初中数学知识点精讲精析 从统计图分析数据的集中趋势

6.3 从统计图分析数据的集中趋势
学习目标
1．进一步理解平均数、中位数、众数等的实际含义；
2．能从条形统计图、扇形统计图等统计图表中获取信息，求出或估计相关数据的平均数、中位数、众数。

知识详解
1．中位数
一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数．一组数据的中位数是唯一的．它可以是这组数据中的数也可以是这组数据外的数．在计算一组数据的中位数时，其步骤为：（1）将这组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列；（2）找到处在最中间位置的一个数或最中间的两个数的平均数即为中位数．
确定中位数：求中位数时，一定要先按大小顺序将数据排列，再找中位数，当数据的个数是偶数时，中位数是中间两个数的平均数；当数据的个数是奇数时，正中间的数是中位数．2．众数
一般地，一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数．一组数据可以有不止一个众数，也可以没有众数．若几个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这几个数据都是这组数据的众数；当所有的数出现的次数一样多时，无众数．区分众数与次数：众数是一组数据中出现次数最多的数，而不是该数据出现的次数．3．从统计图分析数据的集中趋势
（1）统计图的特点：①扇形统计图能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比；②条形统计图能清楚地显示每个项目的具体数目；③折线统计图能清楚地反映出事物与数据的变化情况．
（2）反映一组数据集中趋势的量主要有平均数、众数、中位数．
（3）我们可以根据条形统计图、折线统计图所显示的数据的中位数与众数估测其平均数．
（4）在扇形统计图中，表示的数据的众数为所占比例最大的数，数据的平均数往往利用加权平均数进行求解．
4．平均数、中位数和众数的关系
平均数、中位数和众数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，但又具有不同的统计意义．平均数是反映个体的平均水平，从个体的平均水平能估计总体状况．因而平均数应用最为广泛．中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响．中位数可能出现在所给的数据中，也可能不在所给数据中．当一组数据中个别数据变动较大时，可用它来描述其集中趋势．众数反映各数据出现的次数，其大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往更能反映问题．
5．平均数、中位数、众数的应用
（1）应用平均数时，所有数据都参加运算，它能充分地利用数据所提供的信息；但当
一组数据中存在极大值或极小值时，平均数将不能准确表示数据的集中情况．（2）应用中位数时，计算较简单，不会受到极大值或极小值存在的影响，但不能充分利用所有数据信息．
（3）应用众数，某些情况下，人们最关心、最重视的是出现次数最多的数据，这种情况下，应用众数简单而且能够直接满足人们的需求，但当各个数据的重复次数大致相等时，众数往往没有特别意义．
求中位数应注意的几点：（1）求中位数时需先将数据按从小到大或从大到小排序．（2）当数据有奇数个时，中位数就是排序后最中间位置上的数；当数据有偶数个时，中位数就是排序后最中间两个数据的平均数．（3）当数据分组排列时，应按数据总个数求中位数，而不能按小组数求中位数．
【典型例题】
例1. 求下列数据的中位数．
(1)2,3,14,16,7,8,10,11,13；
(2)11,9,7,5,3,1,10,14.
【答案】(1)将已知数据按从小到大的顺序重新排列：
2,3,7,8,10,11, 13,14,16.
故这组数据的中位数为10.
(2)将已知数据按从小到大的顺序重新排列：
1,3,5,7,9,10,11,14.
∵中间的两个数是7和9，它们的平均数是8，
∴这组数据的中位数是8.
【解析】求一组数据的中位数时，既可以由小到大排列，也可以由大到小排列，结果数据的个数是偶数，则为最中间两个数据的平均数；如果是奇数，则为最中间一个数据的值．
例2. 某商店有200 L,215 L,185 L,180 L四种型号的冰箱，一段时间内共销售58台，其中四个型号分别售6台，30台，14台，8台，在研究电冰箱出售情况时，商店经理关心这组数据的平均数吗？他关心的是什么？
【答案】商店经理不关心这组数据的平均数，他关心的是众数，也就是哪种型号的电冰箱销量最好．
【解析】销售量的多少是商店经理最关心的一个问题，因此在这个问题中平均数不再是考查的主要对象，这组数据的众数是215 L，说明这种型号的电冰箱销量最好，这才是商店经理最为关心的．
例3. 数据10，10，x，8的众数与平均数相同，那么这组数的中位数是
【答案】10
【解析】（1）当众数为10时，根据题意得：10+10+x+8=4×10，解得x=12，则中位数是10；（2）当x=8时，有两个众数，而平均数为（10×2+8×2）÷4=9，不合题意．
【误区警示】
易错点1：求中位数时需先将数据按从小到大或从大到小排序．
1.样本数据5，5，x，7的众数与平均数相同，那么这组数据的中位数是
【答案】5
【解析】∵样本数据5，5，x，7的众数与平均数相同，∴众数一定是5，当为7的时，平均数不可能与众数相同，∴（5+5+x+7）÷4=5，解得：x=3，将数据按大小顺序排列3，5，5，7，那么这组数据的中位数是：（5+5）÷2=5．
易错点2：众数、平均数与中位数三者关系
2.以下数据：10，10，12，x，8，如果这组数的众数与平均数相等，则中位数是
【答案】10
【解析】根据这组数据的某个众数与平均数相等，得出平均数，求出x从而得出中位数，即是所求答案．
【综合提升】
针对训练
1. 对于数据3，3，2，6，3，10，3，6，3，2．
（1）众数是3；（2）众数与中位数的数值不等；（3）中位数与平均数的数值相等；（4）平均数与众数相等，其中正确的结论是（）
A．（1）
B．（1）（3）
C．（2）
D．（2）（4）
2. 对于数据：3，3，1，3，5，3，3，5，3，1．则在下列结论中：
①这组数据的众数是3；②这组数据的众数与中位数的数值不等；③这组数据的中位数与平均数的数值相等；④这组数据的平均数与众数的数值相等，其中正确的结论有（）A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3. 样本6，7，8，9，10，10，10的中位数和众数分别是（）
A．9，3
B．8，10
C．10，10
D．9，10
1.【答案】A
【解析】数据按从小到大顺序排列为2，2，3，3，3，3，3，6，6，10，所以中位数为（3+3）÷2=3，数据3出现了5次，出现次数最多，所以众数是3，平均数为（2×2+3×5+6×2+10）÷10=4.1．∴（1）正确，（2）（3）（4）错误．
2.【答案】C
【解析】按照从小到大的顺序排列为：1，1，3，3，3，3，3，3，5，5，中位数是：3，众数是：3，平均数是：（1+1+3+3+3+3+3+3+5+5）÷10=3，
3.【答案】D
【解析】在这一组数据中10是出现次数最多的，故众数是10，而这组数据处于中间位置的那个数是9，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是9．
课外拓展
数学在生物学的作用
数学有自己的理论体系，一类是基础数学，一类是应用数学，再一类是计算数学。

大家知道数学在天文、物理和工程领域得到了非常成功的应用，天文上很多小行星的发现，包括轨道的计算都有赖于数学；物理学更是如此，量子论和相对论的提出都深深打下了数学的印记；工程方面桥梁的设计、宇宙飞船和导弹的发射等都要用到大量计算，可以说数学的应用及其价值无可估量。

数学生物学：生命是数字游戏
-----浅谈数学在现代生命科学研究中的作用"21世纪将是生命科学的世纪"，近代生物科学的发展可以说有两个特点：
一是微观方向的发展，如"细胞生物学"、"分子生物学"、"量子生物学"的发展等等，显微镜的出现使得生物科学向微观方向发展得到了可能，显微镜下人们可以看到生物的细胞和细胞的结构，但是显微镜下无法使人们了解各种细胞群体之间的互相关系。

作为一个系统，它的发展过程以及发展趋势，就必须用数学的方法来研究。

人们可以通过显微镜观察和实验去了解生物细胞的各种特性，但是显微镜和实验都不能得到综合的结论，而这种结论也必需用数学的方法来进行，因此也可以说生命科学的微观方向发展必不可少的要引用数学方法。

另一发展特点是宏观方向，从研究生物体的器官、整体到研究种群、群落、生物圈，生物体、生物器官、细胞分之的研究，我们都可以通过观察和实验来进行，但是对于生态学的研究则不完全是这样，数学的推理显示了特别的重要性，可以说生态学是一个以推理为主体的科学，所以有人说"生态学就是数学"。