专题复习 归纳与猜想(含答案)-

①1×12＝1－12 ②2×23＝2－2

3 ③3×34＝3－3

4

④4×45＝4－45 ……

专题复习 归纳与猜想

归纳与猜想问题指的是给出一定条件（可以是有规律的算式、图形或图表），让学生认真分析，仔细观察，综合归纳，大胆猜想，得出结论，进而加以验证的数学探索题。其解题思维过程是：从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论，这类问题有利于培养学生思维的深刻性和创造性。

一、知识网络图

二、基础知识整理

猜想规律型的问题难度相对较小，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。

相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的又一热点。

★ 范例精讲【归纳与猜想】

例1【河北实验区05】观察右面的图形（每个正方形的边长均为1）和相应等式，探究其中的规律：

⑴写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示：

⑵猜想并写出与第n 个图形相对应的等式。 解：⑴5×56＝5－5

6

⑵1

1+-

=+⨯

n n

n n n n 。 例2〖归纳猜想型〗将一张正方形纸片剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的

一片又按同样的方法剪成四小片，再将其中的一小片正方形纸片剪成四片，

⑵如果剪n 次共有A n 个正方形，试用含n 、A n 的等式表示这个规律； ⑶利用上面得到的规律，要剪得22个正方形，共需剪几次？ ⑷能否将正方形剪成2004个小正方形？为什么？ ⑸若原正方形的边长为1，设a n 表示第n 次所剪的正方形的边长，试用含n 的式子表示a n ；

⑹试猜想a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 与原正方形边长的关系，并画图示意这种关系．

解：⑴100×3＋1＝301，规律是：本次剪完后得到的小正方形的个数比上次剪完后得到的小正方形的个数多3个；

⑵A n ＝3n ＋1；

⑶若A n ＝22，则3n ＋1＝22，∴n ＝7，故需剪7次； ⑷若A n ＝2004，则3n ＋1＝2004，此方程无自然数解， ∴不能将原正方形剪成2004个小正方形；

⑸a n ＝12

n ；

⑹a 1＝12＜1，a 1＋a 2＝12＋14＝3

4＜1，a 1＋a 2＋a 3

＝1

2＋14＋18＝7

8＜1，……从而猜想到：

a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＜1.直观的几何意义如图所示。

例3【安徽实验区05】下图中，图⑴是一个扇形AOB ，将其作如下划分：

第一次划分：如图⑵所示，以OA 的一半OA 1为半径画弧，再作∠AOB 的平分线，得到扇形的总数为6个，分别为：扇形AOB 、扇形AOC 、扇形COB 、扇形A 1OB 1、扇

1

a 1 a 2 a 3

形A 1OC 1、扇形C 1OB 1；

第二次划分：如图⑶所示，在扇形C 1OB 1中，按上述划分方式继续划分，可以得到扇形的总数为11个；第三次划分：如图⑷所示；……依次划分下去.

⑴根据题意，完成下表：

⑵根据上表，请你判断按上述划分方式，能否得到扇形的总数为2005个？为什么？ 解：由5n ＋1＝2005，得n ＝2004

5，∵n 不是整数，∴不可能。

优化训练

1． 【烟台03，桥西03～04】如图，细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：

（1）2＋1＝2 S 1＝1

2 （2）2＋1＝

3 S 2＝22 （3）2＋1＝

4 S 3＝

32

⑴请用含有n （n 是正整数）的等式表示上述变化规律； ⑵推算出OA 10的长；

⑶求出S 12＋S 22＋S 32＋…＋S 102的值． 解：⑴（n ）2＋1＝n ＋1，S n ＝

n 2

； ⑵∵OA 1＝1，OA 2＝2，OA 3＝3，…，∴OA 10＝10；

A 6 … A 5

1 1 A 4 1 A 3 A

2 1 A 1

1

1 O S 1 S

2 S

3 S

4 S 5

图⑷第三次划分 图⑴ A B O 图⑵第一次划分 A B O A 1 C B 1 C 1 图⑶第二次划分 A B O

A 1 C

B 1

C 1

⑶S 12＋S 22＋S 32＋…＋S 102＝14（1＋2＋3＋…＋10）＝55

4

．

2． 【江苏泰州04】观察图1至图5中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放，

记第n 个图中的小黑点的个数为y .

解答下列问题：

＝ 57 ；⑶你能猜想y 与n 之间的关系式吗？你是怎么得到的，请与同伴交流；

⑷下边给出一种研究方法。请你根据上表中的数据，把n 作为横坐标，把y 作为纵坐标，在平面直角坐标系中描出相应的各点（n ，y ）.猜一猜上述各点是否在某一函数的图象上？如果在某一函数的图象上，请你求出该函数的关系式。

解：⑴观察y 这一行，后面的数比前一个数依次增大2，4，6，…，2（n －1），

所以当n ＝5时，y ＝13＋2（5－1）＝21；

⑵由⑴知，当n ＝8时，y ＝21＋10＋12＋14＝57； ⑶略；

⑷根据点的排列情况，在一条曲线上，猜想是抛物线，图象略。 设二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，由（1，1）、（2，3）、（3，7）三点可得，

⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝14a ＋2b ＋c ＝39a ＋3b ＋c ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1

b ＝－1

c ＝1

，故所求的函数关系式为y ＝x 2－x ＋1. 反思：问题通过从“特殊”到“一般”的归纳过程来探究规律结果，先在坐标系中描出各点的位置，再依据点的位置特征判断变量之间可能的关系，最后根据猜想求解，这正是“课标”倡导的思想。

3． 一个自然数a 恰等于另一个自然数b 的平方，则称自然数a 为完全平方数，如64＝82，

64就是一个完全平方数．若a ＝20022＋20022×20032＋20032，求证：a 是一个完全平方数，并写出a 的平方根． 解：先从较小的数字探索：

a 1＝12＋12×22＋22＝32＝（1×2＋1）2，

a

2＝

22＋

22

×

32

＋32

＝7

2＝（

2

×3＋

1）

2，

a

3＝

32

＋3

2

×4

2＋4

2＝

132

＝

（3×4＋1）2，a 4＝42＋42×52＋52＝212＝（4×5＋1）2，…

图1 图2 图3 图4 图5