静电场的环路定理电势及其与场强关系副本

r W (ra )]
(rr rri
形式
)
q0
i
Qi
4 0Βιβλιοθήκη Baidu
rrb
1 rri
1 rra rri
2、连续分布电荷的电场中:
Aab
q0
V
(rr) 4 0
rrb
1 rr
rra
1 rr
dV
静电场力可对处于其中的电荷做功→静电场具有能量； 静电力做功只与场点的起止位置有关，而与路径无关。
静电场是保守场，静电力是保守力；故可引入势能。
前知，静电力所做的功可写成
Aab
br a q0E
r dl
[W (rrb )
W (rra )]
其中函数
W
(rr
)
称为电荷
q0
在电场
r E
中的电势能。
关于静电场力的功能原理： A W
注意： ➢ 电势能反映电荷在静电场中特定位置处的势能， 它与电荷所处在静电场中的位置有关；
A
D
的功的代v 数和总是为0。v v
静电场的
Ñ E静的环流
lrE静v dl 0
r
环路定理
r
利用数学中Green定理 ÑLV dl ( V ) dS ，则
S ( L围成)
静电场的环路定理 的微分形式
v E静 0
静电场无涡旋；即 电场线不形成回路
静电场的两条基本定理 （反映真空中静电场的两条特性）
电势零点
注：
➢ 电势是静电场的属性，与产生该电场的电荷源 有关，但与场中的试验电荷无关；
➢ 电势有相对性，需要选择零点(常取地球、仪器 外壳、无穷远处等为电势零点)；
➢ 电势的单位：V. [能量单位eV的由来]
电势差（电压）:
Uba
Ub Ua
rrb rra
Er (rr
)
drr
（电势差与电势零点的选择无关。）
一、静电场力所做的功:
1、点电荷的电场中:
dA
r F
r dl
v q0 E
drr
q0Q
40
(rr rr) rr rr 3
drr
b
Q
rr
rr drr rr
drr
r E
q0
a
Aab
b
dA
a
q Q rrb rr 0
4 rra rr
0
(rr rr) rr rr 3
O
d (rr
rr)
q0Q
4 0
rrb rr rra rr
rr rr d ( rr rr ) rr rr 3
q0Q
4 0
1
r rb
rr
1
r ra
rr
在点电荷的静电场中移动电荷q0 时，电场力做的功只 与q0的始末位置有关，而与路径无关。
2A、aF点rb 电q荷r0rrarbEr系Fr的 d电irr 4场q0Q中i0i :(rrrrrrrarbAarrrbirirr都rri4iq3)可0Q写0i 成(rrrr[Wrrrrii(3)rrb)d
r ri
1
4 0
V
( rr)dV
rr rr
例 求均匀带电圆环轴线上的电势分布。 (已知：R、q )
解： 方法一 点电荷电势 + 电势叠加原理
dU dq 4πε0r
U dU
q dq
r
R
x
1
q
dq
4πε0r 0
o x dU
q
4πε0 ( x 2 R2 )1/ 2
静电场的环路定理 电势能 (§7.4)
Circulation Theorem of Electrostatic Field and Electric Potential Energy
静电场的性质： 1）电荷在电场中受到电场力
电场强度 E
2）当电荷在电场中移动时， 电场力要对电荷作功。
电势能 W
从库仑定律和场强叠加原理出发，可以证明，静电场 力对电荷所做的功与路径无关，说明静电场是保守场， 可以引入电势能的概念。在此基础上，还可以引入描 述静电场的另一个状态量——电势。
W
(rr
)
q0
Q
40 rr
rrQ
电势（Electric Potential） [§7.4]
一、电势的定义: U (rr ) W (rr ) q0
比值与q0的大小无关，仅取决于 电场的性质及场点的位置。
电势：单位正电荷在场点处所具有的电势能。
U (rr ) rr
r E
(rr
)
drr
(积分路径任选)
3、电势计算的方法：
1）场强积分法
已知场强分布时,
场点 r r
U场点
E dl
零点
步骤： (1)先求场强分布; (2)选择合适的路径; (3)计算积分.
[当带电体为无限大时，只能用该方法计算]
2）电势叠加法:
已知源电荷分布(有限尺寸)时,各源的电势标量叠加
U (rr ) 1
4 0
i
rr
Qi
➢ 电势能是系统的能量，属于电荷与静电场共有；
➢ 电势能也存在零点选择问题。 ［视方便而选；常选无穷远处为0］
电荷 q 在静电场中 rr 点处的电势能:
W (rr ) q rr
Er (rr ) drr
势能零点
(积分路径任选)
数值上等于把电荷从该点移到势能零点过程中静电力 对该电荷所做的功。
例：电荷q0 在点电荷Q产生的静电场中的电势能 (无穷远处为0)：
E Ei
i
（矢量叠加）
场点 r r
U E dl 零点
Ui
i
（标量叠加）
点电荷系的电场中某点的电势，等于各点电荷单独 存在时在该点的电势的代数和。
点电荷系的电势:
U (rr ) 1
4 0
i
rr
Qi
rri
连续分布电荷的电势:
r 1 (rr)dV
U (r )
40 V
rr rr
定理 积分形式 微分形式 物理含义
高斯定理
(关于场强的通量)
Ò r r
E dS
1
dV
S
0 VS内
r
E
0
静电场是有源场
环路定理 (关于场强的环流)
vv
Ñl E静 dl 0
r E静 0
静电场是保守场 （静电场是无旋场）
注意：一般地，如果电场包含有非静电场，则不是保守场。
三、电势能 (Electric Potential Energy) :
二、电势的计算:
1、点U电(rr荷) 的电势rr 4:Q(0以rr无rr 穷rrrrQQ远3处 d为rr 0)
40
Q rr
r rQ
讨论 Q 0: U 0; r ,U ，r 处U 最小
Q 0: U 0; r ,U ，r 处U最大
对称性：以Q为球心的同一球面上各点的电势相等
2、电势叠加原理: rr
二、静电场的环路定理:
静电力做功只与移动的起止位置有关，而与路径无关。
vv
vv
vv
q0E dl q0E dl q0E dl
ABC
ADvC v
v CvDA
A环路 q0( E dl E dl ) 0
C B
ABC
CDA
在静电场中沿[任意]闭合环路移动 [任意]电荷时，静电场对电荷所做