线面相对位置(1)

直线与平面以及两平面之间的相对位置直线与平面、平面与平面的相对位置有平行、相交和垂直三种情况。其中，垂直是相交的特例。

一、平行问题

1.直线与平面平行

如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行；反之亦然，若直线与平面平行，则在该平面内一定可作一直线平行于此直线。

直线与平面平行的几何条件：若一条直线平行于属于定平面的一直线，则直线与该平面平行。

应用：1.判断直线与平面是否平行。图示，AB与平面CDE是否平行？

2.过已知点作已知平面的平行线。图示，过K点作△ABC的平行线。

AB与平面CDE是否平行过K点作△ABC的平行线显然，若直线平行于投影面平行面或垂直面，那么平面具有积聚性的投影与该直线的同面投影必平行；反之亦然。

直线与铅垂面平行的投影特性

2.两平面互相平行

若一平面内两条相交直线对应地平行于另一平面内的两条相交直线，则该两平面相互平行；反之，若一对相交直线对应平行，则每对相交直线所确定的平面平行。

例如图a所示，试判断两平行直线AB、CD所确定的平面与另外两平行直线EF、GH所确定的平面是否平行。

（a） (b)

判别两平面是否平行

例题如图a所示，过点E作平面平行于平面△ABC。

分析：过点E作两条相交直线ED、EF分别平行于AB、BC即可满足两平面平行的条件。

作图：如图2.54b所示。

(a) (b)

过点作平行平面

两投影面垂直面互相平行，则他们具有积聚性的同面投影必然互相平行。如图所示为两平行的铅垂面的投影，其水平投影积聚为两平行直线。

两铅垂面互相平行

二、相交问题

直线与平面相交有交点，交点特性：共有性，分界性。

两平面相交有交线，交线特性：共有性，分界性。

讨论有一平面或直线的投影有积聚性时，交点或交线可利用投影的积聚性直接求出。

1.特殊位置平面与一般位置直线相交

利用平面投影的积聚性直接求出交点。

2.投影面垂直线与一般位置平面相交

利用直线积聚性求交点。

平面特殊位置直线特殊位置

3.特殊位置平面与一般位置平面相交

作图步骤：

（1）利用投影面垂直面投影的积聚性和交线的共有性，直接求出交点的一个投影。

（2）利用线上点的投影特性，求出交线的另外投影。

（3）判别平面投影的可见性。

注意：一般情况下，平面是可以无限延伸的，但我们在求两平面的交线时，交线只求平面图形范围内且重叠部分的交线；交线是可见与不可见部分的分界线，并且只有同面投影的重叠部分才存在可见性的判断问题。

例如图a所示，求水平面DEFG与两个共边三角形平面SAB、SBC的交线。

分析：水平面DEFG的正面投影积聚成一条直线，此平面与两个共边三角形平面SAB、SBC的交线必定在该直线上，利用平面内取点、线的方法即可求出交线的水平投影。

可见性的判别如图c所示，两三角形位于水平面的上方的部分在H面上可见，即s1、s2、及sc等可见，两三角形位于水平面以下在H面上与defg重叠部分不可见。

（a）已知 (b)求交线 (c)判别可见性

利用平面d′e′f′g′的积聚性求平面的交线

4.两特殊位置平面相交

两特殊位置平面相交的时，可利用两平面的积聚性投影直接求出交线的两投影。

三、垂直问题

垂直有直线垂直于平面和平面垂直于平面两种情况，垂直是相交的特例。在本节中我们只讨论平面是特殊位置时的垂直问题。

1.直线和平面垂直

“如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面”。这个定理是解决有关直线和平面垂直问题的依据。

若平面为某一投影面的垂直面，那么与这个平面垂直的直线一定是该投影面平行线。因此直线在该投影面上的投影与平面的积聚性投影垂直，且反映实长；直线的另外两个投影平行于相应的投影轴。

2.平面和平面垂直

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

显然，如果两平面垂直，那么过第一个平面内的一点所作垂直于第二个平面

的直线，必在第一个平面内。这是解决两平面垂直的依据，而基础是直线与平面垂直。

若空间两平面垂直相交，且两平面都垂直于某一投影面，则两平面的积聚性投影一定垂直相交，且交线为该投影面的垂直线。