大学物理27-6 麦克斯韦气体分子速率分布定律36 麦克斯韦气体分子速率分布定律
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7 – 6 麦克斯韦气体分子速率分布律
物理学教程 （第二版）
速率分布律：不管分子运动速度的方向如何，只 考虑分子按速度的大小的分布的规律.
速率分布函数的意义：用统计的说明方法，指出
在总数为N 的分子中，在各种速率区间的分子各有多 少，或它们各占分子总数的百分比多大，这种说明方
法就给出分子按速率的分布.
f (v)
O2 H2
O vpO v pH
v
同一温度下不同 气体的速率分布
7 – 6 麦克斯韦气体分子速率分布律
物理学教程 （第二版）
例 计算在 27 C 时，氢气和氧气分子的方均
根速率 vrms .
解 MH 0.002 kg mol1 MO 0.032 kg mol1
R 8.31 J K1 mol1 T 300 K
f (v)
物理意义
dS
O v v dv
表示在温度为 T 的平衡
状态下，速率在 v 附近单位
速率区间 的分子数占总分子
v 数的百分比 .
dN f (v)dv dS
表示速率在v v dv
区间的分子数占总分子数的
N
百分比 .
归一化条件
第七章 气体动理论
N dN
f (v)dv 1
0N
0
7 – 6 麦克斯韦气体分子速率分布律
（D） 速率大小与最概然速率相近的气体分子的比
例最大.
第七章 气体动理论
7 – 6 麦克斯韦气体分子速率分布律
物理学教程 （第二版）
（2）平均速率 v
v v1dN1 v2dN2 vidNi vndNn N
N
vdN vNf (v)dv
v 0
0
f (v)
N
N
v vf (v)dv
8kT
0
N 为速率在 v v v 区间的分子数.
N 表示速率在 v v v 区间的分
N 子数占总数的百分比 .
N f (v)v 与 v 有关，与v 成正比
N
第七章 气体动理论
7 – 6 麦克斯韦气体分子速率分布律
物理学教程 （第二版）
一 麦克斯韦气体速率分布律
分 N /(Nv) 子
速
N ：分子总数
附近单位速率间隔内的相对分子数最多 .
第七章 气体动理论
7 – 6 麦克斯韦气体分子速率分布律
物理学教程 （第二版）
讨论
v 关于麦克斯韦速率分布中最概然速率 p 的
概念，下面哪种表述正确？
v （A） p 是气体分子中大部分分子所具有的速率. v （B） p 是速率最大的速度值. v （C） p 是麦克斯韦速率分布函数的最大值.
vrms 3RT M
氢气分子 vrms 1.93103 m s1
氧气分子 vrms 483 m s1
第七章 气体动理论
S
率
分
布
图O
v v v
v
N 为速率在 v v v 区间的分子数.
S N N
表示速率在 v v v
子数占总数的百分比 .
区间的分
第七章 气体动理论
7 – 6 麦克斯韦气体分子速率分布律
物理学教程 （第二版）
分布函数 f (v) lim N 1 lim N 1 dN v0 Nv N v0 v N dv
πm
o
v
v 1.60 kT 1.60 RT
m
M
第七章 气体动理论
7 – 6 麦克斯韦气体分子速率分布律
物理学教程 （第二版）
3）方均根速率 v 2
f (v)
N v2dN v 2Nf (v)dv
v2 0
0
N
N
o
v
v 2 3kT m
vp v v2
第七章 气体动理论
vrms
Leabharlann Baidu
v2
3kT m
o
v
第七章 气体动理论
7 – 6 麦克斯韦气体分子速率分布律
物理学教程 （第二版）
二 三种统计速率
（1）最概然速率 vp
f (v)
f max
df (v) 0 dv vvp
根据分布函数求得
o vp
v
M mNA , R NA k
vp
2kT 1.41 kT
m
m
vp 1.41
RT M
物理意义 气体在一定温度下分布在最概然速率 v p
7 – 6 麦克斯韦气体分子速率分布律
物理学教程 （第二版）
麦氏分布函数 f (v) 4π(
m
)3
2
mv 2
e 2kT
v
2
2πkT
dN 4π(
m
)3
2
mv 2
e 2kT
v
2dv
N
2πkT
反映理想气体在热动
f (v) dN Ndv
平衡条件下，各速率区间
f (v)
分子数占总分子数的百分
比的规律 .
物理学教程 （第二版）
f (v)
S
o
v1 v2
dN f (v)dv dS N 速率位于v v dv 内分子数
v
dN Nf (v)dv
速率位于 v1
v2
区间的分子数 N
v2
v1
N
f
(v)dv
速率位于 v1 v2 区间的分子数占总数的百分比
S
N (v1 N
v2)
v2
v1
f
( v )dv
第七章 气体动理论
3RT M
v 8kT 8RT πm πM
vp
2kT m
2RT M
7 – 6 麦克斯韦气体分子速率分布律
物理学教程 （第二版）
vp
2kT m
v 8kT πm
v 2 3kT m
f (v) T1 300 K T2 1 200 K
O v p1 vp2
v
N2 分子在不同温 度下的速率分布
第七章 气体动理论
物理学教程 （第二版）
速率分布律：不管分子运动速度的方向如何，只 考虑分子按速度的大小的分布的规律.
速率分布函数的意义：用统计的说明方法，指出
在总数为N 的分子中，在各种速率区间的分子各有多 少，或它们各占分子总数的百分比多大，这种说明方
法就给出分子按速率的分布.
f (v)
O2 H2
O vpO v pH
v
同一温度下不同 气体的速率分布
7 – 6 麦克斯韦气体分子速率分布律
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例 计算在 27 C 时，氢气和氧气分子的方均
根速率 vrms .
解 MH 0.002 kg mol1 MO 0.032 kg mol1
R 8.31 J K1 mol1 T 300 K
f (v)
物理意义
dS
O v v dv
表示在温度为 T 的平衡
状态下，速率在 v 附近单位
速率区间 的分子数占总分子
v 数的百分比 .
dN f (v)dv dS
表示速率在v v dv
区间的分子数占总分子数的
N
百分比 .
归一化条件
第七章 气体动理论
N dN
f (v)dv 1
0N
0
7 – 6 麦克斯韦气体分子速率分布律
（D） 速率大小与最概然速率相近的气体分子的比
例最大.
第七章 气体动理论
7 – 6 麦克斯韦气体分子速率分布律
物理学教程 （第二版）
（2）平均速率 v
v v1dN1 v2dN2 vidNi vndNn N
N
vdN vNf (v)dv
v 0
0
f (v)
N
N
v vf (v)dv
8kT
0
N 为速率在 v v v 区间的分子数.
N 表示速率在 v v v 区间的分
N 子数占总数的百分比 .
N f (v)v 与 v 有关，与v 成正比
N
第七章 气体动理论
7 – 6 麦克斯韦气体分子速率分布律
物理学教程 （第二版）
一 麦克斯韦气体速率分布律
分 N /(Nv) 子
速
N ：分子总数
附近单位速率间隔内的相对分子数最多 .
第七章 气体动理论
7 – 6 麦克斯韦气体分子速率分布律
物理学教程 （第二版）
讨论
v 关于麦克斯韦速率分布中最概然速率 p 的
概念，下面哪种表述正确？
v （A） p 是气体分子中大部分分子所具有的速率. v （B） p 是速率最大的速度值. v （C） p 是麦克斯韦速率分布函数的最大值.
vrms 3RT M
氢气分子 vrms 1.93103 m s1
氧气分子 vrms 483 m s1
第七章 气体动理论
S
率
分
布
图O
v v v
v
N 为速率在 v v v 区间的分子数.
S N N
表示速率在 v v v
子数占总数的百分比 .
区间的分
第七章 气体动理论
7 – 6 麦克斯韦气体分子速率分布律
物理学教程 （第二版）
分布函数 f (v) lim N 1 lim N 1 dN v0 Nv N v0 v N dv
πm
o
v
v 1.60 kT 1.60 RT
m
M
第七章 气体动理论
7 – 6 麦克斯韦气体分子速率分布律
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3）方均根速率 v 2
f (v)
N v2dN v 2Nf (v)dv
v2 0
0
N
N
o
v
v 2 3kT m
vp v v2
第七章 气体动理论
vrms
Leabharlann Baidu
v2
3kT m
o
v
第七章 气体动理论
7 – 6 麦克斯韦气体分子速率分布律
物理学教程 （第二版）
二 三种统计速率
（1）最概然速率 vp
f (v)
f max
df (v) 0 dv vvp
根据分布函数求得
o vp
v
M mNA , R NA k
vp
2kT 1.41 kT
m
m
vp 1.41
RT M
物理意义 气体在一定温度下分布在最概然速率 v p
7 – 6 麦克斯韦气体分子速率分布律
物理学教程 （第二版）
麦氏分布函数 f (v) 4π(
m
)3
2
mv 2
e 2kT
v
2
2πkT
dN 4π(
m
)3
2
mv 2
e 2kT
v
2dv
N
2πkT
反映理想气体在热动
f (v) dN Ndv
平衡条件下，各速率区间
f (v)
分子数占总分子数的百分
比的规律 .
物理学教程 （第二版）
f (v)
S
o
v1 v2
dN f (v)dv dS N 速率位于v v dv 内分子数
v
dN Nf (v)dv
速率位于 v1
v2
区间的分子数 N
v2
v1
N
f
(v)dv
速率位于 v1 v2 区间的分子数占总数的百分比
S
N (v1 N
v2)
v2
v1
f
( v )dv
第七章 气体动理论
3RT M
v 8kT 8RT πm πM
vp
2kT m
2RT M
7 – 6 麦克斯韦气体分子速率分布律
物理学教程 （第二版）
vp
2kT m
v 8kT πm
v 2 3kT m
f (v) T1 300 K T2 1 200 K
O v p1 vp2
v
N2 分子在不同温 度下的速率分布
第七章 气体动理论