3[1].5分式的加法与减法二
3.5 分式的加法与减法
小结：本节课你的收获是什么？
（1）分式加减运算的方法思路：
异分母 相加减
通分 转化为
同分母
分母不变 转化为
分子（整式）
相加减
相加减
（2）分子相加减时，如果分子是一个多项 式，要将分子看成一个整体，先用括号括起来， 再运算，可减少出现符号错误。 （3）分式加减运算的结果要约分，化为最 简分式（或整式）。
2 2 2
把分子看作 一个整体， 先用括号括 起来！
5a b 3 3a b 5 8 a b = 2 ab 2 a b 注意：结果要 = 2 化为最简分式！ ab
2 2 2
a = b
2x 5x 3y （ 2） 2 2 2 2 x y x y
2 x （ 5 x 3 y ） 解：原式= 2 2 x y
先找出最简公分 母，再正确通分， 转化为同分母的 分式相加减。
10bc 8ac 9ab 2 2 12 a b c
例4、先化简，再求值:其中x=3
x 1 x 1 , 2 2 x 2x 2x x
2
= x 3 2 x 1 = x 3 2x 2 =
a1 （a 1）（a 1）
1 a1
2a b （ 1） 2a b b 2a
a b a b （ 2） b a ab
2 2
1 1 （ 3） x3 x3
a 1 （ 4） 2 2 ab a b
例 3 计算：
5 2 3 2 2 6a b 3ab 4abc 10 bc 8 ac 9 ab 解：原式= 2 2 2 2 2 2 12 a b c 12 a b c 12 a b c
（1）异分母的分数如何加减？ 1 1 1 1 比如： ？ ？ 2 3 2 3 (通分,将异分母的分数化为同分母的分数)
新旧版青岛版初中数学教材(总目录)对照
新旧版青岛版初中数学教材（总目录）对照旧版青岛版初中数学教材七年级上册第1章基本的几何图形 1.1 我们身边的图形世界 1.2 几何图形1.3 线段、射线和直线 1.4 线段的比较与作法第2章有理数2.1 有理数2.2 数轴2.3 相反数与绝对值第3章有理数的运算3.1 有理数的加法与减法 3.2 有理数的乘法与除法 3.3 有理数的乘方3.4 有理数的混合运算3.5 利用计算器进行有理数的运算第4章数据的收集、整理与描述4.1 普查和抽样调查 4.2 简单随机抽样 4.3 数据的整理 4.4 扇形统计图第5章代数式与函数的初步认识 5.1 用字母表示数 5.2 代数式 5.3 代数式的值5.4 生活中的常量与变量 5.5 函数的初步认识第6章整式的加减6.1 单项式与多项式 6.2 同类项 6.3 去括号 6.4 整式的加减第7章数值的估算 7.1 生活中的数值估算 7.2 近似数和有效数字 7.3 估算的应用与调整第8章一元一次方程 7.1 等式的基本性质 7.2 一元一次方程7.3 一元一次方程的解法 7.4 一元一次方程的应用2021新版青岛版初中数学教材七（上）（60课时）第1章基本的几何图形（8课时） 1.1 我们身边的图形世界1课时 1.2 几何图形2课时1.3 线段、射线和直线2课时 1.4 线段的比较和作法2课时回顾与总结1课时第2章有理数（5课时）2.1 有理数1课时 2.2 数轴2课时 2.3 相反数与绝对值1课时回顾与总结1课时第3章有理数的运算（13课时） 3.1 有理数的加法与减法4课时 3.2 有理数的乘法与除法3课时 3.3 有理数的乘方2课时3.4 有理数的混合运算1课时3.5 用计算器进行有理数运算1课时回顾与总结2课时第4章数据的收集、整理与描述（6课时）4.1 普查与抽样调查1课时 4.2 简单随机抽样1课时 4.3 数据的整理1课时 4.4 扇形统计图2课时回顾与总结1课时第5章代数式与函数的初步认识（8课时）5.1 用字母表示数1课时 5.2 代数式2课时 5.3 代数式的值1课时5.4 生活中的常量与变量2课时 5.5 函数的初步认识1课时回顾与总结1课时综合与实践你知道的数学公式2课时第6章整式的加减（6课时） 6.1 单项式与多项式1课时 6.2 同类项2课时 6.3 去括号1课时 6.4 整式的加减1课时回顾与总结1课时第7章一元一次方程（12课时） 7.1 等式的基本性质1课时 7.2 一元一次方程1课时7.3 一元一次方程的解法2课时 7.4 一元一次方程的应用6课时回顾与总结2课时七年级下册第9章角 9.1 角的表示 9.2 角的比较 9.3 角的度量 9.4 对顶角9.5 垂直第10章平行线 10.1 同位角10.2 平行线和它的画法 10.3 平行线的性质 10.4 平行线的判定第11章图形与坐标11.1 怎样确定平面内点的位置11.2 平面直角坐标系11.3 直角坐标系中的图形 11.4 函数与图象11.5 一次函数和它的图象第12章二元一次方程组 12.1 认识二元一次方程组 12.2 向一元一次方程转化 12.3 图象的妙用12.4 列方程组解应用题第13章走进概率 13.1 天有不测风云13.2 确定事件与不确定事件 13.3 可能性的大小 13.4 概率的简单计算课题学习掷币中的思考第14章整式的乘法 14.1 同底数幂的乘法与除法 14.2 指数可以是零和负整数吗14.3 科学记数法14.4 积的乘方与幂的乘方 14.5 单项式的乘法 14.6 多项式乘多项式第15章平面图形的认识 15.1 三角形 15.2 多边形15.3 多边形的密铺 15.4 圆的初步认识15.5 用直尺和圆规作图七（下）（61课时）第8章角（7课时） 8.1 角的表示1课时 8.2 角的比较1课时 8.3 角的度量2课时 8.4 对顶角1课时 8.5 垂直1课时回顾与总结1课时第9章平行线（6课时）9.1 同位角、内错角、同旁内角1课时 9.2 平行线和它的画法1课时 9.3 平行线的性质1课时 9.4 平行线的判定2课时回顾与总结1课时第10章一次方程组（9课时） 10.1 认识二元一次方程组1课时 10.2 二元一次方程组的解法2课时 *10.3 三元一次方程组2课时 10.4 列方程组解应用题3课时回顾与总结1课时第11章整式的乘除（14课时） 11.1 同底数幂的乘法1课时11.2 积的乘方与幂的乘方2课时 11.3 单项式的乘法2课时 11.4 多项式的乘法2课时 11.5 同底数幂的除法1课时11.6 零指数幂和负整数指数幂4课时回顾与总结2课时第12章乘法公式和因式分解（7课时） 12.1 平方差公式1课时 12.2 完全平方公式2课时12.3 用提公因式法进行因式分解1课时 12.4 用公式法进行因式分解2课时回顾与总结1课时第13章平面图形的认识（10课时） 13.1 三角形4课时13.2 多边形2课时 13.3 圆2课时回顾与总结2课时综合与实践多边形的密铺2课时第14章位置与坐标（6课时） 14.1 用有序数对表示位置1课时 14.2 平面直角坐标系1课时14.3 直角坐标系中的简单图形2课时14.4 用方向和距离描述两个物体的相对位置1课时回顾与总结1课时八年级上册第1章轴对称与轴对称图形 1.1 我们身边的轴对称图形 1.2 线段的垂直平分线1.3 角的平分线 1.4 等腰三角形1.5 成轴对称的图形的性质 1.6 镜面对称1.7 简单的图案设计第2章乘法公式与因式分解 2.1 平方差公式 2.2 完全平方公式2.3 用提公因式法进行因式分解 2.4 用公式法进行因式分解第3章分式3.1 分式的基本性质 3.2 分式的约分3.3 分式的乘法与除法 3.4 分式的通分3.5 分式的加法与减法 3.6 比和比例 3.7 分式方程第4章样本与估计 4.1 普查与抽样调查 4.2 样本的选取 4.3 加权平均数4.4 中位数 4.5 众数4.6 用计算器求平均数课题学习学生课外生活情况的调查第5章实数 5.1 算术平方根 5.2 勾股定理5.3 2是有理数吗5.4 由边长判定直角三角形 5.5 平方根 5.6 立方根 5.7 方根的估算5.8 用计算器求平方根和立方根 5.9 实数第6章一元一次不等式 6.1 不等关系和不等式 6.2 一元一次不等式 6.3 一元一次不等式组八（上）(59课时)第1章全等三角形（9课时） 1.1 全等三角形1课时1.2 怎样判定三角形全等4课时 1.3 尺规作图3课时回顾与总结1课时第2章图形的轴对称（12课时） 2.1 图形的轴对称1课时2.2 轴对称的基本性质2课时 2.3 轴对称图形1课时2.4 线段的垂直平分线2课时 2.5 角的平分线1课时 2.6 等腰三角形3课时回顾与总结2课时第3章分式（15课时）3.1 分式和它的基本性质2课时 3.2 分式的约分1课时3.3 分式的乘法和除法1课时 3.4 分式的通分1课时3.5 分式的加法与减法2课时 3.6 比和比例3课时 3.7 分式方程3课时回顾与总结2课时第4章数据分析（9课时） 4.1 加权平均数2课时 4.2 中位数1课时 4.3 众数1课时4.4 数据的离散程度1课时 4.5 方差2课时4.6 用计算器求平均数及方差1课时回顾与总结1课时综合与实践统计开放日模拟现场会（暂定）2课时第5章几何证明初步（12课时）5.1 定义与命题1课时 5.2 为什么要证明1课时 5.3 什么是几何证明1课时5.4 平行线的性质定理和判定定理1课时 5.5 三角形内角和定理2课时 5.6 几何证明举例4课时回顾与总结2课时八年级下册第7章二次根式7.1 二次根式及其性质 7.2 二次根式的加减法 7.3 二次根式的乘除法第8章平面图形的全等与相似 8.1 全等形与相似形 8.2 全等三角形8.3 怎样判定三角形全等 8.4 相似三角形8.5 怎样判定三角形相似 8.6 相似多边形课题学习有趣的分形图第9章解直角三角形 9.1 锐角三角比9.2 30，45，60角的三角比 9.3 用计算器求锐角三角比 9.4 解直角三角形9.5 解直角三角形的应用第10章数据离散程度的度量 10.1 数据的离散程度 10.2 极差10.3 方差与标准差10.4 用科学计算器计算方差和标准差第11章几何证明初步 11.1 定义与命题11.2 为什么要证明 11.3 什么是几何证明 11.4 三角形内角和定理 11.5 几何证明举例 11.6 反证法八（下）(61课时)第6章平行四边形（11课时） 10.1 平行四边形及其性质2课时 10.2 平行四边形的判定2课时 10.3 特殊的平行四边形4课时 10.4 三角形中位线定理1课时回顾与总结2课时第7章实数（15课时） 6.1 算术平方根1课时 6.2 勾股定理1课时 6.32是有理数吗2课时6.4 由边长判定直角三角形2课时 6.5 平方根1课时 6.6 立方根1课时6.7 用计算器求平方根与立方根2课时 6.8 实数3课时回顾与总结2课时第8章一元一次不等式（8课时） 7.1 不等式的基本性质2课时 7.2 一元一次不等式2课时7.3 列一元一次不等式解应用题1课时 7.4 一元一次不等式组2课时回顾与总结1课时第9章二次根式（7课时） 8.1 二次根式和它的性质3课时 8.2 二次根式的加减法1课时8.3 二次根式的乘法和除法2课时回顾与总结1课时第10章一次函数（9课时） 9.1 函数的图象2课时9.2 一次函数和它的图象2课时 9.3 一次函数的性质1课时9.4 一次函数与二元一次方程1课时 9.5 一次函数与一元一次不等式2课时回顾与总结1课时综合与实践从函数图象中获取信息2课时第11章图形的平移和旋转（9课时） 11.1 图形的平移3课时 11.2 图形的旋转3课时 11.3 图形的中心对称2课时回顾与总结1课时综合与实践哪条路径最短九年级上册第1章特殊四边形1.1 平行四边形及其性质 1.2 平行四边形的判定 1.3 特殊的平行四边形 1.4 图形的中心对称 1.5 梯形1.6 中位线定理第2章图形变换2.1 图形的平移 2.2 图形的旋转 2.3 图形的位似第3章一元二次方程 3.1 一元二次方程3.2 用配方法解一元二次方程 3.3 用公式法解一元二次方程 3.4 用因式分解法解一元二次方程3.5 一元二次方程的应用第4章对圆的进一步认识4.1 圆的对称性4.2 确定圆的条件 4.3 圆周角4.4 直线与圆的位置关系 4.5 三角形的内切圆 4.6 圆与圆的位置关系4.7 弧长及扇形面积的计算九（上）（62课时）第1章相似多边形（12课时） 1.1 相似多边形1课时1.2 相似三角形的判定5课时 1.3 相似三角形的性质1课时 1.4 图形的位似2课时回顾与总结2课时第2章解直角三角形（11课时） 2.1 锐角三角比1课时2.2 30°，45°，60°角的三角比1课时 2.3 用计算器求锐角三角比2课时 2.4 解直角三角形2课时2.5 解直角三角形的应用3课时回顾与总结2课时第3章对圆的进一步认识（18课时） 3.1 圆的对称性3课时 3.2 确定圆的条件2课时 3.3 圆周角3课时3.4 直线与圆的位置关系4课时 3.5 三角形的内切圆1课时3.6 弧长与扇形面积计算1课时 3.7 正多边形与圆2课时回顾与总结2课时综合与实践图形变化与图案设计2课时第4章一元二次方程（13课时） 4.1 一元二次方程2课时4.2 用因式分解法解一元二次方程1课时 4.3 用配方法解一元二次方程2课时 4.4 用公式法解一元二次方程3课时*4.5 一元二次方程根与系数的关系1课时4.6一元二次方程的应用2课时回顾与总结2课时第5章走进概率（7课时） 5.1 随机事件1课时 5.2 概率的意义1课时 5.3 概率的简单计算2课时 5.4 用列举法计算概率2课时回顾与总结1课时感谢您的阅读，祝您生活愉快。
分式的加法和减法
分式的加法与减法【要点梳理】要点一：同分母分式的加减★同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；上述法则可用式子表为：. 要点诠释： （1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误.（2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. 【例1】计算：（1）； （2）； （3）； （4）【变式1.1】化简：2221122a a a a a a --+--【变式1.2】化简m 2m−3−9m−3的结果是（ ）A ．m +3B ．m ﹣3C ．m−3m+3D ．m+3m−3【变式1.3】化简x 2x−1+x 1−x的结果是（ ）A ．x +1B ．x ﹣1C ．﹣xD ．x要点二：异分母分式的加减★异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.上述法则可用式子表为：. 要点诠释：（1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法.（2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化a b a b c c c±±=22222333a b a b a b a b a b a b +--+-222422x x x x x +-+--2111x x x -+--222222222a ab b a b b a a b ++---a c ad bc ad bc b d bd bd bd±±=±=成最简分式. 【例2】计算：（1）；（2）；（3）． 【变式2.1】计算： （1）；（2）. 【变式2.2】化简4x x 2−4−xx−2的结果是（ ）A ．﹣x 2+2xB ．﹣x 2+6xC ．−xx+2D ．xx−2【变式2.3】计算：aa+2−4a 2+2a= ．要点三：分式的混合运算★分式的混和运算顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的. 要点诠释：（1）进行分式的混合运算，可以根据需要合理地运动运算律来简化运算，此时先将分式的乘除法统一成乘法，分式的加减法统一成加法，才能使用乘法运算律、加法运算律简化运算. （2）分式的混合运算的结果要化成最简分式或整式.典型例题题型一：分式的加减法 【练习1.1】化简x 2x−1+11−x的结果是（ ）A ．x +1B ．1x+1C ．x ﹣1D ．xx−1【练习1.2】如图，若x 为正整数，则表示(x+2)2x 2+4x+4−1x+1的值的点落在（ ）A ．段①B ．段②C ．段③D ．段④【练习1.3】化简a 2a−1−1−2a 1−a的结果为（ ）A ．a+1a−1B ．a ﹣1C ．aD ．1【练习1.4】计算a 2a−1−a ﹣1的正确结果是（ ） A ．−1a−1B ．1a−1C ．−2a−1a−1D ．2a−1a−1【练习1.5】下列运算正确的是（ ）21132a ab +2312224x x x x +-+--211a a a ---212293m m ---112323x y x y++-A ．（2a 2）3＝6a 6B ．﹣a 2b 2•3ab 3＝﹣3a 2b 5C ．b a−b+a b−a=−1D ．a 2−1a•1a+1=−1【练习1.6】已知：1a−1b =13，则ab b−a的值是（ ）A ．13B ．−13C ．3D ．﹣3【练习1.7】化简1x+1−x +1，得（ ）A ．−x 2x+1B ．−x 2+2x x+1C ．2﹣x 2D ．2−x 2x+1【练习1.8】化简：xx−y−y x+y，结果正确的是（ ）A ．1B ．x 2+y 2x 2−y 2C ．x−y x+yD ．x 2+y 2【练习1.9】化简：a 2+1a+1−2a+1=（ ）A ．a ﹣1B ．a +1C ．a−1a+1D ．1a+1【练习1.10】计算2aa+1+2a+1的结果是（ ）A ．2B ．2a +2C ．1D ．4aa+1【练习1.11】计算x 2+2x+1x 2−1−x x−1的结果为（ ）A ．1B ．−1x−1C ．x x−1D ．1x−1【练习1.12】计算a 2a−1−a +1的正确结果是（ ） A ．2a−1a−1B ．−2a−1a−1C ．1a−1D ．−1a−1【练习1.13】已知1m−1n=1，则代数式2m−mn−2n m+2mn−n的值为（ ）A ．3B ．1C ．﹣1D ．﹣3【练习1.14】已知m 2﹣n 2＝mn ，则n m−m n的值等于（ ）A ．1B ．0C ．﹣1D ．−14【练习1.15】如果记y =x 21+x 2=f （x ），并且f （1）表示当x ＝1时y 的值，即f （1）=121+12=12；f （12）表示当x =12时y 的值，即f （12）=(12)21+(12)2=15，那么f （1）+f （2）+f （12）+f （3）+f （13）+…+f （n ）+f （1n）＝ ．（结果用含n 的代数式表示，n 为正整数）．【练习1.16】已知a −1a =3，那么a 2+1a 2= ． 【练习1.17】已知1a +1b=3，求5a+7ab+5b a−6ab+b= ．【练习1.18】若m +n ＝1，mn ＝2，则1m+1n的值为 ．【练习1.19】计算：x 2x+1−1x+1= ．【练习1.20】已知1x −1y=3，则代数式2x−14xy−2y x−2xy−y的值为 ．【练习1.21】化简：x 2+4x+4x 2−4−x x−2= ．【练习1.22】计算m m 2−1−11−m 2的结果是 ． 【练习1.23】计算：6a 2−9−1a−3= ．【练习1.24】已知实数a 、b 、c 满足a +b ＝ab ＝c ，有下列结论： ①若c ≠0，则1a +1b=1；②若a ＝3，则b +c ＝9；③若a 、b 、c 中只有两个数相等，则a +b +c ＝8．其中正确的是 ． （把所有正确结论的序号都填上） 【练习1.25】化简：x+1x−1x = ． 【练习1.26】计算2m−2+m2−m 的结果是 ． 【练习1.27】计算：2a a−2+42−a = ． 【练习1.28】计算：x x−1+11−x= ．【练习1.29】已知1a−1b =3，则分式2a+3ab−2b a−ab−b = ．【练习1.30】已知2x+1(x−1)(x+2)=A x−1+B x+2，求A 、B 的值．【练习1.31】计算： （1）x+2x+1−x−1x+1；（2）2a+1a 2−1•a 2−2a+1a 2−a−1a+1．【练习1.32】分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式4x+2，3x 2x 3−4x是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式x+1x−1，x 2x+1是假分式，一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和． 例如：x+1x−1=(x−1)+2x−1=1+2x−1（1）将假分式4x−32x+1化为一个整数与一个真分式的和；（2）利用上述方法解决问题：若x 是整数，且分式x 2x−3的值为正整数，求x 的值．【练习1.33】已知分式A ＝（a +1−3a−1）÷a 2−4a+4a−1． （1）化简这个分式；（2）当a ＞2时，把分式A 化简结果的分子与分母同时加上3后得到分式B ，问：分式B 的值较原来分式A 的值是变大了还是变小了？试说明理由．（3）若A 的值是整数，且a 也为整数，求出符合条件的所有a 值的和． 【练习1.34】计算：（1）（m ﹣2）（m +1）﹣（m +2）2． （2）4a 2−4a+1a 2−1+(2+1a−1)．【练习1.35】计算： （1）x 2x−2−4x−4x−2；（2）x 2x+1−x +1．【练习1.36】化简下列各式： （1）（2a ﹣1）2﹣4（a +1）（a ﹣1） （2）(x +1−4x−5x−1)÷(1x −1x 2−x ) 【练习1.37】阅读下列资料，解决问题：定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：4x+1，x+1x 2，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：x+2x−1，x 2−12x+1这样的分式就是假分式，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：x+2x−1=(x−1)+3x−1=1+3x−1．（1）分式x 22x是 （填“真分式”或“假分式”）；（2）将假分式3x+1x−1、x 2+3x+2分别化为带分式；（3）如果分式2x 2+3x−6x+3的值为整数，求所有符合条件的整数x 的值．【练习1.38】计算： （1）8x 2y 3÷（−4x 3y3） （2）2m 2−1−1m−1题型二：分式的混合运算【练习2.1】下列等式成立的是（ ） A ．1a +2b=3a+b B ．22a+b =1a+bC ．abab−b 2=aa−bD ．a−a+b=−a a+b【练习2.2】化简（1a+1b）÷(1a 2−1b 2)•ab ，其结果是（ ） A ．a 2b 2a−bB ．a 2b 2b−aC ．1a−bD ．1b−a【练习2.3】下列代数式变形正确的是（ ） A ．x−y x 2−y 2=1x−y B ．−x+y2=−x+y2C ．1xy÷（1x+1y）=1y +1x D ．x−y x+y=x 2−y 2(x+y)2【练习2.4】若分式x 2x−1□xx−1运算结果为x ，则在“□”中添加的运算符号为（ ）A ．+B ．﹣C ．+或×D ．﹣或÷【练习2.5】老师在黑板上写了一个代数式的正确计算结果，随后用手遮住了原代数式的一部分，如图：则被遮住的部分是（ ） A ．x−12x+1B ．2x−1x−1 C ．x−12x−1D ．2x+1x−1【练习2.6】化简(a −1b )÷(b −1a )的结果是（ ） A ．1B ．baC ．abD ．−a b【练习2.7】小明的练习本上有如下四道题目，其中只有一道题他做对了，这道题目是（ ）A ．(2y 3x )2=4y 23x 2B ．1x−y −1y−x=2x−yC ．(−x 2y )3=−x 6x3D ．13x+13y=x+y 3y【练习2.8】下列计算正确的是（ ） A ．3b x+b x=2b xB ．aa−b−a b−a=0C ．bc a 2⋅2ab 2c=2abD ．(a 2−a)÷aa−1=a 2【练习2.9】如图，图①，图②中阴影部分的面积为S 1，S 2，a ＞b ＞0，设k =S 1S 2，则有（ ）A ．0＜k ＜12B ．12＜k ＜1C ．1＜k ＜2D ．k ＞2【练习2.10】如图，“优选1号”水稻的实验田是边长为am （a ＞1）的正方形去掉一个边长为1m 的正方形水池后余下的部分；“优选2号”水稻的实验田是边长为（a ﹣1）m 的正方形，若两块试验田的水稻都收了600kg ．则对于这两种水稻的单位面积产量说法正确的是（ ）A ．优选1号单位面积产量高B ．优选2号单位面积产量高C ．两种水稻单位面积产量相等D ．优选1号单位面积产量不大于优选2号单位面积产量 【练习2.11】下列计算正确的是（ ） A ．b •（a 4b ）3＝a 7b 4B ．x ﹣2y ﹣（2x +y ）＝﹣x ﹣yC ．（a ﹣5）2＝a 2﹣25D ．(1−2x+1)÷1x 2−1=(x −1)2 【练习2.12】下列计算正确的是（ ） A ．1+1a =2a B ．1a−b−1b−a=0C ．a ÷b •1b =aD ．−a−b a+b=−1【练习2.13】下列运算结果为a ﹣1的是（ ） A ．a 2−1a ⋅a a+1B ．1−1a C ．a+1a÷a a−1D ．a 2+2a+1a+1【练习2.14】计算(1+1x−1)÷(1+1x 2−1)的结果为（ ） A ．1B ．x +1C ．x+1xD ．1x−1【练习2.15】下列计算正确的是（ ）A ．（y2x）2=y 22x 2B ．b a−b+a b−a=−1C ．（−14）﹣2+（﹣1000）0＝1016D ．（y6x2）2÷（−y 24x ）2=4x 29y 2【练习2.16】已知x −1x=3，则4﹣x 2+3x 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【练习2.17】下列计算正确的是（ ） A ．m 2−2m 4−m 2=m 2+mB ．（−yx2）﹣3=−x 6y 3C ．a 2a−1+11−a =a ﹣1D ．3x 2y +x 32y =32x 5【练习2.18】x +1x=3，则x 2+1x 2= ． 【练习2.19】计算：（1−1x−1）÷x−2x 2−1= ． 【练习2.20】化简：2x−6x−2÷（5x−2−x −2）＝ ．【练习2.21】计算（1−1x+1）（x +1）的结果是 ．【练习2.22】（a +9−4a a−2）÷a 2−9a−2= ．【练习2.23】化简（1x−1y）⋅xyx 2−y 2的结果是．【练习2.24】化简：（3x−1+1x+1）•（x 2﹣1）＝ ． 【练习2.25】化简xx 2+2x+1÷（1−1x+1）的结果为 ．【练习2.26】已知：a 2﹣3a +1＝0，则a +1a−2的值为 ． 【练习2.27】计算：（1−1a ）•a a 2−1=【练习2.28】化简x 2+xx 2−2x+1÷（2x−1−1x）的结果是 ．【练习2.29】计算：x x+3−69−x 2÷2x−3= ．【练习2.30】计算：(3a−1−a −1)÷a 2−4a+4a−1= ．【练习 2.31】已知m ＞n ＞0，分式n m的分子分母都加上1得到分式n+1m+1，则分式n+1m+1n m．（填“＜、＞或＝”）【练习2.32】已知2+23=22×23，3+38=32×38，4+415=42×415，…10+a b =102×ab（a ，b 为正整数），则b ﹣a ＝ ．【练习2.33】已知x +x ﹣1＝3，则x 2+x ﹣2＝ ；x 4+x ﹣4＝【练习2.34】计算： ①(−3n2m )2= ； ②b a−b−a a−b= ．【练习2.35】已知x ，y ，z ，a ，b 均为非零实数，且满足xy x+y=1a 3−b3，yz y+z=1a3，xz x+z=1a 3+b3，xyz xy+yz+zx=281，则a 的值为 ．【练习2.36】计算：（x+8x 2−4−2x−2）÷x−4x 2−4x+4．【练习2.37】对x ，y 定义一种新运算T ，规定：T （x ，y ）=ax+by2x+y （其中a 、b 均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T （0，1）=a×0+b×12×0+1=b ．（1）已知T （1，﹣1）＝﹣2，T （4，2）＝1． ①求a ，b 的值；②若关于m 的不等式组{T(2m ，5−4m)≤4T(m ，3−2m)＞p 恰好有3个整数解，求实数p 的取值范围；（2）若T （x ，y ）＝T （y ，x ）对任意实数x ，y 都成立（这里T （x ，y ）和T （y ，x ）均有意义），则a ，b 应满足怎样的关系式？ 【练习2.38】计算：（a +2−5a−2）•2a−43−a． 【练习2.39】化简：(2x−1x+1−x +1)÷x−2x 2+2x+1．【练习2.40】化简：（x 2x−1−x +1）÷4x 2−4x+11−x． 【练习2.41】化简（3a+2+a ﹣2）÷a 2−2a+1a+2．【练习2.42】计算：（x+2x 2−2x−x−1x 2−4x+4）÷x−4x ．【练习2.43】化简：1a−1−1a 2+a ÷a 2−1a 2+2a+1【练习2.44】计算：ba 2−b 2÷（aa−b−1）．题型三：分式的化简求值【练习3.1】已知：a ，b ，c 三个数满足ab a+b=13，bc b+c=14，ca c+a=15，则abcab+bc+ca的值为（ ） A ．16B ．112C ．215D ．120【练习3.2】如果a 、b 、c 是非零实数，且a +b +c ＝0，那么a |a|+b |b|+c |c|+abc|abc|的所有可能的值为（ ） A ．0B ．1或﹣1C ．2或﹣2D ．0或﹣2【练习3.3】如果a +b ＝2，那么代数（a −b2a ）•a a−b的值是（ ）A ．2B ．﹣2C ．12D ．−12【练习3.4】如果a ﹣3b ＝0，那么代数式（a −2ab−b 2a ）÷a 2−b2a的值是（ ）A ．12B ．−12C ．14D ．1【练习3.5】若a +2b ＝0，则分式（2a+ba 2−ab+1a）÷a a 2−b2的值为（） A ．32B ．92C ．−3b 2D ．﹣3b【练习3.6】已知1a−1b=12，则aba−b的值是（ ）A ．12B ．−12C ．2D ．﹣2 【练习3.7】若非零实数m ，n 满足m （m ﹣4n ）＝0，则分式m 2+1m 2−2mn−12mn的值为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．13【练习3.8】若a +b ＝5，则代数式（b 2a−a ）÷（a−b a）的值为（ ）A ．5B ．﹣5C ．−15D ．15【练习3.9】如果m 2+2m ﹣2＝0，那么代数式（m +4m+4m ）•m2m+2的值是（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．2D ．3【练习3.10】已知x −1x =2，则x 2+1x 2的值为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8【练习3.11】如果a 2+3a ﹣2＝0，那么代数式（3a 2−9+1a+3）⋅a−3a 2的值为（ ） A ．1B ．12C ．13D ．14【练习3.12】已知1a −1b=4，则a−2ab−b2a−2b+7ab= ．【练习3.13】已知aba−b=13，则代数式2a+3ab−2b a−2ab−b的值是 ．【练习3.14】若a ＝2b ≠0，则a 2−b 2a 2−ab的值为 ．【练习3.15】已知1a +12b=3，则代数式2a−5ab+4b 4ab−3a−6b的值为 ．【练习3.16】若a +b ﹣3ab ＝0，则1a+1b = ．【练习3.17】已知x 为整数，且2x+3+23−x+2x+18x 2−9为整数，则所有符合条件的x 值的和为 ．【练习3.18】若a +b ＝5，ab ＝3，则a b+ba的值是 ．【练习3.19】已知x 2﹣5x +1＝0，那么x 2+1x 2= ． 【练习3.20】如果x +y ＝5，那么代数式(1+yx−y )÷xx 2−y 2的值是 ．【练习3.21】已知x 2−1x=3，那么x 2+1x 2−2的值为 ． 【练习3.22】已知x 2+y 2＝3，xy =12，则（1x −1y）÷x 2−y 2xy 的值为 ．【练习3.23】如果x 2+x ﹣5＝0，那么代数式（1+2x ）÷x+2x 3+x 2的值是 ． 【练习3.24】已知x 2﹣4x +1＝0，则x 2+1x 2= ． 【练习3.25】化简分式3a−3b (a−b)2的结果是 ．【练习3.26】已知1a +1b=1a+b，则ba+ab的值等于 ．【练习3.27】如果a 2﹣a ﹣1＝0，那么代数式（1−2a−1a 2）÷a−1a 3的值是 ． 【练习3.28】如果2a 2+4a ﹣1＝0，那么代数式(a −4a )÷2−aa 2的值是 ． 【练习3.29】先化简，再求值：（x 2−2x+4x−1+2﹣x ）÷x 2+4x+41−x，其中x 满足x 2﹣4x +3＝0．【练习3.30】先化简：(3a+1−a +1)÷a 2−4a+4a+1，并从0，﹣1，2中选一个合适的数作为a 的值代入求值．【练习3.31】先化简，再求值：（x ﹣2+8x x−2）÷x+22x−4，其中x =−12． 【练习3.32】先化简：（3a+1−a +1）÷a 2−4a+4a+1，并从0，﹣1，2中选一个合适的数作为a 的值代入求值．。
青岛版八年级数学上册分式的加法与减法(第3课时)课件
4 (x 2)( x 2)
x 2x 2
x
4 x
3.计算 a b m n 1
mn
解：原式 a b 1
ab
这种算法正确吗？ 这么算简单！
a b m n 1
mn
a b 1 1
mn mn
ab
m n2
注意：同级运算， 从左到右进行！
1.分式混和运算的运算顺序
• 先算乘方再算乘除最后算加减； • 有括号的先算括号里面的； • 同级运算，从左到右依次计算。
解
1x
y2
x yx y
x4 y x4 y4
x2 x2 y2
xy2 x yx y
x2 y x yx y
xy y x x yx y
xy xy
x4 y4 x2 y2 x y x y
结果化成 最简分式
例5 计算：
x y2 1
x yx y
x4 y x4 y4
x2 x2 y2
22 1 x3 x
x3 x2 3x
01 学习目标 02 问题探究 03 例题精讲 04 随堂练习 05 课堂小结
1.熟练掌握分式混合运算的方法 2.灵活运用该方法进行分式的混合运算
1.分式的运算包含哪些？
• 分式的乘除法 • 分式的加减法 • 分式的乘方
2.分数的混合运算包含哪些运算呢？ 分数混合运算的顺序又是怎样的?
分数的混合运算遵循有理数混合运算法则， 先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号时 先算括号里面的。
1 3
能约分的先约分
例 计算：( a2b )3（ c ）2 ( bc )4
c
ab a
解：原式 a2b 3 c2 bc4 c3 ab2 a4
分子、分 母分别乘 方
分式的加减法与乘除法
分式的加减法与乘除法分式（Fraction）是数学中的一个重要概念，用来表示有理数的形式。
分式由分子和分母组成，分子表示被分割的单位数量，而分母表示整体被分成的份数。
在数学中，我们经常会遇到需要对分式进行加减法和乘除法的运算。
本文将详细介绍分式的加减法和乘除法的运算规则，并提供一些例子来帮助读者更好地理解。
一、分式的加减法1. 加法两个分式的加法规则：分子相乘加分母相乘。
例如：$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}$这个规则同样适用于多个分式相加。
例如：$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} + \frac{e}{f} = \frac{adf + bcf + bde}{bdf}$2. 减法两个分式的减法规则：分子相乘减分母相乘。
例如：$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad-bc}{bd}$同样地，这个规则也适用于多个分式相减。
例如：$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} - \frac{e}{f} = \frac{adf - bcf -bde}{bdf}$二、分式的乘除法1. 乘法两个分式的乘法规则：分子相乘，分母相乘。
例如：$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$这个规则同样适用于多个分式相乘。
例如：$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} \times \frac{e}{f} =\frac{ace}{bdf}$2. 除法两个分式的除法规则：将第一个分式的分子乘以第二个分式的倒数。
例如：$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} \times\frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$同样地，这个规则也适用于多个分式相除。
例如：$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} \div\frac{\frac{e}{f}}{\frac{g}{h}} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} \div\frac{f}{e} \times \frac{h}{g} = \frac{adh}{bcfge}$三、实例演算让我们通过几个实际运算的例子来更好地理解分式的加减法和乘除法。
专题5.3分式的加减法运算(知识解读)
专题5.3 分式的加减法运算（知识解读）【学习目标】1. 类比分数的加减法运算法则，探究分式的加减法运算法则.2. 能进行简单的分式加、减运算.3. 掌握分式的加、减、乘、除混合运算.4. 掌握分式的化简求值.【知识点梳理】考点1：同分母分式的加减同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为：. 注意：（1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误.（2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式.考点2：异分母分式的加减异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为：. 注意：（1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法.（2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式.a b a b c c c ±±=a c ad bc ad bc b d bd bd bd ±±=±=【典例分析】【考点1 同分母分式的加减】【典例1】（2017•湖北）化简：﹣．【解答】解：﹣＝＝＝【变式11】（2015•义乌市）化简的结果是（）A．x+1B．C．x﹣1D．【答案】A【解答】解：原式＝﹣＝＝＝x+1．故选：A．【变式12】（2020•淄博）化简+的结果是（）A．a+b B．a﹣b C．D．【答案】B【解答】解：原式＝＝＝＝a﹣b．故选：B．【变式13】（攀枝花）化简+的结果是（）A．m+n B．n﹣m C．m﹣n D．﹣m﹣n 【答案】A【解答】解：+＝﹣＝＝m+n．故选：A．【考点2 异分母分式的加减】【典例2】（2016•南京）计算﹣．【解答】解：﹣＝﹣＝＝．【变式21】（2015•百色）化简﹣的结果为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：原式＝﹣＝＝＝＝．故选：C．【变式22】（2019•济南）化简+的结果是（）A．x﹣2B．C．D．【答案】B【解答】解：原式＝+＝＝，故选：B．【变式23】（2016•甘孜州）化简：+．【解答】解法一：+＝+＝＝．解法二：+＝+＝+＝．【典例3】（2015春•扬州校级月考）计算（1）﹣（2）﹣（3）﹣x﹣1．【解答】解：（1）﹣＝＝＝﹣；（2）﹣＝﹣＝＝＝；（3）﹣x﹣1＝﹣＝＝．【变式31】（2019秋•石景山区期末）计算：﹣．【解答】解：原式＝+＝＝【变式32】（秋•南充期末）计算：﹣．【解答】解：原式＝﹣，＝，＝，＝，＝．【变式33】（2020•鼓楼区一模）计算．【解答】解：原式＝＝＝＝【考点分式化简】【典例4】（2016•聊城）计算：（﹣）．【解答】解：原式＝•＝•＝﹣．【变式41】（2021•碑林区校级一模）化简：（﹣）÷．【解答】解：原式＝[﹣]÷＝÷＝•＝．【变式42】（2020秋•潍城区期中）计算：（1）；（2）；（3）．【解答】解：（1）原式＝•＝＝；（2）原式＝﹣＝＝；（3）原式＝•+＝+＝＝．【变式43】（2021•金州区校级模拟）计算：÷﹣1．【解答】解：原式＝•﹣1＝﹣＝．【变式44】（2020秋•华龙区校级期中）计算（1）；你（2）．【解答】解：（1）原式＝﹣•＝﹣＝＝；（2）原式＝÷＝•＝．【典例5】（2021秋•北碚区校级期中）先化简再求值：÷（x﹣1+），其中x＝2．【解答】解：原式＝÷＝÷＝•＝，当x＝2时，原式＝1【变式5】（2021秋•雨花区校级月考）先化简，再求值：，其中a＝2022．【答案】﹣．【解答】解：原式＝（）÷＝（）×＝＝﹣．当a＝2022时，原式＝﹣＝﹣．【典例6】（2021•射阳县二模）先化简，再求值：（）÷，其中x从1，2，3中取一个你认为合适的数代入求值．【答案】1【解答】解：原式＝[]＝＝＝，∵x（x+1）（x﹣1）≠0，∴x≠0且x≠±1，∴x可以取2或3，当x＝2时，原式＝，当x＝3时，原式＝＝1．【变式6】（2022•牟平区校级开学）化简求值：，再从﹣1≤x ＜2中选一个整数值，对式子进行代入求值．【解答】解：原式＝÷＝•＝﹣，∵﹣1≤x＜2且x为整数，∴x＝﹣1，0，1，2，当x＝1时，原式没有意义，舍去；当x＝﹣1时，原式＝；当x＝0时，原式＝1；当x＝2时，原式＝﹣．【典例7】（2021•潍城区二模）先化简，再求值：（﹣）÷（x+2﹣），其中x是不等式组的整数解．【解答】解：原式＝[+]÷[﹣]＝（+）÷（﹣）＝÷＝•＝，由，解得：﹣1＜x≤2，∵x是整数，∴x＝0，1，2，由分式有意义的条件可知：x不能取0，1，故x＝2，∴原式＝＝2．【变式7】（2021•苍溪县模拟）先化简：，再从不等式组的解集中取一个合适的整数值代入求值．【解答】解：原式＝＝＝2（x+1）﹣（x﹣1）＝2x+2﹣x+1＝x+3．解不等式组，得﹣3＜x≤1．由分式有意义的条件可知：x不能取﹣1，0，1，且x是整数，∴x＝﹣2．当x＝﹣2时，原式＝1．【典例8】（2021秋•兴宁区校级月考）先化简，再求值：，其中a满足a2+2a﹣3＝0．【解答】解：原式＝•＝•＝•＝2a（a+2）＝2（a2+2a），∵a满足a2+2a﹣3＝0，∴a2+2a＝3，当a2+2a＝3时，原式＝2×3＝6．【变式8】（2021秋•沭阳县校级月考）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x2﹣x﹣6＝0．【解答】解：原式＝[﹣]÷＝•＝•＝•＝，∵x2﹣x﹣6＝0，∴x＝3或x＝﹣2，由分式有意义的条件可知：x不能取﹣2，故x＝3，∴原式＝＝﹣．。
3.5分式的加法与减法-青岛版八年级数学上册练习
3.5 分式的加法与减法基础过关1．三个分式的分母是3ax 2y ，4a 3xy ，2xy ，则它们的最简公分母是______．2．分式221239x x x --与的最简公分母是______． 3．计算：1+11a -=_______． 4．化简11123x x x ++等于（ ） A ．12x B ．32x C ．116x D ．56x5．计算37444x x y y x y y x x y++----得（ ） A ． 264x y x y +-- B ．264x y x y +- C ．2- D ．2 6.分式xy 2，y x +3，y x -4的最简公分母是________． 7.计算：222321xyz z xy yz x +-＝_____________． 8.计算：)11(1xx x x -+-＝_____________． 能力提升 9.=---+-+ba 2a ab b b a 2b a ; 10.+-=+-+-1ba b ab a ; 11.若ab=2,a+b=-1,则b a 11+ 的值为 ; 12.计算=-+abb a 6543322 ;13.进水管单独进水a 小时注满一池水，放水管单独放水b 小时可把一池水放完(b ＞a)，现在两个水管同时进水和放水，注满一池水需要的时间为多少小时．( )A ．b a 11-B ．a b ab -C ．ab 1 D ．a b -1 14.把分式y x x -，y x y+，222y x -的分母化为x 2-y 2后，各分式的分子之和是( )A ．x 2＋y 2＋2B ．x 2＋y 2-x ＋y ＋2C ．x 2＋2xy -y 2＋2D ．x 2-2xy ＋y 2＋2 应用拓展15．计算2312224x x x x -++--，结果正确的是（ ） A ．2424 (2)222B C D x x x x --++ 16．化简（x -1y ）÷（y -1x），结果正确的是（ ） A ．1 B ．x y C ． y x D ．-1 17．当分式2121111x x x ---+-的值等于零时，则x =_________． 18．如果0a b >>，则1b b a b a+--的值的符号是__________． 19．已知3a b +=，1ab =，则ab b a +的值等于________．20.若ab=2,a+b=-1,则ba 11+ 的值为 ; 21.计算=-+ab b a6543322 ;创新突破22.简分式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-y x xy y x y x xy y x 44的结果是 ; 23.先化简，再求值．(1) (y x -x y )÷(y x ＋x y -2)÷(1＋x y )，其中x ＝21，y ＝31．(2)26333a a a a a a +-+--，其中32a =．24. 计算 (1)2221244x x x x x x +----+ (2)211x x x ---（3）329122---m m （4）969392222++-+++x x x x x x x25.已知两个分式：A=244x -，B=12x ++12x-，其中x≠±2，下面有三个结论：①A=B ；②A·B=；③A+B=0．请问哪个正确？为什么？答案1．12a 3x 2y 2．x （x+3）（x -3） 3．1a a - 4．C 5．D6. xy(x ＋y)(x -y)7.22232z y x xy xz yz +-8. 112--x x 9.–1 10.b a ab + 11.-21 12.b a a a b 22121098-+ 13.B 14.C 15．D 16．B 17．23 18．正号 19．7 20.-21 21.ba a ab 22121098-+ 22. x 2-y 2 23.(1).3 (2)．13324．(1).24(2)x x x -- (2)．11x - (3).)3(2+-m (4).2 25.③正确．理由：因为2112(2)422(2)(2)4x x B x x x x x --+=-==-+-+--．。
第五章第03讲 分式的加减法(10类热点题型讲练)(解析版)--初中数学北师大版8年级下册
第03讲分式的加减法(10类热点题型讲练)1.熟练掌握同分母的分式加减运算；2.会找最简公分母，能进行分式通分，理解并掌握异分母分式的加减法则；3.能进行分式的混合运算及较复杂的分式化简求值.知识点01分式的通分分式的通分：利用分式的性质，将分式的分母变成最小公倍数，分子根据分母扩大的倍数相应扩大，不改变分式的值。
具体步骤：①通过短除法，求出分式分母的最小公倍数；②分母变为最小公倍数的值，确定原式分母扩大的倍数;③分子对应扩大相同倍数.知识点02最简公分母最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．知识点03同分母分式的加减同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为：a c a cb b b±±=．知识点04异分母分式的加减异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．用式子表示为：a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=．注意：分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似.知识点01平面向量基本定理知识点02平面向量的坐标表示知识点03平面向量的坐标运算题型01同分母分式加减法题型02最简公分母题型03通分题型04异分母分式加减法题型05整式与分式相加减题型06已知分式恒等式，确定分子或分母【点睛】本题考查分式的加减，解题关键是掌握分式加法的运算法则．【变式训练】题型07分式加减混合运算题型08分式加减的实际应用【点睛】本题主要考查了分式加减的应用，解题的关键是根据题意列出分式，熟练掌握分式加减运算法则，准确计算．【变式训练】题型09分式加减乘除混合运算题型10分式化简求值一、单选题1．（23-24八年级上·天津红桥·期末）计算2111x x x x --++的结果是（）A ．1B ．1x +C ．11x +D ．1x x +2．（22-23八年级上·贵州黔南·期末）分式22x x -，36x -的最简公分母是（）A ．2x -B ．()2x x -C ．()()323x x --D ．()32x x -【答案】D【分析】本题考查了最简公分母，先因式分解取系数的最小公倍数，字母的最高次幂，1，3的最小公倍数为3，x 的最高次幂为1，2x -的最高次幂为1，则得出最简公分母．A ．2222233y y x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．110x y y x-=--C ．3263x x y y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭D ．()111333x y x y +=+将这些防护服尽快投入使用，增加了人手，最后平均每天比原计划多生产了60套，则工厂完成这个订单的时间比原计划提前（）A ．60x x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭天B ．60x x y y ⎛⎫- ⎪+⎝⎭天C ．60x x y y ⎛⎫-⎪-⎝⎭天D ．60x x y y ⎛⎫-⎪-⎝⎭天5．（23-24九年级下·湖北武汉·开学考试）已知2220x x --=，计算2121-⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭x x x x x x 的值是（）A ．1B ．1-C ．0.5D ．0.5-二、填空题6．（2023八年级下·江苏·专题练习）计算：221b a b a b+=-+．7．（23-24八年级上·山东东营·阶段练习）将分式29-a 和93a-进行通分时，最简公分母是【答案】()()333a a -+-【分析】本题考查了分式的通分；先对分式的分母进行因式分解，然后即可确定它们的最简公分母．【详解】解：∵()()2933a a a -=+-，()9333a a -=--，∴最简公分母是()()333a a -+-，故答案为：()()333a a -+-．8．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）若2574515x A Bx x x x -=+--+-，A ，B 为常数，则2A B -的值为．9．（2024八年级下·全国·专题练习）小刚在化简22a b M--时，整式M 看不清楚了，通过查看答案，发现得到的化简结果是1a b-，则整式M 是．和，多次重复进行这种运算的过程如下：则第2024次运算的结果2024y =．（用含字母x 的式子表示）三、解答题11．（22-23八年级上·山东济宁·阶段练习）通分：(1)235a b c 与2710c a b；(2)22x x +与21x x-．(1)2111x x x -++；(2)24411a a a a a a -+⎛⎫-÷⎪--⎝⎭．(1)2m n m n n m m n n m -++---(2)22211111 m m mmm m-+-⎛⎫÷--⎪-+⎝⎭14．（23-24八年级上·全国·课时练习）计算：(1)22211x x x -++；(2)3a b a b a b b a -+---；(3)2243164x x+--；(4)222a a a ---．(1)211y y y ---；(2)2221111x x x +--+-；(3)21613962x x x x------；(4)2()a b a b a b+--+．16．（2024九年级下·山东·专题练习）下面是某同学计算11a a ---的解题过程：解：211a a a ---()-=---22111aa a a ……………………①()2211a a a --=-………………………②2211a a a a -+-=-………………………③111a a -==-．……………………………④上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出正确的解题过程．17．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）先化简，再求值：111x x x x x -+⎛⎫÷-+ ⎪++⎝⎭，请从1-，0或2中选择你喜欢的一个数代入求值．18．（22-23八年级下·辽宁本溪·阶段练习）先化简，再求值：111x x x ++⎛⎫-+÷ ⎪++⎝⎭，其中()1013.142x π-⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭形式，那么称这个分式为“美好分式”，如：112122111111x x x x x x x x +-+-==+=+-----，则11x x +-是“美好分式”．(1)下列分式中，属于“美好分式”的是______；（只填序号）①6325x x +；②232x x +；③33x x +；④24321x x +-．(2)将“美好分式”2221x x x -+-化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；(3)判断2251117x x x x x x x---÷+-的结果是否为“美好分式”，并说明理由．形式，那么称这个分式为“和谐分式”．如：514144111111x x x x x x x x ++++==+=++++++，则51x x ++是“和谐分式”．(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是（填序号）；①23x x+；②21x x +；③21x x +-．(2)将“和谐分式”2472y y y -+-化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；(3)应用：先化简22321112a a a a a a a-+--÷--，并回答：a 取什么整数时，该式的值为整数？3a ∴=，3a ∴=时，该式的值为整数．。
分式的加法与减法方法
分式的加法与减法方法分式是数学中常见的一种表示形式，它由分子和分母构成，分子表示被分割的部分，分母表示整体的数量或者部分的总量。
分式的加法和减法是我们在学习分式运算中需要掌握的基本操作，下面将详细介绍分式的加法与减法方法。
一、分式的加法分式的加法就是将两个分式相加，主要有以下几个步骤：1. 检查两个分式的分母是否相同，如果相同，可以直接进行合并；如果不同，需要先找到它们的最小公倍数作为通分的分母。
2. 对于相同分母的分式，只需要将它们的分子相加，分母保持不变。
3. 对于不同分母的分式，需要进行通分，将它们转化为相同分母的分式，再进行相加。
4. 最后，对相加后的分式进行约分，得到最简形式。
以下是一个例子来说明分式的加法方法：例：计算1/3 + 2/5首先，检查两个分式的分母，发现它们不相同。
然后，找到它们的最小公倍数，即15，作为通分的分母。
将1/3转化为15的分式：(1/3) × (5/5) = 5/15将2/5转化为15的分式：(2/5) × (3/3) = 6/15现在，两个分式的分母相同，可以进行合并：1/3 + 2/5 = 5/15 + 6/15 = 11/15最后，对分式11/15进行约分，得到最简形式：11/15所以，1/3 + 2/5 = 11/15二、分式的减法分式的减法与加法类似，也需要进行通分才能进行相减运算，具体步骤如下：1. 检查两个分式的分母是否相同，如果相同，可直接进行相减；如果不同，需要先找到它们的最小公倍数作为通分的分母。
2. 对于相同分母的分式，只需要将它们的分子相减，分母保持不变。
3. 对于不同分母的分式，需要进行通分，将它们转化为相同分母的分式，再进行相减。
4. 最后，对相减后的分式进行约分，得到最简形式。
以下是一个例子来说明分式的减法方法：例：计算3/4 - 1/6首先，发现两个分式的分母不相同。
然后，找到它们的最小公倍数，即12，作为通分的分母。
北师大版数学八下《分式的加减法第2课时》教学课件%28共15张PPT%29
三、 探究新知
异分母的分式相加减和分数一样，即：异分母的分式相加减，先 通分，变成同分母分式，再加减。
用公式表示为： a c ad bc ad bc 。 b d Βιβλιοθήκη d bd bd三、 探究新知
3 a
1 4a
3 4a a 4a
a 4a a
12a 4a 2
a 4a 2
13a 4a 2
13 ； 4a
坡路上的骑车速度为v㎞/h，在下坡路上的骑车速度为3v㎞/h.那么
（1）小刚从家到学校需要多长时间？
（2）小刚和小丽谁在路上花费的时间少？少用多长时间？
（2）小丽从家到学校需要 3 h. 2v
因为 5 3 ，所以小丽在路上花费时间少。
3v 2v
5
小丽比小刚在路上花费时间少
3
10 9
1
(h).
3v 2v 6v 6v
五、 课堂练习
1.化简
x y
y x
x
x
y
的结果是（ B）．
A．1y
B．
x y y
C．x
y
y
D. y
五、 课堂练习
2.计算：（1）
n1 m1
n1
；（2）
1 a2
a
a3． a2 1
解：（1）原式
n1
n 1m 1
n 1m；
m1
m1
m1
（2）原式
aa
a1
1a
公式为 a b a b ． cc c
三、 探究新知
想一想 （1）如何计算
1 1 ? 23
11 ? 23
1 1 3 2 5，1 1 3 2 1 . 2 3 6 6 62 3 6 6 6
分式的加法与减法
分式的加法与减法分式是数学中一种常见的表示有理数的形式，可以表示为一个分数，其中有一个数位于分子位置，另一个数位于分母位置，分子与分母之间用横线分开。
分式的加法与减法是在两个分式之间进行数值计算，可以通过找到它们的公共分母来实现。
一、分式的加法对于两个分式相加，首先需要确定它们的公共分母。
如果两个分式的分母相同，那么可以直接将它们的分子相加，分母保持不变。
例如，对于分式a/b和c/b，它们的公共分母是b，所以它们的和为(a+c)/b。
这个结果可以进一步化简，例如将(a+c)/b写成最简形式。
如果两个分式的分母不相同，那么需要找到它们的最小公倍数作为公共分母。
首先，分别将两个分式的分子乘以对方的分母，分别将两个分式的分母相乘，得到新的分式，然后将新的分式进行求和。
具体步骤如下：假设有两个分式a/b和c/d，它们的分母不相同。
Step 1: 找到两个分式分母的最小公倍数，记为e。
Step 2: 将a/b的分子和分母分别乘以d，得到ad/bd。
Step 3: 将c/d的分子和分母分别乘以b，得到cb/db。
Step 4: 将ad/bd与cb/db相加，得到(ad+cb)/(bd)。
Step 5: 化简结果(ad+cb)/(bd)到最简形式。
例如，假设要计算1/2 + 3/4的结果，首先找到最小公倍数为4，然后将1/2改写为2/4，3/4保持不变。
接着，计算(2+3)/4，得到5/4，最后化简结果为1 1/4。
二、分式的减法与分式的加法类似，对于两个分式的减法也需要确定它们的公共分母。
如果两个分式的分母相同，那么可以直接将它们的分子相减，分母保持不变。
例如，对于分式a/b和c/b，它们的公共分母是b，所以它们的差为(a-c)/b。
同样地，这个结果可以进一步化简。
如果两个分式的分母不相同，同样需要找到它们的最小公倍数作为公共分母，并按照类似的步骤进行计算。
具体步骤如下：假设有两个分式a/b和c/d，它们的分母不相同。
分式的运算与性质
分式的运算与性质一、引言分式是数学中常见的一种表达形式，它是数的比的记法。
分式的运算是数学中的基本操作之一，通过对分式进行加、减、乘、除等运算可以得到一个新的分式。
同时，分式还具有一些独特的性质和规律。
本文将深入探讨分式的运算与性质，通过几个实例来帮助读者掌握和理解分式的运算方法和特点。
二、加法和减法运算1. 加法运算：分式加法的基本原则是分母必须相同，即只有当两个分式的分母相同，我们才能进行相加。
具体步骤如下：a) 将两个分式的分母化为相同的形式；b) 将分子加起来，分母保持不变；c) 化简结果。
例如：求解分式1/2 + 2/3的结果。
解：a) 将两个分式的分母化为相同的形式，1/2 = 3/6，2/3 = 4/6；b) 将分子加起来，得到3/6 + 4/6 = 7/6；c) 结果7/6无法再化简，因此最终结果为7/6。
2. 减法运算：分式减法与加法类似，同样要求两个分式的分母相同。
具体步骤如下：a) 将两个分式的分母化为相同的形式；b) 将分子相减，分母保持不变；c) 化简结果。
例如：求解分式3/4 - 1/2的结果。
解：a) 将两个分式的分母化为相同的形式，3/4 = 6/8，1/2 = 4/8；b) 将分子相减，得到6/8 - 4/8 = 2/8；c) 结果2/8可以化简为1/4，因此最终结果为1/4。
三、乘法和除法运算1. 乘法运算：分式乘法可以简单地将两个分式的分子相乘，分母相乘，得到一个新的分式。
具体步骤如下：a) 将两个分式的分子相乘，分母相乘；b) 化简结果。
例如：求解分式2/3 × 4/5的结果。
解：a) 将两个分式的分子相乘，得到2 × 4 = 8；b) 将两个分式的分母相乘，得到3 × 5 = 15；c) 结果8/15无法再化简，因此最终结果为8/15。
2. 除法运算：分式除法可以将除数的分子与被除数的分母相乘，除数的分母与被除数的分子相乘，得到一个新的分式。
分式的加法与减法(2)
3
3x + 5 2 x − 3x
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达标检测
1、异分母分式加减法关键是确定 最简公分母 ___________后通分。 2、多项式分母能分解因式的应先 分解因式 ___________。 3、计算：
x− y x+ y + 2 （1） 2 7 xy 6x y
1 2 + 2 （2） 2 6x − 4 y 4 y − 9x
b d bc ad bc ± ad ± = ± = a c ac ac ac
合作探究
1、自学课本65页例2 要求：1、先确定最简公分母再通分 2、分子相加减后要化简分子 3、最后结果为最简分式或整式 对应练习：计算：
y x 1. − x y
y2 − x2 xy
a a 2. + m n
na + ma mn
学习目标： 学习目标： 1、了解并掌握异分母分式加减法法则 、 2、会利用异分母分式加减法法则熟练 、 的进行异分母分式加减法计算。 的进行异分母分式加减法计算。 重点：了解并掌握异分母加减法法则。 重点：了解并掌握异分母加减法法则。 难点：确定最简公分母。 难点：确定最简公分母。
情景导航
小亮和小营练习用电脑打字，小亮每分 钟打a个字，小营每分钟比小亮多打20 个字，当他们都打完3000字时，小亮比
3000 3000 − a a + 20 _________
小营多用了
（
）分钟？
问题：怎样把此题的最后结果写成一个 分式的形式呢？
b c 1、通分：(1) 3a 2c 2 , − 2ab
知识回顾
6a bc
2
2
(2) 2、计算:
2 3x X(x+1)(x-1) 与 3 1+ x x −x
《分式的加法和减法》教案
《分式的加法和减法》教案第一章：分式加减法的基本概念1.1 分式的定义与性质1. 分式的定义：分式是由分子和分母组成的表达式，分子和分母都是代数式或数字。
2. 分式的性质：分式具有与整数类似的加减乘除运算性质，也具有约分、通分等特殊性质。
1.2 分式的加法与减法1. 分式加法的定义：两个分式相加，就是将它们的分子相加，分母保持不变。
2. 分式减法的定义：两个分式相减，就是将它们的分子相减，分母保持不变。
第二章：分式加减法的运算规则2.1 同分母分式的加减法1. 同分母分式相加：直接将分子相加，分母保持不变。
2. 同分母分式相减：直接将分子相减，分母保持不变。
2.2 异分母分式的加减法1. 通分：将异分母分式通分，使其分母相同。
2. 分子相加（减）：将通分后的分子相加（减）。
3. 约分：将运算结果的分子和分母约分至最简形式。
第三章：分式加减法的例题解析3.1 同分母分式的加减法例题例题1：\(\frac{3x}{4} + \frac{5x}{4}\)例题2：\(\frac{2y}{3} \frac{4y}{3}\)3.2 异分母分式的加减法例题例题1：\(\frac{3x}{4} + \frac{5y}{6}\)例题2：\(\frac{2x}{3} \frac{4y}{5}\)第四章：分式加减法的练习与巩固4.1 同分母分式的加减法练习练习1：\(\frac{3x}{4} + \frac{5x}{4}\)练习2：\(\frac{2y}{3} \frac{4y}{3}\)4.2 异分母分式的加减法练习练习1：\(\frac{3x}{4} + \frac{5y}{6}\)练习2：\(\frac{2x}{3} \frac{4y}{5}\)第五章：分式加减法在实际问题中的应用5.1 分式加减法在几何问题中的应用例题1：一个矩形的面积为\(A = \frac{3x}{4} + \frac{5y}{6}\)，求矩形的面积。
青岛版八年级上册数学教学设计《3-5分式的加法与减法(第2课时)》
青岛版八年级上册数学教学设计《3-5分式的加法与减法（第2课时）》一. 教材分析本节课的内容是青岛版八年级上册的数学教学设计，主要涉及3-5分式的加法与减法。
这部分内容是学生在掌握了实数、分数、代数等基础知识后的进一步学习，是中学数学中重要的内容之一。
通过学习本节课的内容，学生能够掌握分式加减法的运算方法，进一步培养学生的运算能力和逻辑思维能力。
二. 学情分析学生在学习本节课的内容前，已经掌握了实数、分数、代数等基础知识，对数学运算有一定的了解。
但是，对于分式的加减法，学生可能还存在着一些困难，比如对分式的理解不够深入，对分式加减法的运算规则不够清晰等。
因此，在教学过程中，需要教师引导学生深入理解分式的概念，明确分式加减法的运算规则，并通过大量的练习来巩固知识点。
三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解分式加减法的运算规则，能够熟练地进行分式的加减法运算。
2.过程与方法目标：通过教师的引导和学生的自主探究，学生能够培养运算能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够对数学产生浓厚的兴趣，培养积极的学习态度和良好的学习习惯。
四. 教学重难点1.教学重点：分式加减法的运算规则。
2.教学难点：对分式加减法的运算规则的理解和运用。
五. 教学方法1.引导法：教师通过提问、引导，激发学生的思考，引导学生自主探究分式加减法的运算规则。
2.实践法：学生通过大量的练习，巩固分式加减法的运算规则。
3.讨论法：学生分组进行讨论，分享学习心得和方法，共同解决问题。
六. 教学准备1.教师准备：教师需要准备PPT、教案、练习题等教学材料。
2.学生准备：学生需要准备好数学课本、笔记本、笔等学习用品。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入本节课的主题，比如“已知两个分数，如何求它们的和？”让学生思考并尝试解答，从而引出分式加减法的概念。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT或者黑板，呈现分式加减法的运算规则，并解释规则的含义和运用。
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第 3 章 3.5“分式的加法与减法 ”学案 （第 31 个）
一、教学目标
1、经历探索分式的加减法运算法则的过程，通过与分数加减法则的类比，发展
学生的联想与合情推理能力。
2、会进行简单分式的加减运算。
在计算过程中，能明确算理。
3、在进行异分母分式的加减法运算过程中，进一步体验转化思想在数学中应用。
二、上课回顾
三、学习过程
1、自主学习
课本第65页至66页
（1） 看下题如何计算？
小亮和小莹练习用电脑打字，小亮每分钟打a 个字，小莹每分钟比小亮多打20个字。
当他们都打完3000个字时，小亮比小莹多用了多少时间？
（2）异分母分式的加减法法则：
补充反馈：
2、自主探究
（1）、异分母的分式相加减，先把它们 ，然后再加减。
（2）、 用式子表示是a b ± c
d = 。
补充反馈：
3、合作学习
（1）、典型例题：1）1
111--+x x
2）22x
y xy y x y -++
补充反馈：
（2）巩固练习 课本第67页练习1.2
四、课堂回顾
1、主要内容
2、规律总结
五、当堂检测
一、选择题
1、计算：n a
m a
+的结果是（ ）
（A ）n m a
+ （B ）n m a
+2 （C ）mn
an
am + （D ）mn a
2、如果a-b=2ab,那么 b a 1
1
-的值为（ ）
（A ）21
（B ）-21
（C ）-1
（D ）-2
二、计算：
1、b a b a ++-1
1
2、1-y x x
+24
3、a+b+b a b -2
2
4、12
11
112-++--x x x
六、作业与课后延伸 练习册第28页7-9题
七、教学反思。