第五章 高级数理逻辑
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21
串值归纳法的另一种形式
串值归纳法还有另一种形式，在其中使用(ii’’) 来代换(i)和(ii’)。
(ii’’)
对于任何n∈N，如果对于所有m<n， R(m)， 则R(n)。
证明：实际上可以转换为串值归纳法前一种 形式. 首先当n=0时， (ii’’) 就是“对于所有的 m<0，R(m)，则R(0)”，由此可以得R(0)，进 而(ii’’) 就可以转换为(ii’) 了，得证.
23
集合归纳定义的一般情况
设M为集合，gi为ni元函数，i=1,2,…,k。 两种等价的定义： (1)M⊆S (2)对于任何x1,x2,…,xni，若x1,x2,…,xni ∈S，则 gi (x1,x2,…,xni ) ∈S (3)只有由（有限次使用）(1)和(2)生成的元素 才是S中元素 集合S是满足以下(1)和(2)的T中的最小集： (1)M⊆T (2)对于任何x1,x2,…,xni，若x1,x2,…,xni ∈T，则 24 gi (x1,x2,…,xni ) ∈T
第5章 可推导性关系和归纳定义
可推导性关系
归纳定义
1
5.1 可推导性关系
数理逻辑的含义
用数学的方法研究逻辑问题
逻辑的核心内容
逻辑推理——由前提推出结论 前提和结论都是命题 命题是能判断真假的陈述句
前提与结论之间存在可推导性关系
2
可推导性关系
当前提的真蕴含结论的真
由前提的真推出结论的真 前提到结论的推理是正确的
14
自然数集合N的归纳定义
定义1 (i) 0∈N。 (ii) 对于任何n，如果n∈N，则n’ ∈N （n’是n的后继）。 (iii) 只有由（有限次使用）(i)和(ii)生成 的n∈N。
15
定义1并不是使用被定义了的N来定义自己。 集合由它的外延确定，因此定义N就是要确 定它的外延。当其外延尚未确定时，N是没 有被定义的。 定义1的(i)、(ii)和(iii)中，N的外延是没有确 定的，也就是定义1中N不是已经被定义的。 定义1才是确定N的外延，即定义了N。 合式公式也是归纳定义给出的集合。
6
逻辑形式
表象：前提、结论的真或假
语义范畴
内因：前提、结论的逻辑形式
语法范畴
两个例子的逻辑形式相同
S中的所有元有R性质
a没有R性质 a不是S中的元
（前提） （前提） （结论）
7
逻辑形式
任何三个命题，如果它们分别具有上述的逻 辑形式，那么由前两个命题能推导出第三个 命题，而不论S是怎样的集合，R是怎样的性 质，a是怎样的元。 数理逻辑研究推理时涉及对前提和结论的分 析，这时所注意的是由内容抽象出的逻辑形 式。
12
5.2 归纳定义
外延：集所含元的全体 内涵：集中的元所共有的性质 例：非负偶数集的外延就是{0,2,4,…}，而其 内涵就是“被2整除的自然数” 例：集{a,b,c}的外延是a,b和c，其内涵为“是 a或 b或 c” 可数集：|S|≤|N|，
可数有限(<)
可数无限(=)
13
归纳定义和归纳证明
前提结论
前提结论为永真式
演绎推理
上述的推理即为演绎推理 研究怎样的前提与结论之间有可推导性关系
3
演绎逻辑的例子
例
所有3的倍数的数字之和是3的倍数（前提） 1010的数字之和不是3的倍数（前提） 1010不是3的倍数（结论）
该推理是正确的，并且推理中的2个前提和 1个结论均为真命题.
归纳证明原理的一般情况
设S为上述定义的集合。如果 （i）对于任何x∈M，R(x); （ii）对于任何x1,x2,…,xni ∈S，如果 R(x1),R(x2),…,R(xni )，则R(gi (x1,x2,…,xni ) )。 则对于任何x∈S， R(x)。
25
递归定义原理的一般情形
设S为上述定义的集合。设 h：M→S，hi：Sn →S，i=1,2,…,k，为已知 函数。则存在唯一的S上的函数f，使得 f(x)=h(x) 对于任何x∈M， f(gi(x1,x2,…,xni ))=hi(f(x1),f(x2),…,f(xni)) 对于任何x1,x2,…,xni ∈S
22
递归定义原理
在归纳定义的集上定义函数，可以采用递 归定义的方法。 定理2 设g和h是N上的已知函数，则存在唯 一的N上的函数f，使得
f(0)=g(0),
f(n’)=h(f(n))
或 f(n’)=h(Leabharlann Baidu, f(n)) .
对于任何n∈N，f(n)的值能够由上述定义f 的方程通过f(0),f(1),…,f(n-1)计算出来。称 这种定义为递归定义。
归纳定义是定义集合的一种方法。对于用归 纳定义给出的集合，要证明其中所有的元都 有某个性质，通常用归纳证明。 集合的归纳定义通常包括若干规则，用来生 成其中的元，然后再说明，只有由这些规则 生成的对象才是这个集合的元。 归纳定义的一种的等价的陈述是将所要定义 的集合刻画为封闭于这些规则的最小的集。
17
归纳定义自然数集合的一种等价陈述
定义2 N是满足以下的(i)和(ii)的S中的最小 集：
(i)
0 ∈ S。 (ii) 对于任何n，如果n∈S，则n’ ∈S。
定义2是说，N满足(i)和(ii)，并且对于任何 满足(i)和(ii)的S，NS。
18
归纳证明的定理
设R是一个性质，用R(x)表示x有R性质 定理1：如果 (i) R(0) (ii) 对于任何n∈N，如果R(n)，则R(n’) 则对于任何n∈N，R(n) 证明：令S={n∈N | R(n)}，S满足刚刚自然 数的等价定义. 因此 N S，也就是说对于 任何n∈N，R(n)
f(x)=h(x) 对于任何x∈M f(g1(x))=h1(f(x)) 对于任何x∈S 当0,1 ∈M时，有 f(0)=h(0)=0和f(1)=h(1)=1 但是此外，也有 f(0)= f(g1(1))=h1(f(1)) =h(1)=1 f(1)= f(g1(0))=h1(f(0)) =h(0)=0
20
归纳证明的另一种形式 ——串值归纳法
归纳定理中的条件(ii)可以换为 (ii’) 对于任何n∈N，如果R(0) ,…,R(n)，则 R(n’). 就是说，定理中的归纳命题也能够由(i)和(ii’)推 导出。这是归纳证明的另一种形式，称为串值 归纳法。
证明：令S={n∈N | R(0) ,…,R(n)}. 显然0∈S. 对于 n∈ S，即有n∈N ，R(0) ,…,R(n), 由(ii’) 可得R(n’). 接下来只要再证明n’∈N ，即有n’∈S . 由定义1， 可得n’∈N， 故n’∈S. S满足定义2，有N S.
16
例 合式公式 定义如下： (1) 单个命题常项或变项 p,q,r,…,pi ,qi ,ri ,…,0,1 是合式公式 (2) 若A是合式公式，则 (A)也是合式公式 (3) 若A, B是合式公式，则(AB), (AB), (AB), (AB)也是合式公式 (4) 只有有限次地应用 (1)~(3) 形成的符号串才是 合式公式
4
演绎逻辑的例子
例
所有中学生打网球。（前提） 王君不打网球。（前提） 王君不是中学生。（结论）
本例的推理也是正确的，并且它的正确性 与前例中推理的正确性的依据是完全相同 的. 但是本例中的前提和结论未必是真命题.
5
推理是否正确，与推理中前提和结论的真 或假是没有关系的 可推导性关系只要求前提的真蕴含结论的 真，不要求前提和结论为真 数理逻辑不研究前提和结论的真或假，而 是研究前提的真是否蕴含结论的真 决定前提和结论之间的可推导性关系的是 它们的逻辑形式
10
形式语言
无二义性、精确性 语义：涉及符号、表达式的涵义 语法：仅涉及表达式的形式结构 语义和语法既有联系，又有区别
11
不同层次的语言
讨论问题是在某个语言中进行的，但数理 逻辑所讨论的对象本身就是语言。因此要 涉及两个不同层次的语言。 被讨论的对象称为对象语言，也就是所说 的形式语言。 讨论对象语言时所用的语言称为元语言。 所使用的元语言就是自然语言汉语。
19
归纳证明
使用如上定理作出的证明，称为归纳证明， 即用归纳法作出的证明。 命题“对于任何n∈N，R(n)”是归纳命题， 其中n是归纳变元，这是说，当证明归纳命 题时，要对n做归纳。
第一步，称为（归纳的）基始，是证明定理中
的(i)，即0有性质R。 第二步，称为归纳步骤，是证明其中的(ii)，即 后继运算保存R性质。归纳步骤中的假设R(n) 称为归纳假设。
i
26
当涉及归纳定义的集S上的函数f的递归定 义和递归定义原理时，应当要求S中的元有 唯一的生成过程 例 M={0,1}，g1是一元函数，且有g1(0)=1, g1(1)=0，故S={0,1}中的0和1可以由M生成， 也可以由g1生成，即生成过程不唯一.
27
例 令h(0)=h1(0)=0和h(1)=h1(1)=1，则按照 递归定义S上的函数f如下：
28
8
例
X认识Y。（前提） Y是足球队长。（前提） X认识足球队长。（结论）
例
X认识A班某学生。（前提）
A班某学生是足球队长。（前提） X认识足球队长。
自然语言上的相似并不保证逻辑形式上的相同
9
形式语言
在数理逻辑中要构造一种符号语言来代替 自然语言（二义性、不精确性）. 这种人工 构造的符号语言称为形式语言 形式语言用符号构成公式，用公式表示命 题，进而精确地表示命题的逻辑形式
串值归纳法的另一种形式
串值归纳法还有另一种形式，在其中使用(ii’’) 来代换(i)和(ii’)。
(ii’’)
对于任何n∈N，如果对于所有m<n， R(m)， 则R(n)。
证明：实际上可以转换为串值归纳法前一种 形式. 首先当n=0时， (ii’’) 就是“对于所有的 m<0，R(m)，则R(0)”，由此可以得R(0)，进 而(ii’’) 就可以转换为(ii’) 了，得证.
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集合归纳定义的一般情况
设M为集合，gi为ni元函数，i=1,2,…,k。 两种等价的定义： (1)M⊆S (2)对于任何x1,x2,…,xni，若x1,x2,…,xni ∈S，则 gi (x1,x2,…,xni ) ∈S (3)只有由（有限次使用）(1)和(2)生成的元素 才是S中元素 集合S是满足以下(1)和(2)的T中的最小集： (1)M⊆T (2)对于任何x1,x2,…,xni，若x1,x2,…,xni ∈T，则 24 gi (x1,x2,…,xni ) ∈T
第5章 可推导性关系和归纳定义
可推导性关系
归纳定义
1
5.1 可推导性关系
数理逻辑的含义
用数学的方法研究逻辑问题
逻辑的核心内容
逻辑推理——由前提推出结论 前提和结论都是命题 命题是能判断真假的陈述句
前提与结论之间存在可推导性关系
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可推导性关系
当前提的真蕴含结论的真
由前提的真推出结论的真 前提到结论的推理是正确的
14
自然数集合N的归纳定义
定义1 (i) 0∈N。 (ii) 对于任何n，如果n∈N，则n’ ∈N （n’是n的后继）。 (iii) 只有由（有限次使用）(i)和(ii)生成 的n∈N。
15
定义1并不是使用被定义了的N来定义自己。 集合由它的外延确定，因此定义N就是要确 定它的外延。当其外延尚未确定时，N是没 有被定义的。 定义1的(i)、(ii)和(iii)中，N的外延是没有确 定的，也就是定义1中N不是已经被定义的。 定义1才是确定N的外延，即定义了N。 合式公式也是归纳定义给出的集合。
6
逻辑形式
表象：前提、结论的真或假
语义范畴
内因：前提、结论的逻辑形式
语法范畴
两个例子的逻辑形式相同
S中的所有元有R性质
a没有R性质 a不是S中的元
（前提） （前提） （结论）
7
逻辑形式
任何三个命题，如果它们分别具有上述的逻 辑形式，那么由前两个命题能推导出第三个 命题，而不论S是怎样的集合，R是怎样的性 质，a是怎样的元。 数理逻辑研究推理时涉及对前提和结论的分 析，这时所注意的是由内容抽象出的逻辑形 式。
12
5.2 归纳定义
外延：集所含元的全体 内涵：集中的元所共有的性质 例：非负偶数集的外延就是{0,2,4,…}，而其 内涵就是“被2整除的自然数” 例：集{a,b,c}的外延是a,b和c，其内涵为“是 a或 b或 c” 可数集：|S|≤|N|，
可数有限(<)
可数无限(=)
13
归纳定义和归纳证明
前提结论
前提结论为永真式
演绎推理
上述的推理即为演绎推理 研究怎样的前提与结论之间有可推导性关系
3
演绎逻辑的例子
例
所有3的倍数的数字之和是3的倍数（前提） 1010的数字之和不是3的倍数（前提） 1010不是3的倍数（结论）
该推理是正确的，并且推理中的2个前提和 1个结论均为真命题.
归纳证明原理的一般情况
设S为上述定义的集合。如果 （i）对于任何x∈M，R(x); （ii）对于任何x1,x2,…,xni ∈S，如果 R(x1),R(x2),…,R(xni )，则R(gi (x1,x2,…,xni ) )。 则对于任何x∈S， R(x)。
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递归定义原理的一般情形
设S为上述定义的集合。设 h：M→S，hi：Sn →S，i=1,2,…,k，为已知 函数。则存在唯一的S上的函数f，使得 f(x)=h(x) 对于任何x∈M， f(gi(x1,x2,…,xni ))=hi(f(x1),f(x2),…,f(xni)) 对于任何x1,x2,…,xni ∈S
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递归定义原理
在归纳定义的集上定义函数，可以采用递 归定义的方法。 定理2 设g和h是N上的已知函数，则存在唯 一的N上的函数f，使得
f(0)=g(0),
f(n’)=h(f(n))
或 f(n’)=h(Leabharlann Baidu, f(n)) .
对于任何n∈N，f(n)的值能够由上述定义f 的方程通过f(0),f(1),…,f(n-1)计算出来。称 这种定义为递归定义。
归纳定义是定义集合的一种方法。对于用归 纳定义给出的集合，要证明其中所有的元都 有某个性质，通常用归纳证明。 集合的归纳定义通常包括若干规则，用来生 成其中的元，然后再说明，只有由这些规则 生成的对象才是这个集合的元。 归纳定义的一种的等价的陈述是将所要定义 的集合刻画为封闭于这些规则的最小的集。
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归纳定义自然数集合的一种等价陈述
定义2 N是满足以下的(i)和(ii)的S中的最小 集：
(i)
0 ∈ S。 (ii) 对于任何n，如果n∈S，则n’ ∈S。
定义2是说，N满足(i)和(ii)，并且对于任何 满足(i)和(ii)的S，NS。
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归纳证明的定理
设R是一个性质，用R(x)表示x有R性质 定理1：如果 (i) R(0) (ii) 对于任何n∈N，如果R(n)，则R(n’) 则对于任何n∈N，R(n) 证明：令S={n∈N | R(n)}，S满足刚刚自然 数的等价定义. 因此 N S，也就是说对于 任何n∈N，R(n)
f(x)=h(x) 对于任何x∈M f(g1(x))=h1(f(x)) 对于任何x∈S 当0,1 ∈M时，有 f(0)=h(0)=0和f(1)=h(1)=1 但是此外，也有 f(0)= f(g1(1))=h1(f(1)) =h(1)=1 f(1)= f(g1(0))=h1(f(0)) =h(0)=0
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归纳证明的另一种形式 ——串值归纳法
归纳定理中的条件(ii)可以换为 (ii’) 对于任何n∈N，如果R(0) ,…,R(n)，则 R(n’). 就是说，定理中的归纳命题也能够由(i)和(ii’)推 导出。这是归纳证明的另一种形式，称为串值 归纳法。
证明：令S={n∈N | R(0) ,…,R(n)}. 显然0∈S. 对于 n∈ S，即有n∈N ，R(0) ,…,R(n), 由(ii’) 可得R(n’). 接下来只要再证明n’∈N ，即有n’∈S . 由定义1， 可得n’∈N， 故n’∈S. S满足定义2，有N S.
16
例 合式公式 定义如下： (1) 单个命题常项或变项 p,q,r,…,pi ,qi ,ri ,…,0,1 是合式公式 (2) 若A是合式公式，则 (A)也是合式公式 (3) 若A, B是合式公式，则(AB), (AB), (AB), (AB)也是合式公式 (4) 只有有限次地应用 (1)~(3) 形成的符号串才是 合式公式
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演绎逻辑的例子
例
所有中学生打网球。（前提） 王君不打网球。（前提） 王君不是中学生。（结论）
本例的推理也是正确的，并且它的正确性 与前例中推理的正确性的依据是完全相同 的. 但是本例中的前提和结论未必是真命题.
5
推理是否正确，与推理中前提和结论的真 或假是没有关系的 可推导性关系只要求前提的真蕴含结论的 真，不要求前提和结论为真 数理逻辑不研究前提和结论的真或假，而 是研究前提的真是否蕴含结论的真 决定前提和结论之间的可推导性关系的是 它们的逻辑形式
10
形式语言
无二义性、精确性 语义：涉及符号、表达式的涵义 语法：仅涉及表达式的形式结构 语义和语法既有联系，又有区别
11
不同层次的语言
讨论问题是在某个语言中进行的，但数理 逻辑所讨论的对象本身就是语言。因此要 涉及两个不同层次的语言。 被讨论的对象称为对象语言，也就是所说 的形式语言。 讨论对象语言时所用的语言称为元语言。 所使用的元语言就是自然语言汉语。
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归纳证明
使用如上定理作出的证明，称为归纳证明， 即用归纳法作出的证明。 命题“对于任何n∈N，R(n)”是归纳命题， 其中n是归纳变元，这是说，当证明归纳命 题时，要对n做归纳。
第一步，称为（归纳的）基始，是证明定理中
的(i)，即0有性质R。 第二步，称为归纳步骤，是证明其中的(ii)，即 后继运算保存R性质。归纳步骤中的假设R(n) 称为归纳假设。
i
26
当涉及归纳定义的集S上的函数f的递归定 义和递归定义原理时，应当要求S中的元有 唯一的生成过程 例 M={0,1}，g1是一元函数，且有g1(0)=1, g1(1)=0，故S={0,1}中的0和1可以由M生成， 也可以由g1生成，即生成过程不唯一.
27
例 令h(0)=h1(0)=0和h(1)=h1(1)=1，则按照 递归定义S上的函数f如下：
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8
例
X认识Y。（前提） Y是足球队长。（前提） X认识足球队长。（结论）
例
X认识A班某学生。（前提）
A班某学生是足球队长。（前提） X认识足球队长。
自然语言上的相似并不保证逻辑形式上的相同
9
形式语言
在数理逻辑中要构造一种符号语言来代替 自然语言（二义性、不精确性）. 这种人工 构造的符号语言称为形式语言 形式语言用符号构成公式，用公式表示命 题，进而精确地表示命题的逻辑形式