空间向量的坐标表示

(1) AuuBur (2,0,0)
z A1
D1
(2)uAuBur1 (2,0, 2)
B1
C1
(3) AuuCuur (2, 2,0)
(4)uAuCuur1 (2, 2, 2)
A
(5)CuuDur1 (2,0, 2) B
(6)C1A (2, 2,-2) x
D y
C
r
r
1、已知a (3, 2,5), b (1,5, 1)
空间向量的坐标表示
1、空间向量基本定理：
rrr
如果三u个r 向量 a、b、c不共面， 那么对空间任一
向量
ur
pr ，存在r 唯一r的有序实数组{x,y,z}，使得
p xa yb zc
rr ra c
ur p
b
urБайду номын сангаасP
rC p
Aarco
r bB
B'
A'
P’
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur OP OP' P'P OA' OB' P'P xOA yOB zOC
(2)已知A(1,0,1),B(2,4,1),C(2,2,3), D(10,14,17),试判断A,B,C,D四点是否共面.
变:已知A(-2,3,1),B(2,-5,3),C(10,0,10), D(8,4,9),试证明:四边形ABCD是梯形.
6.正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别在
AC,C1D上,且
4,
),
r b
(3,
9
,
6)
2
r
r
(2)a (2, 0, 4, ), b (4,1, 8)
r
r
(3)a (2, 0, 4, ), b (4, 0, 8)
ur 5.已知m
(8,
3,
a),
r n
(2b,
6,
5)
,若mur
P
r n
则a=_____,b=______.
例题3: (1)已知A(1,0,2),B(0,1,-2),C(0,0,3),若四边 形ABCD是平行四边形,求点D的坐标.
a (a1, a2 )( R), (2)若Auu(urx1, y1), B(x2 , y2 )
则AB (x2 x1, y2 y1)
1分、给别空定为一间x,个y向,空z量轴间的正直方坐角向标坐上表标的系示单和：位向坐量标upr向，且量设，eu由r1、eu空ur2、间eur3
向量基ur本定理ur ，存uu在r 唯一ur的有序实数组 (x, y, z) 使得 p xe1 ye2 ze3 ur 则有序实数组 (x, y, z) 叫做 p在空ur间直角坐标系
则y=_____,z=______.
r
r
rr
已知空间两向量 a (x1, y1, z1),b (x2, y2, z2),(a 0)
rr
则 a Pb x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 ( R)
对应坐标成比例.
4.判断下列各组中的两个向量是否共线.
r (1)a
(2,
3,
rr
求(1)a b;
答案：（-2，7，4）
rr (2)3a b;
（-10，1，16）
r (3)6a;
（-18，12，30）
uuur
uuur
2.已知 AB (3,5, 7), AC (1, 2,9) ,则
uuur
BC __________
ur
r
ur r
3.已知 m (4, 2, 6), n (2, y, z) ,若 m Pn
AM MC
C1N ND
2
,求证z:MN//BD1
A1
D1
B1
C1
A
B x
N D
y M
C
7.正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是 BA1,AC上的点,且BM=CN,
(1)MN与面AA1D1D平行吗?
z A1
(2)M在何处时,MN最短?
B1
D1 C1
M A
B x
D
N
y
C
1、重点： （1）、熟练掌握空间向量坐标表示的各种运算律；
ur r r r p xa yb zc
2、平面向量的坐标表示： ur
给定一个平面直角坐标系和向量 p，且设
rr i、j
分别为x,y轴正方向上的单位坐标向量，由平面向
量基本定理ur，存在r 唯一r 的有序实数组 (x, y)
使得 p xi y j ur 则有序实数组 (x, y) 叫做 p在平面ur 直角坐标系
（2）、空间向量中的公式的形式与平面向量中相 关内容一致，因此可类比记忆；
2、难点：
确定空间几何体中顶点和向量的坐标；
r
a (a1, a2 , a3 )
(2)若A(a1, b1, c1), B(a2 , b2 , c2 )则 uuur AB (a2 a1, b2 b1, c2 c1)
空间向量的坐标等于它的终点坐标减去起点坐标.
r
r
例1、已知r a r (2r, 3r, 5),rb (3,1, 4)
求a b, a b,8a
解:
rr
ra rb (2, 3,5) (3,1, 4) (1,2,1)
a b (2, 3,5) (3,1, 4) (5, 4,9)
r
8a 8(2, 3,5) (16, 24, 40)
例题2.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,
建立如图所示坐标系.写出下列向量的坐标.
uuur
O-xyz中的坐标，上式可简记作 p (x, y)
(1)位置向量的坐标等于它的终点.
(2)平面向量的坐标等于向量的终点坐标减 去它的起点坐标.
3、平面向量r的坐标表示及r运算律： (1)若ar r(a1, a2 ),b (b1,b2 )
则 ra br (a1 b1, a2 b2 ), a r b (a1 b1, a2 b2 ),
O-xyz中的坐标，上式z可u简pr 记作 p (x, y, z)
ur
e3
ur e1
Oeuur2
A(x,y,z) y
2、空间r向量的直角坐标运r 算律：
(1)设a
则:
r(a1r,
ab
a2, a3),b
(a1 b1, a2
(b1, b2 , b3 )
b2 , a3 b3 )
rr
a b (a1 b1, a2 b2 , a3 b3 )