相似三角形专题

【一】知识梳理 【1】比例

①定义：四个量a,b,c,d 中，其中两个量的比等于另两个量的比，那么这四个量成比例 ②形式：a:b=c:d ，

③性质：基本性质：d

c

b a = ac=bd

4，比例中项：b

c

c a = ab c =2

【2】黄金分割

定义：如图点C 是AB 上一点，若BC AB AC •=2，则点C 是AB 的黄金分割点，一条线段的黄金分割点有两个

AC

AC BC AB AB BC AB AB AC 618.02

1

5382.0253618.021

5≈-=≈-=≈-=

注意：如图△ABC ，∠A=36°，AB=AC ，这是一个黄金三角形，

【3】平行线推比例

AB AB BC 618.02

1

5≈-=d

c

b a =注：比例式有顺序性的，比例线段没有负的，比例数有正有负

1、可以把比例式与等积式互化。

2、可以验证四个量是否成比例 上比全=上比全，下比全=下比全，上比下=上比下，左比右=左比右 全比上=全比上，全比下=全比下 下比上=下比上

【4】相似三角形

1、相似三角形的判定

①AA 相似：∵∠A=∠D, ∠B=∠E ∴△ABC ∽△DEF

②‘S A S ’ E B EF

BC

DE AB ∠=∠=,

∴△ABC ∽△DEF

③‘S S S ’EF

BC

DF AC DE AB =

∴△ABC ∽△DEF ④平行相似： ∵DE ∥BC ∴△ADE ∽△ABC

2、相似三角形的性质

①相似三角形的对应角相等，对应边成比例

②相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、对应周长的比都等于相似比

③相似三角形的面积比等于相似比的平方

3、相似三角形的常见图形

‘A 型图’ ‘ X 型图’ ‘K 型图’

‘母子图’ ‘一般母子图’ AC 2

=AD •AB

母子图中的射影定理

AC 2=AD •AB BC 2

=BD •AB CD 2

=AD •BD

【二】题型 1、求线段的比

【例题1】如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交l 1， l 2， l 3于点A ，B ，C ；直线DF 分别交l 1， l 2， l 3于点D ，E ，F ．AC 与DF 相较于点H ，且

AH=2，HB=1，BC=5则EF

DE

的值为

【例题2】如图，已知在△ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB 、AC 、BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ∶DB = 3∶5，那么CF ∶CB 等于

（1） （2）

【例题3】如图，点D 是△ABC 的边AB 上一点，且AB=3AD ，点P 是△ABC 的外接圆上的一点，且∠ADP=∠ACB 则PB:PD=

【例题4】如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，DE ∥AB 交AC 于E ， 如果

AE EC ＝23，那么AB

AC ＝（ ） A ．13

B ．23

C ．25

D ．35

（3） （4）

【例题5】 已知32==d c b a ，则b

a b

a 4332-+=

求a 比b 的方法：①求a,b 的长度，②设k 法，③利用三角形相似的性质，④平行推比例线段⑤比例分配

32=-a b a ，则b

a

=

【例题6】如图，将矩形纸片ABCD(AD>DC)的一角沿着过点D 的直线折叠，使点A 与BC 边上的点E 重合，折痕交AB 于点F.若BE:EC=m:n ，则

AF:FB= .

【例题7】如图所示,将矩形ABCD 折叠,使点B 落在边AD 上,点B 与点F 重合,

折痕为AE,此时,矩形EDCF 与矩形ABCD 相似,则AB

AD

= .

【例题8】如图，Rt △ABC 内接于⊙O ，∠,A=90°，AB=4，AC=3，D 为弧

AB 的中点，则DE

CE

=

（6）

（7） （8）

【例题9】在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 为AB 的中线，AN ⊥CD ，交BC 于N,若CD=3，AN=4，则tan ∠CAN=

2、相似三角形的性质与判定

【例题1】如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）

【例题2】如图，已知△ABC ，P 是边AB 上的一点，连结CP ，以下条件中不能确定△ACP 与△ABC 相似的是（ ）

A ∠ACP=∠

B ， B ∠APC=∠ACB

C AC 2=AP.AB

D BC

AB

CP AC

【例题3】已知四边形ABCD 与四边形A /B /C /D /，且AB:BC:CD:DA=20：15：9：8，若四边形A /B /C /D /为26，则A /B /的长为

【例题4】 如图，矩形ABCD 中，由8个面积均为1的小正方形组成的L 型模板如图放置，则矩形ABCD 的周长为

【例题5】如图，P 为□ABCD 的边AD 上一点，E,F 分别为PB,PC 的中点， △PEF 的面积为3，则平行四边形的面积是

已知两个相似三角形的对应高的比为3:10，面积差为100，则大三角形的面积为

【例题6】如图，将边长为6的正方形ABCD 折叠，使点D 落在AB 的中点E

处，折痕为FH ，点C 落在点Q 出，EQ 与BC 相较于点G ，则△EBG 的周长为

（4） （5） （6）

【例题7】如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB ，B 是CD 的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12 m ，塔影长DE=18 m ，小明和小华的身高都是1.6m ，同一时刻，小明站在点E 处，影子在坡面上小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m 和1m ，那么塔高AB 为多少?

【例题8】如图，AB=4，射线BM 和AB 互相垂直，点D 是AB 上的一个动点，点E 在射线BM 上，BE=DB ，作EF ⊥DE 并截取EF=DE ，连结AF 并延长交射线BM 于点C ．设BE=x ，BC=y ，则y 关于x 的函数解析式是

点拨：同一时刻、同一地点，物高与影长的比是 定值