菱形专题学案(含答案)

第十一讲菱形

时间：年月日刘满江老师学生姓名：

一、兴趣导入

二、学前测试

1.若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是（）

A. 矩形

B. 菱形

C. 对角线互相垂直的四边形

D. 对角线相等的四边形

2.如图，已知菱形ABCD的对角线AC．BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（）

A．B．C．D．

3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC=1300，则∠AOE 的大小为（）

A．75°B．65°C．55°D．50°

CDB

三、方法培养：

知识要点：

1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

2．菱形的性质

菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质：

①边的性质：对边平行且四边相等．

②角的性质：邻角互补，对角相等．

③对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角．

④对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．

菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．

点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半．

3．菱形的判定

判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．

判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

判定③：四边相等的四边形是菱形．

例1．如图，已知△ABC的面积为4，且AB=AC，现将△ABC沿CA方向平移CA的长度，得到△EFA．

（1）判断AF与BE的位置关系，并说明理由；

（2）若∠BEC=15°，求AC的长．

考点：菱形的判定与性质；含30度角的直角三角形；平移的性质．

分析：（1）首先连接BF，由△AEF是由△ABC沿CA的方向平移CA长度得到，即可得BF=AC，AB=EF，CA=AE，又由AB=AC，证得AB=BF=EF=AE，根据由四条边都相等的四边形是菱形，即可证得四边形ABFE是菱形，则可得AF⊥BE；

（2）首先作BM⊥AC于点M，由AB=AC=AE，∠BEC=15°，求得∠BAC=30°，BM=AB=AC，

然后利用△ABC的面积求解方法，即可求得AC的长．

解答：解：（1）AF⊥BE．

理由如下：连接BF，

∵△AEF是由△ABC沿CA的方向平移CA长度得到，

∴BF=AC，AB=EF，CA=AE．

∵AB=AC，

∴AB=BF=EF=AE．

∴四边形ABFE是菱形．

∴AF⊥BE．

（2）作BM⊥AC于点M．

∵AB=AC=AE，∠BEC=15°，

∴∠BAC=30°．

∴BM=AB=AC．

∵S△ABC=4，

∴•AC•AC=4，

∴AC=4．

点评：此题考查了菱形的判定与性质，三角形面积的求解方法等知识．此题难度不大，注意辅助线的作法与数形结合思想的应用．

变式练习：如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．

（1）求证：四边形BCFE是菱形；

（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．

考点：菱形的判定与性质；三角形中位线定理．

分析：从所给的条件可知，DE是△ABC中位线，所以DE∥BC且2DE=BC，所以BC和EF平行且相等，所以四边形BCFE是平行四边形，又因为BE=FE，所以是菱形；∠BCF是120°，所以∠EBC为60°，所以菱形的边长也为4，求出菱形的高面积就可求．

解答：（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，

∴DE∥BC且2DE=BC，

又∵BE=2DE，EF=BE，

∴EF=BC，EF∥BC，

∴四边形BCFE是平行四边形，

又∵BE=FE，

∴四边形BCFE是菱形；

（2）解：∵∠BCF=120°，

∴∠EBC=60°，

∴△EBC是等边三角形，

∴菱形的边长为4，高为2，

∴菱形的面积为4×2=8．

点评：本题考查菱形的判定和性质以及三角形中位线定理，以及菱形的面积的计算等知识点．

【例2】如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，猜一猜EF与GH的位置关系，并证明你的结论．

考点：菱形的判定与性质；三角形中位线定理．

专题：证明题．

分析：连接EG，GF，FH，EH，利用三角形中位线定理求证EG平行且等于EH，从而判定出四边形EGFH 是菱形，再利用菱形的性质即可得出结论．

解答： EF⊥GH．

证明：连接EG，GF，FH，EH，

∵E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点

∴EG=AB，EH=CD，

又∵AB=DC，

∴EG=EH，

∵EG∥AB，HF∥AB，

∴EG∥HF，同理GF∥EH，

∴四边形EGFH是菱形，EF，GH分别为对角线，

∴EF⊥GH．

变式练习

如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB 的最小值为（）

A．1B．C．2D．

考点：菱形的性质．

专题：动点型．

分析：找出B点关于AC的对称点D，连接DE，则DE就是PE+PB的最小值，求出即可．

解答：解：连接DE、BD，

由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则PD=PB，

∴PE+PB=PE+PD=DE，

即DE就是PE+PB的最小值，

∵∠BAD=60°，AD=AB，

∴△ABD是等边三角形，

∵AE=BE

∴DE⊥AB（等腰三角形三线合一的性质）

在Rt△ADE中，DE=．

故选B．