高中数学基本初等函数集锦(含解析)

函数集锦
1.(2018·江苏卷)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2，2]上，f (x )＝
⎩⎪⎨⎪⎧cos πx 2，0<x ≤2，
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，则f [f (15)]的值为________. 解析 因为函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，所以函数f (x )的最小正周期为4.又因为在区间(－
2，2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx 2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，所以f [f (15)]＝f [f (－1)]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝cos π4＝22. 2.(2018·湖北名校联考)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增.若实数a 满足f (32a －1)≥f (－3)，则a 的最大值是( )
A.1
B.12
C.14
D.34
解析f (x )在R 上是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数，由f (32a －1)≥f (－3)＝f (3)，∴32a －1≤3，则2a －1≤12，∴a ≤34.故a 的最大值是34.
3.(2018·全国Ⅱ卷)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x ).若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )
A.－50
B.0
C.2
D.50
解析 ∵f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，且f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (4＋x )＝f (x )，∴f (x )是周期函数，且一个周期为4，又f (0)＝0，知f (2)＝f (0)，f (4)＝f (0)＝0，由f (1)＝2，知f (－1)＝－2，则f (3)＝f (－1)＝－2，从而f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，故f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (50)＝12×0＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2，故选C.
4.f (x )是定义在R 上的偶函数，f (x ＋4)＝f (x －2).若当x ∈[－3，0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝______. ∵f (x ＋4)＝f (x －2)，∴f (x ＋6)＝f (x )，则T ＝6是f (x )的周期.∴f (919)＝f (153×6＋1)＝f (1)，又f (x )在R 上是偶函数，∴f (1)＝f (－1)＝6－(－1)＝6，即f (919)＝6.
5.(2018·全国Ⅲ卷)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( )
A.y ＝ln(1－x )
B.y ＝ln(2－x )
C.y ＝ln(1＋x )
D.y ＝ln(2＋x )
解析 设所求函数图象上任一点的坐标为(x ，y )，则其关于直线x ＝1的对称点的坐标为(2－x ，y )，由对称性知点(2－x ，y )在函数f (x )＝ln x 的图象上，所以y ＝ln(2－x ).
6.(2018·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝e x －e －x
x 2的图象大致为( )
解析 f (x )＝e x －e －
x x 2为奇函数，排除A ；当x >0时，f (1)＝e －1e >2，排除C ，D ，只有B 项满足.
答案 B
7.(2018·浙江卷)函数y ＝2|x |sin 2x 的图象可能是( )
解析 (1)设f (x )＝2|x |sin 2x ，其定义域关于坐标原点对称，又
f (－x )＝2|－x |·sin(－2x )＝－f (x )，所以y ＝f (x )是奇函数，故排
除选项A ，B ；令f (x )＝0，则sin 2x ＝0，所以x ＝k π2(k ∈Z )，
故排除选项C.故选D.
8.(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( )
A.f (x )在(0，2)上单调递增
B.f (x )在(0，2)上单调递减
C.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称
D.y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称
解析 由题意知，f (x )＝ln x ＋ln(2－x )的定义域为(0，2)，f (x )＝ln[x (2－x )]＝
ln[－(x －1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除A ，B ；又f (2－x )＝ln(2－x )＋ln x ＝f (x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，C 正确，D 错误.
9.已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，且f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________. 由题意知f (x －1)>f (2). 又因为f (x )是偶函数且在[0，＋∞)上单调递减，
所以f (|x －1|)>f (2)，即|x －1|<2，解得－1<x <3.
10.(2018·天津卷)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 12
13，则a ，b ，c 的大小关系是( )
A.a >b >c
B.b >a >c
C.c >b >a
D.c >a >b 解析 c ＝log 1213＝log 23，a ＝log 2e ，由y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，知c >a >1.又b ＝ln 2<1，
故c >a >b . 答案 D
11.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( )
A.[－1，0)
B.[0，＋∞)
C.[－1，＋∞)
D.[1，＋∞)
解析 函数g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点，即关于x 的方程f (x )＝－x －a 有2
个不同的实根，即函数f (x )的图象与直线y ＝－x －a 有2个交点，作出直线y
＝－x －a 与函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，－a ≤1，解得a ≥－1. C
12 (1)函数f (x )＝log 2x －1x 的零点所在的区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎭⎫12，1 C.(1，2) D.(2，3)
(2)(2018·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝cos ⎝
⎛⎭⎫3x ＋π6在[0，π]的零点个数为________. 解析 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数.
f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＝log 212－112
＝－1－2＝－3＜0，f (1)＝log 21－11＝0－1＜0， f (2)＝log 22－12＝1－12＝12＞0，f (3)＝log 23－13＞1－13＝23＞0，即f (1)·f (2)＜0，
∴函数f (x )＝log 2x －1x 的零点在区间(1，2)内.
(2)cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3x ＋π6＝0，所以3x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，所以x ＝π9＋k π3，k ∈Z ，当k ＝0时，x ＝π9；当k ＝1时，x ＝4π9；当k ＝2时，x ＝7π9，均满足题意，所以13.函数f (x )在[0，π]的零点个数为3.
13.(2018·潍坊三模)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2323，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫342
3，c ＝log 34
23，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a <b <c
B.b <a <c
C.c <a <b
D.a <c <b
解析 ∵y ＝x 23在(0，＋∞)上是增函数，∴a <b <1.由于0<23<34，∴c ＝log 3423>1.因此c >b >a . A
14.函数f (x )＝ln x ＋e x (e 为自然对数的底数)的零点所在的区间是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1
C.(1，e)
D.(e ，＋∞)
解析 函数f (x )＝ln x ＋e x 在(0，＋∞)上单调递增，因此函数f (x )最多只有一个零点.当x →0＋
时，f (x )→－∞；又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝ln 1e ＋e 1e ＝e 1e －1>0，∴⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，1e .。