17-065-2018届高三第一轮复习讲义【10】-函数的零点与图形变换

2018届高三第一轮复习讲义【10】-函数的零点与图形变换

一、知识梳理 （1）零点 定义：

一般地，对于函数))((D x x f y ∈=，如果存在实数)(D c c ∈，当c x =时，0)(=c f ， 那么就把c x =叫做函数))((D x x f y ∈=的零点．

二分法: 一般地，对于函数()()y f x x D =∈，如果存在实数()c c D ∈，当x c =时，()0f c =，那么就把x c =叫做函数 ()()y f x x D =∈的零点(zero point )；将“通过每次把()y f x =的零点所在的小区间收缩一半，使区间的两个端点逐步逼近函数的零点，以求得零点的近似值”的这种方法称作二分法． 【注意】

零点不是点，函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 的解，也就是函数)(x f y =的图像与x 轴交点的横坐标，这是函数方程思想的根本，也是数形结合思想的理论依据. 【注意】

一般地，如果函数()y f x =在定义区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，且有

()()0f a f b ⋅<，那么在区间(,)a b 内至少存在一个实数c ，使得()0f c =，也就是在(,)a b 内，函数()y f x =至少

有一个零点。

（2）函数图像变换 1. 平移变换：

①()x f y =的图像与()()0≠+=a a x f y 的图像； ②()x f y =的图像与()()0≠+=a a x f y 的图像； 2. 对称变换：

①()x f y =的图像与()x f y -=的图像关于x 轴对称； ②()x f y =的图像与()x f y -=的图像关于y 轴对称； ③()x f y =的图像与()x f y --=的图像关于原点对称； 3. 翻折变换：

①()x f y =的图像与()x f y =的图像； ②()x f y =的图像与(x f y =的图像； 4. 伸缩变换：

①()x f y =的图像与()x Af y ω=的图像变换；

（3）基本函数图象掌握（能画出精确草图） 1、幂函数：)3

1,3,21,2,1(±

±±==ααx y ； 2、对数函数：()1,0log ≠>=a a x y a ； 3、指数函数：()1,0≠>=a a a y x

4、耐克函数：)0(>+

=ab x b

ax y ； 5、渐升函数：)0(<+=ab x

b

ax y ；

x

y

O 1

1-6、类二次函数：k m x a y +-=（开口方向、对称轴、张开度、顶点坐标、单调区间等）

7、“V ”字型：)02(2<-++=a b

c x b ax y ； 8、“w ”字型：)02(2>-++=a

b

c x b ax y ；

9、“Z ”字型：)(b a b x a x y ≠---=； 10、“平底锅”型：b x a x y -+-=； 11、变化型反比例函数：d

cx b

ax y ++=

； 12、反三角函数图像：x y arcsin =、x y arccos =、x y arctan =； 二、基础检测： 1. 函数2

255

(32)a

a y a a x -+=-+, 当a =___________时, 它的图像是一条直线, 则a =

_______, 它的图像是双曲线.

2. 已知函数()y f x =的图像过点(1,1), 那么(4)y f x =-的反函数的图像一定过点__________.

3. 函数31

2

x y x -=

+的图像的对称中心是___________. 4. 函数()y f x =的图像向x 轴正方向平移2个单位, 得到1C ; 1C 关于y 轴对称的图像为2C , 则2C 对应的函数解析式为_________________.

5. 已知函数()y f x =的图像如右图所示, 则()y f x =的解析式可能为答 [ ] A. 0.5|log |y x = B. 0.5log ||y x = C. 2

0.5(log )y x =

D. 23

y x

-=

6. 函数2()1log f x x =+与1()2x g x -+=在同一坐标系下的图像大致是 答 [ ]

三、例题精讲：

【例1】由y =的图像, 经过如何变换可得到下列函数的图像?

(1)y =

(2)y =

【例2】已知函数2 [0,1]

() [1,0)x x f x x x ⎧∈=⎨∈-⎩

, 试作出下列函数的图像.

(1)(1)y f x =-; (2)()y f x =-; (3)(||)y f x =; (4)|()|y f x =.

【例3】将()12x f x =--的图像关于直线y x =对称, 得到图像1C ; 将1C 关于原点对称, 得到图像2C ; 再将2C 向左平移1个单位, 得到图像3C ; 求3C 所对应的函数解析式.

【例4】利用函数图像讨论方程的解.

(1) 方程log (2)0,1)a x a a +=>≠的实数解的个数是_________; (2) 方程2|23|x x a --=有四个实数解, 则实数a 的取值范围是__________.

【例5】画出函数13-=x y 的图像，并指出k 为何值时，方程k x

=-13有解？无解？ 答案：0

【例6】若直线)10(|1|2≠>-==a a a y a y x

且与函数的图像有两个公共点，则a 的取值范围是 答案：2

10<

b a ；

【例8】函数y ＝log 2｜a x －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于

答案：2

1-

=a ； 【例9】函数()||2f x x m =++，如果()f x a =有且仅有一个实根，则实数a 的取值范围为 答案：2=a ；

【例10】关于x 的方程2|1|+=-kx x 有两个不同的实根，则k 的取值范围是 答案：()1,1-∈k ；

【例11】若关于x 的方程x a x x =-+-|34|2

有两个不相等的实数根，则实数a 的值为 。（若有三个不相等的实数根呢？）

答案：2个：()1,3,43--⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-∈ a ；3个：⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧--∈1,43a ； 【例12】(]2,1∈x 时，不等式x x a log )1(2

≤-恒成立，则a 的取值范围为

答案：(]2,1∈a ；

【例13】若方程021411

=+⎪

⎭

⎫

⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x x 在实数范围内有解，则实数a 的取值范围为

答案：0≤a ；