1 第1讲 函数及其表示

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函数及其表示

了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.

在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.

了解简单的分段函数，并能简单应用.

单调性理解函数的单调性及其几何意义.

理解函数的最大值、最小值及其几何意义.

奇偶性结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.

指数函数

了解指数函数模型的实际背景.

理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.

理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.

知道指数函数是一类重要的函数模型.

对数函数

理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.

理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点.

知道对数函数是一类重要的函数模型.

了解指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数(a＞0，且a≠1).

幂函数

了解幂函数的概念.

结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝

1

x，y＝x

1

2的图象，了解它们的变化情况.

函数的图象会运用函数图象理解和研究函数的性质.

函数与方程

结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.

根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.

函数模型及其应用

了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.

了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.

1．函数与映射的概念

函数映射两集合

A、B

设A，B是两个非空的数集设A，B是两个非空的集合

对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于

集合A中的任意一个数x，在集合B中

都有唯一确定的数f(x)和它对应

如果按某一个确定的对应关系f，

使对于集合A中的任意一个元素

x，在集合B中都有唯一确定的元

素y与之对应

函数映射

名称称f：A→B为从集合A到集合B的

一个函数

称对应f：A→B为从集合A到集合B

的一个映射

记法y＝f(x)(x∈A) 对应f：A→B是一个映射

(1)函数的定义域、值域

在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．

(3)函数的表示法

表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．

3．分段函数

若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．

分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于函数f ：A →B ，其值域是集合B .( )

(2)函数f (x )＝x 2－2x 与g (t )＝t 2－2t 是同一函数．( )

(3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( )

(4)若A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |，则对应关系f 是从A 到B 的映射．( ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)×

(教材习题改编)函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为( )

A ．[0，2)

B ．(2，＋∞)

C ．[0，2)∪(2，＋∞)

D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)

解析：选C .由题意得⎩

⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，

x －2≠0，解得x ≥0且x ≠2.

下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( ) A ．y ＝(x ＋1)2 B ．y ＝3x 3＋1 C ．y ＝x 2

x

＋1

D ．y ＝x 2＋1

解析：选B .对于A .函数y ＝(x ＋1)2的定义域为{x |x ≥－1}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B .定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C .函数y ＝x 2

x ＋1的定

义域为{x |x ≠0}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D ，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数．

(教材习题改编)已知函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧x （x ＋4），x ≥0，

x （x －4），x <0，则f (1)＋f (－3)＝________．

解析：f (1)＝1×5＝5，f (－3)＝－3×(－3－4)＝21，故f (1)＋f (－3)＝5＋21＝26. 答案：26

若x －4有意义，则函数y ＝x 2－6x ＋7的值域是________． 解析：因为x －4有意义，所以x －4≥0，即x ≥4. 又因为y ＝x 2－6x ＋7＝(x －3)2－2，

所以y min ＝(4－3)2－2＝1－2＝－1. 所以其值域为[－1，＋∞)． 答案：[－1，＋∞)

求函数的定义域

[典例引领]

(1)(2018·河南濮阳一高第二次检测)函数f (x )＝log 2(1－2x )＋1

x ＋1的定义域为( )

A.⎝⎛⎭⎫0，12

B.⎝

⎛⎭⎫－∞，12 C ．(－1，0)∪⎝⎛⎭⎫0，1

2 D ．(－∞，－1)∪⎝

⎛⎭⎫－1，1

2 (2)如果函数f (x )＝ln(－2x ＋a )的定义域为(－∞，1)，那么实数a 的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1

D ．2

(3)若函数y ＝f (x )的定义域是[0，2]，则函数g (x )＝f （2x ）

x －1

的定义域为________．

【解析】 (1)由1－2x >0，x ＋1≠0，得x <12且x ≠－1，所以函数f (x )＝log 2(1－2x )＋1

x ＋1的

定义域为(－∞，－1)∪⎝

⎛⎭⎫－1，1

2，故选D . (2)因为－2x ＋a >0，所以x

2

＝1，所以a ＝2.

(3)由⎩

⎪⎨⎪

⎧x －1≠0，0≤2x ≤2，得0≤x ＜1，即定义域是[)0，1.

【答案】 (1)D (2)D (3)[)0，1