微分中值定理研究报告和推广

渤海大学

毕业论文<设计）

题目微分中值定理的研究和推广完成人姓名张士龙

主修专业数学与应用数学

所在院系数学系

入学年度 2002年9月

完成日期 2006年5月25日

指导教师张玉斌

目录

引言 (1)

一、中值定理浅析 (1)

1、中值定理中的 (1)

2、中值定理中条件的分析 (2)

二、微分中值定理的推广 (4)

1、微分中值定理在无限区间上的推广 (4)

2、中值定理矢量形式的推广 (7)

3、微分中值定理在n维欧式空间中的推广 (9)

4、中值定理在n阶行列式形式的推广 (12)

5、高阶微分中值定理 (15)

结束语 (19)

参考文献 (19)

微分中值定理的研究和推广

张士龙

<渤海大学数学系锦州 121000 中国）

摘要：微分中值定理是高等数学中的一项重要内容，是解决微分问题的关键。本文对微分中值定理中的一些条件给予了相关说明。后又在此基础上，对微分中值定理进行了一系列的推广，先后在无限区间内，在定理的矢量形式，在多维欧氏空间中，在高阶行列式形式，以及在微分定理的高阶形式五个方面来研究，通过定理与实例的结合，来说明各个推广的过程。从而，使定理向着更加广阔的方面发展，有利于对定理的掌握和应用。

关键词：微分中值定理，无限区间，矢量形式，行列式，高阶微分中值定理，欧式空间。

The Research and Popularization of The Differential Mean

Value Theorem

Shilong Zhang

(Department of Mathematics Bohai University Jinzhou 121000 China> Abstract: The differential mean value theorem is an important element of higher mathematics. It is the key to solve the differential problems. This text gives detailed explanations to the conditions of the differential mean value theorem. On this foundation, this text carries on series of promotional activities of the theorem, and makes research in the indefinite sector, the vector form of the theorem, the multi-dimensional Euclidean space, the high rank determinant and high rank of the differential theorem altogether five aspects. This text illustrates the promotional process through the integration of the theorem and its examples, so as to enable the theorem to develop towards broader aspects. It is advantageous to the mastery and application of the theorem.

Key words: the differential mean value theorem, indefinite sector, the rector form, Euclidean space, determinant, defferential value theorm of higher order

引言

罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理统称为微分学的中值定理。中值定理既应用导数来研究函数的性质，是沟通函数及其导数之间的桥梁，是应用导数的局部性研究，函数在区间上的重要工具。在实践中，有着广泛的应用，因此，有必要将其进一步推广，使其达到一个比较完善的地步，对进一步的研究和创造有很大的帮助。

一、中值定理浅析

1、中值定理中的

由中值定理可知，当满足条件时，在开区间(),a b 内至少存在一点ξ满足方程的结论，并没有说有多少个这样的ξ，也没有告诉它的确切位置，但这并不影响中值定理在数学中的应用，因为通常是在导数()f x '有界的条件下应用中值定理。2、中值定理中条件的分析

以罗尔定理为例，我们知道，罗尔定理的3个条件。[1] <1）在闭区间[],a b 上连续。 <2）在开区间(),a b 内可导。 <3）()()f a f b =

这三个条件必须同时成立，缺少其中之一便不成立。 例如：函数 01

()0 1

x x f x x ≤

=?在[]0,1上连续<如图1）

()f x x =11x -≤≤ 在[]1,1-内不可导<如图2）

()f x x =01

x ≤≤(0)(1)f f = <如图3）

图1 图2 图3

从这三个函数图象可见，罗尔定理都不成立，尽管如此，也不能说这三个条件就是其成立的必要条件。

x

x

x

例如：函数2 ||1

()0 211 12x x f x x x ?

在闭区间[]2,2-上连续，在开区间()2,2-内不可导，

(2)(2

f f

-≠，即罗尔定理的3个条件都不成立，但是在开区间()2,2-内存在一点0x =，满足()0f x '=，这说明，罗尔定理的3个条件都是充分条件，同理，拉格朗日定理、柯西中值定理也同样类似。另外，中值定理中开区间可导，也不宜改为在[],a b 可导，函数()f x 在闭区间[],a b 上可导，这一条件不仅包含了“闭区间上连续，开区间可导”这两个条件，而且比这两个条件对函数()f x 的要求更加严格，即要求函数()f x 在点a 存在右导数，在点b 存在左导数，从而满足中值定理的条件的函数要比原来少。

例：函数()f x =[]1,1-上连续，在开区间()1,1-内可导，且(1)(1)0f f -==，满足罗尔定理的条件，因此，在开区间

()1,1-内至少存在一点ξ

，使'()0f ξ=

=

显然ξ=0∈()1,1-

但是，函数()f x =在闭区间[]1,1-

上并不可导，因为导数

'()f x =

1x =与1x =-的左右导数都不存在。

由此可见，如果罗尔定理的条件换成函数()f x 在闭区间[],a b 上可导，且()()f a f b =

，那么，对函数()f x =在闭区间上[]1,1-就不能用罗尔定理，这样就缩小了定理的适用范围。因此，中值定理的条件不宜替换，即在闭区间[],a b 连续，在(),a b 可导，函数()f x 在

开区间(),a b 内可导，则函数()f x 在开区间(),a b 内连续，它被包含在“函数在[],a b 上连续”之中，为使这两个条件相互独立，可改为

()f x 在开区间(),a b 内可导，函数()f x 在点a 右连续，在点b 左连续，

但行文繁，所以为了简便，将条件写为“在闭区间上连续，在开区间内可导”。二、微分中值定理的推广

1、微分中值定理在无限区间上的推广[2]

以前所学的微分中值定理都是界定在有界区间上的，为此，我们设想将有界空间推广到无限区间。

例1 求证：如果函数()f x 满足 <1）()f x 在区间[),a +∞上连续。 <2）()f x 在区间(),a +∞上可导。

<3）lim ()()x f x f a →∞

=。 那么在(),a +∞内至少存在一点ξ()a ξ<<+∞ 使得()0f ξ'= 证明：令

11t x a =-+，即1

1()x a t t

?=+-= 当a x ≤<+∞时，01t <≤

(1)a ?=，0

lim ()t t ?→=+∞

()(())()f x f t g t ?==

lim ()lim (())lim ()()(())(1)t t x g t f t f x f a f t g ??→→→∞

=====

令0

(0)lim ()t g g t →= 则(0)(1)g g = 所以()g t 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且(0)(1)g g =，由罗尔定

理知：在()0,1内至少有一点(01)ττ<<使得()0g τ'=

记()ξ?τ=，有()()0f ξ?τ''=，而2

1

()0?ττ

'=-≠，故在(),a +∞内，

至少有一点ξ()a ξ<<+∞，使得()0f ξ'=

例2 证明：如果函数满足 <1）在区间()ξ-∞<<+∞上连续。 <2）在区间()ξ-∞<<+∞上可导。

<3）lim ()lim ()x x f x f x →-∞→+∞

=。 则在()ξ-∞<<+∞内至少存在一点ξ()ξ-∞<<+∞，使得()0f ξ'=

证明：令1

1

x x e t e -=+则1ln ()1t x t t ?+==- x -∞<<+∞，与11t -<<成立

()(())()f x f t g t ?==

1

1

lim ()lim ()lim ()lim ()t x x t g t f x f x g t →-→+∞

→+∞

→===

令11

(1)lim

() (1)lim ()t t g g t g g t →-→-== ()g t 在[]1,1-上连续，在()1,1-内可导，且(1)(1)g g -=，由罗尔定

理知，在()1,1-内至少存在一点(11)ττ-<<使得

()0g τ'=，记()ξ?τ=，则有2

()()

01g f τ

τξτ''==-，从而有()0f ξ'= 例3 已知函数()f x 满足如下条件 <1）在区间[),a +∞上连续。 <2）在区间(),a +∞上可导。

<3）lim ()x f x M →+∞

=。 求证：在(),a +∞内至少有一点ξ()ξ-∞<<+∞， 使得2()[()](1)f M f a a ξξ'=-+-

证明：令

11t x a =-+，即1

1()x a t t

?=+-= 当a x ≤<+∞时，01t <≤，(1)a ?=，0

lim

()t t ?→=+∞ ()(())()f x f t g t ?==

lim ()lim (())lim ()t x t g t f t f x M ?→→+∞

→===

令0

(0)lim ()t g g t M →== 则()g t 在区间[]0,1上连续，在()0,1内可导。

由拉格朗日中值定理知，在()0,1内至少有一点(01)ττ<< 使得(1)(0)

'()10

g g g l -=

- 即()()g f a M τ'=-

记()ξ?τ= 有()()()g f τξ?τ'''= 而22

1

()(1)a ?τξτ

'=-

=-+-

故在(),a +∞内至少有一点()a ξξ<<+∞， 使得2(1)()()a f f a M ξξ'-+-=- 即2()[()](1)f M f a a ξξ'=-+-

例4 已知()f x 满足在区间(,)-∞+∞连续，在区间(,)-∞+∞可导，

lim () lim ()x x f x m f x M →-∞

→∞

==

求证：在(,)-∞+∞内至少有一点ξ()ξ-∞<<+∞

使得2

()

'()(1)e M m f e ξξξ-=+

证明：令1

1

x x e t e -=+，即1ln ()1t x t t ?+==- x -∞<<+∞，与11t -<<相对应

()(())()f x f t g t ?==

1

1

lim ()lim (),lim ()lim ()t x t x g t f x m g t f x M →-→-∞

→→+∞

====

令11

(1)lim (),(1)lim ()t t g g t m g g t M →-→-==== 则()g t 在[]1,1-上连续，在()1.1-内可导。 由拉格朗日中值定理知， 在()1.1-内至少存在一点(11)ττ-<< 使得(1)(1)

'()1(1)

g g g τ--=--

即'()M m

g ττ

-=

记()ξ?τ=

使2

2

'()'()'()'()

1g f f τξ?τξτ

==- 其中1

1

e e ξξτ-=+

所以2

(1)'()'()2e g f e ξξτξ+=

2(1)'()22

e M m

f e ξξξ+-= 即2

()'()(1)e M m f e ξξξ-=+

2、中值定理矢量形式的推广 微分中值定理可以叙述为[3]

定理：设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可微，则存在(),a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'=-

现作矢量函数()[(),]x t f t t =，显然其在[],a b 上连续，在(),a b 内可微，且知()()[()(),]x b x a f b f a b a -=--，'()('()x f ξξξ=，因定理1成立，易知矢量()()x b x a -与矢量'()x ξ共线，另外，取非零常矢量

(,()())C b a f a f b =--

则(()())0C x b x d -=，从而'()0C x ξ?=

例1 证明：二维欧氏空间中矢量函数()((),)x t f t t =

在闭区间[],a b 上连续，在(),a b 内可微，且知()()0x b x a -≠存在某非零矢量12(,)C C C =，满足(()())0C x b x a -=则存在(),a b ξ∈，使得'()0

C x ξ?= 证明：因为[]()()()(),x b x a f b f a b a -=-- 而[]'()'(),1x f ξξ= 且由定理1知

()()x b x a -与'()x ξ共线

所以存在某一常数k ，使得()()x b x a -=k '()x ξ 又由已知(()())0C x b x a -= 所以'()0C kx ξ?= 即'()0C x ξ?=

这里{},()()C b a f a f b =--

例 2 设二维欧氏空间中矢量函数{}()(),()x t f t g t =，在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，'()0 ()()0x t x b x a ≠-≠，如有某非零常矢量

12{,}C C C =，满足(()

())C x b x a -=，证明存在ξ∈(),a b ，使得

'()0

C x ξ?= 证明：由例1知

()(){()(),()()}'(){'(),'()}

x b x a f b f a g b g a x f g ξξξ-=--=

由有柯西中值定理成立。 所以()()x b x a -与'()x ξ共线。

即()()x b x a -=k '()x ξ 又(()())0C x b x a ?-= 所以C ·'()x ξ=0

其中C ={}()(),()()g b g a f a f b --

例 3 设n 维欧氏空间E n 中的矢量函数()x t 在[],a b 上连续，在

(),a b 内可微，且'()0,()()0x t x b x a ≠-≠，如有某非零矢量C ={C 1C 2…C n }

∈E n ，满足(()())0C x b x a ?-=，证明：存在(),a b ξ∈，使得C ·'()x ξ=0证明：令()x t ={}12(),()...()n f t f t f t 由(()())0C x b x a ?-=知

()()C x b C x a ?=?

令()()t C x t ?=

显然?(t>在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，又因()()a b ??=，由罗尔定理知，存在(),a b ξ∈使得?'(ξ>=0

即C ·'()x ξ=0

例4 设()f x 在[]0,1上连续，证明存在()0,1ξ∈使得

11()()0tf t dt f t dt ξ=??

证明：令(){()(),}0

x

x x x t f t dt t =-?

11

{1,()()}00

C tf t dt f t dt =-??

其满足例1条件，故由例1知，存在()0,1ξ∈使

11

()()()0000f t dt tf t dt f t dt ξ

+-=???

即11

()()0

tf t dt f t dt ξ

=??

3、微分中值定理在n 维欧式空间中的推广[4] 首先，给出几个有关的记号

1212{,...}...n n n x x x x x x R x ??????

==∈????????

设f ：n n R R Ω?→，即

1121221212(,...)()()(,...)()......()(,...)n n n n n f x x x f x f x f x x x f x f x f x x x ??

??????????==????????????????

记i(Ω>为集合Ω的内部，即集合Ω的内点的集合。

定义 1 设f ：,()n m R R x i Ω∈→∈Ω，若对于任意的,i j , 1,2...,i n =,

1,2...j n =，

i

j

f x ??存在 则称函数f 在点x 处可导

并记：111122221212

......'()... ... ......n

n n n n n f f f x x x f f f x x x f x f f f x x x ???????

??????????

??

???=?????????????

?????

称()f x '为函数在点x 处的导算子。

定理：设函数f ：n R n Ω?→，Ω为n R 中有界闭区域f 在Ω上连续，在()i Ω内可导，且()f x /C ?Ω≡，则至少存在一点()i ξ∈Ω，使得

()0f ξ'=

证明：因为Ω为有限维空间n R 中的有界闭区域，故Ω为n R 中紧子集，又f 在Ω上连续，所以f 在Ω上有最大最小值，由于

f /C ?Ω≡，则最值中至少有一个在()i Ω内取得，设f 在()i ξ∈Ω处取得

最小值，则对于任意的,1,2...j i n =，

|0j

f

x x ξ?==?从而()0f ξ'=证毕。根据此定理，我们来看下面几个例题。

例1 设f ：n R n Ω?→，Ω为n R 中有界闭区域，f 在Ω上连续过

()i Ω内可导，且存在一点n u R ∈，使得()f x ?Ω=,x u C <>+，其中C 为

常数。证明：在()i Ω内至少存在一点ξ，使得()f ξ'=T u ，为x 与u 的乘积）证明：设()()g x f x =-,x u <>，由已知()g x 满足定理的条件，从而对于()g x 来说，存在一点()i ξ∈Ω，使得()0g ξ'=而()()g f ξξ''=-T u ，即()()g f ξξ''=-T u

所以()T f u ξ'=

所以，在()i Ω内至少存在一点ξ，使得()T f u ξ'=

例 2 设f ：m R Ω→，Ω是n R 中的有界闭区域，f 在Ω上连续，在()i Ω内可导，且存在列向量m u R ∈，使得()f x T u /?Ω≡C

证明：至少存在一点()i ξ∈Ω，使得T u ()f ξ'=0

证明：设()g x =()f x T u ，则g ：R Ω→，且满足定理的条件，故可知至少存在一点()i ξ∈Ω，使得()0g ξ'=，即T u ()f ξ'=0

例3 设函数()f x , ()g x 在闭区间[],a b 上连续，在开区间[],a b 内可导，()f x ', ()g x '在(),a b 内不同时为零，()()g a g b ≠，证明：在(),a b 内至少存在一点ξ，使得

'()()()

'()()()

f f b f a

g g b g a ξξ-=

- 证明：设F ：[],a b 2R R ?→

()()()f x F x g x ??=????

则F 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，取()()()()g a g b u f b f a -??

=?

?-??

则()()()()()()T T u F a u F b f b g a f a g b ==-，所以F 在[],a b 上满足定理3的条件，故至少存在一点ξ∈(),a b ，使得()0T u F ξ'=，即

[()()]()[()()]()0g a g b f f b f a g ξξ''-+-=

由于()()g a g b ≠，所以()()

'()'()()()

f b f a f

g g b g a ξξ-=

-

又因为()f x '与()g x '在(),a b 内不同时为零，故

'()()()

'()()()

f f b f a

g g b g a ξξ-=- 4、中值定理在n 阶行列式形式的推广[5][6] 在研究此推广之前先给出二个定理。

定理1 设()f x , ()g x 和()h x 在[]12,a a 连续在()12,a a 内可导，则至少存在一点()12,a a ξ?∈使得：

111222() () ()() () ()0'() '() '()

f a

g a

h a f a g a h a f g h ξξξ= 由此定理我们可以看出，当()g x x =，()1h x =时，上述结果即为拉格朗日中值定理，当()1h x =，则上述结果为柯西中值定理，因此，此定理可以看做是微分中值定理的一般形式。定理2：若()

i f x (1,2...)i n =在[]11,n a a -上连续，在()11,n a a -内n-1阶

可导，()11,k n a a a -?∈(2,3...2)k n =-且1221...n n a a a a --<<<<则至少存在一点()11,n a a ξ-?∈，使得

1121(1)111222(1)22112() () ... () ()() () ... () () ... () n n n n n f a f a f a f a f a f a f a f a f a f ---1(1)21(1)(1)(1)11210() ... () ()() () ... () ()

n n n n n n n n n n n a f a f a f f f f ξξξξ---------= 根据上述二定理，我们可以构造出某些特殊类型的问题。 例1 设()i f x , ()i g x (1,2,3)i =满足如下条件 <1）()i f x , ()i g x (1,2,3)i =在[]13,a a 连续 <2）()i f x , ()i g x (1,2,3)i =在()13,a a 内二阶可导

<3）112131122232132333() () g ()

() () g ()0() () g ()

g a g a a g a g a a g a g a a ≠ 其中123a a a <<

证明，存在11122233,,a a a ξξξξξ=<<<<使得

112131112131'12122232132333112131122232132333() () ()() () ()()() () ()

() () ()() () ()() () ()() () ()

f f f f a f a f a f f a f a f a f a f a f a

g a g a g a g a g a g a g a g a g a ξξξξ=''2232''''''132333112131'''

122232''''''132333 () ()

() () ()

() () ()() () ()() () ()

f f f f f

g g g g g g g g g ξξξξξξξξξξξξξξ

证明：设11213112223211213113233312

112131122232132333() () ()

() () ()

() () ()() () ()() () () ()() () ()

() () ()f a f a f a f a f a f a g a g a g a f a f a f a g a g a g a g a g a g a g a g a g a g a 2232132333 () ()0() () ()g a g a g a g a g a ??

?

≠ ? ???

令1121311121311122232122232123123() () ()() () ()()() () ()() () ()() () ()

() () ()

f a f a f a

g a g a g a F x f a f a f a k g a g a g a f x f x f x g x g x g x =-

则1()F x 在[]23,a a 上满足罗尔定理的条件，故存在 233a a η<<使得

13()F η'=0

再令1121311121312123123''''''

132333132333() () ()() () ()

()() () ()() () ()() () ()

() () ()

f a f a f a

g a g a g a F x f x f x f x k g x g x g x f f f g g g ηηηηηη=-

则2()F x 在[]12,a a 上满足罗尔定理的条件，故存在122a a ξ<<使得

22()0F ξ'=，最后以x 换η3

令112131112131''''''

3122232122

232''''''123123() () ()() () ()

()() () ()() () ()() () ()

() () ()

f a f a f a

g a g a g a F x f f f k g g g f x f x f x g x g x g x ξξξξξξ=- 则3()F x 在[]23,a a 上满足罗尔定理的条件，故存在233a ξξ<<使得

33()0F ξ'=

即112131112131''''''

122232122

232''''''''''''

132333132333() () ()() () ()

() () ()() () ()0() () ()

() () ()

f a f a f a

g a g a g a f f f k g g g f f f g g g ξξξξξξξξξξξξ-= 在上式中取11a ξ=则有

112131112131''''''

122232122232''''''''''''

132333132333() () ()() () ()

() () ()() () ()0() () ()

() () ()

f f f

g g g f f f k g g g f f f g g g ξξξξξξξξξξξξξξξξξξ-=

所以112131112131'12122232132333112131122232132333() () ()() () ()()() () ()

() () ()() () ()() () ()() () ()

f f f f a f a f a f f a f a f a f a f a f a

g a g a g a g a g a g a g a g a g a ξξξξ=''2232''''''132333112131'''

122232''''''132333 () ()

() () ()

() () ()

() () ()() () ()

f f f f f

g g g g g g g g g ξξξξξξξξξξξξξξ

我们将此例题进一步推广，得到一个更加完美的结论。

例2 若设()i f x , ()i g x (1,2,...)i n =满足下列条件 <1）()i f x , ()i g x (1,2,...)i n =在[]1,n a a 上连续 <2）()i f x , ()i g x (1,2,...)i n =在()1,n a a 内n-1阶可导

<3）

1121n 11222n 212n () () ... g ()() () ... g ()0 ... ... ... ...() () ... g ()

n n n g a g a a g a g a a g a g a a ≠ 其中12...n a a a <<<

证明，存在11a ξ=,1231...n n n a a ξξξξ-<<<<<<，使得

112111222212n 1121112222() () ... ()() () ... () ... ... ... ...

() () ... ()() () ... ()() () ... () ...n n n n n n n f a f a f a f a f a f a f a f a f a g a g a g a g a g a g a 11211'''122221112n () () ... ()() () ... () ... ... ... ...

() ... ... ...() () ... ()

n n n n n n n f f f f f f f g a g a g a ξξξξξξξ-=11211211'''

1222211112() ... ()

() () ... ()() () ... ()

... ... ... ...

() () ... ()

n n n n n n n n n n n n n n f f g g g g g g g g g ξξξξξξξξξξξ-----

证明：仿照例1的证法逐步进行展开，分别应用罗尔定理

(1)(2)...21n n -+-+++次后，即可得出结论。

5、高阶微分中值定理[7]

以前所研究的中值定理都是低阶的，下面我们将其进一步扩充到高阶。

引理：设函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内有n-1阶导数，并且对任意互异的，[]12.....,n a a a a b ∈，有12()()...()n f a f a f a ==，则存在

[],a b ξ∈使得(1)()0n f ξ-=

证：设12...n a a a a b ≤<<≤在[][][]12231,,...,n n a a a a a a -上应用罗尔定理，存在()1,i i i a a ξ+∈使得

()0i f ξ'=1,2...1i n =- 然后再在[ξ1,ξ2],[ξ2,ξ3]…[ξn-2,ξ

n-1]上应用罗

尔定理，如此推下去，最终可得ξ∈(),a b ，使得(1)()0n f ξ-=

定理1 设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内有n-1阶导数，那么对任意互不相同的[]123...,n a a a a a b ∈，存在ξ∈(),a b 使

(1)1

2

(1)!()n n D f D ξ--=

其中1212222

12121 1 ... 1 1 ... ... ... ... ...

... () () ... ()

n

n n n n

n a a a D D a a a f a f a f a ---==

12111

12 1 (1)

... ... ... ... ...

... n n n n n

a a a a a a ---

证明：作辅助行列式

122222

121 1 1 (1)

... ... () ... ... ... ... .n

n

x a a a x a a a F x =

11111212..

... () () () ... ()

n n n n n

n x a a a f x f a f a f a ----则()F x 在[],a b 上连续。

在(),a b 内有n-1阶导数，并12()()...()0n F a F a F a ====

由引理知道，存在ξ∈(),a b ，使得(1)()0n F ξ-=，对()F x 求n-1阶导数，由拉格朗日定理及行列式的性质可得

(1)1(1)12()(1)(1)!(1)n m m m F x n D f D -+-=--+-

从而存在(),a b ξ∈，使得(1)1

2

(1)!()n n D f D ξ--=

定理2 设()f x , ()g x 在[],a b 上连续，在(),a b 内有n-1阶导数，且

(1)()0n g x -≠，那么对任意互不相同的[]123...,n a a a a a b ∈存在[],a b ξ∈

使(1)(1)()()()()

n n f D f g D g ξξ--=

其中

12222

12222

1211 1 ... 1 ... ... () ... ... ... ...

... () n

n

n n n n

a a a a a a D f a a a f a f ---=

12222

1222122 1 1 (1)

... ... () ... ... ... ...

() ... ()n

n

n n n a a a a a a D g a a a f a --=

2

12 ... () () ... ()

n n

n a g a g a g a -

证：因为在(),a b 内(1)()0n g x -≠，则由定理1得()0D g ≠作辅助行列式。

122222

1211 1 1 (1)

... ... () ... ... ... ... ...

n

n

n x a a a x a a a F x x -=

12221222

1212 1 1 1 (1)

... ()() ... () () () ... ()n

n n n n

n x a a a x a D f D g a a a f x f a f a f a ----

22

21222

1212 ... ... ... ... ... ...

... () () () ... ()

n n n n n n

n a a x a a a g x g a g a g a ----则()F x 在[],a b 上连续，在(),a b 内有n-1阶导数，且

12()()...()0n F a F a F a ===，由引理知存在ξ∈(),a b ，使(1)()0n F ξ-=，对

()F x 求n-1阶导数，并知()D f , ()D g 为常数，有

(1)1(1)1(1)22

()

()(1)(1)!()(1)()(1)(1)!()(1)()()

n n m n n n n D f F x n D f f x D n D g g x D D g -+-+-=--+--

--+-其中2D 与定理1中的2D 相同，因此得到

(1)(1)()()

()()

n n f D f g D g ξξ--=

下面我们来看几个例子

例1 设()f x 在[],a b 上二次连续可微，且()()0f a f b ==

求证：21

max |()|()max |''()|8

a x

b a x b

f x b a f x ≤≤≤≤≤- 证：设()f x 在[],a b 上不恒为0，由()f x 在[],a b 上连续，推知

|()f x |连续，故存在[],C a b ∈，使得max |()||()|a x b

f x f C ≤≤= 令定理1中 1a a =2a b =3a c = 则定理1变形为

2()2()2()

''()()()()()()()

f a f b f d f c a b a c b a b a c b c ξ=

++

------…… <1） 于是，可知存在一点(),a b ξ∈使得

211

|()|()()|''()|()|''()|28

f c c a b c f b a f ξξ=--≤-

因此得21

max |()|()max |''()|8

a x

b a x b f x b a f x ≤≤≤≤≤- 例 2 设[],f C a b ∈，f ''在(),a b 内存在，连结点A (),()a f a 与B (),()a f a 的直线与曲线y=()f x 交于C (),()

c f c (a c b <<

求证：存在(),a b ξ∈，使得()0f ξ''=

证：由已知A 、B 、C 三点在同一直线上，故可知定理1中的行列式10D =，从而存在(),a b ξ∈，使得()0f ξ''=

例 3 设()f x 在[]0,1上存在二阶导数，且(0)(1)0f f ==，

(0,1)

min ()1x f x ∈=-则存在()0,1ξ∈，使得()8f ξ''≥

证：因为(0)(1)0f f ==，由例1的<1）式可知，存在()0,1ξ∈使得()f ξ''=

2()

(1)

f c c c --

又因为(0,1)

min ()1x f x ∈=-，而()f x 在[]0,1上连续，故存在 ()00,1C ∈使0()1f C =-，利用均值不等式，得

20000

22

''()2()8(1)1f c c c c ξ=

≥=-+-

例4 设()f x , ()g x 在[]0,1上连续。在()0,1内存在二阶导数，且对

()0,1t ∈，有()()0f t g t ==，证明：存在()0,1ξ∈使