高中数学基本初等函数集锦(含解析)

函数集锦

1.(2018·江苏卷)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2，2]上，f (x )＝

⎩⎪⎨⎪⎧cos πx 2，0

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪x ＋12，－2

2，2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx 2，0

⎪⎪x ＋12，－2

A.1

B.12

C.14

D.34

解析f (x )在R 上是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数，由f (32a －1)≥f (－3)＝f (3)，∴32a －1≤3，则2a －1≤12，∴a ≤34.故a 的最大值是34.

3.(2018·全国Ⅱ卷)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x ).若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )

A.－50

B.0

C.2

D.50

解析 ∵f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，且f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (4＋x )＝f (x )，∴f (x )是周期函数，且一个周期为4，又f (0)＝0，知f (2)＝f (0)，f (4)＝f (0)＝0，由f (1)＝2，知f (－1)＝－2，则f (3)＝f (－1)＝－2，从而f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，故f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (50)＝12×0＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2，故选C.

4.f (x )是定义在R 上的偶函数，f (x ＋4)＝f (x －2).若当x ∈[－3，0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝______. ∵f (x ＋4)＝f (x －2)，∴f (x ＋6)＝f (x )，则T ＝6是f (x )的周期.∴f (919)＝f (153×6＋1)＝f (1)，又f (x )在R 上是偶函数，∴f (1)＝f (－1)＝6－(－1)＝6，即f (919)＝6.

5.(2018·全国Ⅲ卷)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( )

A.y ＝ln(1－x )

B.y ＝ln(2－x )

C.y ＝ln(1＋x )

D.y ＝ln(2＋x )

解析 设所求函数图象上任一点的坐标为(x ，y )，则其关于直线x ＝1的对称点的坐标为(2－x ，y )，由对称性知点(2－x ，y )在函数f (x )＝ln x 的图象上，所以y ＝ln(2－x ).

6.(2018·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝e x －e －x

x 2的图象大致为( )

解析 f (x )＝e x －e －

x x 2为奇函数，排除A ；当x >0时，f (1)＝e －1e >2，排除C ，D ，只有B 项满足.

答案 B

7.(2018·浙江卷)函数y ＝2|x |sin 2x 的图象可能是( )

解析 (1)设f (x )＝2|x |sin 2x ，其定义域关于坐标原点对称，又

f (－x )＝2|－x |·sin(－2x )＝－f (x )，所以y ＝f (x )是奇函数，故排

除选项A ，B ；令f (x )＝0，则sin 2x ＝0，所以x ＝k π2(k ∈Z )，

故排除选项C.故选D.

8.(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( )

A.f (x )在(0，2)上单调递增

B.f (x )在(0，2)上单调递减

C.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称

D.y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称

解析 由题意知，f (x )＝ln x ＋ln(2－x )的定义域为(0，2)，f (x )＝ln[x (2－x )]＝

ln[－(x －1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除A ，B ；又f (2－x )＝ln(2－x )＋ln x ＝f (x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，C 正确，D 错误.

9.已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，且f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________. 由题意知f (x －1)>f (2). 又因为f (x )是偶函数且在[0，＋∞)上单调递减，

所以f (|x －1|)>f (2)，即|x －1|<2，解得－1

10.(2018·天津卷)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 12

13，则a ，b ，c 的大小关系是( )

A.a >b >c

B.b >a >c

C.c >b >a

D.c >a >b 解析 c ＝log 1213＝log 23，a ＝log 2e ，由y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，知c >a >1.又b ＝ln 2<1，

故c >a >b . 答案 D