第三节 变量置换法与分部积分法
(4.3) 第三节 分部积分法(少学时简约版)
(2) 分部积分法的意义 从分析角度看，分部积分法实际是一种积分转化
法，即将形如 ∫u d v 的不易计算的积分转化为另一种 易于积分的形式 ∫v d u 进行计算。
= x( ln x )3 - 3[ x( ln x )2 -2 I 1 ] = x( ln x )3 - 3x( ln x )2 - 6[ x( ln x ) - I0 ]
= x( ln x )3 - 3x( ln x )2 - 6 x( ln x ) - 6 ∫d x
= x[( ln x )3 - 3x( ln x )2 - 6 x( ln x )-1]+ C .
C. P. U. Math. Dept ·杨访
由于不定积分运算是由导数运算定义的，相应的积 分运算法则是由导数运算法则逆转而来的。到目前为止 我们已建立了三个积分运算法则，它们和导数运算法则 的对应关系如下： (1) 导数线性运算法则与分项积分法
k 1 fx k 2 g x k 1 fx k 2 g x .
例：求积分 ∫ x 2 ln x d x .
被积式为乘积式，其中含有因子 ln x ，由基本 本积分表知，形如 ∫ ln x d x 的积分是不能直接积出的， 因此积分变形应考虑设法先消去被积式中的因子 ln x 以 简化积分计算。
显然，代数恒等变形不可能消去该因子，但由微分 运算想到 d ln x = 1/x d x ，因此考虑通过分部积分法将 因子 ln x 转移到微分记号中，再通过微分计算消去。
从运算角度看，分部积分法的实施可分两步进行， 即对形如 ∫u ( x )v ( x )d x 的不易 计算积分先作凑微分计算，使 其化为 ∫u d v 的形式，再将此 积分转化为形如 ∫v d u的易于 积出的形式求积分。
经济学专业数学不定积分的换元积分法与分部积分法配套课件
1 x arctan C a a
例 10
答案：
1 d x , (a 0) . 求 2 2 x a
1 xa ln | | C . 2a xa
求 cos x d x .
2
例 11
例 12
例 13
答案： 答案： 答案：
x 1 sin 2 x C 2 4
求 csc x d x .
2017年4月14日星期五
3
一、第一类换元积分法
定理1
公式
设 f (u ) 有原函数 , u ( x) 可导 , 则有换元
f ( ( x))d ( x)
f (u )du
(也称配元法 , 凑微分法)
u ( x)
2017年4月14日星期五
4
例 1 求 sin(2 x 5) d x .
2017年4月14日星期五
5
例2
解
求
1 dx. 3 2x
1 设 u 3 2 x ，则 du 2dx ，即 dx du . 2 1 1 1 d x 2 所以 3 2 x u ( )du 2
1 ( ) 2u C 2
1 2
3 2x C
2 x x x e d x x d e x e 2 x e dx
2 x
2
x
x e 2 x d e x e 2 xe 2e C
2 x x
2 x x x
2017年4月14日星期五 25
例22 求
解: 令 则
x ln x dx .
v x 1 2 v x 2
(10) f (cot x ) csc2 x d x f (cot x ) d cot x
5-3定积分的换元法与分部法
2 sin x cosxdx
0
2 sin xd sin x
0
1 sin 2 2
x |02
1 2
例5
设 f (x)在对称区间[a, a] 上连续，证明：
(1) 当f (x) 为偶函数时， a f (x) d x 2
a
f (x)d x .
a
0
(2) 当f (x) 为奇函数时， a f (x) d x 0 . a
et
1 0
]
2e (e 1)
2.
本节小结
1、定积分的换元法
定理 若 (1) f (x)在[a, b] 上连续 ;
(2) ( ) a，( ) b.且（t）在[, ]上单调
(3) x (t)在[, ] 上有连续的导数(t)
b
则 a f (x) d x f ((t))(t) d t
xe 解
1 xe2xdx 1 2x 1 1 1e2xdx
0
2
0 20
e e 1 2 1 2x 1 2 40
1 4
(e2
1).
例7
解
1
1
x arcsin x 2 2
00
x dx 1 x2
1
1
2(1
x
2
)
1 2
d
(1
x
2
)
12 2 0
(1
a
a
f (t) d t
0
f (x)d x .
0
于是
a
重积分换元法与分部积分法
重积分换元法与分部积分法在高等数学领域，积分是一个重要的概念，通过对函数在一定区间上的“面积”进行求解，可以对函数的变化趋势和性质进行分析。
在积分中，重积分换元法和分部积分法是两种常用的积分方法，它们在求解复杂积分问题时发挥着重要的作用。
重积分换元法重积分换元法，也称为多重积分的换元法，是处理多重积分中变量替换的方法。
在进行多重积分时，往往需要通过变量代换的方式简化积分问题。
重积分换元法的基本思想是通过合适的变量替换，将原来的多重积分转化为一个简单的积分形式，从而更容易求解。
对于二重积分而言，重积分换元法的一般步骤如下： 1. 确定变量替换的形式，通常选择与坐标轴吻合的变换； 2. 计算变换后的积分区域，并变换原积分的被积函数； 3. 对新的积分进行求解。
通过重积分换元法，可以简化积分的计算过程，降低积分的难度，提高计算的效率。
分部积分法分部积分法是求解不定积分中的一种常用技巧，也可以应用于定积分的简化。
在定积分中，分部积分法是将积分号作用在两个函数的乘积上，通过对积分的展开和化简，将原积分转化成两个函数之积的形式。
分部积分法的基本思想是通过对被积函数进行拆分，选择一个函数进行求导，一个函数进行求不定积分，最终通过不断的交换角色，逐步简化和求解原积分。
对于定积分而言，分部积分法的一般步骤如下： 1. 选择一个函数进行求导，一个函数进行不定积分； 2. 对两个函数进行交替操作，最终将原积分问题转化为更容易求解的形式。
通过分部积分法，可以有效解决复杂积分问题，提高积分的求解速度和准确性。
综上所述，重积分换元法和分部积分法是高等数学中常用的积分方法，它们在不同的积分问题中发挥着重要的作用。
通过灵活运用这两种积分方法，可以更好地解决数学问题，提升问题的求解效率和准确性。
定积分的换元法和分部积分法课件
定积分具有常数倍性质，即对于任 意非零常数c，有c乘以被积函数的 定积分等于该常数乘以被积函数在 积分区间上的增量。
定积分的计算
直接法
直接代入被积函数进行计算，适 用于简单的被积函数和明确的积
分区间。
换元法
通过变量替换简化被积函数或积 分区间，适用于较为复杂的积分
问题。
分部积分法
通过将两个函数的乘积进行分部 积分，将一个复杂函数的积分转 化为更简单函数的积分，适用于
计算旋转体的体积
01
定积分可以用于计算旋转体的体积，例如旋转抛物面下的体积
。
求解平面图形的面积
02
定积分可以用于求解平面图形的面积，例如椭圆、圆、三角形
等。
求解曲线长度
03
定积分可以用于求解曲线的长度，例如圆的周长、正弦函数的
长度等。
05
定积分的应用
定积分在物理中的应用
计算物体在恒力作用下的运动轨迹
分部积分法在求解三角函数的不定积分中有着广泛的应用，例如求解$int sin x dx$或$int cos x dx$等。
求解复杂函数的不定积分
对于一些复杂函数的不定积分，分部积分法可以将其转化为简单函数的定积分 ，从而简化计算过程。例如求解$int x^2 e^x dx$等。
04
定积分的几何意义
03
分部积分法在定积分中的应用
分部积分法的定义和原理
分部积分法的定义
分部积分法是一种求解定积分的技巧 ，通过将一个不定积分转化为两个函 数的乘积的导数，从而简化计算过程 。
分部积分法的原理
基于微积分基本定理，通过将一个复 杂函数的不定积分转化为简单函数的 定积分，实现积分的求解。
换元与分部
定积分的换元积分法和分部积分法1 换元积分法2 分部积分法∫ba xx f d )(定积分积分上限积分下限被积函数()d ba f t u∫ba f∫被积表达式∫ba xx f d )(，的原函数如果能够求出)()(x F x f 就可以利用牛顿就可以利用牛顿---------莱布尼茨公式计算这个定积分莱布尼茨公式计算这个定积分莱布尼茨公式计算这个定积分：：()d ()()ba f x x Fb F a =−∫对于某些较为复杂的定积分问题则需要运用定积分的换元积分法与分部积分法则需要运用定积分的换元积分法与分部积分法..•定积分换元法的用处定积分换元法的用处①求原函数计算定积分②有时求不出原函数也能计算定积分有时求不出原函数也能计算定积分..③研究定积分的性质例1解∫++311d x x 1+=x t .d 2d t t x =,12−=t x ∫++311d x x.2130变化到从，时变化到从当t x 412d 1t t t=+∫41112()d 11t t t t +=−++∫21)]1ln([2t t +−=)2ln 1(2)3ln 2(2−−−=)23ln 1(2−=步骤.d )(d ,))(()()(.1t t x t f x f t x ϕϕϕ′===，换元∫ba x x f d )(1.(),().x t a b ϕαϕβ==和的取值对应关系：∫ba x x f d )((())()d f t t t βαϕϕ′=∫计算后一个积分即可计算后一个积分即可..①换自变量换自变量，，②换被积表达式③换积分限④计算定积分换元法小结()d .b af x x ∫目的：计算3.()d (())()d .baf x x f t t t βαϕϕ′∫∫转化为另一个定积分.d )(d )(.1t t x t x ϕϕ′==，：换元.,.2βα=↔==↔=t b x t a x 定限定限：：4.(())()d .f t t t βαϕϕ′∫计算得到结果定理()[,]f x a b 假设在连续，()[,]([,]).x t ϕαββα=在或连续并且满足下列条件并且满足下列条件：：;)(,)()1(b a ==βϕαϕ(2)()[,]([,])t ϕαββα′在或连续；(3)[,]([,]),()[,].t t a b αββαϕ当在或变动时不超出∫′=∫βαϕϕtt t f x x f b a d )())((d )(则有（定积分的换元积分法定积分的换元积分法））(1),f 若为偶函数∫−+=∫−aa a xx f x f x x f 0d )]()([d )(∫=axx f 0d )(2()()f x f x −=则，于是∫−+=∫−a a a x x f x f x x f 0d )]()([d )((2),f 若为奇函数()()f x f x −=−则，于是d )]()([d )(0=∫−+=∫−aa a x x f x f x x f 例4(,),(0).f C T ∈−∞+∞>设周期等于,a 求证对于任意正数有∫=∫+TTa axx f x x f 0d )(d )(T Ta +a()d Tf x x∫()d a T af x x+∫直观解释例5解π20sin d .1cos x xI x x=+∫计算21I I +=∫+∫++=π2022π2πd cos 1sin d cos 1sin x x xx x x x x I ∫+=π222πd cos 1sin x xx x I tx−=π∫−+−=022π)d(cos 1sin )π(t ttt ∫+−=2π02d cos 1sin )π(t t t t ∫+−=2π02d cos 1sin )π(x xx x ∫+=2π02d cos 1sin πx x x ∫+−2π02d cos 1sin x xxx 例6解121sin cos d .1sin x xx x−++∫计算∫++∫+=∫++−−−112112112d sin 1cos d sin 1sin d sin 1cos sin x xx x x x x x x x 21I I +=这个积分是奇函数在对称区间上积分这个积分是奇函数在对称区间上积分,,1121sin d ,1sin xI x x−=+∫对于10.I =所以111122)arctan(sin d sin 1cos −−=∫+=x x xxI 另一方面另一方面,,利用牛顿利用牛顿——莱布尼茨公式得到莱布尼茨公式得到::.)1arctan(sin 2=例7解2202d ax ax x x −∫计算∫−a xx ax x 202d 2∫−+∫−−=aa xx ax a x x ax a x 202202d 2d 2)(对于其中前一个积分对于其中前一个积分, , , 令令x = a +t , , 用换元法得到用换元法得到用换元法得到::∫−−a x x ax a x 202d 2)(0d 22=−=∫−aa t t a t ∫−ax x ax 202d 22:02.D y ax x ≤≤−等于半圆的面积.π212a =∫−ax x ax 202d 2C a x a x a x ++−=)arcsin (21222∫−x x a d 221()t x t ϕ−=必须将变量还原成，第三个区别是第三个区别是：：求出不定积分以后以后，，C t t t a t t a ++=+∫)cos sin (2d 22cos 122进一步得到才能得到最终结果才能得到最终结果..另一方面另一方面，，220d a a x x −∫对于定积分，:sin :x a t =用换元将其转化为另一个定积分.d cos 2π022∫t t a 直接计算这个积分就可以了直接计算这个积分就可以了..注释2cos cos t t =−如果取，π3π(,).22t ∈也就是认为此时此时,,,sin t a x =.arcsin πax t −=xx a d 22∫−122)cos sin (2d )2cos 1(2C t t t a t t a +⋅+−=+−=∫12222)arcsin π(2C x a axa x a +−−−−=C x a axa x a +−+=)(arcsin 22222于是2 分部积分法∫′−=∫′ba ba ba x x v x u x v x u x x v x u d )()()]()([d )()()()()()())()((x u x v x v x u x v x u ′+′=′定理定理5.3.25.3.2(),()[,].u x v x a b 设在有连续导数则有证明函数乘积的导数公式函数乘积的导数公式::等式两端的函数进行积分等式两端的函数进行积分::xx v x u xx v x u xx v x u ba ba ba d )()(d )()(d ])()([∫′+′∫=′∫根据牛顿根据牛顿－－莱布尼茨公式得到莱布尼茨公式得到：：baba x v x u x x v x u )]()([d ])()([=′∫123将(3)(3)代入代入代入(2)(2)(2)，，就得到就得到(1)(1)(1)．．∫′−=∫′b a ba b a xx v x u x v x u x x v x u d )()()]()([d )()(注释也可以表示成下述形式也可以表示成下述形式：：∫∫−=bab a bax u x v x v x u x v x u )(d )()]()([)(d )(定积分的分部积分法∫−=∫b a ba b a uv uv v u d ][d 或者∫−=102102d e 21e 21x x xx uv 例8解1220e d .x x x ∫计算∫1022d e xx x∫−=∫b a ba b au v uv v u d ][d vd u ∫−=1021022d e e 21x x x x x uv uv d ∫−=1022d e e 21x x x 其中1∫102d e xx xu vd uv d 1022e 41e 21x −=)1e (41e 2122−−=将计算结果代入将计算结果代入(4)(4)(4)得到得到得到::∫1022d e x x x.)1e (412−=例9解120ln d .x x x ∫计算120ln d x x x ∫∫−=∫b a ba b au v uv v u d ][d v d u 3311111ln d 33ee x x x x x =−∫uv uv d 132011e d 33x x =−∫例91arctan d .x x ∫计算解11120arctand arctan d 1x x x x x x x =−+∫∫vd u uvuv d 2101ln(1)42x π=−+1ln 242π=−例11解π230e sin 2d x I x x−=∫计算3e ,d sin 2d ,x u v x x −==令1cos 2.2v x =−则∫=∫=−2π2π003d d2sin e v u x x I x ∫−=2π2π00)(d )()(x u x v uv 2π032cos e 21x x −−=∫−−2π03d 2cos e 23x x x ∫−+=−−2π03π23d 2cose 23)e 1(21x x x 5继续运用分部积分法继续运用分部积分法::∫−2π03d 2cos ex x x2π032sin e 21x x −=∫+−2π03d 2sin e 23x x x 例12解π2cos d .n n I x x =∫并计算ππ2200cos d sin d (N).n n x x x x n =∈∫∫求证运用定积分的分部积分法运用定积分的分部积分法::∫=2π0d cos x x I n n 2π01cos sin x x n −=∫−+−2π022d cos sin )1(xx x n n ∫=−2π01)d(sin cos x x n ∫−−=−2π022d cos )cos 1()1(x x x n n .)1()1(2n n I n I n −−−=−从而得到递推公式从而得到递推公式::21−−=n n I nn I ,2πd cos 2π000=∫=x x I 容易得到容易得到::.1d cos 2π01=∫=x x I 于是由递推公式得到于是由递推公式得到：：132231⋅−−−=L n n n n I n 当n 为奇数时为奇数时：：!!!)!1(n n −=2π21231L −−−=n n n n I n 当n 为偶数时为偶数时：：2π!!!)!1(n n −=ππ22cos d sin d (N).n n x x x x n =∈∫∫证明换元换元::.d d ,2πt x t x −=−=∫−−=∫002π2π)d )(2π(cos d cos t t x x n n ∫=2π0d sin t t n ∫=2π0d sin xx n 练习题∫−+10d )1ln(.1e x x ln 302.d x xe x −∫4203.sec d x x x π∫2ln 2304.d x x e x∫315.ln d ex x∫206.()(0)1,(2)3,(2) 5.()d f x f f f xf x x′′′′′===∫连续，计算11(2ln3)3−1(ln 4)4π−)3(2e −1ln 22−8例13证明()[π,π]f x −设在有二阶导数，.0)(>′′x f 求证求证：：.0d cos )(ππ<∫−x x x f 分部积分分部积分：：∫′−=∫−−−ππππππd sin )(sin )(d cos )(xx x f x x f x x x f ∫′−=−ππd sin )(xx x f ()0().f x f x ′′′>由推出单调增加使得∫′∫+′=∫′−−π00πππd sin )(d sin )(d sin )(xx x f x x x f x x x f 根据积分中值定理根据积分中值定理：：(π,0),(0,π),ξη∈−∈存在6.1d 222∫−−−x x x 计算例1，令t t x sec )(==ϕ.tan sec )(t t t =′ϕ解,]π43,π32[变化时在当t .]2,2[变化对应地在−−x ,23π2−==x t 时当.24π3−==x t ，时,0tan ]π43,π32[<∈t t ，时当.tan tan 2t t −=所以∫∫−=−−−4π33π2d )tan (sec tan sec 1d 222t t t t t x x x 于是∫−=4π33π2d t 12π−=。
高等数学课件--D5_3换元法与分部积分法
同济高等数学课件
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备用题
1. 证明 是以 为周期的函数.
证：
令u t π
是以 为周期的周期函数.
2012-10-12 同济高等数学课件
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2. 设 f ( x) 在 [a, b] 上有连续的二阶导数 , 且 f (a)
同济高等数学课件
二、定积分的分部积分法
定理2. 设 u ( x) , v( x) C1[a , b] , 则
b a
证: [u ( x) v( x)] u( x)v( x) u ( x)v( x)
两端在 [a, b] 上积分
u ( x) v( x)
b a
a u ( x)v( x) dx a u ( x)v( x) dx
2 m 1 2 m 1
π 2
5
3
π 2
而
I 0 dx
0
π 2
,
I1 sin x dx 1
0
故所证结论成立 .
2012-10-12 同济高等数学课件
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内容小结
基本积分法 换元积分法
分部积分法
换元必换限 配元不换限 边积边代限
思考与练习 1.
0 sin dx
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(t ) (t )
说明: 1) 当 < , 即区间换为[ , ] 时， 定理 1 仍成立 . 2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .
3) 换元公式也可反过来使用 , 即
(t ) (t )
a f ( x) d x
5-3换元与分部积分法
2
0
(n
1)
2 sinn2 x cos2 x dx
0
转下页
0
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I n
(n 1)
2 sinn2 x cos2 x dx
0
(n 1) 2 sinn2 x (1 sin2 x) dx 0
(n 1) In2
由此得递推公式
In
n1 n
I
n2
于是
I2m
2 m 1 2m
3 4
1 2
I0
I2m1
2m 2 m 1
4 5
2 3
I1
而
I0
2 dx
0
2
,
I1
2 sin x dx 1
0
故所证结论成立 .
J (n1)!! n!!
2
,
n 为偶数
n 为奇数
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变限定积分问题!
a2
2 (1 cos 2t) d t
20
a2
(t
1 sin 2t )
2
22
0
y y a2 x2 o ax
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例2. 计算 解: 原式 =
25 sin 2
x
5
2
0
25 sin 2 x
5
2
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例3. 计算
22 . 3
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x)
C.
小结 遇到下列被积分式时,凑微分如下:
P( x)exdx P( x)de x (P( x)为多项式,下同);
P( x)sin xdx或P( x)cos xdx凑为 P( x)dcos x或P( x)dsinx;
P( x)ln xdx把P( x)dx凑成微分,如x2 ln xdx 1 ln xdx3; 3
a
dt sec2 t
sec2 tdt sec t
sec tdt
a2 x2 x
t a
ln | sec t tan t | C1
图4 3
图4 3 ln | x a
a2 a
x2
|
C1
ln( x
a2 x2) C.
例5 求
1 x dx.
1 x2
解
1 x dx 1 x2
1
1
x
2
dx
x dx 1 x2
eax cosbxdx或eax sin bxdx把eaxdx凑微分或 把cosbxdx,sin bxdx凑微分都可以, 经过两次分部积分后会出现原来的积分.
三、拓展与思考
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例13 求
1 dx.
x x2
解
原式
1 dx
( x 1)2 (1)2
22
1
d(x 1)
( x 1)2 (1)2
2
a2
x2dx
a2 cos2
tdt
a2 2
(1
cos 2t )dt
a2
x2dx
a2
cos2
tdt
a2 2
(1
cos 2t )dt
a2 (t
1 sin 2t)
C
a2
(t
sin t cost)
C.
22
2
由x a sin t作直角三角形,见图4 2,得cos t
a2 x2 .
a
换回变量得 a2 x2dx
x2ex 2 xex 2ex C ( x2 2x 2)ex C.
例12 求 ex cos xdx. 解 ex cos xdx cos xdex ex cos x exdcos x
ex cos x ex sin xdx ex cos x sin xdex
例12 求 ex cos xdx. 解 ex cos xdx cos xdex ex cos x exdcos x
例6 求
x dx.
x2 2x 2
解
x2
x 2
x
dx 2
x 1 1 d( x 1) ( x 1)2 1
令u x 1
u 1
1 u2
du
1
u
du u2
1 du 1 u2
第一积分可用凑微分解决,后一积分可利用例4方法,得
1 u2 ln(u 1 u2 ) C
x2 2x 2 ln( x 1 x2 2x 2) C.
换回原变量 2 x 2ln | 1 x | C.
例2
求
1
x
3
dx. x
解 令6 x t,则x t6,dx 6t5 d t.
1
x
3
dx x
1
t3 t
2
6t
5dt
6
t8 1 1 t2
1dt
(t 2 1)(t6 t4 t 2 1) 1
6
1 t2
dt
6
[(t
6
t
4
t
2
1)
1
1 t
2
]dt
arcsin
x
1 2
d(1 1
x2 x2
)
arcsin
x
1 x2 C.
小结 (1)根号内含有x的一次函数,如 ax b,3 ax b,
可分别令 ax b t,3 ax b t.
(2)根号内含有x的二次函数,如 a2 x2 , a2 x2 , x2 a2 ,
可分别令x a tant, x a sin t, x a sec t.
例8 求 x ln xdx.
解
x ln
xdx
1 2
ln
xdx 2
1 2
(
x
2
ln
x
x
2d
ln
x
)
1 2
(
x2
ln
x
xdx)
1 x2 ln x 1 x2 C.
2
4
例9 求 xcos xdx.
解 xcos xdx xdsin x
x sin x sin xdx x sin x cos x C. 例10 求 xexdx. 解 xexdx xdex xex exdx xex ex C
二、分部积分法 设函数u u( x),v v( x)的微分公式是
d(uv) udv vdu.
移项后两边积分得 udv uv vdu. u, v交换位置
上述公式称为分部积分公式.
例7 求 ln xdx.
解
ln
xdx
x
ln
x
xd ln
x
x ln
x
x
1dx x
x ln x x C.
6
[(t
6
t
4
t
2
1)
1
1 t
2
]dt
6 t7 6 t5 2t 3 6t 6arctan t C 75
7
5
1
1
1
6 x6 6 x6 2x2 6x6 6arctan x6 C.
75
例3 求 a2 x2dx(a 0).
解 令x a sin t, 则dx a costdt, a2 x2 acost,
如果这个积分比原来的容易求出,就达到目的,
这种方法叫做变量置换法.它可表示为
g( x)dx 令x (t) g((t))(t)dt.
例1
求
1
1
dx. x
解 令 x t,即x t2,则dx 2t d t.代入得
1
1
dx x
2t 1
dt t
2
(1
1
1
t
)dt
2t 2ln | 1 t | C
ex cos x ex sin xdx ex cos x sin xdex ex cos x ex sin x ex cos xdx.
右边又出现了与左边相同的积分,移项得
2 ex cos xdx ex cos x ex sin x C1
e
x
cos
xdx
1 2
ex
(cos
x
sin
22
ln | x 1 x x2 | C . 2
思考题
求
1
x(1
3
dx. x)
解 令x t6,t 0,
原式
t
3
6t 5 (1
t
2
)
dt
6t 2
1 t2
dt
6
(1
1
1 t
2
)dt
6(t arctant) C
6(6 x arctan6 x) C.
四、小结
1、本节基本要求 掌握变量置换法与分部积分法在不定积分计算
a2
x a2 x a2 x2
arcsin
C
2
a 2a a
a2 arcsin x x a2 x2 C.
2
a2
a x
t
a2 x2 图4 2
例4 求
1 dx(a 0).
a2 x2
解 如图4 3,令x a tant, 则dx a sec2 tdt,
1 a2
dx x2
a sec2 t
第四章 积分学
§3 变量置换法与分部积分法
一、变量置换法 二、分部积分法 三、拓展与思考 四、小结
一、变量置换法 求不定积分除直接用公式外,主要思路是变化被积分式, 使之成为容易积分的形式. 前节已经介绍了变化被积分式的一些办法,如凑微分法, 这节再介绍一种方法叫做变量置换法.
譬如 g( x)dx不易积分,设x (t),将积分化为 g((t))(t)dt.
( x 1)ex C.
例11 求 x2exdx. 解 x2exdx x2dex x2ex 2 xexdx
x2ex 2 xdex x2ex 2( xex exdx)
例11 求 x2exdx. 解 x2exdx x2dex x2ex 2 xexdx
x2ex 2 xdex x2ex 2( xex exdx)
中的运用.
2、本节重点、难点 重点：变量置换法与分部积分法. 难点：变量置换法.
3、本节知识结构
变 量 置 换 法 与
分 部 积 分 法
变量置换法 分部积分法
变换 n ax b t
变换 x a tan t, x a sin t, x a sect
利用 udv uv vdu