极坐标

B((1 ,, ) B 1 2 2 7


3 4
O
2

6
D B C
A
x
3 2
注：点M (ρ ，θ）的极坐标也可以是 （-ρ ，π+θ）
正、负极径时，点的确定过程比较
画出点 （3，/4） 和（-3，/4）
P M O P
[1]作射线OP，使XOP= /4
[2]在OP的上取一点M，使 OM= 3
不能表示点M的坐标的是( C )

10 2 A、5, ( ) B、5, ) C、5, ) ( ( 3 3 3
8 D ( 5, ) 3
3 2.已知三点的极坐标为 A(2, ), B( 2 , ), 2 4
O(0,0) ,则 ABO 为( D ) A、正三角形 B、直角三角形 C、锐角等腰三角形 D、等腰直角三角形
P M O P O X
X
M
负极径总结： 极径是负的，等于极角增加 。 负极径的负与数学中历来的习惯相同，用 来表示“反向”
特别强调：以后不特别声明， 0 。
因为，负极径只在极少数情况用。
例
当 0 时，写出A、B、C、D、 E、F、G各点极坐标。
5 A(4, ) B(2, ) 4 3 11 C (3, ) D(1, ) 2 6 E(3.5,0) F (6, ) 3 2 G (5, ) 3
极坐标：有序实数对（ρ ，θ）就叫作点M的极坐标。
极径
O θ 极点
ρ
M （ ρ ，θ）
极角θ
x
极轴
反之，极坐标为ρ ，θ的点M，可表示为M（ ρ,θ）。
当ρ=0时，不论 θ取什么值， （ 0， θ）都表示极点
o
极点用（ 0，θ）表示
x
极轴上的点用（ ρ ， 0）表示
极坐标平面上，当ρ＞0，0≤ θ＜2π时
M
O X
P
例4：在极坐标系下说明点 A( ) B( ) C ( ) D( ) 的位置关系。
·
C ( )
· ( ) A


O x
D( )
·
B( )
·
Q 例5 已知极坐标系中两点 ，( 2, 2 ), 如何求线段|PQ|的长？O为极点,如何 3 3 求△POQ的面积? | PQ | 19 SPOQ
用曲线的极坐标方程
极坐标系下，曲线与方程的对应关系。 （1）定义：在极坐标系中，曲线可以用含 有 、 这两个变数的方程 ( , ) 0 来表 示，这种方程叫做曲线的极坐标方程。
（2）说明：方程的每一个解为坐标的点都 是曲线上的点；曲线上每一个点的无穷 多个坐标中，至少有一个坐标满足方程。
P
O
X
负极径的实例 在极坐标系中画出点 M （-3，/4）的位置 [1]作射线OP，使XOP= /4 P = /4
[2]在OP的反向延长 线上取一点M，使 OM= 3
O
M
X
例2、⑴ 确定下列各点在极坐标系内的位置
A (2 ,

12
)
3 3 C( 3 ,, )) D(4 , ) 3 12 4 4 ⑵ 若ρ>0，A、B两点 的极坐标如何表示？ 7 6 3 3 7 ) A (2 , ) B((1 ,, B 1 12 2 2
1、消化已知条件，把已知条件中的有关 线段的长度、角度的量在图中标出。 2、把所设的动点坐标M（ρ、θ）中的 ρ和θ在图中标出。 3、找到包含上述各量（特别是ρ、θ） 的三角形，利用边角关系的有关公式。
在直角三角形中常用到
cos
邻边 对边 ，sin 斜边 斜边
在斜三角形中常用到正弦定理和余弦定理
1、极坐标系的建立
⑴ 在平面内取一定点O，叫作 极 点
⑵ 引一条射线OX，叫作 极 轴 (3) 选定一个长度单位
(4) 选定角度的正方向(通常取逆时针方向) 单位长度
角度正方向
极点 O
1 2 3 4
M
5 6
x
极轴
极坐标系
那么，在极坐标系中如何表示平面中的最基本的元素点呢？
极坐标系中点的表示方法
极径：线段OM的长度，用ρ表示。即ρ叫作点M的极径。 极角：从OX轴到OM的角度，用θ表示，即θ叫作点M的极角。
A(4,0)


2 5 6

4
C · · E
4 · F 3

D · o
B ·
A ·
· G
5 3
x
角 也可以取负值，如：
7 A(4,2 ) B (2, ) 4 3 7 C (3, ) D(1, ) 2 6 2 E (3.5, ) F (6, ) 3 G (5, ) 3
6

都表示A点

6
小结：点（ρ ，θ）的极坐标也
可以是（ ρ ，2kπ+θ ），k为整数
2、负极径的定义
说明：一般情况下，极径都是正值；在某些 必要情况下，极径也可以取负值。 对于点M（，）负极径时的规定：
[1]作射线OP，使XOP=
[2]在OP的反向延长 线上取一点M，使 OM= M
一 一 点 对 应
极坐标（ ρ， θ）
对于极坐标平面上的任意一点M（除极点外） 都有唯一确定的一对实数（ ρ， θ）与之对应
例1：在极坐标系下，写出A、B、C、D、
E、F、 G各点的极坐标。
B (2, ) 4 C (3, ) D(1, 5 ) 2 6 E (3.5, ) F (6, 4 ) 3 5 G (5, ) 3

2 5 6

4
C · · E
4 · F 3

D · o
B ·
A ·
· G
5 3
x
说明： 由于实际应用的需要，极角可
以为任意角
如图中A点的极坐标的表示 O


6
A(5 ,
x

6
)
11 13 极坐标( 5 , )、（5， ）5, ,( ) 6 6 6
与角 终边重合的所有角可表示为 2 k
| PQ | 1 2 21 2 cos(1 2 )
研究：（1）设ρ R，在极坐标系中， 动点P（ρ， ）的轨迹是什么？
ALeabharlann 3O Bx
（2）设θ R，在极坐标系中， 动点P（3，θ）的轨迹是什 么？

O
x
课堂练习
4 1.已知极坐标 M (5, 3 ),下列所给出的
或
若允许 0，则方程可表示为
( R)
l
· ( ) P O

x
2、圆的极坐标方程 例：求极坐标系下，以定点 M ( 0 0 ) 为圆心， r 为半径的圆的方程 ( 0 0 , r为定值, r 0) 解：如图，设所求圆上任一点P( ) ， 在OPM 中，由余弦定理：
3：极坐标系中，P（2，

6
），
（1）求点P关于极轴对称的点的极坐标； （2）求点P关于极点对称的点的极坐标； （3）过极点作垂直于极轴的直线l，求点P关于直 线l对称的点的极坐标。
2 （4）若点Q（-3， ）求线段|PQ|的长。 3
13 6 3
曲线的极坐标方程 一、什么叫曲线的极坐标方程？ (说明：直角坐标系中的曲线方程叫直角坐标方程) 点：可用极坐标（ρ、θ）表示 那么，如何来表示曲线呢？

2 5 6

4
C · · E
4 · F 3

D · o
B ·
A ·
· G
5 3
x
例3
探索点M（3，/4）的所有极坐标
P M
[1]极径是正的时候： O 2 3，k ,k Z 4 X
[2]极径用“-3”
（ 3，k 2

4
),k Z
极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
例 求过B（5，0），且与极轴垂直的直 线的极坐标方程。
解： 设所求直线上任意一点M（ρ、θ） 因为 三 角形OBM为直角三角形
即 所求直线的极坐标方程为 O COS 5
所以 COS
5
ρ
θ 5
M （ρ、θ） X
B（5，0）
在求曲线方程时，建立等式关系是 关键的一步，通常用到如下方法
等速螺线
极坐标方程 0 a , 其中 0，a为常数，
=
[1]首先，给定极坐标M（，）
在平面上可以确定唯一的一点。
[2]反过来，给定平面上一 点，却有无数个极坐标。 原因：极径有正有负；极 角有无数个。 但是，有统一表达式两个。
( , )所对应的点M的所有极坐标表示： ( , 2k ),( - , 2k )，k Z
·r O

P ( )
x
当圆心在极轴上，且圆经过极点时，
0 2 0 cos( 0 ) r 2 将0 r， 0 0代入
2 2
则圆方程化为 2 2r cos 即： 2r cos（ 0舍去）

P ( )
x
· O M (r ,0)
2 0 2 2 0 cos( 0 ) r 2
即为所求圆方程。

0
P ( )
r
0
M ( 0 0 )

将 当圆心 M ( 0 0 ) 表示极点时， 0 0 2 0 2 2 0 cos( 0 ) r 2 代入 则圆方程化为： r ( r )
就叫作点M的极坐标。
2、极坐标平面上，当ρ＞0，0≤ θ＜2π时 一 一 点 极坐标（ ρ， θ） （除极点外） 对 应
3 ( , )所对应的点P的所有极坐标表示：
( , 2k ),( - , 2k )，k Z
4 极坐标系内两点 P( 1 ,1 ), Q( 2 , 2 ) 的距 离公式： 2 2
P ( 3, ) 6


2
推广：极坐标系内两点 P( 1 ,1 ), Q( 2 , 2 ) 的距离公式： | PQ | 2 2 2 cos( )
1 2 1 2 1 2
课堂小结：
1、极坐标系 极径 ρ
M （ ρ ，θ）
极角θ
O
θ 极点 极轴
x
极坐标：有序实数对（ρ ，θ）
极坐标
二 、常见曲线的极坐标方程 求曲线的极坐标方程的方法和步骤： 和求直角坐标方程类似，就是把曲 线 看作适合某种条件的点的集合或轨迹， 将已知条件用曲线上点的极坐标 、 的 ( , ) 0 关系式 表示出来，就得到曲线 的极坐标方程。
1、过极点倾斜角为 的直线的极坐标方程
极坐标系
以百色路为X轴 以龙川北路为Y轴...
请问：去上海 精神病！ 中学怎么走？
从这向南 走3公里。
请问： 去上海中学怎么走？
请分析上面这句话，告诉了人家什么？ 从 这 向 南 走 3 公 里 ！
出发点
方向
距离
在生活中我们经常用距离和方向来表示 一点的位置。用距离和方向表示平面上 一点的位置，就是极坐标。
X
[1]作射线OP，使XOP= /4
[2]在OP的反向延长线上 取一点M，使OM= 3 O X
M
负极径的实质 从比较来看，负极径比 正极径多了一个操作，将射线 OP“反向延长”。
而反向延长也可以说成旋 转 ，因此，所谓“负极径” 实质是管方向的。这与数学中 通常的习惯一致，用“负”表 示“反向 ”。