可修改一元二次不等式恒成立问题.ppt
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(1)与一元二次不等式有关的恒成立问题，可通过二次函数求最 值，也可通过分离参数，再求最值．
(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地， 知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．
(3)对于二次不等式恒成立问题，恒大于 0 就是相应的二次函数 的图象在给定的区间上全部在 x 轴上方，恒小于 0 就是相应的二 次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴下方．
.精品课件.
10
练习：若不等式 x2+ (a-4)x+4-2a>0 对于
a ∈[-1,1]恒成立,则实数x 的取值范围是_______. x 1或x 3
g(a) x2 (a 4)x 4 2a
(x 2)a x2 4x 4
g(1) 0 g(1) 0
.精品课件.
11
题型二方法小结
.精品课件.
9
变式：若对于任意 a [1,1] ，函数 f ( x) x2 ax 2 的值恒小
于 0，则 x 的取值范围是_______1____x____1_________．
g(a)
xa
x2
2
g(1) g(1) 0
0
此题若把它看成关于x的二次函数,由于a, x都要 变,则函数的最小值很难求出,思路受阻.若视a为主元, 则给解题带来转机.
一元二次不等式应用
恒成立问题
.精品课件.
1
判别式 △=b2- 4ac
y=ax2+bx+c (a>0)的图象
ax2+bx+c=0 (a>0)的根
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
△>0 y
△=0 y
x1 O x2 x
O x1
x
有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)
则
f (2) ≤ 0
f
(3)
≤
0
y
10 m ≤ 0 9 m ≤ 0
m ≤9.
o
. 2
3x
.
（３）数形结合思想
.精品课件.
14
上恒成立,则实数m的取值范围是_m___≤__9_.
解：m≤-2x2+9x在区间［2，3］上恒成立，
记 g(x) 2x2 9x, x [2,3],
则问题转化为 m≤g(x)min
gmin ( x) g(3) 9, m ≤ 9.
分离参数法
【评注】对于一些含参数的不等式恒成立问题，如果能够将
不等式中的变量和参数进行剥离，即使变量和参数分别位于不 等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归 为解关于参数的不等式的问题．
例1：若不等式 x2 2x m 0
对任意实数x恒成立，求m取值范围。
分析：函数f (x) x2 2x m开口向上 f (x) 0恒成立需 0
=（-2）2 -4m 0，解得m 1
.精品课件.
4
变式1：若函数 f (x) x2 2x m 的定义域为R， 则m的取值范围是__________。
.精品课件.
12
例2. 关于x的不等式 2x2 9x m ≤ 0 在区间[ 2, 3]
上恒成立,则实数m的取值范围是_m___≤__9_.
解：构造函数 f ( x) 2x2 9x m, x [2, 3],
问题等价于f(x)max≤0,
y
Biblioteka Baidu
f ( x) 2( x 9)2 m 81 , x [2, 3],
a 0 b2 4ac 0
（3）二次不等式a x2 +bx +c ≥ 0恒成立 a 0
b2 4ac 0
（4）二次不等式a x2 +bx +c ≤ 0恒成立
a 0 b2 4ac 0
.精品课件.
7
题型二 定义域不为R时
例2. 关于x的不等式 2x2 9x m ≤ 0 在区间[ 2, 3]
若 m＝0，显然－1<0；
m<0， 若 m≠0，则
Δ＝m2＋4m<0 所以－4<m≤0.
⇒－4<m<0.
练习：若关于x的不等式：ax2 2ax+2 0的解集为R,
求实数a的取值范围。
.精品课件.
6
题型一方法小结
（1）二次不等式a x2 +bx +c > 0恒成立
a 0
b2
4ac
0
（2）二次不等式a x2 +bx +c < 0恒成立
变式2.若不等式x2 2x m 0的解集为空集,则实数 m的取值范围是 ____ .
变式3若关于x的不等式：x2 mx 1 0的解集为R,
求实数m的取值范围。
.精品课件.
5
变式 4.设函数 f(x)＝mx2－mx－1.
若对于一切实数 x，f(x)<0 恒成立，求 m 的取值范围；
规范解答 解 (1)要使 mx2－mx－1<0 恒成立，
.精品课件.
8
练习1：若不等式 x2-2x+m>0 对于x∈(0,3)恒 成立,则实数m的取值范围是_______.
练习2：若不等式 mx2-2x+1>0 对于x∈(0,3)恒 成立,则实数m的取值范围是_______.
练习3：若不等式 x2-mx+4>0 对于x∈(0,3)恒 成立,则实数m的取值范围是_______.
4
8
fmax( x) f (3) m 9 ≤ 0, o
m ≤ 9.
（2）转换求函数的最值
. 2
3x
.
.精品课件.
13
例2. 关于x的不等式 2x2 9x m ≤ 0 在区间[ 2, 3]
上恒成立,则实数m的取值范围是_m___≤__9_.
解：构造函数 f (x) 2x2 9x m, x [2,3],
有两相等实根 x1=x2= b 2a
{x|x<x1,或 x>x2}
{x|x≠
b
}
2a
{x|x1< x <x2 }
Φ
.精品课件.
△<0 y
x O 没有实根
R Φ
2
表中的 x1, x2 承担几种角色
1、一元二次方程的两根。 2、二次函数的零点。 3、不等式解的端点。
.精品课件.
3
题型一 定义域为R时
(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地， 知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．
(3)对于二次不等式恒成立问题，恒大于 0 就是相应的二次函数 的图象在给定的区间上全部在 x 轴上方，恒小于 0 就是相应的二 次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴下方．
.精品课件.
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练习：若不等式 x2+ (a-4)x+4-2a>0 对于
a ∈[-1,1]恒成立,则实数x 的取值范围是_______. x 1或x 3
g(a) x2 (a 4)x 4 2a
(x 2)a x2 4x 4
g(1) 0 g(1) 0
.精品课件.
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题型二方法小结
.精品课件.
9
变式：若对于任意 a [1,1] ，函数 f ( x) x2 ax 2 的值恒小
于 0，则 x 的取值范围是_______1____x____1_________．
g(a)
xa
x2
2
g(1) g(1) 0
0
此题若把它看成关于x的二次函数,由于a, x都要 变,则函数的最小值很难求出,思路受阻.若视a为主元, 则给解题带来转机.
一元二次不等式应用
恒成立问题
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1
判别式 △=b2- 4ac
y=ax2+bx+c (a>0)的图象
ax2+bx+c=0 (a>0)的根
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
△>0 y
△=0 y
x1 O x2 x
O x1
x
有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)
则
f (2) ≤ 0
f
(3)
≤
0
y
10 m ≤ 0 9 m ≤ 0
m ≤9.
o
. 2
3x
.
（３）数形结合思想
.精品课件.
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上恒成立,则实数m的取值范围是_m___≤__9_.
解：m≤-2x2+9x在区间［2，3］上恒成立，
记 g(x) 2x2 9x, x [2,3],
则问题转化为 m≤g(x)min
gmin ( x) g(3) 9, m ≤ 9.
分离参数法
【评注】对于一些含参数的不等式恒成立问题，如果能够将
不等式中的变量和参数进行剥离，即使变量和参数分别位于不 等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归 为解关于参数的不等式的问题．
例1：若不等式 x2 2x m 0
对任意实数x恒成立，求m取值范围。
分析：函数f (x) x2 2x m开口向上 f (x) 0恒成立需 0
=（-2）2 -4m 0，解得m 1
.精品课件.
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变式1：若函数 f (x) x2 2x m 的定义域为R， 则m的取值范围是__________。
.精品课件.
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例2. 关于x的不等式 2x2 9x m ≤ 0 在区间[ 2, 3]
上恒成立,则实数m的取值范围是_m___≤__9_.
解：构造函数 f ( x) 2x2 9x m, x [2, 3],
问题等价于f(x)max≤0,
y
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f ( x) 2( x 9)2 m 81 , x [2, 3],
a 0 b2 4ac 0
（3）二次不等式a x2 +bx +c ≥ 0恒成立 a 0
b2 4ac 0
（4）二次不等式a x2 +bx +c ≤ 0恒成立
a 0 b2 4ac 0
.精品课件.
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题型二 定义域不为R时
例2. 关于x的不等式 2x2 9x m ≤ 0 在区间[ 2, 3]
若 m＝0，显然－1<0；
m<0， 若 m≠0，则
Δ＝m2＋4m<0 所以－4<m≤0.
⇒－4<m<0.
练习：若关于x的不等式：ax2 2ax+2 0的解集为R,
求实数a的取值范围。
.精品课件.
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题型一方法小结
（1）二次不等式a x2 +bx +c > 0恒成立
a 0
b2
4ac
0
（2）二次不等式a x2 +bx +c < 0恒成立
变式2.若不等式x2 2x m 0的解集为空集,则实数 m的取值范围是 ____ .
变式3若关于x的不等式：x2 mx 1 0的解集为R,
求实数m的取值范围。
.精品课件.
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变式 4.设函数 f(x)＝mx2－mx－1.
若对于一切实数 x，f(x)<0 恒成立，求 m 的取值范围；
规范解答 解 (1)要使 mx2－mx－1<0 恒成立，
.精品课件.
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练习1：若不等式 x2-2x+m>0 对于x∈(0,3)恒 成立,则实数m的取值范围是_______.
练习2：若不等式 mx2-2x+1>0 对于x∈(0,3)恒 成立,则实数m的取值范围是_______.
练习3：若不等式 x2-mx+4>0 对于x∈(0,3)恒 成立,则实数m的取值范围是_______.
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fmax( x) f (3) m 9 ≤ 0, o
m ≤ 9.
（2）转换求函数的最值
. 2
3x
.
.精品课件.
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例2. 关于x的不等式 2x2 9x m ≤ 0 在区间[ 2, 3]
上恒成立,则实数m的取值范围是_m___≤__9_.
解：构造函数 f (x) 2x2 9x m, x [2,3],
有两相等实根 x1=x2= b 2a
{x|x<x1,或 x>x2}
{x|x≠
b
}
2a
{x|x1< x <x2 }
Φ
.精品课件.
△<0 y
x O 没有实根
R Φ
2
表中的 x1, x2 承担几种角色
1、一元二次方程的两根。 2、二次函数的零点。 3、不等式解的端点。
.精品课件.
3
题型一 定义域为R时