第14讲 不定积分的第一类换元法

例13
1 cos x − 1 ∫ csc x dx = 2 ln cos x + 1 + c
= ln | csc x − cot x | + c
x 注:可以验证 ln | tan | +c 相同 可以验证 2
类似可得
sec xdx = ln | sec x + tan x | +c ∫
小结
1. 第一换元法（凑微分法） 第一换元法（凑微分法） 令φ(x)=u , 最后换回原变量 x
2. 三个常用公式
1 1 x−a ∫ x 2 − a 2 dx = 2a ln | x + a | +c
∫ csc xdx = ln | csc x − cot x | + c
sec xdx = ln | sec x + tan x | + c ∫
3
dx
u u = 6[ − + u − ln(u + 1)] + c 3 2 3 6 6 = 2 x − 3 x + 6 x − 6 ln( x + 1) + c
1 = 6∫ (u − u + 1 − )du u +1 3 2
例12
∫
1 dx x e +1
解: 令 ex=u ,
du x = ln u , dx = u
第14讲 讲
不定积分的 第一类换元法
•凑微分法 凑微分法 •第一换元法 第一换元法
一、凑微分法
例1
cos 2 xdx ∫
′ 因（sin 2 x）= 2 cos 2 x 1 ′ （ sin 2 x）= cos 2 x 2 1 故 ∫ cos 2 xdx = sin 2 x + c 2
再解: 再解
例12
∫
1 dx x e +1
1 du =∫ u +1 u 1 1 = ∫ − du u u +1
= ln e
x x
= ln u − ln(u + 1) + c
e +1 +c
也可令e 也可令 x+1=u
例13
∫ csc
x dx
1 1 dx =∫ dx = ∫ x x sin x 2 sin cos
1 ∫ 1 + x − 1 dx = 2u ∫ 1 + u du
1 dx 例10 ∫ 1+ x −1 1 2u ∫ 1 + x − 1 dx = ∫ 1 + u du
1 = 2 ∫ (1 − )du 1+ u
= 2[u − ln(1 + u )] + c
= 2[ x − 1 − ln(1 + x − 1)] + c
x dx 例4 ∫ 2 2 (1 + x )
1 −2 = ∫ u du 令1+x2=u 2 1 1 − 2 +1 = ⋅ ⋅u +c 2 − 2 +1
1 =− +c 2 2(1 + x )
例5
e ∫
sin x
cos xdx
= ∫e
sin x
d sin x
= ∫ de
sin x
=e
sin x
+c
以上使用的方法称为凑非分法 以上使用的方法称为凑非分法
例6
∫ tan
x dx
sin x =∫ dx cos x 1 = −∫ d cos x cos x
= − ∫ d ln | cos x |
= − ln | cos x | +c
x+2 dx 例7 ∫ 2 x +x+2 1 (2 x + 2) + 2 =来自百度文库∫ 2 dx 2 x + 2x + 2
1 2x + 2 dx = ∫ 2 dx + ∫ 2 2 x + 2x + 2 x + 2x + 2
= ln(1 + x ) + c
2
x dx 例4 ∫ 2 2 (1 + x ) 1 1 2 = ∫ dx 2 2 2 (1 + x )
1 = ∫ (1 + x 2 ) − 2 d (1 + x 2 ) 2 1 −2 = ∫ u du 令1+x2=u 2 1 1 − 2 +1 = ⋅ ⋅u +c 2 − 2 +1
− d cos x =∫ 2 1 − cos x 1 = ∫ 2 du u −1
令u=cosx
另一种解法: 另一种解法 1 1 1 1 = ∫ 2 du = ∫ − du u −1 2 u −1 u + 1
1 u −1 = ln +c 2 u +1 1 cos x − 1 = ln +c 2 cos x + 1
2 2 1 =∫ dx x 2 x 2 tan cos 2 2
例13
∫ csc
x dx
1 =∫ dx x 2 x 2 tan cos 2 2
x sec 2d x =∫ x 2 tan 2
2
x =∫ d tan x 2 tan 2
x = ln | tan | +c 2
另一种解法: 另一种解法 1 sin xdx dx = ∫ 2 ∫ sin x sin x
例11
6
∫
1 x +
3
x
dx
令 x = u , x =u6 ，dx=6u5du
∫
1 x +
3
x
dx =
∫
6u du 3 2 u +u
3
5
u u +1−1 = 6∫ du = 6 ∫ u +1 u +1
3
例11
x 3 3 u u +1−1 = 6∫ du = 6 ∫ u +1 u +1
2
∫
1 x +
另外一种解法： 另外一种解法：令
x =u
x =u2 , dx=2udu
∫
e3
x
x
dx =
3u
∫
e 3u 2 udu u
2 3u = 2 ∫ e du = e + c 3 2 3 x = e +c 3
一、凑微分 二、第一类换元法
1 dx 例10 ∫ 1+ x −1
解：令 x −1 = u x =u2+1 则 dx=2udu
1 1 = ∫ d 2 ln x 2 1 + 2 ln x 1 1 = ∫ d (1 + 2 ln x) 2 1 + 2 ln x 1 = ln | 1 + 2 ln x | +c 2
例9
∫
e
3
x
x
3 x
dx
= ∫e
d (2 x )
2 3 x = ∫ e d (3 x ) 3 2 2 x = e +c 3
cos 2 xdx ∫
1 = ∫ cos 2 xd (2 x) 2 1 = ∫ d (sin 2 x) 2
1 = sin 2 x + c 2
例2
e dx ∫
2x
1 2x = ∫ e d 2x 2 1 2x = ∫ d (e ) 2 1 2x = e +c 2
2x 例3 ∫ dx 2 1+ x
1 2 =∫ dx 2 1+ x 1 2 =∫ d (1 + x ) 2 1+ x 2 = ∫ d ln(1 + x )
1 d ( x + 2 x + 2) 1 = ∫ 2 +∫ 2 2 x + 2x + 2 ( x + 1) 2 + 1
2
1 = ln( x + 2 x + 2) + arctan( x + 1) + c 2
dx 例7 ∫ x (1 + 2 ln x ) 1 =∫ d ln x 1 + 2 ln x