微分及其在近似计算中的应用

该函数的导数. 导数也叫"微商".
四、微分的几何意义
几何意义:(如图)
y
T
当y是曲线的纵
坐标增量时, dy 就是切线纵坐标 对应的增量.
y f (x)
）
o
当 x 很小时, 在点M的附近,
N
P
o(x)
M
dy y
x
x0 x0 x
x
切线段 MP可近似代替曲线段MN .
五、微分的求法
dy f ( x)dx
函数的变化率问题
导数的概念
函数的增量问题
微分的概念
求导数与微分的方法,叫做微分法.
研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫 做微分学.
★ 导数与微分的联系: 可导 可微.
★ 导数与微分的区别:
1. 函数
f
(
x
)
在点x
处的导数
0
是一个
定数
f ( x0 ),
而微分 dy f ( x0 )( x x0 ) 是x的线性函数,它的
(2).求f ( x)在点x 0附近的近似值;
令 x0 0, x x. f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 ) x, f ( x) f (0) f (0) x.
2.常用近似公式 ( x 很小时)
(1) n 1 x 1 1 x; (2) sin x x ( x为弧度); n
这表明 在f ( x0 ) 0的条件下当x 0时 y dy 不仅是比 x 高阶的无穷小，而且也是比 y
高阶的无穷小，因此 dy是y的主要部分
通常把自变量x的增量x称为自变量的微分, 记作dx, 即dx x.
dy f ( x)dx.
dy f ( x). dx
即函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于
例5 设e xy a xb y ,求dy, dy dx
解一 两边同时求微分得 d(e xy ) d(a xb y ) e xyd( xy) b yd(a x ) a xd(b y )
e xy[xdy ydx] a xb y[lnadx lnbdy]
ydx xdy lnadx lnbdy dy ln a y dx
一、问题的提出
实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由x0变到x0 x,
正方形面积 A x02, A ( x0 x)2 x02
2x0 x (x)2 .
(1)
(2)
x0
x0x
x (x)2
x
A x02
x0x x0
(1) : x的线性函数,且为A的主要部分; (2) : x的高阶无穷小,当x 很小时可忽略.
(5) 当x 很小时,y dy (线性主部).
三、可微的条件
定理 函数 f ( x)在点 x0可微的充要条件是函 数 f ( x)在点 x0处可导, 且 A f ( x0 ).
可导 可微. A f ( x0 ). 函数 y f ( x)在任意点x的微分, 称为函数的 微分, 记作 dy或df ( x), 即 dy f ( x)x.
(2) 若x是中间变量时, 即另一变量t 的可
微函数 x (t), 则
(t)dt dx,
dy f ( x)dx.
结论：无论 x是自变量还是中间变量, 函数 y f ( x)的微分形式总是 dy f ( x)dx
微分形式的不变性
例3 设 y sin(2x 1), 求dy. 解 y sin u, u 2x 1. dy cos udu cos(2x 1)d(2x 1)
再例如, 设函数 y x3在点 x0处的改变量 为x时, 求函数的改变量y.
y ( x0 x)3 x03
3x02 x 3x0 (x)2 (x)3 .
(1)
(2)
当 x 很小时, (2)是x的高阶无穷小o(x),
y 3x02 x.
既容易计算又是较好的近似值
问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
解 3 8.016 3 8 0..016 3 81 0.002
3 8 3 1 0.002 2 3 1 0.002
这里x 0.002其值比较小,利用近似公式,得
3 1 0.002 1 1 0.002 1.000667
3
所以
3 8.016 2.001334
八、小结
★ 微分学所要解决的两类问题:
微分 dy叫做函数增量y的线性主部(.微分的实质)
由定义知:
(1) dy是自变量的改变量x的线性函数;
(2) y dy o(x)是比x高阶无穷小;
(3) 当A 0时, dy与y是等价无穷小;
y dy
1
o(x) A x
1
( x 0).
(4) A是与x无关的常数, 但与f ( x)和x0有关;
(3) tan x x ( x为弧度); (4) e x 1 x;
(5) ln(1 x) x.
证明
(1) 设 f ( x) n 1 x,
f
(
x)
1
(1
1 1
x)n
,
n
f (0) 1, f (0) 1 . n
f ( x) f (0) f (0)x 1 x . n
例1 计算 3 8.016的近似值.
d(a x ) a x ln adx
d(e x ) e xdx
d (loga
x)
1 x lna
dx
d(arcsin x) 1 dx 1 x2
d(ln x) 1 dx x
d(arccos x) 1 dx 1 x2
d
(arctan
x
)
1
1 x
2
dx
d
(arc
cot
x
)
1
1 x
2
dx
2. 函数和、差、积、商的微分法则
求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.
1.基本初等函数的微分公式
d(C) 0
d ( x ) x1dx
d(sin x) cos xdx
d(cos x) sin xdx
d(tan x) sec2 xdx d(cot x) csc2 xdx
d(sec x) sec x tan xdx d(csc x) csc x cot xdx
cos(2x 1) 2dx 2cos(2x 1)dx. 例4 设 y e ax sin bx, 求dy. 解 dy eax cos bxd(bx) sin bx eaxd(ax)
eax cos bx bdx sin bx eax (a)dx eax (b cos bx a sin bx)dx.
定义域是R, 实际上, 它是无穷小.
lim dy
x x0
lim
x x0
f ( x0 )( x
x0 )
0.
2. 从几何意义上来看, f ( x0 ) 是曲线 y f ( x) 在
点 ( x0 , f ( x0 )) 处切线的斜率, 而微 dy f ( x0 )
( x x0 )是曲线 y f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线
(e13x ) 3e13x , (cos x) sin x. dy cos x (3e13x )dx e13x ( sin x)dx
e13x (3cos x sin x)dx.
六、微分形式的不变性
设函数 y f ( x)有导数 f ( x),
(1) 若x是自变量时, dy f ( x)dx;
x ln b dy ln a y
dx x ln b 解二 两边取对数得
Leabharlann Baidu
xy x lna y lnb 两边对 x 求导，有
y xy lna ylnb
dy ln a y dx x ln b
dy ln a y dx x ln b
由上面的例子还可以看出，求导数与求微分的方法
函数的微分
前面我们从变化率问题引出了导数概念，它是 微分学的一个重要概念。在工程技术中，还会遇 到与导数密切相关的另一类问题，这就是当自变 量有一个微小的增量时，要求计算函数的相应的 增量。一般来说，计算函数增量的准确值是比较 繁难的，所以需要考虑用简便的计算方法来计算 它的近似值。由此引出了微分学的另一个基本概 念——微分。
方程在点 x0 的纵坐标增量.
近似计算的基本公式 当x 很小时, y x x0 dy x x0 f ( x0 ) x. f ( x) f ( x0 ) f ( x0 ) ( x x0 ), 当x 0时, f ( x) f (0) f (0) x.
思考题
因为一元函数 y f ( x)在x0 的可微性与
d(u v) du dv d(uv) vdu udv
d(Cu) Cdu
u vdu udv
d( ) v
v2
例1 设 y ln( x e x2 ), 求dy.
解
y
1 2 xe x2 x ex2
,
dy
1 2 xe x2 x ex2
dx.
例2 设 y e13x cos x, 求dy. 解 dy cos x d(e13x ) e13x d(cos x)
在本质上并没有区别，因此把两者统称为微分法
七、微分在近似计算中的应用
1.计算函数的近似值
(1).求f ( x)在点x x0附近的近似值; y f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 ) x. f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 ) x. ( x 很小时)
可导性是等价的，所以有人说“微分就是导 数，导数就是微分”，这说法对吗？
思考题解答
说法不对.
从概念上讲，微分是从求函数增量引 出线性主部而得到的，导数是从函数变化 率问题归纳出函数增量与自变量增量之比 的极限，它们是完全不同的概念.
• 习题2—5（P91—P93）：1，2（2）， （4），（6），4，5（2），（4）， （6），（7）；6（1）；7；8（1），9 （1）；10（2），（4）
二、微分的定义
定义 设函数 y f ( x)在某区间内有定义, x0及 x0 x在这区间内, 如果 y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x) 成立(其中A是与x无关的常数), 则称函数 y f ( x)在点 x0可微, 并且称A x为函数 y f ( x)在点 x0相应于自变量增量x的微分, 记作dy x x0 或 df ( x0 ), 即dy x x0 A x.