浙江省宁波市数学高三理数第一次综合测试试卷

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浙江省宁波市数学高三上学期理数第一次统一考试(1月)试卷

浙江省宁波市数学高三上学期理数第一次统一考试（1月)试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2020·顺德模拟) 集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）已知z=（i为虚数单位），则|z|=（）A .B . 1C .D . 23. （2分）是表示空气质量的指数，指数值越小，表明空气质量越好，当指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地3月1日到12日指数值的统计数据，图中点A表示3月1日的指数值为201．则下列叙述不正确的是（）A . 这12天中有6天空气质量为“优良”B . 这12天中空气质量最好的是4月9日C . 这12天的指数值的中位数是90.5D . 从3月4日到9日，空气质量越来越好4. （2分） (2020高一下·吉林期中) 在等差数列{an}中，已知a1+a2+a3+a4+a5＝20，那么a3＝（）A . 4B . 5C . 6D . 75. （2分）根据工作需要，现从4名女医生，a名男医生中选3名医生组成一个救援团队，其中a= xdx，则团队中男、女医生都有的概率为（）A .B .C .D .6. （2分） (2019高一下·宁波期中) 中，角、、的对边分别为、、，且，若的面积为，则的最小值为（）A .B .C .D .7. （2分）已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分）(2016·新课标Ⅰ卷文) 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A . 20πB . 24πC . 28πD . 32π9. （2分）已知O为坐标原点，双曲线-=1（a＞0，b＞0）的右焦点F，以OF为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点O的两点A、B，若（+）•=0，则双曲线的离心率e为（）A . 2B . 3C .10. （2分）(2019高一上·安平月考) 已知，，，，则下列关系正确的是（）A .B .C .D .11. （2分）若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于（）A . 30B . 12C . 24D . 412. （2分）(2020·湖州模拟) 对任意的实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（）A .B .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2016·安徽) 若平面向量满足|2 |≤3，则的最小值是________．14. （1分）(2020·淮北模拟) 已知实数x，y满足则的最小值为________.15. （1分） (2017高二下·濮阳期末) 椭圆Γ： =1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1 ， F2 ，焦距为2c，若直线y= 与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1 ，则该椭圆的离心率等于________．16. （1分） (2019高一下·慈溪期中) 已知正实数，满足，则的最小值为________.三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分） (2020高一下·吉林月考) 一缉私艇发现在北偏东方向，距离12nmile的海面上有一走私船正以的速度沿东偏南方向逃窜缉私艇的速度为，若要在最短的时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东的方向去追，求追击所需的时间和α角的正弦值．18. （10分） (2017高一下·广东期末) 如图，矩形ABCD所在的平面与正方形ADPQ所在的平面相互垂直，E 是QD的中点．（Ⅰ）求证：QB∥平面AEC；（Ⅱ）求证：平面QDC⊥平面AEC；（Ⅲ）若AB=1，AD=2，求多面体ABCEQ的体积．19. （10分） (2016高二上·包头期中) 已知，的夹角为60°，，，当实数k为何值时，（1）（2）．20. （10分）(2017·龙岩模拟) 已知函数f（x）=（x﹣）ex ， g（x）=4x2﹣4x+mln（2x）（m∈R），g （x）存在两个极值点x1 ， x2（x1＜x2）．（1）求f（x1﹣x2）的最小值；（2）若不等式g（x1）≥ax2恒成立，求实数a的取值范围．21. （10分） (2017高一上·马山月考) 网络技术的发展对学生学习方式产生巨大的影响，某校为了解学生每周课余利用网络资源进行自主学习的时间，在本校随机抽取若干名学生进行问卷调查，现将调查结果绘制成如下不完整的统计图表，请根据图表中的信息解答下列问题.（1）求表中的n，中位数落在哪组，扇形统计图中组对应的圆心角为多少度；（2）请补全频数分布直方图；（3）该校准备召开利用网络资源进行自主学习的交流机会，计划在组学生中随机选出两人进行经验介绍，已知组的四名学生中，七、八年级各有1人，九年级有2人，请用画树状图或列表法求抽取的两名学生都来自九年级的概率.22. （10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线C1的参数方程为（θ为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程；（2）曲线C2的极坐标方程为θ= （ρ∈R），求C1与C2的公共点的极坐标．23. （10分）已知函数f(x)＝x2＋ax＋b ， g(x)＝ex(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2．（1）求a ， b ， c ， d的值；（2）若x≥－2时，恒有f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分) 17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、23-2、。

【高三】浙江省宁波市届高三上学期期末考试数学理试题(WORD版)

【高三】浙江省宁波市届高三上学期期末考试数学理试题（WORD版）试卷说明：宁波学年第一学期期末考试高三数学（科学）试卷第一卷（选择题，共50分）一、选择题：本专业共有10道小题，每道小题5分，共50分。

在每个子问题中给出的四个选项中，只有一个符合问题的要求。

（1）如果复数已知，复平面上的对应点位于（a）第一象限（b）第二象限（c）第三象限（d）第四象限（2）正三角棱锥中，则三角棱锥的体积为（a）1（b）3（c）（d）（3）已知函数为偶数函数，（a）2（b）3（c）4（d）5（4）关于函数，下列结论是不正确的：（a）区间单调递增；（b）此时，对称中心为（c）的最小正周期为（d），取值范围为（5）。

如果某一几何体的三个视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积为（a）9cm3（b）10cm3（c）11cm3（d）cm3（6），称为三条相互不重合的线和平面，（a）充分和不必要条件（b）必要和不充分条件（c）充分和必要条件（d）充分和必要条件（7）在以下四个图中，已知图像（8）可能是一个函数，且满足正实数，则最小值为（a）12（b）10（c）8（d）6（9），这是由不等式组表示的平面区域上的一个点，那么取值范围是（a）（b）（c）（d）（10）。

已知双曲线的两条渐近线为，一条穿过右焦点的垂直直线在两点相交。

如果是等差序列，双曲线的偏心率为（a）（b）（c）（d）卷II（非多选部分共100分）。

二、填空：本大题共有7个小题，每个小题4分，共计28分。

（11）如果已知，那么（12）一条直线和一个圆在两点相交，然后（13）在展开式中，项的系数为_____（14）执行图中所示的程序框图，输出值为_________15）In，分别是角度的对边。

如果和的值为____16，如果已知满足数字序列，则的值为___17，称为，。

如果，那么回答：这个大问题有5个小问题，总共72分。

解决方案应写下书面描述、证明过程或计算步骤。

宁波高三数学试题及答案

宁波高三数学试题及答案一、选择题（每题3分，共36分）1. 下列函数中，不是一次函数的是（）A. y = 2x + 3B. y = √xC. y = 3x - 1D. y = x^22. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则A∩B等于（）A. {1}B. {2, 3}C. {3}D. {2, 3, 4}3. 如果一个几何级数的首项为1，公比为2，则该级数的前5项和为（）A. 31B. 2^5 - 1C. 2^4 - 1D. 2^6 - 14. 已知直线l的方程为y = 2x + 4，点P(-1, 3)，则点P到直线l 的距离为（）A. √5B. 3√5C. 5D. 35. 下列不等式中，恒成立的是（）A. |x| ≥ xB. |x| ≤ xC. |x| ≥ 0D. |x| ≤ 16. 根据题目信息，以下哪个选项是错误的（）A. 错误B. 正确C. 既不正确也不错误D. 不确定7-12. （略，类似结构的选择题）二、填空题（每题4分，共20分）13. 函数f(x) = x^2 - 4x + 6的最小值是______。

14. 一个圆的半径为5，那么它的内接正方形的面积是______。

15. 已知等差数列的前三项和为24，且第三项是前两项和的3倍，则该等差数列的公差是______。

16. 将0.08化成分数形式是______。

17. 一个长方体的长、宽、高分别是8cm、6cm和5cm，那么它的表面积是______。

三、解答题（共44分）18. （12分）已知函数f(x) = sin(x) + cos(x)，求函数f(x)的值域。

19. （16分）设抛物线C：y^2 = 8x，直线l：y = x + k，抛物线C与直线l相交于A、B两点，求实数k的取值范围。

20. （16分）证明：对于任意的正整数n，都有1^2 + 2^2 + 3^2+ ... + n^2 = n(n + 1)(2n + 1)/6。

2023年浙江省宁波市高考数学一模试卷【答案版】

2023年浙江省宁波市高考数学一模试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |y ＝ln （x ﹣1）}，B ＝{x |x 2﹣x ﹣6＜0}，则A ∩B ＝（） A ．{x |1＜x ＜2}B ．{x |1＜x ＜3}C ．{x |x ＞﹣2}D ．{x |x ＞1}2．已知数列{a n }与{b n }均为等差数列，且a 3+b 5＝4，a 5+b 9＝8，则a 4+b 7＝（） A ．5 B ．6 C ．7 D ．83．若a+i 1+i=−1+2i （a ∈R ，i 为虚数单位），则|a ﹣i |＝（）A ．2√2B ．√10C ．√5D ．√24．一种药品在病人血液中的量不低于1500mg 时才有疗效，如果用药前，病人血液中该药品的量为0mg ，用药后，药在血液中以每小时20%的比例衰减．现给某病人静脉注射了3000mg 的此药品，为了持续保持疗效，则最长需要在多少小时后再次注射此药品（lg 2≈0.301，结果精确到0.1）（） A ．2.7B ．2.9C ．3.1D ．3.35．已知两个非零向量a →，b →的夹角为60°，且a →⊥(a →−2b →)，则|a →+b →||a →−b →|=（）A ．13B ．√33C ．√3D ．36．已知A （0，2），B （t ，0）（t ＜0），动点C 在曲线T ：y 2＝4x （0≤x ≤1）上，若△ABC 面积的最小值为1，则t 不可能为（） A ．﹣4B ．﹣3C ．﹣2D ．﹣17．若函数f （x ）＝x 2+mx +n 在区间（﹣1，1）上有两个零点，则n 2﹣m 2+2n +1的取值范围是（） A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（0，4）D ．（1，4）8．在正四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2A 1B 1，AA 1=√3．当该正四棱台的体积最大时，其外接球的表面积为（） A ．33π2B ．33πC ．57π2D ．57π二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．若函数f （x ）＝sin （2x +φ）（0＜φ＜π）的图象关于直线x =π6对称，则（） A ．f （0）=12B ．f （x ）的图象关于点（5π12，0）中心对称C ．f （x ）在区间（0，π3）上单调递增D ．f （x ）在区间（0，π）上有2个极值点10．已知直线l ：mx −y +32m +1=0(m ＞0)与圆O ：x 2+y 2＝4相交于A ，B 两点，与两坐标轴分别交于C ，D 两点，记△AOB 的面积为S 1，△COD 的面积为S 2，则（） A ．S 1≤2 B ．存在m ，使S 2＝3C ．|AB|≥√3D ．存在m ，使|AB |＝|CD |11．已知正实数a 、b 满足a 2+b 2﹣（a +b ）+ab ＝1，则（） A ．a +b 的最大值为2 B ．a +b 的最小值为1+√52C ．a 2+b 2的最小值为2D ．a 2+b 2的最大值为312．如果定义在R 上的函数f （x ）满足：对任意x ＞y ，有f 2（x ）≤f （y ），则称其为“好函数”，所有“好函数”f （x ）形成集合Γ．下列结论正确的有（） A ．任意f （x ）∈Γ，均有f （x ）≥0 B ．存在f （x ）∈Γ及x 0∈R ，使f （x 0）＝2022 C ．存在实数M ，对于任意f （x ）∈Γ，均有f （x ）≤M D ．存在f （x ）∈Γ，对于任意x ∈R ，均有f （x ）≥x 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．若sinx +√3cosx =2，则cos2x ＝．14．南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为离散量的垛积问题”，在他的专著《详解九章算法•商功》中，杨辉将堆垜与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍童垛等的公式，例如三角垛指的是如图顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个⋯⋯第n 层放a n 个物体堆成的堆垛，则1a 1+1a 2+⋯+1a 10= ．15．在棱长均相等的四面体ABCD 中，P 为棱AD （不含端点）上的动点，过点A 的平面α与平面PBC 平行．若平面α与平面ABD ，平面ACD 的交线分别为m ，n ，则m ，n 所成角的正弦值的最大值为． 16．已知A ，B 为椭圆x 29+y 25=1上两个不同的点，F 为右焦点，|AF |+|BF |＝4，若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点T ，则|FT |＝．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n ﹣2（n ∈N *）．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）令b n ＝a n ﹣4n ，求数列{bn a n}的前n 项和T n ．18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a b+b a=4cosC ．（1）求a 2+b 2c 2的值；（2）若1tanB=1tanA+1tanC，求cos A ．19．已知函数f （x ）＝sin x ﹣ax ，a ∈R ．（1）若a ＝2，求曲线y ＝f （x ）在点(π6，f(π6))处的切线方程；（2）若f （x ）≥a 在x ∈[π6，5π6]上恒成立，求实数a 的取值范围．20．如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ACB =π2，E ，F 分别是AB ，B 1C 1的中点．（1）证明：EF ⊥BC ；（2）若AC ＝BC ＝2，直线EF 与平面ABC 所成的角为π3，求平面A 1EC 与平面FEC 夹角的余弦值．21．已知点A （2，0），B(−103，−43)在双曲线E ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)上．（1）求双曲线E 的方程；（2）直线l 与双曲线E 交于M ，N 两个不同的点（异于A ，B ），过M 作x 轴的垂线分别交直线AB ，直线AN 于点P ，Q ，当MP →=PQ →时，证明：直线l 过定点．22．已知函数f （x ）＝e x +3ax 2﹣2（e +b ）x +b ﹣a +1（a ＞0，b ∈R ），且f （0）＞0，f （1）＞0．（1）若a ＝2，函数f （x ）在区间[12，1]上单调递增，求实数b 的取值范围；（2）证明：对于任意实数x ∈R ，f （x ）+2f （0）+3f （1）＞0．参考数据：e ≈2.7182818．2023年浙江省宁波市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |y ＝ln （x ﹣1）}，B ＝{x |x 2﹣x ﹣6＜0}，则A ∩B ＝（） A ．{x |1＜x ＜2}B ．{x |1＜x ＜3}C ．{x |x ＞﹣2}D ．{x |x ＞1}解：因为y ＝ln （x ﹣1），所以x ﹣1＞0，得x ＞1，故A ＝{x |x ＞1}．由x 2﹣x ﹣6＜0得（x ﹣3）（x +2）＜0，解得﹣2＜x ＜3，故B ＝{x |﹣2＜x ＜3}，所以利用数轴法易得A ∩B ＝{x |1＜x ＜3}，故选：B ．2．已知数列{a n }与{b n }均为等差数列，且a 3+b 5＝4，a 5+b 9＝8，则a 4+b 7＝（） A ．5B ．6C ．7D ．8解：因为数列{a n }与{b n }均为等差数列，且a 3+b 5＝4，a 5+b 9＝8，由等差数列的性质可知，则a 4+b 7=12（a 3+b 5+a 5+b 9）＝6．故选：B ． 3．若a+i 1+i=−1+2i （a ∈R ，i 为虚数单位），则|a ﹣i |＝（）A ．2√2B ．√10C ．√5D ．√2解：∴a+i 1+i=−1+2i ，∴a +i ＝（﹣1+2i ）（1+i ）＝﹣3+i ，得a ＝﹣3，∴|a −i|=|−3−i|=√(−3)2+(−1)2=√10．故选：B ．4．一种药品在病人血液中的量不低于1500mg 时才有疗效，如果用药前，病人血液中该药品的量为0mg ，用药后，药在血液中以每小时20%的比例衰减．现给某病人静脉注射了3000mg 的此药品，为了持续保持疗效，则最长需要在多少小时后再次注射此药品（lg 2≈0.301，结果精确到0.1）（） A ．2.7B ．2.9C ．3.1D ．3.3解：为了持续保持疗效，设注射n 个小时后需要向病人血液中再次注射该药品，由题意可得3000×（1﹣20%）n ≥1500，即(45)n ≥12，解得n ≤lg21−3lg2≈3.1．故最长需要在3.1小时后再次注射此药品，故选：C ．5．已知两个非零向量a →，b →的夹角为60°，且a →⊥(a →−2b →)，则|a →+b →||a →−b →|=（）A ．13B ．√33C ．√3D ．3解：∵a →⊥(a →−2b →)，∴a →⋅(a →−2b →)=a →2−2a →⋅b →=0，∴a →⋅b →=|a →|22，∴cos ＜a →，b →＞=cos60°=a →⋅b→|a →||b →|=|a →|22|a →||b →|=12，得|a →|=|b →|， ∴|a →+b →|2|a →−b →|2=|a →|2+2a →⋅b →+|b →|2|a →|2−2a →⋅b →+|b →|2=3|a →|2|a →|2=3．则|a →+b →||a →−b →|=√3．故选：C ．6．已知A （0，2），B （t ，0）（t ＜0），动点C 在曲线T ：y 2＝4x （0≤x ≤1）上，若△ABC 面积的最小值为1，则t 不可能为（） A ．﹣4B ．﹣3C ．﹣2D ．﹣1解：当t ＝﹣4时，|AB |=√16+4=2√5，曲线T ：y2＝4x （0≤x ≤1），化为：y ＝2x 12，y ′=x−12，x ＝1时，y ′＝1，k AB =12，所以，C （1，2）到AB 的距离取得最小值，此时S △ABC =12×1×2=1，满足题意，当t ＝﹣1时，k AB ＝2，此时C 的横坐标为14，纵坐标为：1，即C （14，1）， AB ：x −1+y 2=1，即2x ﹣y +2＝0，C 到AB 的距离为：d =|12−1+2|5=3√510，|AB |=√5，此时S △ABC =12×√5×3√510=34，所以D 不正确．故选：D ．7．若函数f （x ）＝x 2+mx +n 在区间（﹣1，1）上有两个零点，则n 2﹣m 2+2n +1的取值范围是（） A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（0，4）D ．（1，4）解：由题意得{f(−1)=1−m +n ＞0f(1)=1+m +n ＞0−1＜−12m ＜1Δ=m 2−4n ＞0，所以n 2﹣m 2+2n +1＝（n +1）2﹣m 2＝（n +1+m ）（n +1﹣m ）＞0，设f （x ）的两个零点为x 1，x 2，则f （x ）＝（x ﹣x 1）（x ﹣x 2），所以（n +1+m ）（n +1﹣m ）＝f （1）•f （﹣1）＝（1−x 12）（1﹣x 22）＜1．故选：A ．8．在正四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2A 1B 1，AA 1=√3．当该正四棱台的体积最大时，其外接球的表面积为（） A ．33π2B ．33πC ．57π2D ．57π解：设底边长为a ，原四棱锥的高为h ，如图1，O ，O 1分别是上下底面的中心，连结OO 1，O 1A 1，OA ，根据边长关系，知该棱台的高为ℎ2，则V ABCD−A 1B 1C 1D 1=13⋅√a 2+(a 2)2+√a 2⋅(a 2)2⋅ℎ2=7a 2ℎ24，由AA 1=√3，且四边形AOO 1A 1为直角梯形：O 1A 1=√22A 1B 1=√24a ，OA =√22AB =√22a ，可得√(ℎ2)2+(√24a)2=√3，则ℎ=2√3−a 28，V ABCD−A 1B 1C 1D 1=7a 2ℎ24=7a 212√3−a 28=748√a 2⋅a 2(48−2a 2)≤748√(a 2+a 2+48−2a 23)3=283，当且仅当a 2＝48﹣2a 2，即a ＝4时等号成立，此时棱台的高为1，上底面外接圆半径r 1=A 1O 1=√2，下底面半径r =AO =2√2，设球的半径为R ，显然球心M 在OO 1所在的直线上，显然球心M 在OO 1所在的直线上，当棱台两底面在球心异侧时，即球心M 在线段OO 1上，如图2，设OM ＝x ，则O 1M ＝1﹣x ，0＜x ＜1，显然MA ＝MA 1＝R ，则有√r 2+x 2=√r 12+(1−x)2，即√(2√2)2+x 2=√(√2)2+(1−x)2，解得x ＜0，舍去；当棱台两底面在球心同侧时，显然球心M 在线段O 1O 的延长线上，如图3，设OM ＝x ，则O 1M ＝1+x ，显然MC ＝MA 1＝R ，即√r 2+x 2=√r 12+(1+x)2，即√(2√2)2+x 2=√(√2)2+(1+x)2，解得x =52，R =√(2√2)2+(52)2=√572，此时，外接球的表面积为4πR 2=4×(√572)2π=57π．故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．若函数f （x ）＝sin （2x +φ）（0＜φ＜π）的图象关于直线x =π6对称，则（） A ．f （0）=12B ．f （x ）的图象关于点（5π12，0）中心对称C ．f （x ）在区间（0，π3）上单调递增 D ．f （x ）在区间（0，π）上有2个极值点解：∵函数f （x ）＝sin （2x +φ）（0＜φ＜π）的图象关于直线x =π6对称， ∴2×π6+φ＝k π+π2，k ∈Z ，可得φ=π6，故函数f （x ）＝sin （2x +π6），故有f （0）＝sinπ6=12，故A 正确；令x =5π12，可得f （x ）＝0，可得f （x ）的图象关于点（5π12，0）中心对称，故B 正确；在区间（0，π3）上，2x +π6∈（π6，5π6），故函数f （x ）不单调，故C 错误；在区间（0，π）上，2x +π6∈（π6，2π+π6），故函数f （x ）有2个极值点，故D 正确，故选：ABD ．10．已知直线l ：mx −y +32m +1=0(m ＞0)与圆O ：x 2+y 2＝4相交于A ，B 两点，与两坐标轴分别交于C ，D 两点，记△AOB 的面积为S 1，△COD 的面积为S 2，则（） A ．S 1≤2 B ．存在m ，使S 2＝3C ．|AB|≥√3D ．存在m ，使|AB |＝|CD |解：对于A ：直线l ：mx −y +32m +1=0(m ＞0)，过定点（−32，1），令x ＝0，得y =32m +1，令y ＝0，x =−32−1m， ∴|CD |=√(32+1m )2+(32m +1)2，∵圆O 的圆心O （0，0），半径r ＝2， ∴圆心O 到直线的距离为d =|32m+1|√m 2+1，∴根据直线被圆截得的弦长公式可得（12|AB |）2+d 2＝4，∴|AB |＝2√4−d 2，∴S1=12|AB |•d =√4−d 2•d ≤4−d 2+d 22=2，当且仅当4﹣d 2＝d 2时取等号，即d =|32m+1|√m 2+1=√2，解得m ＝2√10−6时取等号，∴S 1≤2，故A 正确；对于B ：S 2=12（32m +1）（−32−1m ）=12（94m +1m +3）≥12（2√94m ⋅1m +3）＝3，当m =23时，S 2＝3，故B 正确；对于C ：直线l ：mx −y +32m +1=0(m ＞0)，过定点（−32，1），可得定点在圆O 内，|AB |＝2√4−d 2≥2√4−|PC|2=2√4−[√(94+1)]2=√3，当且仅当l ⊥OP 时，d ＝|PC |，∴l 被截得的弦长最短|AB |=√3，故C 正确；对于D ：要使|AB |＝|CD |，则AB 与CD 重合，此时AB 的直线方程为y ＝x +2不过定点（−32，1），故D 错误．故选：ABC ．11．已知正实数a 、b 满足a 2+b 2﹣（a +b ）+ab ＝1，则（） A ．a +b 的最大值为2 B ．a +b 的最小值为1+√52C ．a 2+b 2的最小值为2D ．a 2+b 2的最大值为3解：∵正实数a 、b 满足a 2+b 2﹣（a +b ）+ab ＝1， ∴1＜（a +b ）2﹣（a +b ）＝1+ab ≤1+(a+b 2)2， a +b ＞0，解得1+√52＜a +b ≤2，当且仅当a ＝b ＝1时，a +b 取最大值2，则A 对B 错； ∵a 2+b 2﹣（a +b ）+ab ＝（a +b ）2﹣（a +b ）−(a+b)2−(a 2+b 2)2=1， ∴a 2+b 2＝﹣（a +b ）2+2（a +b ）+2，令t =a +b ∈(1+√52，2]，则函数y ＝﹣t 2+2t +2在(1+√52，2]上单调递减，∴a 2+b 2＝﹣（a +b ）2+2（a +b ）+2∈[2，3+√52），C 对D 错．故选：AC ．12．如果定义在R 上的函数f （x ）满足：对任意x ＞y ，有f 2（x ）≤f （y ），则称其为“好函数”，所有“好函数”f （x ）形成集合Γ．下列结论正确的有（） A ．任意f （x ）∈Γ，均有f （x ）≥0 B ．存在f （x ）∈Γ及x 0∈R ，使f （x 0）＝2022 C ．存在实数M ，对于任意f （x ）∈Γ，均有f （x ）≤M D ．存在f （x ）∈Γ，对于任意x ∈R ，均有f （x ）≥x解：A 项：任意 f （x ）∈Γ，取y ＞x ，由于f （x ）≥f （y ），故f （x ）≥0，正确； B 项：假如f （x ）∈Γ及x ∈R ，使f （x 0）＝2022，现任取x 0+δ＞x 0，δ＞0，有f （x 0）≥f 2（x 0+δn ）≥f 4（x 0+2n δ））≥⋯≥f 2n（x 0+δ），因此f 2n（x 0+δ）≤2022，从而f （x 0+δ）≤202212n ，令n →+∞，得f （x 0+δ）≤1，再任取x 0﹣δ＜x 0，δ＞0，有f （x 0﹣δ）≥f 2（x 0−n−1n δ）≥f 4（x 0−n−2n δ）⋯≥f 2n （x 0）=20222n，令n →+∞，得f （x 0﹣δ）＝+∞，这表明δ→0，f （x ）在x 0处无定义，与f （x ）定义在R 上矛盾，错误；C 项：用反证法，反设结论得任意M ∈R ，存在f （x ）∈Γ，使得f （x ）＞M ，那么取M ＝2021，存在x 0∈R ，使得f （x ）＝2022＞2021，由B 分析知有矛盾，所以假设不成立，因此原命题为真，正确； D 项：若此选项成立，则f （x ）→+∞，（x →+∞），与C 矛盾，错误．故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若sinx +√3cosx =2，则cos2x ＝12．解：由sinx +√3cosx =2，知2sin （x +π3）＝2，所以x +π3=π2+2k π，k ∈Z ，即x =π6+2k π，k ∈Z ，所以cos2x ＝cos （π3+4k π）＝cos π3=12．故答案为：12．14．南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为离散量的垛积问题”，在他的专著《详解九章算法•商功》中，杨辉将堆垜与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍童垛等的公式，例如三角垛指的是如图顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个⋯⋯第n 层放a n 个物体堆成的堆垛，则1a 1+1a 2+⋯+1a 10=2011．解：由题意得a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，… ∴a n ﹣a n ﹣1＝n （n ≥2），∴a n ＝a 1+（a 2﹣a 1）+（a 3﹣a 2）+…+（a n ﹣a n ﹣1）＝1+2+3+4+…+n =n(n+1)2， ∴1a n =2n(n+1)=2n −2n+1，∴1a 1+1a 2+⋯+1a 10=2−22+22−23+23−24+⋯+210−211=2−211=2011．故答案为：2011．15．在棱长均相等的四面体ABCD 中，P 为棱AD （不含端点）上的动点，过点A 的平面α与平面PBC 平行．若平面α与平面ABD ，平面ACD 的交线分别为m ，n ，则m ，n 所成角的正弦值的最大值为 2√23．解：过点A 的平面α与平面PBC 平行．若平面α与平面ABD ，平面ACD 的交线分别为m ，n ，由于平面α//平面PBC ，平面PBC ∩平面ABD ＝PB ，平面PBC ∩平面ACD ＝PC ，所以m //BP ，n //PC ，所以∠BPC 或其补角即为m ，n 所成的平面角，设正四棱锥ABCD 的棱长为1，AP ＝x ，0＜x ＜1，则PD ＝1﹣x ，在△ABP 中，由余弦定理可得BP =√AB 2+AP 2−2AB ⋅APcos60°=√1+x 2−2×1×x ×12=√1+x 2−x ，同理可得PC =√CD 2+PD 2−2CD ⋅PDcos60°=√1+(1−x)2−2×1×(1−x)×12=√x 2−x +1，故在△PBC 中，由余弦定理可得，cos ∠BPC =PB 2+PC 2−BC 22PB⋅PC =2(x 2−x+1)−12(x 2−x+1)=1−121x 2−x+1=1−12(x−12)2+34，由于(x −12)2+34≥34，则12(x−12)2+34≤23，从而可得1−12(x−12)2+34≥13，当x =12时取等号，故cos ∠BPC 的最小值为13，所以sin ∠BPC =√1−cos 2∠BPC ≤2√23，故sin ∠BPC 的最大值为2√23，故答案为：2√2316．已知A ，B 为椭圆x 29+y 25=1上两个不同的点，F 为右焦点，|AF |+|BF |＝4，若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点T ，则|FT |＝ 43．解：因为椭圆方程为：x 29+y 25=1，所以a 2＝9，b 2＝5，c 2＝4，所以离心率e =23，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），因为F 为右焦点，|AF |+|BF |＝4，由焦半径公式：(3−23x 1)+(3−23x 2)=4，整理得：x 1+x 2＝3，即AB 中点(32，y 1+y 22)，T(x 0，0)，k AB =y 1−y 2x 1−x 2，则AB 垂直平分线斜率为−x 1−x 2y 1−y 2，根据点A ，B 在椭圆上，则有x 129+y 125=1，x 229+y 225=1，作差化简得y 12−y 22=59(x 22−x 12)，则线段AB 的垂直平分线方程为y =−x 1−x 2y 1−y 2(x −32)+y 1+y 22，代入T （x 0，0）得：x 0−32=y 12−y 222(x 1−x 2)=59(x 22−x 12)2(x 1−x 2)=−59(x 1+x 2)2=−56，即x 0=23，则|FT|=2−23=43．故答案为：43．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n ﹣2（n ∈N *）．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）令b n ＝a n ﹣4n ，求数列{bn a n}的前n 项和T n ．解：（1）在S n ＝2a n ﹣2中，令n ＝1，则a 1＝2a 1﹣2，即a 1＝2，当n ≥2时，有S n ﹣1＝2a n ﹣1﹣2，两式相减得，a n ＝2a n ﹣2a n ﹣1，即a n ＝2a n ﹣1（n ≥2），所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，所以数列a n ＝2•2n ﹣1＝2n ．（2）b n ＝a n ﹣4n ＝2n ﹣4n ，所以b n a n=2n −4n 2n=1−n2n−2，设数列{n2n−2}的前n 项和为Q n ，则T n ＝n ﹣Q n ，而Q n =12−1+220+321+⋯+n−12n−3+n2n−2，所以12Q n =120+221+322+⋯+n−12n−2+n2n−1，两式相减得，12Q n =12−1+12+121+122+⋯+12n−2−n 2n−1=2[1−(12)n]1−12−n 2n−1=4−n+22n−1，所以Q n ＝8−n+22n−2，所以T n ＝n ﹣Q n ＝n ﹣8+n+22n−2． 18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a b+b a=4cosC ．（1）求a 2+b 2c 2的值；（2）若1tanB=1tanA+1tanC，求cos A ．解：（1）△ABC 中，因为a b+b a=4cosC ，结合余弦定理，得a 2+b 2ab=4×a 2+b 2−c 22ab，化简可得a 2+b 2＝2c 2，所以a 2+b 2c 2=2．（2）由1tanB=1tanA+1tanC=cosA sinA+cosC sinC=sinCcosA+cosCsinAsinAsinC=sinB sinAsinC=cosB sinB，可得cosB =sin 2B sinAsinC =b2ac ，即a 2+c 2−b 22ac =b 2ac，即a 2+c 2＝3b 2，又a 2+b 2＝2c 2，所以b =√32c ，a =√52c ，所以cosA =b 2+c 2−a 22bc =34c 2+c 2−54c 22c⋅32c=√36． 19．已知函数f （x ）＝sin x ﹣ax ，a ∈R ．（1）若a ＝2，求曲线y ＝f （x ）在点(π6，f(π6))处的切线方程；（2）若f （x ）≥a 在x ∈[π6，5π6]上恒成立，求实数a 的取值范围．解：（1）当a ＝2时，f （x ）＝sin x ﹣2x ，则f '（x ）＝cos x ﹣2， ∴f ′(π6)=cos π6−2=√32−2，又f(π6)=sin π6−2×π6=12−π3，故所求切线方程为y =(√32−2)(x −π6)+12−π3，即y =√3−42x −√312π+12；（2）f （x ）≥a ，即sin x ﹣ax ≥a ，也就是a ≤sinx x+1在x ∈[π6，5π6]上恒成立，令g(x)=sinxx+1，x ∈[π6，5π6]，则g ′(x)=xcosx+cosx−sinx(x+1)2，令h （x ）＝x cos x +cos x ﹣sin x ，则h '（x ）＝﹣x sin x ﹣sin x ＜0，可得h （x ）在x ∈[π6，5π6]上单调递减，∵ℎ(π6)=π6⋅√32+√32−12＞0，ℎ(5π6)=−5π6⋅√32−√32−12＜0，由零点存在定理知，存在唯一x 0∈(π6，5π6)，使h （x 0）＝0，可得g （x ）在[π6，x 0)上单调递增，在(x 0，5π6]上单调递减，又g （π6）=36+π，g （5π6）=36+5π，∴g(x)min =36+5π，则a ≤36+5π．∴实数a 的取值范围是（﹣∞，36+5π）．20．如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ACB =π2，E ，F 分别是AB ，B 1C 1的中点．（1）证明：EF ⊥BC ；（2）若AC ＝BC ＝2，直线EF 与平面ABC 所成的角为π3，求平面A 1EC 与平面FEC 夹角的余弦值．解：（1）证明：（证法1）取BC 中点H ，分别连结EH ，FH ，因为F 为B 1C 1的中点，所以，FH ∥BB 1，因为三棱柱为直棱柱，所以BB 1⊥平面ABC ，所以FH ⊥平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，所以FH ⊥BC ，又E 为AB 的中点，则EH ∥AC ，且AC ⊥BC ，所以EH ⊥BC ，因为EH ，FH ⊂平面EFH ，EH ∩FH ＝H ，所以BC ⊥平面EFH ，因为EF ⊂平面EFH ，所以EF ⊥BC ．（证法2）设CA →=a →，CB →=b →，CC 1→=c →，则EF →=CF →−CE →=CC 1→+12CB →−12(CA →+CB →)=−12a →+c →，由题知，CA ⊥CB ，CC 1⊥CB ，所以a →⋅b →=0，b →⋅c →=0，从而CB →⋅EF →=b →⋅(−12a →+c →)=0，即EF ⊥BC ．（2）由（1）知∠FEH 为EF 与平面ABC 所成的角，所以∠FEH =π3，由AC ＝BC ＝2，得CC 1=√3．如图，以CA ，CB ，CC 1分别为x 轴，y 轴，z 轴正向，建立空间直角坐标系：则A （2，0，0），B （0，2，0），C 1(0，0，√3)，A 1(2，0，√3)，B 1(0，2，√3)，E （1，1，0），H （0，1，0），F(0，1，√3)，CE →=(1，1，0)，CF →=(0，1，√3)，CA 1→=(2，0，√3)，设平面CEF 的一个法向量为m →=(x 1，y 1，z 1)，由{m →⋅CE →=0m →⋅CF →=0，得{x 1+y 1=0y 1+√3z 1=0，取m →=(√3，−√3，1)，平面CA 1E 的法向量为n →=(x 2，y 2，z 2)，由{n →⋅CE →=0n →⋅CA 1→=0，得{x 2+y 2=02x 2+√3z 2=0，取n →=(√3，−√3，−2)，设平面CEF 与平面CA 1E 的夹角为θ，则cos θ=|m →⋅n →||m →||n →|=√3，√3，√3，√3，√(√3)2+(−√3)2+1√(√3)2+(−√3)2+(−2)2=2√7035，所以平面CEF 与平面CA 1E 夹角的余弦值为2√7035． 21．已知点A （2，0），B(−103，−43)在双曲线E ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)上．（1）求双曲线E 的方程；（2）直线l 与双曲线E 交于M ，N 两个不同的点（异于A ，B ），过M 作x 轴的垂线分别交直线AB ，直线AN 于点P ，Q ，当MP →=PQ →时，证明：直线l 过定点．解：（1）由题点A （2，0），B(−103，−43)在双曲线E ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)上，可得{ 4a2=1(−103)2a 2−(−43)2b 2=1，求得a 2＝4，b 2＝1，所以双曲线E 的方程为x 24−y 2=1．（2）由题意知，当l ⊥x 轴时，Q 与N 重合，由MP →=PQ →可知：P 是MQ 的中点，显然不符合题意．故l 的斜率存在，设l 的方程为y ＝kx +m ，联立{y =kx +mx 24−y 2=1，消去y 得（1﹣4k 2）x 2﹣8kmx ﹣4m 2﹣4＝0，则Δ＝64k 2m 2+16（m 2+1）（1﹣4k 2）＝16（m 2+1﹣4k 2）＞0， ∴m 2+1＞4k 2，且1﹣4k 2≠0．设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则 x 1+x 2=8km 1−4k2，x 1x 2=−4m 2+41−4k2．由于直线AB 的斜率为14，故AB 方程为y =14(x −2)，令x ＝x 1，得P(x 1，x 1−24)， AN 方程为y =y 2x 2−2(x −2)，令x ＝x 1得Q(x 1，x 1−2x 2−2y 2)．由MP →=PQ →，得点P 为线段MQ 的中点， ∴x 1−22=y 1+x 1−2x 2−2⋅y 2，即y 1x 1−2+y 2x 2−2=12，∴kx 1+m x 1−2+kx 2+m x 2−2=12．化简可得，(kx 1+m)(x 2−2)+(kx 2+m)(x 1−2)=12[x 1x 2−2(x 1+x 2)+4]，即（1﹣4k ）x 1x 2+（4k ﹣2m ﹣2）（x 1+x 2）+4+8m ＝0，将x 1+x 2=8km 1−4k2，x 1x 2=−4m 2+41−4k2代入得（1﹣4k ）•4m 2+41−4k 2+（4k ﹣2m ﹣2）•（−8km1−4k2）+4+8m ＝0，化简可得4m 2+16km +16k 2﹣16k ﹣8m ＝0，所以（m +2k ）（m +2k ﹣2）＝0，可得m ＝2﹣2k 或m ＝﹣2k ．当m ＝2﹣2k ，此时由Δ＞0，得k ＜58，符合题意；当m ＝﹣2k ，此时直线l 经过点A （2，0），与题意不符，舍去．所以l 的方程为y ＝kx +2﹣2k ，即y ＝k （x ﹣2）+2，所以直线l 过定点（2，2）．22．已知函数f （x ）＝e x +3ax 2﹣2（e +b ）x +b ﹣a +1（a ＞0，b ∈R ），且f （0）＞0，f （1）＞0．（1）若a ＝2，函数f （x ）在区间[12，1]上单调递增，求实数b 的取值范围；（2）证明：对于任意实数x ∈R ，f （x ）+2f （0）+3f （1）＞0．参考数据：e ≈2.7182818．解：（1＞a ＝2时，f （x ）＝e x +6x 2﹣2（e +b ）x +b ﹣1，由题知f ′（x ）＝e x +12x ﹣2（e +b ）≥0对任意x ∈[12，1]恒成立，因为f ′（x ）＝在[12，1]上单调递增，则f ′（x ）min ＝f ′（12）=√e +6﹣2（e +b ）≥0，得b ≤√e2+3﹣e ，又f （0）＝b ＞0，f （1）＝﹣b ﹣e +5＞0，得0＜b ＜5﹣e ，综上，0＜b ≤√e2+3﹣e ，即实数b 的取值范围是（0，√e2+3﹣e ]．（2）证明：法1：由题f （0）＝b ﹣a +2＞0，f （1）＝2a ﹣b ﹣e +1＞0，则a ﹣2＜b ＜2a +1﹣e ，而f ′（x ）＝e x +6ax ﹣2（e +b ），显然f ′（x ）在R 上单调递增， f ′（0）＝1﹣2（e +b ）＜1﹣2（e +a ﹣2）＝5﹣2e ﹣2a ＜0， f ′（1）＝e +6a ﹣2（b +e ）＞e +6a ﹣2（2a +1）＝2a +e ﹣2＞0，由零点存在定理知存在唯一x 0∈（0，1）使 f ′（x 0）＝0，e x 0=2（e +b ）﹣6ax 0，所以f （x ）在（﹣∞，x 0）单调递减，在（x 0，+∞）单调递增，所以f （x ）min ＝f （x 0），f （x 0）=e x 0+3a x 02−2（e +b ）x 0+b +1﹣a ＝3x 02−2（e +b +3a ）x 0+3b +2e +1﹣a ， 2f （0）+3f （1）＝4+2b ﹣2a +6a +3﹣3e ﹣3b ＝4a ﹣b +7﹣3e ，所以f （x ）+2f （0）+3f （1）≥f （x 0）+2f （0）+3f （1）＝3a x 02−2（e +b +3a ）x 0+3a +2b +8﹣e ＝（2﹣2x 0）b +3a x 02−2（e +3a ）x 0+3a +8﹣e＞（2﹣2x 0）（a ﹣2）+3a x 02−2（e +3a ）x 0+3a +8﹣e ＝3a x 02−2（4a +e ﹣2）x 0+5a +4﹣e ＝（3x 02−8x 0+5）a +（4﹣2e ）x 0+4﹣e ＝（x 0﹣1）（3x 0﹣5）a +（4﹣2e ）x 0+4﹣e ＞（4﹣2e ）x 0+4﹣e ，即g （x ）＝（4﹣2e ）x +4﹣e ，g （x ）单调递减，又e ln 2+6a 1n 2﹣2（e +b ）＝2+6aln 2﹣2（e +b ）＞2+6aln 2﹣2（2a +1）＝（6ln 2﹣4）a ＞0，故0＜x 0＜1n 2，又e 3＞16，故ln 2＜34，则g （x ）＞（4﹣2e ）×34+4﹣e ＝7−52e =14−5e2＞0，命题得证．法2：由题f （0）＝b ﹣a +2＞0，f （1）＝2a ﹣b ﹣e +1＞0，则a ﹣2＜b ＜2a +1﹣e ，而f ′（x ）＝e x +6ax ﹣2（e +b ），显然f ′（x ）在R 上单调递增， f ′（0）＝1﹣2（e +b ）＜1﹣2（e +a ﹣2）＝5﹣2e ﹣2a ＜0， f ′（34）=e 34+92a ﹣2（b +e ）＞e 34+92a ﹣2（2a +1）=e 34+12a ﹣2＞√e 34−2＞0，由零点存在定理知存在唯一x 0∈（0，34），使 f ′（x 0）＝，e x 0=2（e +b ）﹣6ax 0，f （x ）在（﹣∞，x 0）单调递减，在（x 0，+∞）单调递增，所以f （x ）min ＝f （x 0），f （x ）+2f （0）+3f （1）≥f （x 0）+2f （0）+3f （1）＝3a x 02−2（e +b +3a ）x 0+3a +2b +8﹣e ，记h （x ）＝3ax 2﹣2（e +b +3a ）x +3a +2b +8﹣e ，则对称轴x =e+b+3a3a＞1，所以h （x 0）≥h （34）＝3a •916−2（e +b +3a ）•34+3a +2b +8﹣e=316a +12b +8−52e ＞316a +12（a ﹣2）+8−52e =1116a +7−52e ＞0，命题得证．。

2024届浙江省宁波中学高考模拟考试(即一模)数学试题

2024届浙江省宁波中学高考模拟考试（即一模）数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．明代数学家程大位（1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的y 的值为2，则输入的x 的值为（）A ．74B ．5627C ．2D ．164812．己知函数sin ,2,2(),2223sin ,2,2(),222x x k k k z y x x k k k z ππππππππππ⎧⎛⎫⎡⎫+∈-+∈ ⎪⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭=⎨⎛⎫⎡⎫⎪-+∈++∈ ⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭⎩的图象与直线(2)(0)y m x m =+>恰有四个公共点()()()()11123344,,,,.,,,A x y B x y C x y D x y ，其中1234x x x x <<<，则()442tan x x +=（） A ．1-B ．0C ．1D ．222+ 3．i 是虚数单位，复数1z i =-在复平面上对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．“是函数()()1f x ax x =-在区间内单调递增”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知偶函数()f x 在区间(],0-∞内单调递减，()2log3a f =，sin 5b f π⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2314c f ⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 满足（）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．c b a <<6．已知数列{}n a 是公差为()d d ≠0的等差数列，且136,,a a a 成等比数列，则1a d=（） A ．4B ．3C ．2D ．17．已知函数()sin 22f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则函数()f x 的图象的对称轴方程为（） A ．,4x k k Z ππ=-∈B ．+,4x k k Z ππ=∈C ．1,2x k k Z π=∈ D ．1+,24x k k Z ππ=∈ 8．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）A ．53π B ．2πC ．52π D ．3π9．函数()4sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3π，则其图象向左平移6π个单位长度后得到的函数的一条对称轴是（） A ．4x π=B ．3x π=C ．56x π=D ．1912x π=10．已知复数z 满足32i z i ⋅=+（i 是虚数单位），则z =（） A ．23i +B ．23i -C ． 23i -+D ． 23i --11．某市政府决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（）种 A ．240B ．320C ．180D ．12012．为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（）A ．向右平移5π6个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向左平移5π12个长度单位二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024年浙江省宁波市部分学校中考数学一模模拟试题(解析版)

2024年浙江省宁波市部分学校中考数学一模试卷一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. ）A.B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直接利用相反数的定义：两数只有符号不同，即可得出答案．的相反数是故选：A ．【点睛】此题主要考查了实数的性质，正确掌握相反数的定义是解题关键．2. 下列计算正确的是（）A. －3＋2＝－5B. （－3）×（－5）＝－15C. －（－22）＝－4D. －（－3）2＝－9【答案】D【解析】【分析】根据有理数的加减运算与乘方运算及乘法的运算法则逐一计算可得．【详解】A. －3＋2＝－1，故错误；B. （－3）×（－5）＝15，故错误；C. －（－22）＝4，故错误；D. －（－3）2＝－9，正确，故选D.【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的加减运算与乘方运算及乘法的运算法则．3. 第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州举行，其体育场及田径比赛场地——杭州奥体中心体育场，俗称“大莲花”，总建筑面积约216000平方米，将数据216000用科学记数法表示为（）A. 321610×B. 421.610×C. 52.1610×D. 60.21610× 【答案】C【分析】根据科学记数法定义处理：把一个绝对值大于1的数表示成10n a ×，其中110a ≤<，n 等于原数整数位数减1．【详解】解：根据科学记数法定义，5216000 2.1610=×；故选：C ．【点睛】本题考查科学记数法，掌握科学记数法的定义是解题的关键．4. 如图，矩形ABCD 中，对角线AC BD 、交于点O ，若608AOB BD ∠=°=，，则AB =（）A. B. 4 C. 3 D. 5【答案】B【解析】【分析】本题考查了矩形对角线相等且互相平分的性质及等边三角形的判定方法，先由矩形的性质得出OA OB =，结合题意证明AO B 是等边三角形即可．【详解】解：由矩形对角线相等且互相平分可得132AOBO BD ===，即OAB 为等腰三角形，又60AOB ∠=°，∴OAB 为等边三角形．故4AB BO ==， ∴4DC AB ==．故选：B ．5. 为调查某班学生每天使用零花钱的情况，童老师随机调查了30名同学，结果如下表：每天使用零花钱（单位：元）510 15 20 25人数 2 5 8 9 6 则这30名同学每天使用的零花钱的众数和中位数分别是（）A. 20、15B. 20、17.5C. 20、20D. 15、15【解析】【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数;众数是一组数据中出现次数最多的数据.【详解】20出现了9次,出现的次数最多,所以这30名同学每天使用的零花钱的众数为20元;30个数据中,第15个和第16个数分别为15、20,它们的平均数为17.5,所以这30名同学每天使用的零花钱的中位数为17.5元.故选B.【点睛】本题为统计题,考查众数与中位数的意义.中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(或最中间两个数的平均数),叫做这组数据的中位数.如果中位数的概念掌握得不好,不把数据按要求重新排列,就会出错6. 如图，在半径为5的圆O 中，AB ，CD 是互相垂直的两条弦，垂足为P ，且AB =CD =8，则OP 的长为（）A. 3B. 4C. D.【答案】C【解析】【分析】连接OB ，OD ，OP ，过O 作OM AB ⊥，交AB 于点M ，过O 作ON CD ⊥，交CD 于点N ，首先利用勾股定理求得OM 的长，然后判定四边形OMPN 是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得OM 的长．【详解】解：连接OB ，OD ，OP ，过O 作OM AB ⊥，交AB 于点M ，过O 作ON CD ⊥，交CD 于点N ．∵AB =CD =8，∴BM =DN =4，由垂径定理，勾股定理得：OM =ON =3，∵AB ，CD 是互相垂直的两条弦，∴∠DPB =90°∵OM AB ⊥，ON CD ⊥，∴∠OMP =∠ONP =90°∴四边形MONP 是正方形，∴OP =故选C ．【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确地作出辅助线．7. 已知锐角∠AOB 如图，（1）在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心，OC 长为半径作 PQ，交射线OB 于点D ，连接CD ；（2）分别以点C ，D 为圆心，CD 长为半径作弧，交 PQ于点M ，N ；（3）连接OM ，MN ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A. ∠COM=∠CODB. 若OM=MN ，则∠AOB=20°C. MN ∥CDD. MN=3CD【答案】D【解析】【分析】由作图知CM=CD=DN ，再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得．【详解】解：由作图知CM=CD=DN ，∴∠COM=∠COD ，故A 选项正确；∵OM=ON=MN ，∴△OMN 是等边三角形，∴∠MON=60°，∵CM=CD=DN ，∴∠MOA=∠AOB=∠BON=13∠MON=20°，故B 选项正确； ∵∠MOA=∠AOB=∠BON ，∴∠OCD=∠OCM=180-COD 2°∠ ， ∴∠MCD=180-COD °∠，又∠CMN=12∠AON=∠COD ， ∴∠MCD+∠CMN=180°，∴MN ∥CD ，故C 选项正确；∵MC+CD+DN ＞MN ，且CM=CD=DN ，∴3CD ＞MN ，故D 选项错误；故选D ．【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理等知识点．8. 设a ，b ，m 均为实数，（）A. 若a b >，则a m b m +>−B. 若a b =，则ma mb =C. 若a m b m +>−，则a b >D. 若ma mb =，则a b =【答案】B【解析】【分析】根据等式的性质和不等式的性质可直接进行排除选项．【详解】解：A 、若a b >，则a m +不一定大于b m −，故错误；B 、若a b =，则ma mb =，故正确；C 、若a m b m +>−，则a 不一定大于b ，故错误；D 、若ma mb =，0m ≠，则a b =；若ma mb =，0m =，则a b 或a b =，故错误；故选：B ．【点睛】本题考查了等式的性质和不等式的性质．解题的关键是掌握等式的性质和不等式的性质，注意等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．9. 已知(),2024A m ，(),2024B m n +是抛物线()22040y x h =−−+上的两点，则正数n =（） A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】C【解析】【分析】本题考查二次函数的性质，根据函数图像上的点满足函数解析式列式求解即可得到答案；【详解】解：∵(),2024A m ，(),2024B m n +是抛物线()22040y x h =−−+上的两点， ∴2()20402024m h −−+=，2()20402024m n h −+−+=，∴2()16m h −=，2()16m n h +−=，∴4m h −=±，4m n h +−=±，即：44m h m n h −= +−=− 或44m h m n h −=− +−=，解得：8n =或8n =−，∵n 取正数，故：8n =，故选：C ．10. 如图，已知ABC ，O 为AC 上一点，以OB 为半径的圆经过点A ，且与BC 、OC 交于点E 、D ，设C α∠=，A β∠=，则(（）A. 若70αβ+=°，则弧DE 的度数为20°B. 若70αβ+=°，则弧DE 的度数为40°C. 若70αβ−=°，则弧DE 的度数为20°D. 若70αβ−=°，则弧DE 的度数为40°【答案】B【解析】【分析】本题考查了圆周角定理和三角形的外角性质，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键．连接BD ，根据圆周角定理求出90ABD ，求出90ADBβ∠=°−，再根据三角形外角性质得出1902x βα°−=+，求出 DE 的度数是1802()αβ°−+，再逐个判断即可．详解】解：连接BD ，设 DE的度数是x ，则12DBC x ∠=， AC 过O ，90ABD ∴∠=°，A β∠= ，90ADB β∴∠=°−，C α∠= ，ADB C DBC ∠=∠+∠，1902x βα∴°−=+，解得：1802()x αβ=°−+，即 DE的度数是1802()αβ°−+， A ．当70αβ+=°时， DE 度数是18014040°−°=°，故本选项不符合题意；B ．当70αβ+=°时， DE 的度数是18014040°−°=°，故本选项符合题意；C ．当70αβ−=°，即70αβ=°+时， DE的度数是1802(70)404βββ°−°++=°−或【的180(70)2502ααα°−+−°=°−，故本选项不符合题意；D ．当70αβ−=°时， DE的度数是404β°−或2502α°−，故本选项不符合题意；故选：B二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．11. 不等式30x −>的解集是______．【答案】3x >##3x <【解析】【分析】本题考查了一元一次不等式得解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键；根据一元一次不等式的解法直接解答即可．【详解】移项，得： 3x >．所以，不等式30x −>的解集是：3x >．故答案为：3x >．12. 在平面直角坐标系中，将点()23A −，向右平移3个单位长度后，那么平移后对应的点A ′的坐标是__________．【答案】()13，【解析】【分析】此题考查了点的坐标变化和平移之间的联系，根据平移时，点的坐标变化规律“左减右加”进行计算即可．【详解】根据题意，从点A 平移到点A ′，横坐标是231−+=，故点A ′的坐标是()13，故答案为：()13，． 13. 为了弘扬中华传统文化，营造书香校园文化氛围，某学校举行中华传统文化知识大赛活动，该学校从三名女生和两名男生中选出两名同学担任本次活动的主持人，则选出的恰为一男一女的概率是_________. 【答案】35【解析】【分析】画出树状图，再根据概率公式列式进行计算即可得解．【详解】解：画树状图如下，统计可得，共有20种机会均等的结果，其中一男一女占12种，则恰好抽中一男一女的概率是：123205= ；故答案为35. 【点睛】本题考查了应用列表法与树状图法求概率，准确分析是解题的关键.14. 如图，直线y x m =−+与()40y nx n n =+≠的交点的横坐标为2−，则关于x 的不等式4x m nx n −+>+的解集是_________．【答案】<2x −【解析】【分析】本题考查了一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系．满足关于x 的不等式4x m nx n −+>+就是直线4y nx n =+位于直线y x m =−+的下方的图象，据此求得自变量的取值范围，进而求解即可．【详解】解：∵直线y x m =−+与4y nx n =+的交点的横坐标为2−， ∴关于x 的不等式4x m nx n −+>+的解集为<2x −，故答案为：<2x −．15. 若关于x 的方程2230x kx k −+−=的一个实数根13x ≥，另一个实数根20x ≤，则关于x 的二次函数223y x kx k =−+−图象的顶点到x 轴距离h 的取值范围是______．【答案】81925h ≤≤ 【解析】【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，由题意得：3x =时，0y ≤，0x =时，0y ≤，可以确定k 的取值范围；二次函数顶点的纵坐标为23k k −+−，在k 的取值范围内计算出23k k −+−的取值范围，即可得到顶点到x 轴距离h 的取值范围．【详解】解：由题意得：3x =时，0y ≤，0x =时，0y ≤，即：963030k k k −+−≤ −≤ ，解得：635k ≤≤，二次函数()222233y x kx k x k k k =−+−=−−+−，顶点的纵坐标为：23k k −+−， 22111324k k k −+−=−−− ，又10−<，当635k ≤≤时，在65k =时，23k k −+−取得最大值，即：当65k =时，2668135525 −+−=− ，在3k =时，取得最小值，即：当3k =时，23339−+−=−，即：图象的顶点到x 轴的距离h 的最小值是81812525−=，图象的顶点到x 轴的距离h 的最大值是99−=，∴h 的取值范围是81925h ≤≤，故答案：81925h ≤≤． 16. 如图，在正方形ABCD 中，4AB ＝，32EC =，以点E 为直角顶点作等腰直角三角形DEF （D E F ，，为顺时针排列），连接AF ，则BF 的长为 ____________________，AF 的最大值为 ____________________．【答案】 ①.②. 4+##4+ 【解析】【分析】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质，正方形的性质等等，正确作出辅助线构造相似三角形从而确定点F 的运动轨迹是解题的关键．为如图所示，连接BD ，先证明BDF CDE =∠∠，DFBD DE CD ==，进而证明BDF CDE ∽得到BF =，则点F 在以点B 故当A B F 、、三等共线，AF 最大，据此可得答案．【详解】解：如图所示，连接BD ，∵四边形ABCD 是正方形，∴45CDB ∠=°，BD =，∵DEF 是以点E 为直角顶点的等腰直角三角形，∴45EDF CDB ∠∠°==，DF =，∴45BDF CDE BDE ∠=∠=°−∠，∴DFBD DE CD ==，∴BDF CDE ∽，∴BFBD CE CD==∴BF =，∴点F 在以点B 为半径的圆上运动， ∴当A B F 、、三等共线时，AF 最大，∴AF 的最大值为4+；4+三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 先化简，再求值： 21424a a ++−，其中2a =+．小明解答过程如下，请指出其中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．原式＝()()222114424a a a a ⋅−+⋅−+−……① 24a =−+……②2a =+……③当2a =+时，原式=【答案】小明的解答中步骤①开始出现错误，正确解答见解析【解析】【分析】此题考查了分式的化简求值，先利用分式的加法法则计算，得到化简结果，再把字母的值代入计算即可．【详解】小明的解答中步骤①开始出现错误，正确解答如下：21424a a ++− ()()()()242222a a a a a −++−+− ()()222a a a +=+− 12a =−当2a =+时，原式==18. 已知二次函数2y ax c =+，当0x =时，3y =，=1x −时，5y =．（1）求a ，c 的值．（2）当3x =−时，求函数y 的值．【答案】（1）2,3a c == （2）21【解析】分析】本题考查求二次函数解析式，求函数值；（1）待定系数法求函数解析式即可；（2）将3x =−代入解析式，求出函数y 的值即可．【小问1详解】解：由题意，得：35c a c = += ，解得：32c a = =， ∴2,3a c ==；【小问2详解】由（1）知：2,3a c ==， ∴223y x =+， ∴当3x =−时，()223329321y =×−+=×+=．19. 某学校计划组织学生开展课外活动，活动备选地点分别为美术馆A 、纪念馆B 、科技馆C 、博物馆D ．为了解全校学生最喜欢的活动地点，随机调查了部分学生（每人仅选一个）请根据以上信息，解答下列问题：（1）在本次抽样调查中，共调查了多少名学生？（2）求出m 的值，并将条形统计图补充完整．（3）若该校有1200名学生，估计该校学生最喜欢的活动地点为B 的人数．【答案】（1）50 （2）108°；图见解析（3）240名【解析】【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图以及利用样本估计总体等知识，属于常考题型，从统计图中得出解题所需要的信息是解题的关键．（1）用选择A 的人数除以其所占比例即可求出调查的人数；（2）用360°乘以选择D 的占比即可求出m 的值；先求出选择C 的人数，进而可补全统计图；【（3）利用样本估计总体的思想求解．【小问1详解】解：本次共调查的学生有2040%50÷=（名）；故答案为：50；【小问2详解】解：D 类活动对应扇形的圆心角为1536010850°×=°，故108m =．C 对应人数为()502010155−++=（名），补全条形图如下：【小问3详解】解：10120024050×=（名），答：估计该校最喜欢的活动地点为“B ”的学生人数大约为240名．20. 如图，在ABC 中，90BAC ∠=°，点D 是BC 中点，,AE BC CE AD ∥∥．（1）求证：四边形ADCE 是菱形；（2）若606B AB ∠=°=，，求四边形ADCE 的面积．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）先证四边形ADCE 是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得12AD BC CD ==，即可得出结论；（2）由已知得212BC AB ==，再由勾股定理得AC 的长，然后由菱形的性质和三角形面积关系得2ACD ABC ADCES S S == 菱形，即可求解．【小问1详解】证明：∵,AE BC CE AD ∥∥，∴四边形ADCE 是平行四边形，∵90BAC ∠=°，点D 是BC 的中点， ∴12AD BC CD ==， ∴平行四边形ADCE 是菱形；【小问2详解】解：∵9060BAC B ∠=°∠=°，，∴30BCA ∠=°，∴212BC AB ==，∴AC =，∵四边形ADCE 是菱形，点D 是BC 的中点，∴112622ACD ABC ADCE S S S AB AC ===×=××= 菱形【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、含30度直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，熟练掌握含30度直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质，证明四边形ADCE 为菱形是解题的关键．21. 设函数11k y x=，函数22y k x b =+（12,k k ，b 是常数，1200k k ≠≠，）．（1）若函数1y 和函数2y 的图像交于点()2,6A ，点()4,2B n −，①求b ，n 的值．②当12y y >时，直接写出x 的取值范围．（2）若点()8,C m 在函数1y 的图像上，点C 先向下平移1个单位，再向左平移3个单位，得点D ，点D 恰好落在函数1y 的图像上，求m 的值．【答案】（1）①9,5b n == ②02x <<或>4x （2）53m =−【解析】【分析】（1）①采用待定系数法即可求出．②采用数形结合的方法，求出两个解析式的交点，结合图像即可求出．（2）结合题意，表示出点D 的坐标，然后将C ,D 两点代入到1y 中即可求出．【小问1详解】①把点()2,6A 代入到11k y x=中，得 162k = 112k =112y x∴= 把()4,2B n −代入到112y x=中，得 1224n −=5n ∴= ()4,3B ∴再把()2,6A 和()4,3B 代入到22y k x b =+中，得 222643k b k b += += 解得：2329k b =− =2392y x ∴=−+ 综上：9,5b n ==．②如图所示：12392y x y x = =−+解得：121224,63x x y y == == (2,6),(4,3)A B ∴结合图像，当12y y >时，x 的取值范围是：02x <<或>4x ．【小问2详解】根据题意，()8, C m(5,1)D m ∴−把点C ，D 代入到1y 中，得11815k m k m = =− 解得：140353k m =− =−综上:53m =−．【点睛】本题主要考查了待定系数法，坐标的平移，反比例函数和一次函数的图像和性质，巧妙的运用数形结合的方法是解题的关键．22. 某河流的一段如图1所示，现要估算河的宽度（即河两岸相对的两点A ，B 间的距离），可以按如下步骤操作：①先在河的对岸选定一个目标作为点A ，使AB BC ⊥；②再在河的这一边选定点B 和点C ，使AB BC ⊥；③再选定点E ，然后用视线确定BC 和AE 的交点D ．（1）用皮尺测得174m BC =，60m DC =，50m EC =，求河的宽度AB ；（精确到0.1米）（2）请用所学过的知识设计一种测量旗杆高度AB 的方案．要求：①画出示意图，所测长度用a ，b ，c 等表示；②不要求写操作步骤；③结合所测数据直接用含a ，b ， c 等字母的式子表示出旗杆高度AB ．【答案】（1）95m （2）方案见解析，ac AB b =【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的应用——测量河宽和旗杆高．熟练掌握相似三角形的判断和性质，是解决问题的关键．（1）证明AB CE ，得到ABD ECD ∽△△，得到=AB BD CE CD，即得95AB =；（2）将标杆竖立在地面适当的位置，使点C 、D 、A 三点共线，测出CE b =，CB c =．根据AB ，DE 都垂直BC ，得到DE AB ∥，得到CDE CAB △≌△，得到AB CB DE CE =，旗杆的高ac AB b =．小问1详解】∵AB BC ⊥，CE BC ⊥，∴AB CE ，∴ABD ECD ∽△△， ∴=AB BD CE CD，即17460=5060AB −， ∴95AB =，答：河宽AB 为95m ；【小问2详解】（方法不唯一）如图．①将标杆DE a =竖立在一个适当的位置，使点C 和标杆的顶点D ，旗杆的顶点A 三点在一条直线上； ②测出CE b =，CB c =；【③计算旗杆的高度：∵DE BC ⊥，AB BC ⊥，∴DE AB ∥，∴CDE CAB △≌△， ∴AB CB DE CE=，即ac AB b =，故旗杆的高ac AB b=．23. 已知二次函数2y x bx c =++的图象经过点()2,c ．（1）若该二次函数图象与x 轴的一个交点是()10−，． ①求二次函数的表达式：②当2t x t ≤≤−时，函数最大值为M ，最小值为N ．若3M N −=，求t 的值；（2）对于该二次函数图象上的两点()()1123A x y B y ，，,，当11m x m +≤≤时，始终有12y y ≥．求m 的取值范围．【答案】（1）①2=23y x x −−；②t 的值为1− （2）2m ≤−或3m ≥．【解析】【分析】（1）①利用待定系数法求二次函数解析式；②利用配方法得到()214y x =−−，则抛物线的对称轴为直线1x =，顶点坐标为()14−，，再利用2t x t ≤≤−得1t ≤，所以21t −≥，根据二次函数的性质，当2t x t ≤≤−时，1x =时，函数有最小值4−，当x t =或2t t =−时，函数有最大值，即223M t t =−−，则()22343t t −−−−=，然后解方程即可；（2）先利用二次函数2y x bx c =++的图象经过点()2c ，得到2b =−，则可求出抛物线的对称轴为直线1x =，根据二次函数的性质，点A 到对称轴的距离大于或等于B 点到对称轴的距离，即1131x −≥−，解得11x ≤−或13x ≥，然后利用11m x m +≤≤得到11m +≤−或3m ≥，从而得到m 的范围．【小问1详解】解：①把()()210c −，，，分别代入2y x bx c =++ 得4210b c c b c ++= −+=，解得23b c =− =− ， ∴抛物线解析式为2=23y x x −−； ②∵()222314y x x x =−−=−−，∴抛物线的对称轴为直线1x =，顶点坐标为()14−，， ∵2t x t ≤≤−， ∴2t t ≤−，解得1t ≤，∴21t −≥， ∴当2t x t ≤≤−时，1x =时，函数有最小值-4，即N =-4，当x t =或2t t =−时，函数有最大值，即223M t t =−−， ∵3M N −=，∴()22343t t −−−−= t 2-2t -3-（-4）=3，解得11t =+，21t =−∴t 的值为1【小问2详解】 ∵二次函数2y x bx c =++的图象经过点（()2c ，， ∴42b c c ++=，解得2b =−， ∴22y x x c =−+，抛物线的对称轴为直线1x =， ∵()()1123A x y B y ，，，在抛物线上，且12y y ≥， ∴点A 到对称轴的距离大于或等于B 点到对称轴的距离，∴1131x −≥−，∴11x ≤−或13x ≥，∵11m x m +≤≤，∴11m +≤−或3m ≥，解得2m ≤−或3m ≥．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，一元二次方程和不等式组解法，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．24. 如图，△ABC 是圆O 的内接三角形，连结BO 并延长交AC 于点D ，设∠ACB ＝α，∠BAC ＝m α．（1）若α＝30°，求∠ABD 的度数；（2）若∠ADB ＝n α＋90°，求证m ＋n ＝1；（3）若弧AB 长是⊙O 周长的14，2∠ADB ＝5∠CBD ，求ABD BCDS S ．【答案】（1）60° （2）见解析（3【解析】【分析】（1）连接OA ，由∠ACB =α=30°，得∠AOB =2∠ACB =60°，根据OA =OB ，即得△AOB 是等边三角形，故∠ABD =60°；（2）延长BD 交⊙O 于E ，连接CE ，用两种方法表示∠ACE ，列方程变形即可得证明；（3）过D 作DM ⊥BC 于M ，作DN ⊥AB 于N ，由弧AB 长是⊙O 周长的14，可得∠AOB =90°，从而可证△AOB 、△DCM 、△BDN2∠ADB =5∠CBD ，可得∠CBD =30°，∠BAC =60°，设MD =MC =t ，在Rt △DCM中，CD = ，在Rt △BDM 中，BD =2DM =2t ，在Rt △BDN 中，DN =，在Rt △ADN中，AD =，即可得ABDBCDS AD S CD == ．【小问1详解】连接OA ，如图：∵∠ACB ＝α＝30°，∴∠AOB ＝2∠ACB ＝60°，∵OA ＝OB ，∴△AOB 是等边三角形，∴∠ABD ＝60°；【小问2详解】延长BD 交⊙O 于E ，连接CE ，如图：∵BE 为⊙O 直径，∴∠BCE ＝90°，即∠ACE ＝90°﹣α，△CDE 中，∠E ＝∠A ＝m α，∠EDC ＝∠ADB ＝n α＋90°，∴∠DCE ＝180°﹣∠E ﹣∠EDC ＝90°﹣m α﹣n α，即∠ACE ＝90°﹣m α﹣n α，∴90°﹣α＝90°﹣m α﹣n α，∴m ＋n ＝1；【小问3详解】过D 作DM ⊥BC 于M ，作DN ⊥AB 于N ，如图：∵弧AB 长是⊙O 周长的14， ∴∠AOB ＝90°， ∴△AOB 是等腰直角三角形，∠ABO ＝45°，∠ACB ＝12∠AOB ＝45°，∴△DCM 、△BDN 是等腰直角三角形，∵2∠ADB ＝5∠CBD ，∴2（∠CBD ＋∠ACB ）＝5∠CBD ，∴2∠ACB ＝3∠CBD ，∴∠CBD ＝30°，∴∠BAC ＝180°﹣∠ACB ﹣∠CBD ﹣∠ABO ＝60°，设MD ＝MC ＝t ，在Rt △DCM 中，CDMD＝t ，在Rt △BDM 中，BD ＝2DM ＝2t ，在Rt △BDN 中，DNt ，在Rt △ADN 中，AD ＝sin DN BAC ∠＝sin 60DN °t ， ∴ABD BCD S S ＝AD CD．【点睛】本题考查圆的性质及综合应用，涉及等边三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是用含t 的代数式表示CD 和AD 的长度．。

浙江省宁波市2021届新高考第一次模拟数学试题含解析

浙江省宁波市2021届新高考第一次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，已知3,1,30a b B ===o ，则A 为( )A ．60oB ．120oC ．60o 或150oD ．60o 或120o【答案】D 【解析】【分析】由正弦定理可求得3sin A =，再由角A 的范围可求得角A. 【详解】由正弦定理可知sin sin a b A B =，所以31sin sin 30A =o，解得3sin 2A =，又0180A <<o o，且>a b ，所以60A ︒=或120︒。

故选：D. 【点睛】本题主要考查正弦定理,注意角的范围，是否有两解的情况，属于基础题.2．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（）A 5B ．3C ．8D ．83【答案】B 【解析】【分析】根据三视图可以得到原几何体为三棱锥，且是有三条棱互相垂直的三棱锥，根据几何体的各面面积可得最大面的面积．【详解】解：分析题意可知，如下图所示，该几何体为一个正方体中的三棱锥A BCD -，最大面的表面边长为22ABC ， 23(22)23=，故选B ．【点睛】本题考查了几何体的三视图问题，解题的关键是要能由三视图解析出原几何体，从而解决问题． 3．若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离是4，则k 的值是( ) A ．1 B ．-3C ．1或53D ．-3或173【答案】D 【解析】【分析】 222512645(12)k ⨯-+=+-，解方程即得k 的值.【详解】 222512645(12)k ⨯-+=+-，解方程即得k=-3或173.故答案为：D 【点睛】(1)本题主要考查点到直线的距离公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算推理能力.(2) 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离0022Ax By C d A B++=+.4．高三珠海一模中，经抽样分析，全市理科数学成绩X 近似服从正态分布()285,N σ，且(6085)0.3P X <≤=．从中随机抽取参加此次考试的学生500名，估计理科数学成绩不低于110分的学生人数约为（） A ．40B ．60C ．80D ．100【答案】D 【解析】【分析】由正态分布的性质，根据题意，得到(110)(60)P X P X ≥=≤，求出概率，再由题中数据，即可求出结果. 【详解】由题意，成绩X 近似服从正态分布()285,N σ，则正态分布曲线的对称轴为85x =，根据正态分布曲线的对称性，求得(110)(60)0.50.30.2P X P X ≥=≤=-=，所以该市某校有500人中，估计该校数学成绩不低于110分的人数为5000.2100⨯=人，故选:D . 【点睛】本题考查正态分布的图象和性质,考查学生分析问题的能力,难度容易.5．已知()21,+=-∈a i bi a b R ，其中i 是虚数单位，则z a bi =-对应的点的坐标为（） A ．()12,- B ．()21,-C ．()1,2D ．()2,1【答案】C 【解析】【分析】利用复数相等的条件求得a ，b ，则答案可求．【详解】由21a i bi +=-，得1a =，2b =-．z a bi ∴=-对应的点的坐标为(a ，)(1b -=，2)．故选：C ．【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数相等的条件，是基础题． 6．若复数12biz i-=+（b R,i ∈为虚数单位）的实部与虚部相等，则b 的值为( )A ．3B ．3±C ．3-D ．【答案】C 【解析】【分析】利用复数的除法，以及复数的基本概念求解即可. 【详解】()221125b b ibi z i --+-==+，又z 的实部与虚部相等， 221b b ∴-=+，解得3b =-.故选:C 【点睛】本题主要考查复数的除法运算，复数的概念运用.7．设a ，b ，c 分别是ABC ∆中A ∠，B Ð，C ∠所对边的边长，则直线sin 0A x ay c ⋅--=与sin sin 0bx B y C +⋅+=的位置关系是（）A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直【答案】C 【解析】试题分析：由已知直线sin 0A x ay c ⋅--=的斜率为，直线sin sin 0bx B y C +⋅+=的斜率为，又由正弦定理得，故，两直线垂直考点：直线与直线的位置关系8．已知复数22z a i a i =--是正实数，则实数a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．1- D ．1±【答案】C 【解析】【分析】将复数化成标准形式，由题意可得实部大于零，虚部等于零，即可得到答案. 【详解】因为2222(1)z a i a i a a i =--=-+-为正实数，所以20a ->且210a -=，解得1a =-. 故选：C 【点睛】本题考查复数的基本定义，属基础题.9．如图是2017年第一季度五省GDP 情况图，则下列陈述中不正确的是（）A ．2017年第一季度GDP 增速由高到低排位第5的是浙江省．B ．与去年同期相比，2017年第一季度的GDP 总量实现了增长．C ．2017年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个D ．去年同期河南省的GDP 总量不超过4000亿元．【答案】C 【解析】【分析】利用图表中的数据进行分析即可求解. 【详解】对于A 选项：2017年第一季度5省的GDP 增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，故A 正确；对于B 选项：与去年同期相比，2017年第一季度5省的GDP 均有不同的增长，所以其总量也实现了增长，故B 正确；对于C 选项：2017年第一季度GDP 总量由高到低排位分别是：江苏、山东、浙江、河南、辽宁，2017年第一季度5省的GDP 增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，均居同一位的省有2个，故C 错误；对于D 选项：去年同期河南省的GDP 总量14067.43815.5740001 6.6%⨯≈<+，故D 正确.故选：C. 【点睛】本题考查了图表分析，学生的分析能力，推理能力，属于基础题.10．已知直线l ：310kx y k --+=与椭圆22122:1(0)x yC a b a b+=>>交于A 、B 两点，与圆2C ：()()22311x y -+-=交于C 、D 两点.若存在[]2,1k ∈--，使得AC DB =u u u r u u u r，则椭圆1C 的离心率的取值范围为（）A．⎣⎦B．3C．(0,3D．3【答案】A 【解析】【分析】由题意可知直线过定点即为圆心，由此得到,A B 坐标的关系，再根据点差法得到直线的斜率k 与,A B 坐标的关系，由此化简并求解出离心率的取值范围. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，且线:310l kx y k --+=过定点()3,1即为2C 的圆心，因为AC DB =u u u r u u u r ，所以1212236212C D C D x x x x y y y y +=+=⨯=⎧⎨+=+=⨯=⎩，又因为2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩，所以()()2222221212b x x a y y -=--，所以2121221212y y x x b x x a y y -+=-⋅-+，所以[]2232,1b k a=-∈--，所以2212,33b a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22212,33a c a -⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()2121,33e ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以e ∈⎣⎦. 故选：A. 【点睛】本题考查椭圆与圆的综合应用，着重考查了椭圆离心率求解以及点差法的运用，难度一般.通过运用点差法达到“设而不求”的目的，大大简化运算. 11．集合{}|M y y x ==∈Z 的真子集的个数为( )A ．7B ．8C ．31D ．32【答案】A 【解析】【分析】计算{}M =，再计算真子集个数得到答案. 【详解】{}{}|M y y x ==∈=Z ，故真子集个数为：3217-=.故选：A .【点睛】本题考查了集合的真子集个数，意在考查学生的计算能力. 12．已知函数31()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫=++⎪-⎝⎭，若(21)(0)f a f ->，则a 的取值范围为（） A ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．()0,1C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】求出函数定义域，在定义域内确定函数的单调性，利用单调性解不等式．【详解】由101xx+>-得11x -<<，在(1,1)x ∈-时，3y x =是增函数，sin y x =是增函数，12lnln(1)11x y x x+==-+--是增函数，∴31()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫=++⎪-⎝⎭是增函数， ∴由(21)(0)f a f ->得0211a <-<，解得112a <<．故选：C. 【点睛】本题考查函数的单调性，考查解函数不等式，解题关键是确定函数的单调性，解题时可先确定函数定义域，在定义域内求解．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

浙江省宁波市2021届新高考数学一模考试卷含解析

浙江省宁波市2021届新高考数学一模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a ⊂α，b ⊂β，a //β，b //α，则“a //b“是“α//β”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据面面平行的判定及性质求解即可．【详解】解：a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α，由a ∥b ，不一定有α∥β，α与β可能相交；反之，由α∥β，可得a ∥b 或a 与b 异面，∴a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α，则“a ∥b“是“α∥β”的既不充分也不必要条件．故选：D.【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判断，考查面面平行的判定与性质，属于基础题．2．空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面α，β，λ两两互相垂直，点A α∈，点A 到β，γ的距离都是3，点P 是α上的动点，满足P 到β的距离与P 到点A 的距离相等，则点P 的轨迹上的点到β的距离的最小值是（）A ．3B ．3CD ．32 【答案】D【解析】【分析】建立平面直角坐标系，将问题转化为点P 的轨迹上的点到x 轴的距离的最小值，利用P 到x 轴的距离等于P 到点A 的距离得到P 点轨迹方程，得到()26399y x =-+≥，进而得到所求最小值.【详解】如图，原题等价于在直角坐标系xOy 中，点()3,3A ，P 是第一象限内的动点，满足P 到x 轴的距离等于点P 到点A 的距离，求点P 的轨迹上的点到x 轴的距离的最小值．设(),P x y ，则()()2233y x y =-+-，化简得：()23690x y --+=，则()26399y x =-+≥，解得：32y ≥，即点P 的轨迹上的点到β的距离的最小值是32. 故选：D .【点睛】本题考查立体几何中点面距离最值的求解，关键是能够准确求得动点轨迹方程，进而根据轨迹方程构造不等关系求得最值.3．已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A B 、两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =u u u v u u u v ，则该双曲线的离心率为（）A 32B ．23C 30D 5【答案】B 【解析】【分析】先求出直线l 的方程为y 222ab a b =-（x ﹣c ），与y ＝±b ax 联立，可得A ，B 的纵坐标，利用2AF FB =u u u r u u u r ，求出a ，b 的关系，即可求出该双曲线的离心率．【详解】双曲线2222x y a b-=1（a ＞b ＞0）的渐近线方程为y ＝±b a x ， ∵直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，∴k l 222ab a b =-， ∴直线l 的方程为y 222ab a b =-（x ﹣c ），与y ＝±b a x 联立，可得y 2223abc a b =--或y 222abc a b =+， ∵2AF FB =u u u r u u u r ， ∴222abc a b =+2•2223abc a b -，∴a =，∴c ＝2b ，∴e c a ==．故选B ．【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题．4．若集合{}{,33A x y B x x ===-≤≤，则A B =I （） A ．[]3,2-B ．{}23x x ≤≤C ．()2,3D ．{}32x x -≤< 【答案】A【解析】【分析】先确定集合A 中的元素，然后由交集定义求解．【详解】 {{}{}2,33A x y x x B x x ===≤=-≤≤Q ，{}32x x ∴A⋂B =-≤≤.故选：A ．【点睛】本题考查求集合的交集运算，掌握交集定义是解题关键．5．已知函数21()log 1||f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(lg )3f x >的解集为（） A ．1,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,(10,)10⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭ C ．(1,10) D ．1,1(1,10)10⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，得到1lg 1x -<<，且lg 0x ≠，解不等式得解.【详解】由题得函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U .因为()()f x f x -=，所以()f x 为(,0)(0,)-∞+∞U 上的偶函数，因为函数11||y y x =+=，都是在(0,)+∞上单调递减. 所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递减.因为(1)3,(lg )3(1)f f x f =>=，所以1lg 1x -<<，且lg 0x ≠，解得1,1(1,10)10x ⎛⎫∈⋃⎪⎝⎭. 故选：D【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查函数的奇偶性和单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．已知三棱锥P ABC -中，ABC ∆是等边三角形，AB PA PC PA BC ===⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（）A ．25πB ．75πC ．80πD ．100π 【答案】D【解析】【分析】根据底面为等边三角形，取BC 中点M ，可证明BC ⊥平面PAM ，从而BC PM ⊥，即可证明三棱锥P ABC -为正三棱锥.取底面等边ABC ∆的重心为O '，可求得P 到平面ABC 的距离，画出几何关系，设球心为O ，即可由球的性质和勾股定理求得球的半径，进而得球的表面积.【详解】设M 为BC 中点，ABC ∆是等边三角形，所以AM BC ⊥，又因为PA BC ⊥，且PA AM A =I ，所以BC ⊥平面PAM ，则BC PM ⊥，由三线合一性质可知,PB PA PC ==所以三棱锥P ABC -为正三棱锥，43,AB =25,PA PB PC ===设底面等边ABC ∆的重心为O '，可得226433AO AM '==⨯=，2220162PO PA AO '=-'=-=，所以三棱锥P ABC -的外接球球心在面ABC 下方，设为O ，如下图所示：由球的性质可知，PO ⊥平面ABC ，且,,P O O '在同一直线上，设球的半径为R ，在Rt AOO ∆'中，222AO AO OO ='+'，即()22162R R =+-，解得5R =，所以三棱锥P ABC -的外接球表面积为24425100S R πππ==⨯=，故选：D.【点睛】本题考查了三棱锥的结构特征和相关计算，正三棱锥的外接球半径求法，球的表面积求法，对空间想象能力要求较高，属于中档题. 7．使得()3nx n N x x +⎛∈ ⎝的展开式中含有常数项的最小的n 为( ) A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】B【解析】二项式展开式的通项公式为r -n 3x n r r C x x （），若展开式中有常数项，则3--=02n r r ，解得5=2n r ，当r 取2时，n 的最小值为5，故选B 【考点定位】本题考查二项式定理的应用．8．若i 为虚数单位，则复数22sincos 33z i ππ=-+，则z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B【解析】【分析】首先根据特殊角的三角函数值将复数化为12z i =-，求出z ，再利用复数的几何意义即可求解. 【详解】Q 221sin cos 332z i i ππ=-+=，122i z -∴=+，则z 在复平面内对应的点的坐标为21⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，位于第二象限.故选：B【点睛】本题考查了复数的几何意义、共轭复数的概念、特殊角的三角函数值，属于基础题.9．设集合{}2A x x a =-<<，{}0,2,4B =，若集合A B I 中有且仅有2个元素，则实数a 的取值范围为A ．()0,2B ．(]2,4C ．[)4,+∞D ．(),0-∞ 【答案】B【解析】【分析】由题意知{}02A ⊆，且4A ∉，结合数轴即可求得a 的取值范围. 【详解】由题意知，{}=02A B I ，，则{}02A ⊆，，故2a >，又4A ∉，则4a ≤，所以24a <≤，所以本题答案为B.【点睛】本题主要考查了集合的关系及运算，以及借助数轴解决有关问题，其中确定A B I 中的元素是解题的关键，属于基础题.10．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：()()2262x m y m -+--=与圆2C ：()()22121x y ++-=交于A ，B 两点，若OA OB =，则实数m 的值为（）A ．1B ．2C ．-1D ．-2 【答案】D【解析】【分析】由OA OB =可得，O 在AB 的中垂线上，结合圆的性质可知O 在两个圆心的连线上，从而可求.【详解】因为OA OB =，所以O 在AB 的中垂线上，即O 在两个圆心的连线上，()0,0O ，()1,6C m m +，()21,2C -三点共线，所以62m m+=-，得2m =-，故选D. 【点睛】本题主要考查圆的性质应用，几何性质的转化是求解的捷径.11．已知()()()sin cos sin cos k k A k παπααα++=+∈Z ，则A 的值构成的集合是（）A ．{1,1,2,2}--B ．{1,1}-C ．{2,2}-D ．{}1,1,0,2,2-- 【答案】C【解析】【分析】对k 分奇数、偶数进行讨论，利用诱导公式化简可得.【详解】k 为偶数时，sin cos 2sin cos A αααα=+=；k 为奇数时，sin cos 2sin cos A αααα=--=-，则A 的值构成的集合为{}2,2-.【点睛】本题考查三角式的化简，诱导公式，分类讨论，属于基本题.12．在311(21)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为( ) A ．1B ．2C ．3D ．7【答案】D【解析】【分析】求出3(21)x +展开项中的常数项及含x 的项，问题得解。

2023年浙江省宁波市高三上学期高考一模数学试卷带讲解

宁波市2022学年第一学期高考模拟考试高三数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合(){}ln 1A x y x ==-，{}260B x xx =--<，则AB =（）A. {}12x x << B. {}13x x <<C. {}2x x >-D. {}1x x >【答案】B【分析】先求对数函数的定义域化简集合A ，再解二次不等式化简集合B ，从而利用集合的交集运算求得结果. 【详解】因()ln 1y x =-，所以10x ->，得1x >，故{}1A x x =>，由260x x --<得()()320x x -+<，解得23x -<<，故{}23B x x =-<<，所以利用数轴法易得{}13A B x x ⋂=<<. 故选：B.2. 已知数列{}n a 与{}n b 均为等差数列，且354a b +=，598a b +=，则47a b +=（） A. 5 B. 6C. 7D. 8【答案】B【分析】根据等差数列的性质即可求解. 【详解】因为354a b +=，598a b +=，所以355912a b a b ++=+，即 355912a a b b ++=+，根据等差数列的性质可知3559472212a a b b a b ++=+=+，所以476a b +=. 故选:B.3. 若i12i 1ia +=-++（a R ∈，i 为虚数单位），则i a -=（）A. B. C. D. 【答案】B【分析】根据复数的运算法则求得参数a ，再求目标复数的模长即可. 【详解】因为i12i 1ia +=-++，故()()i 1i 12i 3i a +=+-+=-+，故3a =-，则i 3i a -=--== 故选：B.4. 一种药品在病人血液中的量不低于1500mg 时才有疗效，如果用药前，病人血液中该药品的量为0mg ，用药后，药在血液中以每小时20%的比例衰减．现给某病人静脉注射了3000mg 的此药品，为了持续保持疗效，则最长需要在多少小时后再次注射此药品（lg 20.301≈，结果精确到0.1）（） A. 2.7 B. 2.9C. 3.1D. 3.3【答案】C【分析】根据题意列出关于n 的式子，根据对数的运算性质即可求解. 【详解】设注射n 个小时后需要向病人血液中再次注射该药品，则()41lg 23000120%15005212lg 2nnn ⎛⎫⨯-≥⇒≥⇒≤⎪-⎝⎭，由lg 20.301≈得： 3.1n ≤ 故n 的最大值为3.1, 故选：C5. 已知两个非零向量a ，b 的夹角为60°，且()2a a b ⊥-，则a ba b+=-（）A.13B.3C.D. 3【答案】C【分析】根据向量的垂直关系可得a b =，进而根据模长公式即可求解. 【详解】由()2a a b ⊥-得2222=0=2=2cos60aa b a a ba ab a b ，22223a b a b aba b a 2222a ba b aba ba ，所以33a ba a ba+==-，故选：C6. 已知()0,2A ，()(),00B t t <，动点C 在曲线T ：()2401y x x =≤≤上，若△ABC 面积的最小值为1，则t 不可能为（） A. 4- B. 3- C. 2-D. 1-【答案】D【分析】设200,4y C y ⎛⎫⎪⎝⎭，求出直线AB 的方程，利用点到直线的距离公式求出点C 到直线AB 的距离，再求出AB ，可得[]20022,2,22ABCy ty tS y +-=∈-△，分别代入4t =-、3t =-、2t =-及1t =-，判断最小值是否为1即可.【详解】设200,4y C y ⎛⎫⎪⎝⎭，因为[]0,1x ∈，所以[]2,2y ∈-，即[]02,2y ∈-. 直线AB 的方程为12x yt +=，即()2200x ty t t +-=<. 因为[]02,2y ∈-，0t <，所以()22000022022y y ty t y t +-=+->.则点C 到直线AB的距离为2002y ty t d +-==. 因为()0,2A ，(),0B t，所以AB =所以220000221222ABCy y ty t ty tS +-+-==△. 当4t =-时，[]200482,2,22ABC y y S y -+=∈-△，可得当02y =时，()min 1ABC S =△，符合题意；当3t =-时，[]2000362,2,22ABC y y S y -+=∈-△，可得当02y =时，()min 1ABC S =△，符合题意；当2t =-时，[]2000242,2,22ABCy y S y -+=∈-△，可得当02y =时，()min 1ABC S =△，符合题意；当1t =-时，[]200022,2,22ABCy y S y -+=∈-△，可得当01y =时，()min 34ABC S =△，不符合题意. 故t 不可能为1-. 故选:D.7. 若函数()2f x x mx n =++在区间()1,1-上有两个零点，则2221n m n -++的取值范围是( ) A. ()0,1 B. ()1,2 C. ()0,4 D. ()1,4【答案】A【分析】令()()()212f x x mx n x x x x =++=--，且()12,1,1x x ∈-，12x x ≠，注意到()()()()()22222111111n m n n m m n m n f f -++=+-=++-+=-，则将问题转化为求()()11f f -的范围即可．【详解】令()()()212f x x mx n x x x x =++=--，且()12,1,1x x ∈-，12x x ≠，根据，将()()()()()22222111111n m n n m m n m n f f -++=+-=++-+=-，()()()()()()()()()()221212121111111111f f m n m n x x x x x x -=++-+=------=--，又21011x <-≤，22011x <-≤，∴()()(]110,1f f -∈，又12x x ≠，∴()()()110,1f f -∈，即()22210,1n m n -++∈，故选：A ．8. 在正四棱台1111ABCD A B C D -中，112AB A B =，1AA =的表面积为（） A.332πB. 33πC.572πD. 57π【答案】D【分析】根据正棱台的性质，表示出棱台的高与边长之间的关系，根据棱台的体积公式，将体积函数式子表示出来，利用不等式求解最值，得到棱台的高.因为外接球的球心一定在棱台上下底面中心的连线及其延长线上，通过作图，数形结合，求出外接球的半径，得到表面积.【详解】图1设底边长为a ，原四棱锥的高为h ，如图1，1,O O 分别是上下底面的中心，连结1OO ，11O A ，OA ，根据边长关系，知该棱台的高为2h，则11112173224ABCD A B C D h a h V -==，由1AA 11AOO A为直角梯形，111124O A A B a ==，22OA AB a ==，可得=h =11112724ABCD A B C D a h V -==283=≤=当且仅当22482a a =-，即4a =时等号成立，此时棱台的高为1.上底面外接圆半径111r AO==r AO ==，设球的半径为R ，显然球心M 在1OO 所在的直线上.显然球心M 在1OO 所在的直线上.图2当棱台两底面在球心异侧时，即球心M 在线段1OO 上，如图2，设OM x =，则11O M x =-，01x <<，显然1MA MA R ====解得0x <，舍去.图3当棱台两底面在球心异侧时，显然球心M 在线段1O O 的延长线上，如图3，设OM x =，则11O M x =+，显然1MC MA R ====解得52x =，2R ==，此时，外接球的表面积为2244572R πππ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 若函数()()()sin 20f x x ϕϕ=+<<π的图象关于直线6x π=对称，则（）A. ()102f =B. ()f x 的图象关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称 C. ()f x 在区间0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D. ()f x 在区间()0,π上有2个极值点【答案】ABD【分析】先根据图象关于直线6x π=对称可求得ϕ，从而得到解析式，赋值法可判断AB ，整体代入法可判断C ，根据三角函数中极值点的含义可判断D.【详解】若函数()()()sin 20f x x ϕϕ=+<<π的图象关于直线6x π=对称，则262k ππϕπ⨯+=+，解得6k πϕπ=+，Z k ∈，而0ϕπ<<，所以6πϕ=，故()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭. 对于A ，()10sin 62f π==，A 正确；对于B ，5()sin 012f π=π=，所以图象关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，B 正确；对于C ，令222262k x k πππππ-≤+≤+，即36k x k ππππ-≤≤+，Z k ∈，当0k =时，单调递增区间为[,]36ππ-，0,3π⎛⎫⎪⎝⎭不是其子区间，C 错误；对于D ，三角函数的极值点即为函数图像对称轴所对应的横坐标，令262x k πππ+=+，得26k x ππ=+，当0k =和1k =时，6x π=和23x π=为()f x 在区间()0,π上的2个极值点，D 正确. 故选：ABD10. 已知直线l ：()31002mx y m m -++=>与圆O ：224x y +=相交于,A B 两点，与两坐标轴分别交于,C D 两点，记AOB 的面积为1S ，COD △的面积为2S ，则（）A. 12S ≤B. 存在m ，使23S =C. AB ≥D. 存在m ，使AB CD =【答案】ABC【分析】运用数形结合思想，结合面积公式和点到直线距离，两点间距离，直线与圆弦长公式即可. 【详解】A.直线l ：()31002mx y m m -++=>，当0x = 时，312y m =+ ，当0y = 时，312x m=--，所以CD =，因为圆心为(0,0),2O r =，所以圆心到直线的距离d = ，所以根据直线被圆截得的弦长公式有2242AB d ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得AB =，所以()22141222d d S AB d d -+=⨯===，当且仅当224d d-=即d =d ==解得6m =时取得等号.所以12S ≤，故A 正确. B.直线l ：()31002mx y m m -++=>，当0x = 时，312y m =+ ；当0y = 时，312x m=--，所以21331(1)()222S m m =++191(3)24m m =++113)2m m≥+3=当23m = 时，23S =，故B 正确.C.直线l ：()31002mx y m m -++=>过定点3(,1)2P - 在圆内，因为圆O ：224x y +=，圆心为(0,0),2O r =，所以圆心到直线的距离d=因为AB =≥==，当且仅当l OP ⊥时，d PC =,所以l 被截得的弦长最短AB =所以AB ≥故C 正确.D.要使AB CD =，则AB 与CD 重合，此时AB 的直线方程为2y x =+不过定点3(,1)2P -，故D 错. 故选:ABC.11. 已知正实数a 、b 满足()221a b a b ab +-++=，则（）A. a b +的最大值为2B. a b +的最小值为12C. 22a b +的最小值为2D. 22a b +的最大值为3【答案】AC【分析】利用基本不等式可得出关于a b +的不等式，解出a b +的取值范围，可判断AB 选项；由已知可得出()()22222a b a b a b +=-++++，利用二次函数的基本性质结合a b +的取值范围，可得出22a b +的取值范围，可判断CD 选项.【详解】因为正实数a 、b 满足()221a b a b ab +-++=，则()()221112a b a b a b ab +⎛⎫<+-+=+≤+ ⎪⎝⎭，因为0a b +>，解得122a b +<+≤，当且仅当1a b ==时，a b +取最大值2，则A 对B 错；因为()()()()222222212a b a b a b a b ab a b a b +-++-++=+-++=，所以，()()22222a b a b a b +=-++++，令122t a b ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦，因为函数222y t t =-++在1,22⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，所以，()()22222a b a b a b ⎡+=-++++∈⎢⎣⎭，C 对D 错. 故选：AC.12. 如果定义在R 上函数()f x 满足：对任意x y >，有()()2f x f y ≤，则称其为“好函数”，所有“好函数”()f x 形成集合Γ．下列结论正确的有（）A. 任意()f x ∈Γ，均有()0f x ≥B. 存在()f x ∈Γ及0x ∈R ，使()02022f x =C. 存在实数M ，对于任意()f x ∈Γ，均有()f x M ≤D. 存在()f x ∈Γ，对于任意x ∈R ，均有()f x x ≥ 【答案】AC【分析】首先对于A ，取y x >，即可证明；对于BCD ，利用归纳推理以及反证法即可求解. 【详解】A 项：()f x ∀∈Γ，取y x >，由于2()()f x f y ≥，故()0f x ≥，正确； B 项：假如()f x ∈Γ及0x ∈R ，使()02022f x =，现任取00,0x x δδ+>>，有24200002()()()()nf x f x f x f x n nδδδ≥+≥+≥≥+，因此20()2022nfx δ+≤，从而120()2022nf x δ+≤，令n →+∞，得0()1f x δ+≤，再任取00,0x x δδ-，有()()222220*********n nn n f x f x f x f x n n δδδ--⎛⎫⎛⎫-≥-≥-≥≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令n →+∞，得0()f x δ-=+∞，这表明()0,f x δ→在0x 处无定义，与()f x 定义在R 上矛盾，错误；C 项：用反证法，反设结论得R M ∀∈ ,()f x ∃∈Γ ,使得()f x M >，那么取02021,R M x =∃∈，使得()020222021f x =>，由B 分析知有矛盾，所以假设不成立，因此原命题为真，正确；D 项：若此选项成立，则()()f x x →+∞→+∞，与C 矛盾，错误. 故选：AC【点睛】方法点睛：对于抽象函数以及函数不等式常用的证明方法：（1）特殊值法：可以通过例举特殊值，验证结论错误；（2）反证法：可以通过反证法，先假设，再证明得出矛盾，则原命题为真；（3）归纳推理法：归纳推理的一般步骤是先证明当n 取第一个值时，命题正确；假设当n k =时，命题正确，证明当1n k =+时命题也正确.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若sin 2x x =，则cos2x =__________．【答案】12##0.5 【分析】利用辅助角公式得πsin 13x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即可求出π2π,6x k k =+∈Z 即可求解cos2x .【详解】因为πsin 2sin 23x x x ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭,所以ππ2π,32x k +=+ 即π2π,6x k k =+∈Z ，所以π24π,3x k k =+∈Z ，所以ππ1cos 2cos 4πcos 332x k ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭故答案为:12.14. 南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为离散量的垛积问题”，在他的专著《详解九章算法•商功》中，杨辉将堆垜与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍童垛等的公式，例如三角垛指的是如图顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个第n 层放n a 个物体堆成的堆垛，则1210111a a a +++=__________．【答案】2011【分析】由累加法即可求得n a ，再利用裂项相消法即可求解. 【详解】由题可知：1231,3,6a a a ===，即有()12n n a a n n --=≥，所以121321()()()n n n a a a a a a a a -=+---+++(1)12342n n n +=+++++=，当n=1成立所以1222(1)1n a n n n n ==-++，所以121011122222222223341011a a a +++=-+-+-++- 22021111=-=. 故答案为：201115. 在棱长均相等的四面体ABCD 中，P 为棱AD （不含端点）上的动点，过点A 的平面α与平面PBC 平行．若平面α与平面ABD ，平面ACD 的交线分别为m ，n ，则m ，n 所成角的正弦值的最大值为__________．【答案】3【分析】根据面面平行的性质可得//,//m BP n PC ，进而得BPC ∠或其补角即为m ，n 所成的平面角，结合余弦定理即可求解余弦的最小值，即可求解正弦的最值.【详解】过点A 的平面α与平面PBC 平行．若平面α与平面ABD ，平面ACD 的交线分别为m ，n ，由于平面//α平面PBC ，平面PBC ⋂平面ABD PB =,，平面PBC ⋂平面ACD PC = 所以//,//m BP n PC ,所以BPC ∠或其补角即为m ，n 所成的平面角，设正四棱锥ABCD 的棱长为1，,01AP x x =<<，则1PD x =-，在ABP中，由余弦定理得：601BP ==+=，同理601PC ==+=, 故在PBC 中，()()22222221211112cos 11221211324x x PB PC BC BPC PB PC x x x x x -+-+-∠===-=-⋅-+-+⎛⎫-+⎪⎝⎭，由于2133244x ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，则212231324x ≤⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，进而2112131324x -≥⎛⎫-+⎪⎝⎭，当12x =时取等号，故cos BPC ∠的最小值为13，进而sin3BPC ∠=≤，故sin BPC ∠，故答案为：316. 已知A ，B 为椭圆22195x y +=上两个不同的点，F 为右焦点，4AF BF +=，若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点T ，则FT =__________．【答案】43【分析】设()()1122,,,A x y B x y ,利用焦半径公式得到123x x +=,设()0,0T x ，写出垂直平分线方程121212322x x y y y x y y -+⎛⎫=--+⎪-⎝⎭，代入()0,0T x ，化简得到0x 值，最终求出FT 的值. 【详解】取椭圆方程为22221x y a b+=，c =2a x a c =>（椭圆右准线），椭圆上点()0,Px y ，右焦点(),0F c ，设点()0,P x y 到直线的距离为d ，则200d x cPF===-020c c a x c a a c x a⎛⎫⎪-- ⎝⎭==，所以200c a x a c PF a ex ⎛⎫- =⎪-⎝⎭=，因本题椭圆离心率:23e =，设()()1122,,,A x y B x y 由焦半径公式:122233433x x ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得:123x x +=, 即AB 中点()123,,,022y y T m +⎛⎫⎪⎝⎭，1212AB y y k x x -=-，则AB 垂直平分线斜率为1212x x y y --- 根据点,A B 在椭圆上，则有2211195x y +=，2222195x y +=，作差化简得()2222122159y y x x =--，则线段AB 的垂直平分线方程为121212322x x y y y x y y -+⎛⎫=--+⎪-⎝⎭,代入(),0T m 得: ()()()()2222211212121255359922226x x x x y y m x x x x -+--===-=---,即023x =,则24||233FT =-=. 故答案为：43.【点睛】椭圆中常见的二级结论对解决椭圆相关难题，尤其是选择填空题具有很好的作用，例如本题中的焦半径公式，10PF ex a =+，20PF a ex =-，点在椭圆上适合椭圆方程这一条件做题时容易忽略，但是却是设点法做题必要的步骤.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()*22Nn n S a n =-∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令4n n b a n =-，求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【答案】（1）2n n a = （2）2282n n n T n -+=+- 【分析】（1）由n a 与n S 的关系即可求得数列{}n a 的通项公式；（2）利用错位相减法求数列的前n 项和. 【小问1详解】当1n =，11122S a a ==-，故12a =，因为22n n S a =-，当2n ≥时，1122n n S a --=-,两式相减得：1122n n n n n S S a a a ---==-，即12n n a a -=，故数列{}n a 为等比数列，公比2q，所以1222n nn a -=⨯=．【小问2详解】424n n n b a n n =-=-，故224122n n n n n b n n a --==-，故10121232222n n n T n --⎛⎫=-++++⎪⎝⎭，令10121232222n n n H --=++++①， 0121112322222n n nH -=++++②，①-②得 1012211111112222222n n n n H ---=+++++-1112122412212n n n n n --⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-=--即2282n n n H -+=-，故22228822nn n n n T n n --++⎛⎫=--=+- ⎪⎝⎭．18. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ,4cos a bC b a+=．（1）求222a b c+的值；（2）若111tan tan tan B A C=+，求cos A ．【答案】（1）2 （2）6【分析】(1)利用余弦定理角化边即可求解;(2)根据弦化切将原等式变为2sin cos sin sin BBA C=，角化边即可得到2223a c b+=，再结合2222a b c +=可得b =，a =，利用余弦定理即可求解. 【小问1详解】因为4cos a bC b a+=, 结合余弦定理，得2222242a b a b c ab ab++-=，即2222a b c +=，所以2222a b c+=．【小问2详解】由111cos cos sin cos cos sin sin tan tan tan sin sin sin sin sin sin A C C A C A BB AC A C A C A C+=+=+==，即22sin cos sin sin B b B A C ac ==，即22222a c b b ac ac+-=即2223a c b +=，又2222a b c +=，所以2b c =，2a =，所以22222235cos 2c c c b c a A bc +-+-=== 19. 已知函数()sin f x x ax =-，R a ∈．（1）若2a =，求曲线()y f x =在点,66f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程；（2）若()f x a ≥在5,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）412122y x =-+ （2）365a π≤+【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程；（2）参变分离可得sin 1x a x ≤+在5,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，令()sin 1x g x x =+，5,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可得解. 【小问1详解】解：当2a =时，()sin 2f x x x =-，所以1sin 266623f ππππ⎛⎫=-⨯=-⎪⎝⎭，()cos 2f x x '=-，所以cos 2266f ππ⎛⎫'=-=⎪⎝⎭，故所求切线方程为412122yx =-+．【小问2详解】解：因为()f x a ≥()sin sin 11x x a x a x ⇔≥+⇔≤+在5,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，令()sin 1x g x x =+，5,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()2cos cos sin 1x x x x g x x +-'=+，令()cos cos sin h x x x x x =+-，则()sin sin 0h x x x x '=--<，所以()h x 在5,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，因为1066222h ππ⎛⎫=⋅+->⎪⎝⎭，551066222h ππ⎛⎫=-⋅--< ⎪⎝⎭，由零点存在定理知，存在唯一05,66x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()00h x =，所以()g x 在0,6x π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在05,6x π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，所以()min 5333min ,min ,6666565g x g g πππππ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎧⎫===⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎩⎭，从而365a π≤+．20. 如图，直三棱柱111ABCA B C 中，2ACB π∠=，E ，F 分别是AB ，11B C 的中点．（1）证明：EF ⊥BC ；（2）若2AC BC ==，直线EF 与平面ABC 所成的角为3π，求平面1A EC 与平面FEC 夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）35【分析】(1)取BC 中点H ，分别连结EH ，FH ，则1FH BB ∥，得FH ⊥平面ABC ，利用线面垂直的性质和判定定理证明BC ⊥平面EFH ，即可证明；(2)根据题意，由（1）知⊥FEH 为EF 与平面ABC 所成角，求出1CC ，建立如图空间直角坐标系，利用向量法分别求出平面CEF 与平面1CA E 的法向量，结合空间向量数量积的定义计算即可. 【小问1详解】证法1：取BC 中点H ，分别连结EH ，FH ，因为F 为11B C 的中点，所以1FH BB ∥，因为三棱柱为直棱柱，所以1BB ⊥平面ABC ，所以FH ⊥平面ABC ，由BC ⊂平面ABC ，所以FH ⊥BC ，又E 为AB 的中点，则//EH AC ，且AC BC ⊥，所以EH BC ⊥，因为EH ，FH⊂平面EFH ，EHFH H =，所以BC ⊥平面EFH ，因EF ⊂平面EFH ，所以EF BC ⊥．证法2：设CA a =，CB b =，1CC c =，则()1111222EF CF CE CC CB CA CB a c =-=+-+=-+，由题知，CA CB ⊥，1CC CB ⊥，所以0a b ⋅=，0b c ⋅=，从而102CB EFb ac ⎛⎫⋅=⋅-+= ⎪⎝⎭，即EF BC ⊥．【小问2详解】由（1）知⊥FEH 为EF 与平面ABC 所成的角，所以3FEH π∠=，由2AC BC ==，得1CC =CA ，CB ，1CC 分别为x 轴，y 轴，z 轴正向，建立空间直角坐标系．则()2,0,0A ，()0,2,0B，(1C，(1A，(10,B ，()1,1,0E ，()0,1,0H，(F ，()1,1,0CE =，(CF =，(1CA =，设平面CEF 的一个法向量为()111,,m x y z =，由00m CE m CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得111100x y y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取()3,m =，平面1CA E 的法向量为()222,,x n y z =，由100n CE n CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2222020x y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，取()3,2n =-，设平面CEF 与平面1CA E 的夹角为θ，则270cos 35m nm nθ⋅==．所以平面CEF 与平面1CA E 夹角的余弦值为35. 21. 已知点()2,0A ，104,33B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在双曲线E ：()222210,0x y a b a b -=>>上．（1）求双曲线E 的方程；（2）直线l 与双曲线E 交于M ，N 两个不同的点（异于A ，B ），过M 作x 轴的垂线分别交直线AB ，直线AN 于点P ，Q ，当MP PQ =时，证明：直线l 过定点．【答案】（1）2214x y -=（2）证明见解析【分析】（1）将点坐标代入双曲线方程，即可求解,a b 的值，进而得双曲线方程；（2）设直线方程，联立直线与双曲线方程，得到韦达定理，根据向量关系，转化为坐标关系，即可得,m k 的关系，进而可得直线过定点. 【小问1详解】由题知，222224111014133a a b ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪---= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩ ，得21b =，所以双曲线E 的方程为2214x y -=．【小问2详解】由题意知，当l ⊥x 轴时，Q 与N 重合，由MP PQ =可知：P 是MQ 的中点，显然不符合题意，故l 的斜率存在，设l 的方程为y kx m =+，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得()222148440k x kmx m ----=，则 ()()()222222641611416140k m m k m k ∆=++-=+->，即2214m k +>，且2140k -≠，设()11,M x y ，()22,N x y ，122814km x x k +=-，21224414m x x k+=--，AB 方程为()124y x =-，令1x x =，得112,4x P x -⎛⎫ ⎪⎝⎭，AN 方程为()2222y y x x =--，令1x x =得11222,2x Q x y x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，由MP PQ =，得111222222x x y y x --=+⋅-，即12121222y y x x +=--，即()()()()()12211212122242kx m x kx m x x x x x +-++-=-++⎡⎤⎣⎦，即()()()121214422480k x x k m x x m -+--+++=，将122814km x x k +=-，21224414m x x k+=--代入得即22416161680m km k k m ++--=，所以()()2220m k m k ++-=，得22m k =-或2m k =-，当22m k =-，此时由0∆>，得58k <，符合题意；当2m k =-，此时直线l 经过点A ，与题意不符，舍去所以l 的方程为22y kx k =+-，即()22y k x =-+，所以l 过定点()2,2．22. 已知函数()()()2e 32e 10,xf x ax b x b a a b =+-++-+>∈R ，且()00f >，()10f >．（1）若2a =，函数()f x 在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，求实数b 的取值范围；（2）证明：对于任意实数x ∈R ，()()()20310f x f f ++>．参考数据：e 2.7182818≈．【答案】（1）03e 2b <≤+- （2）证明见解析【分析】(1)利用导数与单调性最值的关系求解；(2)利用导数讨论单调性并证明不等式.【小问1详解】2a =时，()()2e 62e 1xf x x b x b =+-++-，由题知()()1220x f x e x e b '=+-+≥对任意1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，因为()f x '在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，则()()min 162e 02f x f b ⎛⎫''==-+≥ ⎪⎝⎭，得3e 2b ≤+-．又()00f b =>，()1e 50f b =--+>，得05e b <<-，综上03e 2b <≤+-．【小问2详解】法1：由题()020f b a =-+>，()12e 10f a b =--+>，则221e a b a -<<+-，而()()'e 62e x f x ax b =+-+，显然()f x '在R 上单调递增，()()()012e 12e 252e 20f b a a '=-+<-+-=--<，()()()1e 62e e 62212e 20f a b a a a '=+-+>+-+=+->，由零点存在定理知存在唯一()00,1x ∈使()0'0f x =，()00e 2e 6x b ax =+-所以()f x 在()0,x -∞单调递减，在()0,x +∞单调递增，所以()()0min f x f x =，()()()02200000e 32e 132e 332e 1x f x ax b x b a ax b a x b a =+-+++-=-+++++-，()()2031422633e 3473e f f b a a b a b +=+-++--=-+-，所以()()()()()()()20002031203132e 3328e f x f f f x f f ax b a x a b ++≥++=-+++++-()()20002232e 338e x b ax a x a =-+-+++-()()()()220000022232e 338e 324e 254ex a ax a x a ax a x a >--+-+++-=-+-++-()()()()()200000038542e 4e 13542e 4e x x a x x x a x =-++-+-=--+-+-()042e 4e x >-+-记()()42e 4e g x x =-+-，()g x 单调递减，又()()()()ln2e 6ln 22e 26ln 22e 26ln 22216ln 240a b a b a a a +-+=+-+>+-+=->，故00ln 2x <<，又3e 16>，故3ln 24<，则()()35145e 42e 4e 7e 0422g x ->-⨯+-=-=>，命题得证．（2）法2：由题()020f b a =-+>，()12e 10f a b =--+>，则221e a b a -<<+-，而()()'e 62e xf x ax b =+-+，显然()'f x 在R 上单调递增，()()()'012e 12e 252e 20f b a a =-+<-+-=--<，()()3334443991'e 2e e 221e 2204222f a b a a a ⎛⎫=+-+>+-+=+->> ⎪⎝⎭，由零点存在定理知存在唯一030,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()0'0f x =，()00e 2e 6x b ax =+-，所以()f x 在()0,x -∞单调递减，在()0,x +∞单调递增，所以()()0min f x f x =，()()()()()()()20002031203132e 3328e f x f f f x f f ax b a x a b ++≥++=-+++++-记()()232e 3328e h x ax b a x a b =-+++++-，则对称轴e 313b a x a++=>，所以()()039332e 3328e 4164h x h a b a a b ⎛⎫≥=⋅-++⋅+++-⎪⎝⎭ ()3153151158e 28e 7e 016221622162a b a a a =++->+-+-=+->命题得证．。

宁波市2023学年第一学期高考模拟考试(一模)数学试卷(含答案)

绝密★启用前宁波市2023学年第一学期高考模拟考试（一模）高三数学试卷全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知z₁=a−iz₂=1+bi(a,b∈R,i为虚数单位)，若z₁·z₂是实数，则A.ab-1=0B.ab+1=0C.a-b=0D.a+b=02.设集合U=R,集合.M={x|x²-2x≥0}N={x|y=log₂(1-x)},则{x|x<2}=A.MUNB.NU(CUM)C.MU(CvN)D.CU(M∩N)3.若a,b是夹角为60°的两个单位向量,λa+b与-3a+2b垂直,则λ=1 8B.14C.78D.744.已知数列{an}为等比数列，且a₅=5,则A.a₁+a₉的最小值为50B.a₁+a₉的最大值为50C.a₁+a₉的最小值为10D.a₁+a₉的最大值为105.已知函数f(x)=2x+log2x,g(x)=(12)x−log2x, (x)=x3+log2x的零点分别为a，则A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a6.设O为坐标原点,F₁,F₂为椭圆C:x 24+y22=1的焦点，点P在C上，|OP|=√3,则cos∠F₁PF₂=A.−13B.0 C.．13D.2√237.已知二面角P-AB-C的大小为³π．．/₄，球O与直线AB相切，且平面PAB，平面ABC截球O的两个截面圆的半径分别为1，√2，则球O半径的最大可能值为A.√2B.2√2C.3D.√108.已知函数f(x)=x²+ax+b,若不等式|f(x)|≤2在x∈[1,5]上恒成立,则满足要求的有序数对(a,b)有A.0个B.1个C.2个D.无数个A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023-2024学年浙江省宁波市宁波九校高三上学期1月期末考数学试卷含详解

令 ,有 .
则 .
当时, ,当 , .
故在上单调递增,在上单调递减.
有 ,又 ,故 .
令 .
则 .
由 ,故 ,即 .
故在上单调递增,又 ,故恒成立.
即 ,由 ,即有 .
又 ,即有 ,有 , .
又在上单调递减,故 ,即 ,故B正确.
故选：ABC.
【点睛】关键点睛：本题关键在于构造函数 ,结合函数性质,从而得到 , , , 的大小关系,即可得C,D,构造函数与函数 ,从而得到 , 与的关系.
宁波市2023学年第一学期期末九校联考高三数学试卷
注意事项：
1.答卷前,务必将自己的姓名,考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.
13.小周和小王进行一对一篮球比赛,该比赛采取三局两胜制（有一方先胜两局即获胜,比赛结束）.假设小周每一局获胜的概率为 ,小王每一局获胜的概率为 ,且每一局比赛相互独立,则小王在比赛中获胜的概率为_________.
14.若点直线上的动点,过与圆相切的两条直线的夹角为 ,则的最大值为_________.
故选：ABD
11.抛物线：的焦点为 ,过作倾斜角为的动直线交抛物线于两点（在第一象限）,且 ,设关于轴的对称点为 ,则下列说法一定正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【分析】根据给定条件,利用抛物线的定义,结合倾斜角的意义及直角三角形锐角三角函数,三角形面积公式逐项判断即得.
二,选择题（本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.）

2022年浙江省宁波市重点中学高三下第一次测试数学试题含解析

2021-2022高考数学模拟试卷含解析注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，在三棱锥D ABC -中，DC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，2AC BC CD ===，E ，F ，G 分别是棱AB ，AC ，AD 的中点，则异面直线BG 与EF 所成角的余弦值为A ．0B ．6 C ．3 D ．12．《普通高中数学课程标准（2017版）》提出了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（）A ．甲的数据分析素养高于乙B ．甲的数学建模素养优于数学抽象素养C ．乙的六大素养中逻辑推理最差D ．乙的六大素养整体平均水平优于甲3．函数()2cos2cos221x xf x x =+-的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．4．从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图：根据频率分布直方图，可知这部分男生的身高的中位数的估计值为 A ．171.25cm B ．172.75cm C ．173.75cm D ．175cm5．设，则"是""的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．在棱长均相等的正三棱柱111ABC A B C =中，D 为1BB 的中点，F 在1AC 上，且1DF AC ⊥，则下述结论：①1AC BC ⊥；②1AF FC =；③平面1DAC ⊥平面11ACC A ：④异面直线1AC 与CD 所成角为60︒其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．47．函数的图象可能是下面的图象( )A ．B ．C ．D ．8．设i 是虚数单位，若复数1z i =+，则22||z z z+=（）A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+9．已知函数()sin 3f x a x x =的图像的一条对称轴为直线56x π=，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为( )A ．3π-B ．0C ．3πD ．23π10．在ABC 中，3AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，点D ，E 分别在线段AB ，CD 上，且2BD AD =，2CE ED =，则BE AB ⋅=（）． A ．3-B ．6-C ．4D ．911．已知,a b 为非零向量，“22a b b a =”为“a a b b =”的（） A ．充分不必要条件 B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件12．已知(1,3),(2,2),(,1)a b c n ===-，若()a c b -⊥，则n 等于（） A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

浙江省宁波市2024-2025学年高三上学期11月第一次模拟考试数学

宁波市2024学年第一学期高考模拟考试高三数学试卷本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卷上.将条形码横贴在答题卷右上角“贴条形码区”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目选项的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠、不要弄破.选择题部分（共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}2,0,1A =-，{}2,B y y x x A==∈，则A B = （）A.{}2,0,1- B.{}0,1,4 C.{}0,1 D.{}2,0,1,4-【答案】D 【解析】【分析】化简{}0,1,4B =，根据并集的定义即可求解.【详解】由{}2,0,1A =-，{}2,B y y x x A ==∈可得{}0,1,4B =，故A B = {}2,0,1,4-，故选：D2.复数z 满足5i 2z =-，则z =（）A.1B.2C.D.5【答案】C 【解析】【分析】求出复数z ，再根据复数模的概念求z .【详解】方法一：因为()()()52i 52i 2i 2i 2i z --===---+-+--，所以z ==故选：C方法二：55i 2i 2z ====--.故选：C3.向量a ，b满足1a b == ，a b ⊥ ，则3a b -= （）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】利用22a a = ，结合数量积的运算法则求解.【详解】因为a b ⊥ ⇒0a b ⋅=.因为()22223369a b a ba ab b -=-=-⋅+ 10910=-+=，所以3a b -= 故选：C4.研究小组为了解高三学生自主复习情况，随机调查了1000名学生的每周自主复习时间，按照时长（单位：小时）分成五组：[)2,4，[)4,6，[)6,8，[)8,10，[)10,12，得到如图所示的频率分布直方图，则样本数据的第60百分位数的估计值是（）A.7B.7.5C.7.8D.8【答案】B 【解析】【分析】根据百分位数的计算公式即可求解.【详解】由于()()20.050.10.3,20.050.10.20.7⨯+=⨯++=样本数据的第60百分位数值是：0.60.3627.50.22-+⨯=⨯小时；故选：B5.圆台的高为2，体积为14π，两底面圆的半径比为1:2，则母线和轴的夹角的正切值为（）A.33B.32C.233D.【答案】B 【解析】【分析】先根据圆台的体积公式求出圆台的上下底半径，再求母线和轴的夹角的正切值.【详解】设圆台上底半径为r ，则下底半径为2r ，由题意：()222π2214π3r r r r ⎡⎤++⋅=⎣⎦⇒r =所以圆台母线和轴的夹角的正切值为：232r r h -=.故选：B6.已知椭圆C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，过上顶点A 作直线2AF 交椭圆于另一点B .若1AB F B =，则椭圆C 的离心率为（）A.13 B.12C.3D.2【答案】C 【解析】【分析】先根据椭圆的定义确定1ABF 中各边的长度，再结合2121cos cos 0AF F BF F ∠+∠=，用余弦定理列式，化简可求椭圆的离心率.【详解】如图：因为1ABF 的周长为4a ，12AF AF a ==，1AB F B =，所以132AB F B a ==，22a BF =.又2121cos cos 0AF F BF F ∠+∠=，所以()22232220222a a c c a a c ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=⨯⨯⇒223c a =⇒33c e a ==.所以椭圆C的离心率为3.故选：C7.不等式()()210x ax x b ---≥对任意0x >恒成立，则22a b +的最小值为（）A.2-B.2C.D.2【答案】A 【解析】【分析】先由题意得到x b =是210x ax --=的一个根，从而得到,a b 之间的关系式为1a b b=-，消元并利用均值不等式求解即可.【详解】由题意可得，需满足x b =是210x ax --=的一个根，即210ab b --=，且0b >，所以1a b b=-，22222211222a b b b b b b ⎛⎫+=-+=+-≥- ⎪⎝⎭，当且仅当2212b b =，即b =时取等号.所以22a b +的最小值为2-.故选：A.8.设a ∈R ，函数()()sin 2π2π,,136,.x a x a f x x a a x a ⎧-<⎪=⎨---+≥⎪⎩若()f x 在区间()0,∞+内恰有6个零点，则a 的取值范围是（）A.72,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B.(]2,3C.7572,,322⎛⎤⎛⎤ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦D.752,,332⎛⎤⎛⎤ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦【答案】D 【解析】【分析】根据正弦函数的性质可得()sin[2π()]f x x a =-的零点为2kx a =+，根据1360y x a a =---+=，解得45x a =-或72x a =-，即可分三种情况讨论求解.【详解】()f x 在区间(0,)+∞内恰有6个零点，又 136,.y x a a x a =---+≥最多有两个零点，∴当x a <时，()0f x =至少有四个根，()sin(2π2π)sin[2π()]f x x a x a =-=- ，∴令()0f x =，即2π()πx a k -=，k ∈Z ，∴2k x a =+，又(0,)x ∈+∞ ，∴02ka a <+<，即20a k -<<，令1360y x a a =---+=，解得45x a =-或72x a =-，①若45x a a =-≥且72x a a =-≥，解得5733a ≤≤，此时136y x a a =---+在x a ≥有2个零点，只需要()sin(2π2π)sin[2π()]f x x a x a =-=-在0x a <<有4个零点，这4个零点分别为1234,1,,2,3221x a x a x a x a =-=+=-++=+--故02a <-+且502a -+≤，解得723a <≤，此时()f x 有6个零点，满足题意，②当45x a a =-≥且72x a a =-<时，解得73a >，此时136y x a a =---+在x a ≥有1个零点，只需要()sin(2π2π)sin[2π()]f x x a x a =-=-在0x a <<有5个零点，这5个零点分别为12345,1,,2,215232x a x a x a x a x a =+=-++---==-+=+，故502a <-+且30a -+≤，解得532a <≤，此时()f x 有6个零点，满足题意，③当45x a a =-<且72x a a =-≥时，解得53a <，此时136y x a a =---+在x a ≥有1个零点，只需要()sin(2π2π)sin[2π()]f x x a x a =-=-在0x a <<有5个零点，这5个零点分别为12345,1,,2,215232x a x a x a x a x a =+=-++---==-+=+，故502a <-+且30a -+≤，解得a 不存在，综上可得532a <≤或723a <≤，故选：D【点睛】关键点点睛：()sin[2π()]f x x a =-的零点为2kx a =+，根据1360y x a a =---+=，解得45x a =-或72x a =-，分三种情况讨论求解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知数列{}n a ，{}n b 都是正项等比数列，则（）A.数列{}n n a b +是等比数列B.数列{}n n a b ⋅是等比数列C.数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列 D.数列{}n bn a 是等比数列【答案】BC 【解析】【分析】根据等比数列的定义和通项公式逐项判断即可.【详解】因为数列{}n a ，{}n b 都是正项等比数列，所以设数列{}n a ，{}n b 的公比分别为1q ，2q ，且10q >，20q >，且对任意的正整数n 有0n a >，0n b >成立；对于A ，不妨设2n n a =，3nn b =，满足{}n a ，{}n b 都是正项等比数列，此时23n nnn a b =++，因为22114913235a b a a ++==++，3322827354913a b a a ++==++，所以33221122a b a b a a a a ++≠++，此时{}n n a b +不是等比数列，故A 不正确；对于B ，因为111112n n n n n n n na b a b q q a b a b ++++⋅=⋅=⋅⋅，所以数列{}n n a b ⋅是等比数列，故B 正确；对于C ，因为1111n n n n n n n n a a a b b b b a ++++÷=⨯1112n n n n a b q a b q ++=⨯=，所以数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，故C 正确；对于D ，设2n n a =，3nn b =，满足{}n a ，{}n b 都是正项等比数列，此时13128b a ==，2918242b a ==，32781382b a ==，所以211815231222b b a a ==，3281633182222b b a a ==，所以32123212b b b b a a a a ≠，此时数列{}n b n a 不是等比数列，故D 不正确；故选：BC.10.函数()e ln xf x a x =-，则（）A.()f x 的图象过定点B.当1a =时，()f x 在()0,∞+上单调递增C.当1a =时，()2f x >恒成立D.存在0a >，使得()f x 与x 轴相切【答案】ABD 【解析】【分析】结合ln10=可判断A 的真假；当1a =时，求导，分析函数()f x 的单调性，可判断BC 的真假；问题转化为函数()f x 的最小值为0是否成立，可判断D 的真假.【详解】对A ：不管a 取何值，()11e ln1e f a =-=，所以函数()f x 的图象过定点()1,e ，故A 正确；对B ：当1a =时，()e ln xf x x =-，（0x >），()1e xf x x='-，设()1e xg x x =-，则()21e 0xg x x =+>'，所以()()g x f x ='在0,+∞上单调递增.因为0.11e e 100.1<<=，所以()0.10f '<，所以()f x 在0,+∞上单调递增，这一说法不正确，即B 错；对C ：由B 选项可知，()1e 10f ='->，所以存在()00,1x ∈，使得()0001e 0xf x x '=-=，当∈0,0时，'<0，函数()f x 单调递减；当∈0,+∞时，'>0，函数()f x 单调递增.所以函数()f x 的最小值为()0f x ，且()000000011e ln e lnln e x x x f x x x x =-=+=+001x x =+2≥=，因为()00,1x ∈，故不能取“=”.故C 正确；对D ：当0a >时，()e ln xf x a x =-（0x >），所以()e xaf x x='-（0x >），设()e xa g x x =-（0x >），则()2e 0xa g x x =+>'（0x >）.所以()e xa f x x='-在0,+∞上单调递增.因为当0x →时，e 0xa x -<；当x →+∞时，e 0x a x->.所以存在00x >，使得()000e 0x af x x '=-=，当∈0,0时，'<0，函数()f x 单调递减；当∈0,+∞时，'>0，函数()f x 单调递增.所以函数()f x 的最小值为()0f x ，且()000e ln xf x a x =-.由00e ln 0xa x -=⇒00ln 0a a x x -=⇒001ln 0x x -=.设()1ln h x x x =-，（0x >），则()2110h x x x '=--<，所以()1ln h x x x=-在0,+∞上单调递减.且()11010h =-=>，()1e 10eh =-<，所以001ln 0x x -=必定有解.即D 正确.故选：ABD11.已知曲线C ：()3222217sin 7cos 6x y x y +--+=，下列说法正确的是（）A.曲线C 过原点OB.曲线C 关于y x =对称C.曲线C 上存在一点P ，使得1OP =D.若(),P x y 为曲线C 上一点，则3x y +<【答案】ABD 【解析】【分析】代入()0,0即可判断A,根据s 关于y x =的对称点为(),P y x '在曲线上，结合同角关系即可求解B ，根据()()()22π1sin sin 1cos cos 1cos 1cos11cos 1427x y x y x y x y +=-+-≥-+≥->-=>得矛盾求解C ，根据()()3222217sin sin 1141x y x y +-=+-≤-，即可结合不等式求解D.【详解】将()0,0代入可得()32217sin 07cos 061076--+=⇒--+=，故曲线C 过原点O ，A 正确，设曲线上任意一点s ，则s 关于y x =的对称点为(),P y x '，则()()()()332222222217sin 7cos 171cos 71sin y x y x y x y x+--+=+---+-()3222217sin 7cos 6y x x y =+--+=，故(),P y x '在曲线上，B 正确，对于C ，若曲线C 上存在一点s ，根据C ：可知()()(),,,,,x y x y x y ----均在曲线上，故曲线关于坐标轴以及原点均对称，若曲线C 上存在一点s ，使得1OP =，则221x y +=，根据对称性不妨设0,0x y ≥≥，将其代入曲线方程可得227cos 7sin 6y x -=，所以()2222171sin 7sin 6sin sin 7y x x y --=⇒+=，由于0,0x y ≥≥，则存在角π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使得cos ,sin x y θθ==，πcos sin4x y θθθ⎛⎫⎡+=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，()π0cos cos1cos 42x y <≤+≤<=，所以()()()()22cos cos cos 2cos 2sin sin 1122x y x y x y x y x y x y ⎡⎤⎡⎤++-++--+⎣⎦⎣⎦+=-=-()()()π211cos cos 1cos 1cos11cos1427x y x y x y =-+-≥-+≥->-=->，这与221sin sin 7x y +=矛盾，故不存在一点P ，使得1OP =，C 错误，对于D ，()()()322222222167sin 7cos 67sin 71sin 7sin sin 1141x y x y x y x y +-=+-=+--=+-≤-，故()3221x y +-≤221x y ≤+-2214x y ≤++<，故3x y +≤≤<，故D 正确，故选：ABD【点睛】关键点点睛：由()()()()22cos cos cos 2cos 2sin sin 1122x y x y x y x y x y x y ⎡⎤⎡⎤++-++--+⎣⎦⎣⎦+=-=-()()()π211cos cos 1cos 1cos11cos1427x y x y x y =-+-≥-+≥->-=->，得矛盾求解.非选择题部分（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知()3xf x =，则()3log 2f =_______________.【答案】2【解析】【分析】根据函数的解析式，结合指数式与对数式的运算法则，即可求解.【详解】由题意，函数()3xf x =，令3log 2x =，所以()3log 23log 232f ==.故答案为：2.【点睛】本题主要考查了函数的求值问题，其中解答中熟记指数式与对数式的运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.13.抛物线C ：24y x =的焦点为F ，P 为C 上一点且3PF =，O 为坐标原点，则OPF S = ______.【解析】【分析】根据焦半径公式，确定点P 的横坐标，再求点P 的纵坐标，可得OPF △的面积.【详解】如图：不妨设点s 在第一象限，过点P 作PH 与抛物线的准线1x =-垂直，垂足为H .则3PH PF ==，又1PH x =+，所以2x =，所以2428y =⨯=⇒y =所以12OPF S OF y =⋅⋅ 112=⨯⨯=.14.一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个大小质地完全相同的小球.甲、乙两人玩游戏，规则如下：第一轮，甲先从盒子中不放回地随机取两个球，乙接着从盒子中不放回地随机取一个球，若甲抽取的两个小球数字之和大于乙抽取的小球数字，则甲得1分，否则甲不得分；第二轮，甲、乙从盒子中剩余的两个球中依次不放回地随机取一个球，若甲抽取的小球数字大于乙抽取的小球数字，则甲得1分，否则甲不得分.则在两轮游戏中甲共获得2分的概率为______.【答案】2360【解析】【分析】列举第一轮中甲得1分的情况，结合排列组合以及乘法公式即可求解.【详解】若第一轮在第一轮中得1分，若第一轮中甲抽到的小球为1，3，则乙抽到的小球只能是2，若第一轮中甲抽到的小球为1，4，则乙抽到的小球可以是2或3，若第一轮中甲抽到的小球为2，3，则乙抽到的小球可以是1或4，若第一轮中甲抽到的小球为1，5或者2，4或者2，5或者3，4或者3，5或者4，5时，则乙抽到的小球可以是剩下三个小球中的任何一个，故共有6318⨯=，因此第一轮中甲得1分的概率为21531221823C C 30+++=,在第二轮的过程中，只剩下两个球，要使甲在第二轮中得1分，只需要甲在剩下两个球中抽到号码大的球即可，故概率为12，因此甲在两轮中共得2分的概率为1232323060⨯=，故答案为：2360四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在三棱锥P ABC -中，侧面PAC 是边长为2的等边三角形，AB =，2PB =，π2ABC ∠=.（1）求证：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）求平面PAB 与平面PAC 的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）31313【解析】【分析】（1）取AC 的中点为O ，连接,OP OB ，通过证明OP ⊥平面ABC ，即可解决问题；（2）建系求得平面法向量，代入夹角公式即可.【小问1详解】取AC 的中点为O ，连接,OP OB ，因为PAC 是边长为2的等边三角形，所以OP AC ⊥，OP =在直角三角形ABC 中，π2ABC ∠=，O 为AC 中点，所以112OB AC ==，又2PB =，所以222OP OB PB +=，所以90POB ︒∠=，即OP OB ⊥，又,OB AC 为平面ABC 内两条相交直线，所以OP ⊥平面ABC ，又OP 在平面PAC 内，所以平面PAC ⊥平面ABC .【小问2详解】由（1）知过B 作OP 的平行线作为z 轴，,BA BC 分别为,x y 轴，则())()310,0,0,,0,1,0,,22B AC P ⎛ ⎝，所以)31,,22BP BA ⎛==⎝，()31,,,22PA AC ⎛=-= ⎝,设平面PAB 的法向量为(),,n x y z =，则00n BP n BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即310220x y +=⎨=，令1z =，可得()0,n =-，设平面PAC 的法向量为(),,m a b c =，则00m AC m PA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即031022b a b ⎧+=--=⎪⎩，令1a =，可得()m =，设平面PAB 与平面PAC 的夹角为θ，则cos cos ,13m n m n m n θ⋅====⋅.16.已知数列{}n a 为等差数列，且满足()221n n a a n *=+∈N .（1）若11a =，求{}n a 的前n 项和n S ；（2）若数列{}n b 满足215134b b -=，且数列{}n n a b ⋅的前n 项和()13428n n T n +=-×+，求数列{}n b 的通项公式.【答案】（1）2n S n =（2）2nn b =【解析】【分析】（1）根据题目中的递推公式，求得等差数列的前两项与公差，结合通项公式以及求和公式，可得答案；（2）利用公式11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得数列{}n n a b 的通项公式，根据题目中的方程，利用换元法整理为关于1a 的一元一次方程，求得等差数列的通项公式，可得答案.【小问1详解】当1n =时，由221n n a a =+，则2121a a =+，由11a =，则23a =，所以等差数列的公差为212a a -=，即通项公式()11221n a n n =+-⋅=-，所以前n 项和()()1212122n n n a a n n S n ++-===.【小问2详解】当1n =时，()211134284a b T ==-⨯+=，可得114b a =，当2n ≥时，()()1134283728n nn n n n a b T T n n +-⎡⎤⎡⎤=-=-⋅+--⋅+⎣⎦⎣⎦()()13322327226837231n n n n n n n n n n n ++=⋅--⋅+⋅=--+=-，将1n =代入上式，则()1112314a b T =⨯-==，综上所述，()231nn n a b n =-，*N n ∈.()222232120a b =⨯⨯-=，可得2220b a =，由（1）可知2121a a =+，则212021b a =+，由方程215134b b -=，可得()11513212044a a +-=，解得12a =，由21215a a =+=，则等差数列的公差为3，所以31n a n =-，由()231nn n a b n =-，*N n ∈，则2n n b =.17.已知53,2⎛⎫ ⎪⎝⎭是双曲线E ：()222210,0x y a b a b -=>>上一点，E 的渐近线方程为52y x =±.（1）求E 的方程；（2）直线l 过点()1,1A ，且与E 的两支分别交于P ，Q 两点.若AP AQ PQ ⋅=，求直线l 的斜率.【答案】（1）22145x y -=（2）1k =【解析】【分析】（1）根据双曲线经过的点以及渐近线方程即可联立方程求解，（2）联立直线与双曲线方程可得韦达定理，根据两点距离公式以及弦长公式可求解()22191,45k AP AQ PQ k +⋅==-，即可代入化简求解.【小问1详解】由题意可得225292514b a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得2,a b ==，故双曲线方程为22145x y -=【小问2详解】由题意可知：直线l 的斜率存在，设直线l 方程为()()()112211,,,,y k x P x y Q x y =-+，联立()2214511x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-+⎩可得()()222245848240k x k k x k k ---+-+=，由韦达定理可得()2212122284824,4545k k k k x x x x k k --++==--，由于()()()2222Δ84548240k k k k k ⎡⎤=-----+>⎣⎦，化简得23260k k +-<，故()()()()()()()22222121212228482411111114545k k k k AP AQ k x x k x x x x k k k ⎛⎫--+ ⎪⋅=+--=+-++=+-+ ⎪--⎝⎭()2219145k k +=-，PQ =====2221510304145k k k k --+=+-,故()22222221914519119102015103041510304145k k AP AQ k PQk k k k k k +-⋅+===--+--++-，故225151030110k k k -+=-+，平方可得274110k k +-=，解得117k =-或1k =，由于l 与E 的两支分别交于P ，Q 两点，故224824045k k k -+<-，当117k =-时，代入不符合224824045k k k -+<-，故舍去，将1k =其代入23260k k +-<，经检验符合，综上可得1k =【点睛】关键点点睛：利用两点斜率公式以及弦长公式求解()22222191151030,414545k k k AP AQ PQ k k k +--+⋅==+--.18.已知函数()212sin f x ax ax x =+-.（1）判断()f x 的奇偶性；（2）若12a =-，求证：()1f x ≤；（3）若存在()00,πx ∈，使得对任意()00,x x ∈，均有()1f x <，求正实数a 的取值范围.【答案】（1）()f x 为偶函数，（2）证明见解析（3）13a >【解析】【分析】（1）根据奇偶性的定义即可判断，（2）将不等式等价于11sin 2x x ≤-，平方化简只需要证明sin 0x x -≥，构造()sin ,g x x x =-即可求导求解，（3）构造()22sin 2sin h x x x ax x =-+，对()h x 进行多阶求导，即可根据导数的正负与函数单调性的关系，对a 分三种情况讨论，即可求解.【小问1详解】()sin f x ax x =-,当0a ≥时，定义域为R ，当0a <时，定义域为⎡⎢⎣，均关于原点对称，且()()()()sin sin f x a x x ax x f x -=---=-=，故()f x 为偶函数，【小问2详解】当12a =-时，()1sin 2f x x x =为偶函数，要证()1f x ≤11sin 2x x ≤-，当11x -≤≤时，11sin 02x x ->，只需证明01x ≤≤时，22111sin 2x x x ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭，即证2221sin sin 04x x x x x -+≥，只需证sin 0x x -≥，即证sin x x ≥，令()()sin ,()1cos 0,g x x x g x x g x =-=-≥'在01x ≤≤单调递增，故()()00g x g ≥=，所以sin x x ≥，得证.【小问3详解】由()1f x <1sin ax x <+，当0πx <<时，0a >，故1sin 0ax x +>，故()222121sin 2sin 2sin 0axax x x x ax x ++⇒-+，令()22sin 2sin h x x x ax x =-+，则()22cos 2sin sin 2h x x a x ax x '=-++，令()()(),2sin sin 2sin 22cos 22sin 2sin 22cos 2m x h x m x x a x a x a x x a x ax x ==-+++=-++''，令()()(),2cos 6cos 24sin 2n x m x n x x a x a x =-+-''=，①当()0260n a =-+>'时，即13a >，存在()00,πx ∈，使得对任意()00,x x ∈，()0n x '>，故()m x '在()00,x x ∈单调递增，又()00m '=，所以()0m x '>在()00,x x ∈恒成立，从而()()m x h x ='在()00,x x ∈单调递增，又()00h '=，所以()0h x '>在()00,x x ∈恒成立，从而()h x 在()00,x x ∈单调递增，结合()00h =，得()00h >对任意()00,x x ∈恒成立，符合题意，②当103a <<时，()0260n a =-+<'，存在()00,πx ∈，使得对任意()00,x x ∈，()0n x '<，故()m x '在()00,x x ∈单调递减，又()00m '=，所以()0m x '<在()00,x x ∈恒成立，从而()()m x h x ='在()00,x x ∈单调递减，又()00h '=，所以()0h x '<在()00,x x ∈恒成立，从而()h x 在()00,x x ∈单调递减，结合()00h =，得()00h <对任意()00,x x ∈恒成立，不符合题意，③当13a =时，令()(),()2sin 16sin 28cos 2p x n x p x x a x ax x --'='=-，()(),()2cos 40cos 216sin 2q x p x q x x a x ax x ''==-+，则40(0)240103q a '=-=-<，类推②同理可得不符合题意，综上可得13a >【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的常用步骤：(1)作差或变形；(2)构造新的函数()h x ；(3)利用导数研究()h x 的单调性或最值；(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．19.开启某款保险柜需输入四位密码123s a a a x ，其中123a a a 为用户个人设置的三位静态密码（每位数字都是09 中的一个整数），s x 是根据开启时收到的动态校验钥匙s （s 为1~5中的一个随机整数）计算得到的动态校验码.s x 的具体计算方式：s x 是32123Ma s a s a s =⋅+⋅+⋅的个位数字.例如：若静态密码为301，动态校验钥匙2s =，则3232021226M =⨯+⨯+⨯=，从而动态校验码26x =，进而得到四位开柜密码为3016.（1）若用户最终得到的四位开柜密码为2024，求所有可能的动态校验钥匙s ；（2）若三位静态密码为随机数且等可能，动态校验钥匙5s =，求动态校验码s x 的概率分布列；（3）若三位静态密码为随机数且等可能，动态校验钥匙()15,s i i i =≤≤∈N 的概率为i p ，其中i p 是互不相等的正数.记得到的动态校验码()09,s x k k k =≤≤∈N 的概率为k Q ，试比较0Q 与1Q 的大小.【答案】（1）1s =（2）5x 05P1212（3）0Q >1Q 【解析】【分析】（1）根据32123Ma s a s a s =⋅+⋅+⋅，即可分类讨论1,2,3,4,5s =时的情况求解，（2）根据()2123555,M a a a =⋅+⋅+可得5x 只能是0或5，结合()()12123101225M a a a a a =++++，对123a a a ++分奇偶即可求解个数，进而可求解概率，（3）根据501()iii Q p P A C ==∑，511()iii Q p P B C ==∑,分别求解5C和24C C ,和13,C C 的概率，即可求解.【小问1详解】由题意可知：静态密码为202，动态验证码4s x =，若1s =,则322101214M =⨯+⨯+⨯=，得14x =，符合题意，若2s =,则3222022220M =⨯+⨯+⨯=，得20x =，不符合题意，若3s =,则3223032360M =⨯+⨯+⨯=，得30x =，不符合题意，若4s =,则32240424136M =⨯+⨯+⨯=，得46x =，不符合题意，若5s =,则32250525260M =⨯+⨯+⨯=，得50x =，不符合题意，综上可得1s =，【小问2详解】对于三位静态密码123a a a ，由()322123123555555,M a a a a a a =⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+可得M 的末位是0或5，即5x 只能是0或5，又()()12312123125255101225M a a a a a a a a =++=++++，当123a a a ++为奇数时，55x =，当123a a a ++为偶数时，50x =，下面计算123a a a ++为奇数时，123a a a 的个数，①123,,a a a 均为奇数时，35125=个，②123,,a a a 一奇两偶时，123C 55375⨯=个，共有125375500+=个，所以535001(5)102P x ===，进而5511(0)1(5)122P x P x ==-==-=，因此分布列为5x 05P1212【小问3详解】记事件A :得到的动态校验码0s x =，事件B :得到的动态校验码1s x =，事件i C :收到动态校验钥匙()15,N s i i i =≤≤∈，则1234512345,A AC AC AC AC AC B BC BC BC BC BC =⋃⋃⋃⋃=⋃⋃⋃⋃,从而5550111()()()()()iiiiii i i Q P A P AC P C P A C p P A C =======∑∑∑，同理可得5551111()()()()()iiiiii i i Q P B P BC P C P B C p P B C =======∑∑∑,①对于事件5C :由第（2）问可知：551(),()02P A C P B C ==,从而5555()0,()0p P A C p P B C ⋅>⋅=,所以5555()()p P A C p P B C ⋅>⋅，②对于事件24C C ,:静态密码123a a a 对应的32123Ma s a s a s =⋅+⋅+⋅,当2s =或4时，M 为偶数，得1s x ≠可知24()()0P B C P B C ==，又当123000a a a =时，0M =,得0s x =,可知24()0,()0P A C P A C >>,从而2244()0,()0p P A C p P A C ⋅>⋅>，2244()0,()0p P B C p P B C ⋅=⋅=,所以22224444()(),()()p P A C p P B C p P A C p P B C ⋅>⋅⋅>⋅，③对于事件13,C C :静态密码123a a a 对应的32123M a s a s a s =⋅+⋅+⋅,当1s =时，若3a 遍历09 这十个整数，得M 的个位数也遍历09 这十个整数，可知111()()10P A C P B C ==，,从而1111()(),p P A C p P B C ⋅=⋅当3s =时，若3a 遍历09 这十个整数，得33a 的个位数遍历0,3,6,9,2,5,8,1,4,7，继而有M 的个位数字也遍历09 这十个整数，可知331()()10P A C P B C ==，,从而3333()(),p P A C p P B C ⋅=⋅由①②③可知5511()()i i i i i i p P A C p P B C ==>∑∑,即01QQ >，【点睛】方法点睛：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）．。

浙江省宁波市高考数学一模试卷

浙江省宁波市高考数学一模试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共11题；共22分)1. （2分）设全集U为实数集R，，则图中阴影部分所表示的集合是（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高一上·营口期中) 设 ,则“ ”是“ ”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分） (2017高二下·湖州期中) 已知x，y满足，则z=2x+y的最大值为（）A . 3B . 4C . 64. （2分）(2018·石家庄模拟) 点是以线段为直径的圆上的一点，其中，则（）A . 1B . 2C . 3D . 45. （2分）如图是一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图，则该几何体的全面积为（）A .B .C .D .6. （2分） (2017高三上·湖南月考) 九章算术中一文：蒲第一天长3尺，以后逐日减半；莞第一天长1尺，（注：以后逐日增加一倍，则_____天后，蒲、莞长度相等？参考数据：，，结果精确到0.1．蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．）（）B . 2.6C . 2.4D . 2.27. （2分）已知函数f(x)(x R)为奇函数,f(2)="1," f(x+2)=f(x)+f(2)，则f(3)等于（）A .B . 1C .D . 28. （2分）已知函数y=f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x、y∈R，等式f（x）f（y）=f（x+y）恒成立．若数列{an}满足a1=f（0），且f（an+1）= （n∈N*），则a2015的值为（）A . 4029B . 3029C . 2249D . 22099. （2分） (2015高二下·郑州期中) 函数y=x2sinx的导数为（）A . y′=x2cosx﹣2xsinxB . y′=2xsinx+x2cosxC . y′=2xsinx﹣x2cosxD . y′=xcosx﹣x2sinx10. （2分） (2017高二上·临淄期末) 已知向量，，则的最小值为（）A . 2B .C .D .11. （2分）定义在上的函数，则（）A . 1B . 2C . -2D . -3二、填空题 (共4题；共4分)12. （1分） (2018高二下·晋江期末) 函数对于任意实数满足条件若则 ________．13. （1分） (2017高二下·高青开学考) 观察下面的数阵，第20行最左边的数是________．14. （1分）已知定义在R上的奇函数f（x），设其导函数为f′（x），当x∈（﹣∞，0]时，恒有xf′（x）＜f（﹣x），令F（x）=xf（x），则满足F（3）＞F（2x﹣1）的实数x的取值范围是________15. （1分） (2016高一下·重庆期中) 对数列{an}前n项和为Sn ， an＞0（n=1，2，…），a1=a2=1，且对n≥2有（a1+a2+…+an）an=（a1+a2+…+an﹣1）an+1 ，则S1S2+S2S3+S3S4+…+Sn﹣1Sn=________．三、解答题 (共6题；共65分)16. （10分） (2019高一下·佛山月考) 的内角，，的对边分别为，，，已知.（1）求的值；（2）若，，求的面积.17. （15分） (2015高三上·唐山期末) 甲、乙两名运动员进行射击训练，已知他们击中目标的环数均稳定在7，8，9，10环，且每次射击成绩互不影响，射击环数的频率分布表如表：甲运动员射击环数频数频率7108109x1030y合计1001乙运动员射击环数频数频率768109z0.410合计80如果将频率视为概率，回答下面的问题：（1）写出x，y，z的值；（2）求甲运动员在三次射击中，至少有一次命中9环（含9环）以上的概率；（3）若甲运动员射击2次，乙运动员射击1次，用ξ表示这三次中射击击中9环的次数，求ξ的概率分布列及Eξ．18. （5分）(2017·衡阳模拟) 已知数列{an}满足a1=1，Sn=2an+1 ，其中Sn为{an}的前n项和（n∈N*）．（Ⅰ）求S1 ， S2及数列{Sn}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足，且{bn}的前n项和为Tn ，求证：当n≥2时，．19. （10分） (2017高二下·河北开学考) 如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥PC，PB=AB=BC=2，∠ABC=120°，，D为AC上一点，且AD=3DC．（1）求证：PD⊥平面ABC；（2）若E为PA中点，求直线CE与平面PAB所成角的正弦值．20. （15分） (2018高三上·连云港期中) 对于函数与，若存在实数满足，且，则称为的一个点.（1）证明：函数与不存在的点；（2）若函数与存在的点，求的范围；（3）已知函数，证明：存在正实数，对于区间内任意一个皆是函数的点.21. （10分） (2016高一上·湖南期中) 已知函数f（x）=b•ax（a＞0，且a≠1，b∈R）的图象经过点A（1，6），B（3，24）．（1）设g（x）= ﹣，确定函数g（x）的奇偶性；（2）若对任意x∈（﹣∞，1]，不等式（）x≥2m+1恒成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题 (共11题；共22分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、二、填空题 (共4题；共4分)12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共65分) 16-1、16-2、17-1、17-2、17-3、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、。

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