天津市河西区2020届高三数学一模答案
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河西区2019—2020学年度第二学期高三年级总复习质量调查（一）
数学试卷参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
（10）i 32+
（11）128
（12）π34
（13）()()4212
2=-+-y x （14）2
8
1 （15）3
11
27 三、解答题：本大题共6小题，共80分. （16）（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：设“从甲S 4店随机抽取的1台电动汽车是车型B ”为事件1M ，“从乙S 4店随机抽取的1台电动汽车是车型B ”为事件2M ， 依题意，()32126121=+=
M P ，()5
3
9692=+=M P ，且事件1M 、2M 相互独立， 设“抽取的2台电动汽车中至少有1台是车型A ”为事件M ， 则()()5
3
53321121=?-
=-=M M P M P .
…………5分
（Ⅱ）解：由表可知，车型A 销量超过车型B 销量的S 4店有2家， 故X 的所有可能取值为：0，1，2，
…………6分
且()101C C C 0353
3
02=?==X P ， ()53C C C 13
52
3
12=?==X P ， ()103C C C 235
1
3
22=?==X P ，
（1）D （2）C （3）A （4）C （5）A （6）D
（7）B
（8）A
（9）D
所以随机变量X 的分布列为：
…………12分
所以()5
610325311010=?+?+?
=X E . …………14分
（17）（本小题满分15分）
依题意，△ABP 和△AEP 均为以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则AB PA ⊥，
AE PA ⊥，所以⊥PA 面ABCDE ，又AE AB ⊥， …………1分
可以建立以A 为原点，分别以，，的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得()000,,A ，()002,,B ，()024,,C ，()064,,D ，()020,,E ，()200,,P ，
()132,,M ，
…………2分
（Ⅰ）证明：由题意，()004,,CE -=，()220-=,,PE ， 因为0=?PE CE ， 所以PE CE ⊥.
…………5分
（Ⅱ）解：()112---=,,，()112--=,,，设()x,y,z =n 为平面MEC 的法向量，则
????
?=?=?0
MC ME n n ，即???=--=---0202z y x z y x ， 不妨令1=y ，可得()110-=,,n ，
…………7分
平面DEC 的一个法向量()0,0,2=， 因此有2
2
cos -
=AP
AP n n,， …………9分
X 0 1 2
P
10
1 53 10
3
由图可得二面角D CE M --为锐二面角， 所以二面角D CE M --的大小为?45.
…………10分
（Ⅲ）解：（方法一）设PE λPN =（[]10，∈λ），()z ,y ,x N ， 所以()()2202-=-,,λz ,y ,x ，因此()λ,λ,N 2220-， 令n ⊥AN ，即0=?n AN ， 解得2
1
=
λ，即N 为PE 的中点， …………13分
因为AB ∥平面MCE ，AN ∥平面MCE ，A AN AB =I ，所以当N 为PE 的中点时， 平面ABN ∥平面MCE ， 此时即()110,,N ，
2110222=++=，
所以线段AN 的长为2.
…………15分
（方法二）设PE λPN =（[]10，∈λ），()z ,y ,x N ， 所以()()2202-=-,,λz ,y ,x ，因此()λ,λ,N 2220-，
设()x,y,z =m 为平面ABN 的法向量，则?????=?=?0
0AN AB m m ，即()???=-+=022204z λy λx ，
不妨令1-=λy ，可得()λ,λ,10-=m ，
…………12分
因为平面ABN ∥平面MCE ， 所以m ∥n ， 解得2
1
=
λ， …………13分
此时即()110,,N ，
2110222=++=，
所以线段AN 的长为2.
…………15分
（18）（本小题满分15分）
（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为11=a ，13+a 是2a 和8a 的等比中项，
所以()822
31a a a ?=+，即()()()d d d 7111212
++=++，
解得1±=d ，因为{}n a 是各项均为正数的等差数列， 所以1=d ，
故()n d n a a n =-+=11，
…………2分
因为22=-n n S b （*n N ∈），所以2211=---n n S b （2≥n ）， 两式相减得：
21
=-n n
b b （2≥n ）
， 当1=n 时，2211=-S b ，21=b ，
{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列，
n n n q b b 211=?=-.
…………4分
（Ⅱ）（ⅰ）解：?
??+=为偶数，，为奇数，
，n n n c n n 22
所以()()
n n n S 242122223253ΛΛ+++++++=+
()()()4
14142
3231--++++=n n n 3534412
+++=+n n n .
…………9分
（ⅱ）解：当i 为奇数时，设()()121215
31311+-++?+?=n n A n Λ
??? ??+--++-+-=121121513131121n n Λ()
122121+-=n ， …………12分
当i 为偶数时，设()n
n n n n B 22
26
4
2
2122122216214212??
?
???+?
?
? ???-++??? ???+??? ???+??? ???=-Λ
()2
22864212212221621421241+?
?
?
???+??? ???-++??? ???+??? ???+??? ???=n n
n n n B Λ
所以2
226
4
2
21221221221221243+?
?
? ???-?
?? ???++??? ???+??? ???+??? ???=n n
n n B Λ
故()1
22194398-??
?
???+-
=n n n B ，
所以
()n n n
i i
i
B A c a i
+=∑
=-21
1()1221
1825+-=n ()1
221943-?
?
? ???+-n n . …………15分
（19）（本小题满分15分）
（Ⅰ）解：由椭圆的定义，△2ABF 的周长等于a 4，所以2=a ，
…………2分
又2
1
==
a c e ，所以1=c ，322=-=c a
b ， 因此椭圆C 的方程为13
42
2=+y x .
…………4分
（Ⅱ）解：依题意，直线l 的方程为1-=y x ,
与椭圆方程联立???
??-==+1
1342
2y x y x ，整理得：09672=--y y
由韦达定理：7621=+y y ，7
9
21-=?y y ，
2112
1
y y OF S ABC -=?
…………7分
()
7
2
6794762142
12
212
21=
?+??? ??=-+=y y y y . …………9分
（Ⅲ）解：设直线l 的方程为1-=ty x ，()11y ,x A ,()22y ,x B ，
直线l 与椭圆方程联立???
??-==+1
13422ty x y x ，
整理得：()
0964322=--+ty y t
由韦达定理：436221+=
+t t y y ①，4
39
22
1+-=?t y y ②， 因为F μF λF F 2212+=，
所以()()()22111102y x μy x λ，，，-+-=-，
所以?
??+=-+-=-212102y μy λμ
x μλx λ，由111-=ty x ，122-=ty x ，
所以()()()()μλy μy λt μty μλty λ+-+=--+--=-21122121 所以1=+μλ.
…………11分
又
2911=+μλ，不妨设μλ<，所以31=λ，3
2
=μ，代入021=+y μy λ， 所以212y y -=，
…………12分
所以2
5
2112-=+y y y y ，整理得()21212
21
-=+y y y y ， 代入①②214
394362
2
2-=+-?
??
??+t t t ，计算得552±
=t ， 所以直线l 的方程为05525=++y x 或05525=+-y x . …………15分
（20）（本小题满分16分）
（Ⅰ）解：()()2e e e 22+=+='x x a ax ax x f x x x ， 因为函数()x f 在点()()11f ,处的切线的斜率为e 6， 所以()6e e 31=='a f ， 解得2=a .
…………3分 （Ⅱ）解：依题意知，()()2e e e 22+=+='x x a ax ax x f x x x ， 当0>a 时，令()0>'x f ，得0>x 或2- 所以函数()x f 的单调递增区间为(]2-∞-,，[)+∞,0，单调递减区间为[]02,-..……6分 当0'x f ，得02<<-x . 所以函数()x f 的单调递减区间为(]2-∞-,，[)+∞,0，单调递增区间为[]02,-..……9分 （Ⅲ）解：()() 011e e 1e 2≥+-+?≥++x ax x x f x x x ， 依题意，当0≤x 时，() 011e 2≥+-+x ax x ， 即当0≤x 时0e 1 12≥+-+x x ax . 设()x x ax x h e 112+-+=， 则()??? ? ?-+=-+='x x ax ax x h 2e 1212e 112， 设()x ax x m 2e 1 21-+ =， 则()x a x m 2e 1 +='. ①当21 -≥a 时， 当0 e 21>x ，从而()0>x 'm ， 所以()x ax x m 2e 1 21-+=在区间为()0,∞-上单调递增， 又()00=m Θ， 当0 1 12+-+=在区间为()0,∞-上单调递减， 又()00=h Θ， 从而当0≤x 时，()0≥x h ， 即0e 1 12≥+ -+x x ax . 于是当0≤x 时，()x x x x f e 1e ≥++； …………12分 ②当21 -