第七章二元关系精品PPT课件
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若R为A上的关系，则关系矩阵为n阶方阵。
18
3. 关系图
设A={a1, a2, …, an}，B={b1, b2, …, bm}，R 是从A到B的一个二元关系，则对应关系R的关 系图是GR=<V, R>，其中V为结点集，R为边集。 如果<xi , xj>属于关系R，在图中就有一条从 xi 到 xj 的有向边。
9
一、二元关系的定义
1. 二元关系（定义7.3） 2. 从A到B的二元关系（定义7.4） 3. A上的某些特殊关系（定义7.5） 4. A上的某些常用关系（P105）
10
1. 二元关系
如果一个集合满足以下条件之一： (1)集合非空, 且它的元素都是有序对； (2)集合是空集， 则称该集合为一个二元关系, 简称为关系，
5
2. 性质：
① 对任意集合A， A=A=
② 不适合交换律 ABBA
(当AB A B时) ③ 不适合结合律 (AB)CA(BC)
(当A B C 时) ④ 对于并或交运算满足分配律
A(BC)=(AB)(AC) (BC)A=(BA)(CA) A(BC)=(AB)(AC) (BC)A=(BA)(CA)
AB ={ <x,y> | xA yB }
4
例：A={1,2}, B={a,b,c} AB ={<1,a>,<1,b>,<1,c>,<2,a>,<2,b>,<2,c>} BA ={<a,1>,<b,1>,<c,1>,<a,2>,<b,2>,<c,2>}
注意：若|A|=m, |B|=n, 则 |AB|=mn。
第七章 二元关系
§7.1 有序对与笛卡尔积 §7.2 二元关系 §7.3 关系的运算 §7.4 关系的性质 §7.5 关系的闭包 §7.6 等价关系与划分 §7.7 偏序关系
1
§7.1 有序对与笛卡尔积
一、有序对 二、笛卡尔积
2
一、有序对
1. 定义（定义7.1） 由两个元素x和y(允许x=y)，按一定顺序
7
⑤ A C B D AB CD 证明：任取<x,y>
<x,y>AB xA yB xC yD <x,y>CD
注意：AC BD是否推出 A B C D ？ 不一定！ 反例如下： A={1}，B={2}, C=D=
8
§7.2 二元关系
一、二元关系的定义 二、二元关系的表示法
12
3. A上的某些特殊二元关系
① 空关系：对于任何集合A ，是A ×A的子集，
叫做A上的空关系。
② 全域关系EA ：EA={<x,y>|x∈A∧y∈A}=A×A ③ 恒等关系IA：IA={<x,x>|x∈A}
如，A={1,2}，则 EA={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>} IA={<1,1>,<2,2>}
13
4. A上的某些常用二元关系
① 小于等于关系 LA： LA={<x,y>| x,y∈A∧x≤y}，AR， ② 整除关系DB：DB={<x,y>| x,y∈B∧x整除y}， BZ*, Z*为非0整数集。 ③ 包含关系R： R={<x,y>| x,y∈A∧xy}, A是集合族。
类似的还可以定义大于等于关系，小于 关系，大于关系, 真包含关系等等。
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如：A = {1, 2, 3}, B ={a, b}, 则 LA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,3>,<3,3>} DA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<3,3>}
A=P(B)={,{a},{b},{a,b}}, 则 A上的包含关 系
R={<,>,<,{a}>,<,{b}>,<,{a,b}>, <{a},{a}>,<{a},{a,b}>,<{b},{b}>,<{b},{a,b}>, <{a,b},{a,b}>}
15
二、二元关系的表示法
1. 集合表示法 2. 关系矩阵 3. 关系图
16
1. 集合表示法
关系是一种特殊的集合(元素为有序对)。 列举法 谓词表示法
例：设A={1,2,3,4}， R={<x,y>| x/y是素数}是A上的关系，用列
举法表示R。 解：R={<2,1><3,1><4,2>}
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2. 关系矩阵
组成的二元组称为有序对，记作<x,y>。 如：平面直角坐标系中点的坐标< 3,4 >。
2. 性质 (1) 有序性 < x , y >< y , x > （当x y时） (2)<x,y> =<u,v> 的充分必要条件是
x=u y=v
3
二、笛卡儿积
1. 定义（定义7.2）
设A, B为集合，用A中元素为第一个元素， B中元素为第二个元素构成有序对。 所有这 样的有序对组成的集合叫做 A和B 的笛卡儿 积，记作AB。
记作R。如果<x,y>∈R, 可记作 xRy；如果
<x,y>R, 则记作x y。
如：R={<1,2>,<a,b>}, S={<1,2>,a,b}. R是二元关系, 当a, b不是有序对时，S不是二元关系 根据上面的记法，可以写 1R2, aRb, a c 等.
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2. 从A到B的二元关系
设A，B为集合，A×B的任何子集所定义 的二元关系叫做从A到B的二元关系，当A=B 时则叫做 A上的二元关系。
如：A={0,1}, B={1,2,3}, |A|=n, |B|=m ，
R1={<0,2>}, R2=A×B,
|A×B|=nm，从A到B的 二元关系有2nm个，A上
的二元关系有2n个2 。
R3=,
R4={<0,1>}.
那么 R1， R2， R3， R4是从 A 到 B的二 元关系，R3和R4同时也是 A上的二元关系。
设A={a1, a2, …, an}，B={b1, b2, …, bm}，R是 从A到B的一个二元关系，称矩阵MR = [ rij ] nm 为关系R的关系矩阵，其中：
1， < ai, bj> R
rij =
(i=1,2,…,n,j=1,2,…,m)
0， < ai, bj> R
注意：A的元素个数确定行数； B的元素个数确定列数。
6
证明：A(BC)=Biblioteka BaiduAB)(AC) 证： 任取<x,y>
<x,y>∈A×(B∪C) x∈A∧y∈B∪C x∈A∧(y∈B∨y∈C) (x∈A∧y∈B)∨(x∈A∧y∈C) <x,y>∈A×B∨<x,y>∈A×C <x,y>∈(A×B)∪(A×C)
所以有A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C).
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3. 关系图
设A={a1, a2, …, an}，B={b1, b2, …, bm}，R 是从A到B的一个二元关系，则对应关系R的关 系图是GR=<V, R>，其中V为结点集，R为边集。 如果<xi , xj>属于关系R，在图中就有一条从 xi 到 xj 的有向边。
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一、二元关系的定义
1. 二元关系（定义7.3） 2. 从A到B的二元关系（定义7.4） 3. A上的某些特殊关系（定义7.5） 4. A上的某些常用关系（P105）
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1. 二元关系
如果一个集合满足以下条件之一： (1)集合非空, 且它的元素都是有序对； (2)集合是空集， 则称该集合为一个二元关系, 简称为关系，
5
2. 性质：
① 对任意集合A， A=A=
② 不适合交换律 ABBA
(当AB A B时) ③ 不适合结合律 (AB)CA(BC)
(当A B C 时) ④ 对于并或交运算满足分配律
A(BC)=(AB)(AC) (BC)A=(BA)(CA) A(BC)=(AB)(AC) (BC)A=(BA)(CA)
AB ={ <x,y> | xA yB }
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例：A={1,2}, B={a,b,c} AB ={<1,a>,<1,b>,<1,c>,<2,a>,<2,b>,<2,c>} BA ={<a,1>,<b,1>,<c,1>,<a,2>,<b,2>,<c,2>}
注意：若|A|=m, |B|=n, 则 |AB|=mn。
第七章 二元关系
§7.1 有序对与笛卡尔积 §7.2 二元关系 §7.3 关系的运算 §7.4 关系的性质 §7.5 关系的闭包 §7.6 等价关系与划分 §7.7 偏序关系
1
§7.1 有序对与笛卡尔积
一、有序对 二、笛卡尔积
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一、有序对
1. 定义（定义7.1） 由两个元素x和y(允许x=y)，按一定顺序
7
⑤ A C B D AB CD 证明：任取<x,y>
<x,y>AB xA yB xC yD <x,y>CD
注意：AC BD是否推出 A B C D ？ 不一定！ 反例如下： A={1}，B={2}, C=D=
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§7.2 二元关系
一、二元关系的定义 二、二元关系的表示法
12
3. A上的某些特殊二元关系
① 空关系：对于任何集合A ，是A ×A的子集，
叫做A上的空关系。
② 全域关系EA ：EA={<x,y>|x∈A∧y∈A}=A×A ③ 恒等关系IA：IA={<x,x>|x∈A}
如，A={1,2}，则 EA={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>} IA={<1,1>,<2,2>}
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4. A上的某些常用二元关系
① 小于等于关系 LA： LA={<x,y>| x,y∈A∧x≤y}，AR， ② 整除关系DB：DB={<x,y>| x,y∈B∧x整除y}， BZ*, Z*为非0整数集。 ③ 包含关系R： R={<x,y>| x,y∈A∧xy}, A是集合族。
类似的还可以定义大于等于关系，小于 关系，大于关系, 真包含关系等等。
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如：A = {1, 2, 3}, B ={a, b}, 则 LA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,3>,<3,3>} DA={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<3,3>}
A=P(B)={,{a},{b},{a,b}}, 则 A上的包含关 系
R={<,>,<,{a}>,<,{b}>,<,{a,b}>, <{a},{a}>,<{a},{a,b}>,<{b},{b}>,<{b},{a,b}>, <{a,b},{a,b}>}
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二、二元关系的表示法
1. 集合表示法 2. 关系矩阵 3. 关系图
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1. 集合表示法
关系是一种特殊的集合(元素为有序对)。 列举法 谓词表示法
例：设A={1,2,3,4}， R={<x,y>| x/y是素数}是A上的关系，用列
举法表示R。 解：R={<2,1><3,1><4,2>}
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2. 关系矩阵
组成的二元组称为有序对，记作<x,y>。 如：平面直角坐标系中点的坐标< 3,4 >。
2. 性质 (1) 有序性 < x , y >< y , x > （当x y时） (2)<x,y> =<u,v> 的充分必要条件是
x=u y=v
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二、笛卡儿积
1. 定义（定义7.2）
设A, B为集合，用A中元素为第一个元素， B中元素为第二个元素构成有序对。 所有这 样的有序对组成的集合叫做 A和B 的笛卡儿 积，记作AB。
记作R。如果<x,y>∈R, 可记作 xRy；如果
<x,y>R, 则记作x y。
如：R={<1,2>,<a,b>}, S={<1,2>,a,b}. R是二元关系, 当a, b不是有序对时，S不是二元关系 根据上面的记法，可以写 1R2, aRb, a c 等.
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2. 从A到B的二元关系
设A，B为集合，A×B的任何子集所定义 的二元关系叫做从A到B的二元关系，当A=B 时则叫做 A上的二元关系。
如：A={0,1}, B={1,2,3}, |A|=n, |B|=m ，
R1={<0,2>}, R2=A×B,
|A×B|=nm，从A到B的 二元关系有2nm个，A上
的二元关系有2n个2 。
R3=,
R4={<0,1>}.
那么 R1， R2， R3， R4是从 A 到 B的二 元关系，R3和R4同时也是 A上的二元关系。
设A={a1, a2, …, an}，B={b1, b2, …, bm}，R是 从A到B的一个二元关系，称矩阵MR = [ rij ] nm 为关系R的关系矩阵，其中：
1， < ai, bj> R
rij =
(i=1,2,…,n,j=1,2,…,m)
0， < ai, bj> R
注意：A的元素个数确定行数； B的元素个数确定列数。
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证明：A(BC)=Biblioteka BaiduAB)(AC) 证： 任取<x,y>
<x,y>∈A×(B∪C) x∈A∧y∈B∪C x∈A∧(y∈B∨y∈C) (x∈A∧y∈B)∨(x∈A∧y∈C) <x,y>∈A×B∨<x,y>∈A×C <x,y>∈(A×B)∪(A×C)
所以有A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C).