第三节 变量置换法与分部积分法

x)
C.
小结 遇到下列被积分式时,凑微分如下:
P( x)exdx P( x)de x (P( x)为多项式,下同);
P( x)sin xdx或P( x)cos xdx凑为 P( x)dcos x或P( x)dsinx;
P( x)ln xdx把P( x)dx凑成微分,如x2 ln xdx 1 ln xdx3; 3
a
dt sec2 t
sec2 tdt sec t
sec tdt
a2 x2 x
t a
ln | sec t tan t | C1
图4 3
图4 3 ln | x a
a2 a
x2
|
C1
ln( x
a2 x2) C.
例5 求
1 x dx.
1 x2
解
1 x dx 1 x2
1
1
x
2
dx
x dx 1 x2
eax cosbxdx或eax sin bxdx把eaxdx凑微分或 把cosbxdx,sin bxdx凑微分都可以, 经过两次分部积分后会出现原来的积分.
三、拓展与思考
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例13 求
1 dx.
x x2
解
原式
1 dx
( x 1)2 (1)2
22
1
d(x 1)
( x 1)2 (1)2
2
a2
x2dx
a2 cos2
tdt
a2 2
(1
cos 2t )dt
a2
x2dx
a2
cos2
tdt
a2 2
(1
cos 2t )dt
a2 (t
1 sin 2t)
C
a2
(t
sin t cost)
C.
22
2
由x a sin t作直角三角形,见图4 2,得cos t
a2 x2 .
a
换回变量得 a2 x2dx
x2ex 2 xex 2ex C ( x2 2x 2)ex C.
例12 求 ex cos xdx. 解 ex cos xdx cos xdex ex cos x exdcos x
ex cos x ex sin xdx ex cos x sin xdex
例12 求 ex cos xdx. 解 ex cos xdx cos xdex ex cos x exdcos x
例6 求
x dx.
x2 2x 2
解
x2
x 2
x
dx 2
x 1 1 d( x 1) ( x 1)2 1
令u x 1
u 1
1 u2
du
1
u
du u2
1 du 1 u2
第一积分可用凑微分解决,后一积分可利用例4方法,得
1 u2 ln(u 1 u2 ) C
x2 2x 2 ln( x 1 x2 2x 2) C.
换回原变量 2 x 2ln | 1 x | C.
例2
求
1
x
3
dx. x
解 令6 x t,则x t6,dx 6t5 d t.
1
x
3
dx x
1
t3 t
2
6t
5dt
6
t8 1 1 t2
1dt
(t 2 1)(t6 t4 t 2 1) 1
6
1 t2
dt
6
[(t
6
t
4
t
2
1)
1
1 t
2
]dt
arcsin
x
1 2
d(1 1
x2 x2
)
arcsin
x
1 x2 C.
小结 (1)根号内含有x的一次函数,如 ax b,3 ax b,
可分别令 ax b t,3 ax b t.
(2)根号内含有x的二次函数,如 a2 x2 , a2 x2 , x2 a2 ,
可分别令x a tant, x a sin t, x a sec t.
例8 求 x ln xdx.
解
x ln
xdx
1 2
ln
xdx 2
1 2
(
x
2
ln
x
x
2d
ln
x
)
1 2
(
x2
ln
x
xdx)
1 x2 ln x 1 x2 C.
2
4
例9 求 xcos xdx.
解 xcos xdx xdsin x
x sin x sin xdx x sin x cos x C. 例10 求 xexdx. 解 xexdx xdex xex exdx xex ex C
二、分部积分法 设函数u u( x),v v( x)的微分公式是
d(uv) udv vdu.
移项后两边积分得 udv uv vdu. u, v交换位置
上述公式称为分部积分公式.
例7 求 ln xdx.
解
ln
xdx
x
ln
x
xd ln
x
x ln
x
x
1dx x
x ln x x C.
6
[(t
6
t
4
t
2
1)
1
1 t
2
]dt
6 t7 6 t5 2t 3 6t 6arctan t C 75
7
5
1
1
1
6 x6 6 x6 2x2 6x6 6arctan x6 C.
75
例3 求 a2 x2dx(a 0).
解 令x a sin t, 则dx a costdt, a2 x2 acost,
如果这个积分比原来的容易求出,就达到目的,
这种方法叫做变量置换法.它可表示为
g( x)dx 令x (t) g((t))(t)dt.
例1
求
1
1
dx. x
解 令 x t,即x t2,则dx 2t d t.代入得
1
1
dx x
2t 1
dt t
2
(1
1
1
t
)dt
2t 2ln | 1 t | C
ex cos x ex sin xdx ex cos x sin xdex ex cos x ex sin x ex cos xdx.
右边又出现了与左边相同的积分,移项得
2 ex cos xdx ex cos x ex sin x C1
e
x
cos
xdx
1 2
ex
(cos
x
sin
22
ln | x 1 x x2 | C . 2
思考题
求
1
x(1
3
dx. x)
解 令x t6,t 0,
原式
t
3
6t 5 (1
t
2
)
dt
6t 2
1 t2
dt
6
(1
1
1 t
2
)dt
6(t arctant) C
6(6 x arctan6 x) C.
四、小结
1、本节基本要求 掌握变量置换法与分部积分法在不定积分计算
a2
x a2 x a2 x2
arcsin
C
2
a 2a a
a2 arcsin x x a2 x2 C.
2
a2
a x
t
a2 x2 图4 2
例4 求
1 dx(a 0).
a2 x2
解 如图4 3,令x a tant, 则dx a sec2 tdt,
1 a2
dx x2
a sec2 t
第四章 积分学
§3 变量置换法与分部积分法
一、变量置换法 二、分部积分法 三、拓展与思考 四、小结
一、变量置换法 求不定积分除直接用公式外,主要思路是变化被积分式, 使之成为容易积分的形式. 前节已经介绍了变化被积分式的一些办法,如凑微分法, 这节再介绍一种方法叫做变量置换法.
譬如 g( x)dx不易积分,设x (t),将积分化为 g((t))(t)dt.
( x 1)ex C.
例11 求 x2exdx. 解 x2exdx x2dex x2ex 2 xexdx
x2ex 2 xdex x2ex 2( xex exdx)
例11 求 x2exdx. 解 x2exdx x2dex x2ex 2 xexdx
x2ex 2 xdex x2ex 2( xex exdx)
中的运用.
2、本节重点、难点 重点：变量置换法与分部积分法. 难点：变量置换法.
3、本节知识结构
变 量 置 换 法 与
分 部 积 分 法
变量置换法 分部积分法
变换 n ax b t
变换 x a tan t, x a sin t, x a sect
利用 udv uv vdu