因为

2

1212

22

t t t t t dt dx dt dy dx dy =++== 所以 t t dt t

t dt t d t d dx dx dy d dx y d 411221)]1[ln()2()(222

22

+=+=+== 2. 求曲线x

xe y -=在拐点处的切线方程.

解 因为 x x

xe e

y ---='，)2(-=+--=''----x e xe e e y x x x x ，令0=''y 得2=x

当)2,(-∞∈x 时，0<''y ，当),2(∞+∈x 时，0>''y ，且2

2)2(-=e y ，则点)2,2(2

-e 是

曲线x

xe

y -=的拐点；又22)]1([)2(-=--=-='e x e y x x ，所以曲线x

xe y -=在拐点处的切

线方程是： )2(222

--=---x e e y

3. 计算积分

⎰e

dx x x 12ln .

解 e

e e e e x e dx x x x dx x x e e e e 221)11(1]1[11]ln [ln 112112-=-=+-+-=-+-=+-=⎰⎰ 4.

dx x

x ⎰

-2

21.

解 解法一

dx x dx x dx x x dx x x ⎰⎰⎰⎰

---=----=-22

2222

111

1111 C x x x x +-+

-=)12

1

arcsin 21(arcsin 2 （参看p201例21）

C x x x +--=2

12

1arcsin 21

解法二 设 t x sin =，则xdt dx cos =，代入得

C t t dt t tdt t t dx x x +-=-==-⎰⎰⎰

2sin 412122cos 1cos cos sin 122

2

C x x x C t t t +--=+-=

212

1

arcsin 21cos sin 2121 四、（8分）确定常数b a ,的值，使函数⎩

⎨⎧>≤+=0),arcsin(0

,)(x ax x b e x f x 在0=x 处连续且可导.

解 由于)(x f 在0=x 处连续)00()00()(lim 0

+=-=⇒→f f x f x ，且

b b e f x x +=+=--→1)(lim )00(0

0， 0)][arcsin(lim )00(0

0==++→ax f x

所以 01=+b

即 1-=b 由于)(x f 在0=x 处可导)0()0(+-'='⇒f f ，且

1)

1(lim )0()(lim

)0(0000=+-+=-='-→-→-x

b b e x f x f f x x x a x

ax x b ax x f x f f x x x ==+-=-='+→+→+→+)

arcsin(lim )1()arcsin(lim )0()(lim

)0(000000

所以 1=a

即1=a ，1-=b 时)(x f 在0=x 处连续且可导. 五、（8分）已知)(x f 的一个原函数是2

x e -，求⎰

'dx x f x )(.

解

C e e x dx x f x xf dx x f x x

x +-'=-='--⎰⎰2

2

][)()()(

C x e C e e x x x x ++-=+--=---)12(2222

2

2

六、（8分）设)(x f 在]1,0[上可导，且dx x

x f f ⎰+=1

21

2

1)

(2)0(.试证：存在)1,0(∈ξ，使 0)(2)()1(2=-'+ξξξξf f .

证 由积分中值定理有 221

2

121)()211(1)(21)(2

)0(ηηηη+=-+=+=⎰

f f dx x x f f ]1,2

1

[∈η； 设 2

1)

()(x x f x F +=

则)(x F 满足：①在],0[η上连续；②在),0(η内可导；③2

1)

()()0()0(ηηη+=

==f F f F ；