【学习课件】第六讲_解析函数与调和函数的关系

y2
2xy c
2
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曲线积分法
12
故 f(z)(x2y2x)yi(1x22xy1y2c)
2
2
(xiy)2i(xiy)2ic(11i)z2ic
2
2
f(i)1i 代 入 上 (1式 i)i2 得 ic， 1i
2
c1 f(z)(1i)z2i
2
22
x1(zz), y1(zz)
2
2i
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第六讲 解析函数与调和函数的关系
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1
§3.7 解析函数与调和函数的关系
内容简介
在§3.6我们证明了在D内的解析函数,其导数 仍为解析函数,所以解析函数有任意阶导数。本节 利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间 的关系。
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定义 若二元实变函(数 x, y)在D内具有二阶连
续偏导数且满La足plac方e 程:
(2i)(xiy)
积
2iz
分
f(z)2i z2ic
法
2
f(z ) (x 2 y 2 x) y i( 1 x 2 2 x y 1 y 2 c )
2
2
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第四章 级数
CH4§4.1 复数项级数
1. 复数列的极限 2. 级数的概念
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1. 复数列的极限
定义 设复 {n }n 数 ( 1 ,2 , ) 列 其 , n ： ＝ 中 a n in b ,
uiv在 D内解 . 析
定理 设u(x, y)在单连D通 内调和函 , 数 则()式所确定 v(x的 , y),使得 f(z)uiv在D内解.析
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公式不用强记！可如下推出：
已 知u： (x, y),求其共轭调和 v(x函 , y)数 :
由dv
v dxv x y
CR方
dy
程
uydxuxdy
又设复常数：aib， 若0,N0,nN,恒有 n， 那么 称为复 {数 n}当n列 时的极限
记ln 作 i m n,或n 当 时， n, 此 时 ， 也{称 n}收 复敛 数 .于 列
定理1 l n im n l n ia n m a , l n ib n m b .
证明 “ ”已 n l i m 知 n即， 0,N0,n ppt 课件N,恒有 n 18
又解 dv v dx v dy
x y
凑
(2y x)dx (2x y)dy
全
2ydx2xdyxdxydy
微
2dxyd(x2 y2) 22
分 法
x2
y2
v(x,y) 2x y c
2
2
f(z ) (x 2 y 2 x) y i( 1 x 2 2 x y 1 y 2 c )
2
2
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又解 v2xy v2x yy2(x)
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例1 由下列条件求解f析 (z)函 u数 iv
u x2 xy y2
f (i) 1i
解vu2xy vu2yx
y x
x y
dvvdxvdy(2yx)dx(2xy)dy x y
( x, y)
v(x, y) (2y x)dx(2x y)dyc (0,0)
x
y
o xdx0 (2x y)dyc
x2
2 2
x2 y2 0
即（ 0)
则称(x, y)为D内的调和函. 数
定理 若f(z)u(x,y)iv(x,y)在区D域 内解析 uu(x,y)，vv(x,y)是D内的调和函数
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证明：设f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域D内解析，则
由 CR 方 程 uv uv x y y x
y
2
v
v2y'(x) x2yx
偏
x
积
'(x)x
(x)
x2 2
c
分
法
v(x,y)2x yy2x2c
22
f(z ) (x 2 y 2 x) y i( 1 x 2 2 x y 1 y 2 c )
2
2
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又解 f'(z)uxivx uxiuy
(2xy)i(x2y)
不
2(xiy)i(xiy)
定
u0,
v0
其
中
2 x2
2 y2
uu(x,y)，vv(x,y)是D内的调和函
定义 设u(x,y)为D内的调和 ,称函 使u数 得 iv 在D内构成解析函 函数 数 v(x,的 y)为 调 u(x,和 y) 的共轭调. 和函数
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上面定理说明：
D内解析函数的虚 部部 的是 共实 轭调.和
即, f(z)u(x,y)iv(x,y)在D内解 析 在D内v(x, y)必 为 uu(x, y)的 共 轭 调.和 函 由解析的概念得：
函数 ,则x2u2 y2u2 0
即, u、u在D内有连续一阶偏导数 y x
且
(u)
u ()
y y x x
v v
u u v
dx dy dx dy
x y
y x
d v( x,
y)
(x,y) u u
v(x,y) d x d y c ( ) y (x 0,y0) x
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vu vu满足 CR方程 . x y y x
然后两端积分。
由 d uvd xvdC y R 方 程 vd xvdy
x y
y x
类似地， 然后两端积分得，
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(x,y)
u (x ,y)(x 0,y0)vyd x vxd yc ()
调和函数在流体力学和电磁场理论等实际 问题中都有重要应用。本节介绍了调和函数与解 析函数的关系。
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在 D内满 C足 R方程 :uxvy,uy vx的两个 调和u 函 ,v,v数 必u 为 的共轭调 . 和函 现在研究反过来的问题：若u,v是任意选取的
区域 D内的两个调,和 则u函 i数 v在D内就不 一定解. 析
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如 vxy不是 uxy的共轭调.和
（ f(z)uiv(xy)i(xy)在 z平 面 上 处 处 不 ux解 1vy析 uy1vx)
从而 x 2u 2有 y2 vx y 2u 2 x2 vy
由解析函数高 理阶 u导 (x, y数 ),v(定 x, y) 具有任意阶的 . 连 续 2v 导2数 v
xy yx
故D 在 内有 x2u 2 y2u 2 0, 同 理 有 x2v2 y2v2 0
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即u及v 在D内满足拉普拉斯(Laplace)方程:
要想 u使 iv在 D内解 ,u及 析 v还必须 C满 R 足 方程v， 必即 须 u的 是共轭调 .由和 此函 ，数
已知一个解析函数 部u的 (x,实 y),利用CR方 (虚 部 v(x, y))
程可求得它的v(虚 x, y部),从而构成解析函数
uiv.
(实 部 u(x, y))
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设D一 单 连 通,u(区 x, y域 )是 区D域 内 的 调 和