取对数求导法

高阶导数求法举例
由高阶导数的定义 逐步 求高阶导数.
例1 求下列函数的二阶导数：
(1) y2x33x25
解 y 6x2 6x y (6x2 6x) 12x6
高阶导数求法举例
由高阶导数的定义 逐步 求高阶导数.
例1 求下列函数的二阶导数：
(2) y xcosx
解 ycoxsxsinx
ysixn sixn xco xs
同学们好 现在开始上课
授课内容
▪ 取对数求导法 ▪ 导数基本公式 ▪ 高阶导数
math2-4 内容 预告
Math2-4
知识点
▪ 幂指函数转化成隐函数 ▪ 反三角函数的求导公式 ▪ 导数基本公式 ▪ 二阶导数、高阶导数
math2-4 内容预告
重点
导数基本公式和法则的应用
2.2.4 取对数求导法
有时还会遇到这样一情些形，虽然给定的函数 是显函数，但直接求的它导数很困难或很麻，烦例 如幂指函数y uv 及一种因子之幂的连积乘的函数，
EX 2 8. 利用对数求导法求函的 数导数
(5) y 2x x
解 两边取对数
lny ln(2x x ) ln2 x lnx
两边求导 y 1 lnx x
y 2x
x
即 y2xx(ln x1) xxx(lxn2) 2x x
10.求下列函数的n阶导数
10(5) y xex
解 y e x xe x (1 x)e x y e x (1 x)e x (2 x)e x y e x (2 x)e x (3 x)e x y (n) (n x)e x
y,
d3y .
dx3
三阶导数的导数称为四阶导数
f (4)(x), y(4),
d4y .
dx4
一般,地 函数 f (x)的n1阶导数的导数称
函数 f (x)的n阶导,数 记作
f(n)(x),y(n), dny或dnf(x).
dxn
dxn
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
相应,地 f (x)称为 f(x)的一阶导 . 数
例17 求下列函数的导数：
(1) y arcsin(3x2 )
解 y
1
(3x2)
1-(3x2)2
6x
4
1 9x
例17 求下列函数的导数：
(2) y(arctaxn)3
2
解 y3(arcxta)2n(arctxa)n
2
2
3(arctaxn)2 1 (x)
2 1(x)2 2
2
3(arctaxn)2 1 1
1
ln y ln x ln 3 x (1 ) ln 5 x (3 ) ln 2 ( x) 3
两边同时对x求导，可得
1 yy1 31 x3x315x532 1x
即 y1 33(5xx (33x) 2 (1 )x)1 x3x315x532 1x
请同学们注意两点：
利用取对数的方法求导，最终的表达式 中，不允许保留y，而要用相应的x 的表达式代 替；
为了方便起见，对数真数的绝对值可以略 去不写.
下面我们再看一个例子
取对数求导法举例
例 16 求yxsin的 x 导 (x0 数 ).
解
两边取对数，有
lny sinx lnx
两边同时对x求导，可得
1y(sixn)lnxsinx(lnx)
y
1
cosxlnx sinx
x
即 yxsinxcoxslnx1xsinx
高阶导数求法举例
下面是补充题：
例4 设 yarcx,t求 afn (0),f(0).
解
y 1 1 x2
y ( 1 1 x2
)
2x (1 x 2 ) 2
y
(
2x (1 x2)2
)
2(3 x 2 1) (1 x 2 ) 3
f (0) 2x (1x2)2
x0 0
f (0) 2(3x2 1) (1x2)3
1 x
y 1 (1 x)2
y 2! (1 x)3
y(4) 3! (1 x)4
y(n) (1)n1 (n1)!(n1, 0!1) (1x)n
注意:
求n阶导数时,求出 1-3 或 4 阶后,不要 急于合并.应该在分析结果规律的基础上 直接写出n阶导数.(严格讲，最后写出的结 果应该用数学归纳法证明，但一般不证)
❖ 函数的和、差、积、商的求导法则
设u(x),v(x)可导,则
(1)u(x)v(x)u(x)v(x)
(2)cu(x cu(x)(c是常数）
(3 )u(x)u v (x()v(x x) )u(x)v(x)
u(x) u(x)v(x)u(x)v(x)
(4) v(x)
v2(x)
(v(x0))
❖ 复合函数的求导法则
a(t)v(t)[f(t)].
定义 如果函f数 (x)的导f数 (x)在点 x处可,导 即
(f
(x))
f lim
(xx)
f
(x)
Hale Waihona Puke Baidu
x0
x
存在 ,则称 (f (x))为函f数 (x)在点 x处的二阶.导数
二阶导数记作
f(x),y,
d2y或d2f
(x) .
dx2
dx2
二阶导数的导数称为三阶导数
f (x),
高阶导数求法举例
例3 求下列函数的n阶导数 .
(2) y e-2x 解 y( 2)e 2x( 1 )12 1e 2x
y(2)2e2x(1)222e2x
-----------
y(n) (1)n2ne2x
课堂练习 Ex2 10 (6)
10 (6) 设yln1(x),求y(n).
课堂练习解答：
解 y 1
x0 2.
作业 Ex2 8 (1, 5) 10 (1, 3, 5)
EX 2 8. 利用对数求导法求函的 数导数
（1）y (cosx)sinx
解 两边取对数，得lny sinx lncosx
两边同时对x求导，可得
1 y cosx lncosx sinx (sinx)
y
cosx
即 y (cosx)sinx(cosxlncosx sin2 x ) cosx
2.2.5 导数基本公式
❖ 常数和基本初等函数的导数公式
(a x ) a x ln a
(log a
x)
1 x ln a
(arcsin x ) 1
1 x2
(arctan x ) 1 1 x2
(e x ) e x
(ln x ) 1 x
(arccos x)
1 1 x2
(arc cot x) 1 1 x2
一般地对于
f(x)u(x)v(x) (u(x)0)
ln f(x)v(x)ln u (x)
又d lnf(x) 1 d f(x)
dx
f(x) dx
f(x)f(x) dlnf(x)f(x) dv(x)lnu(x)
dx
dx
f(x)u(x)v(x)[v(x)ln u(x)v(x)u(x)] u(x)
课堂练习 Ex 2 8 (6)
设yf(u),而u(x),则复合y函 f数 [(x)]
的导数为
dy dy
du
或
y(x)f(u)(x).
dx du dx
利用上述公式及法则,初等函数求导问题可完 全解决.
注意: 初等函数的导数仍为初等函数. 关键: 正确分解初等函数的复合结构.
思考题: 幂函数在其定义域（ ）.
（ 1 ） 必 可 导 ；（ 2 ） 必 不 可 导 ； （ 3 ） 不 一 定 可 导 .
下面，我们给出四三 个角 反函数的求导公 式，证明这些公式用 需到 要反函数的求导法 则，这里略去不 . 证
(arcsx)in 1 (arcxc)os 1
1x2
1x2
(arctxa)n 11x2 (arccoxt)11x2
(arcx)si n(arcx)c os
显然，有
(arx )c t(a ac r nx o c )t
课堂练习解答：
Ex 2 （8 6）两边取对数，有
lny lnx ln sinx 两边同时对 x求导
y 1
ln x cos x
ln sin x
yx
sin x
y (sin x) ln x ( 1 ln sin x 1 cos x ln x)
x
sin x
(sin x) ln x ( 1 ln sin x cot x ln x) x
如
x(3x-1) y 3
.
(5x3)(2- x)
对于这两类函数，可 通以 过两边取对数， 转化为隐函数，然后 隐按 函数求导的方法求 出导数y。这样会使计算简单 更或 容易，这 种方法称作对数求导法
取对数求导法举例
例 15求y3 x(3-1x) (1x2) (5x3)(2x) 3
解 两边取对数，有
2sixnxcoxs
高阶导数求法举例
例2 设f(xx )2lnx,求 f(2).
解 f(x)2xlnxx
f(x)2lnx3 f (x ) 2
x f(2) 1
高阶导数求法举例
例3 求下列函数的n阶导数 .
(1) y 5x
解 y 5x ln5 y 5x(ln5)2
----------
y(n) 5x(ln5)n
思考题解答： 正确地选择是（3）
2
例 f ( x ) x 3 , x (,) 在 x=0 处不可导;
而 f (x) x2, x (,)在定义域内处处可导.
2.3 高阶导数
问题:变速直线运动的加速度.
设 s f (t), 则瞬时速度v(为 t) f (t) 加速 a是 度 速 v对 度 时 t的 间 变化率
2 1 x2 2
6 (arctaxn)2 4
4x2
2
2.2.5 导数基本公式
❖ 常数和基本初等函数的导数公式
(C ) 0
( x ) x 1
(sin x ) cos x
(cos x ) sin x
(tan x ) sec 2 x
(cot x ) csc 2 x
(sec x ) sec x tan x (csc x ) csc x cot x