喀兴林高等量子力学E
3.1 （做题人：韩丽芳 校对人：胡相英） (好)
幺正算符也有本征矢量。证明幺正算符的本征值都是绝对值是1的复数；幺正算符的两个本征矢量，若所属本征值不同亦必正交。
证明： 设算符U 为幺正算符，ψ为其任意本征矢量，u 为对应的本征值。 即 则
因
0≠ψψ，所以1=*u u 即 1=u
即证得幺正算符的本征值都是绝对值是1的复数。
设算符U 为幺正算符的两个本征值为1u 、2u ，对应的矢量分别为
1ψ、2ψ，且
21u u ≠。
则
因为幺正算符1-+
=U U 则有
所以
因为01
2
121≠-
*
*
u u u u ，故021=ψψ，即 1ψ和2ψ正交。 即证得幺正算符的两个本征矢量，若所属本征值不同亦必正交。
3.2 投影于某一子空间的投影算符P ，既然是厄米算符，它的本征值是什么？有无简并？本证子空间是什么？(好)
解：投影于某一子空间的投影算符∑==m
i i
P 1，设全空间是n 维的，且n m <。
则本征值方程
ψλψψ==∑=m
i i
P 1
⑴
其中λ为本征值， ψ为相应的本征态。
则
ψλψλψ22
==P P ⑵
由幺正算符等幂性P P =2
得
ψψP P
=2
⑶
由⑴、⑵和⑶式得λλ=2
，所以1=λ或0=λ。 即求得投影算符的本征值是1或0。
当1=λ时，本征失量是i ，其中m i Λ,2,1=。所以是简并的，本征子空间S 是由这m
个基矢构成的矢量空间。
当0=λ时，本征矢量是与i 正交的矢量。所以也是简并的，本征子空间是S 空间的补空间。 #
练习3.3 证明若算符的本征值谱中有零本征值，则这个算符肯定没有逆。
证明：假设算符A 有逆，则在值域中取一任意|φ>，则定义域有|ψ>存在 即
ψφφ-==AA 1
Q 已知A
的全部本征值和相应的本征矢量：i i i a A ψφ= i=1，2，3…， Q 算符A 存在零本征值，即00=?=φa a ∴对于任意本征矢量
()ψφa A -≠与()ψφ-=A a 矛盾
∴假设不成立，即算符的本征值谱中有零本征值，这个算符肯定没有逆。 #
练习3.4 根据完全性和封闭性的定义，分别证明：在n 维空间中的一个完全矢量集
｛i ψ｝，
（i ψ归一化但彼此不一定正交，i=1,2,3…,n ）,若从其中去掉一个矢量，例如去掉 1ψ，就不再是完全集。（做题者：杨涛 审题人：吴汉成）
证明：假设在n 维空间中的一个完全集
{}i
ψ去掉一个矢量1
ψ
后仍是完全集
∴新的矢量集
{}
2
3,,...n
ψ
ψψ是线性无关的，
即
2
2
n
n
i i i i i i c ψψψψψ====∑∑
我们把1ψ加入完全矢量集{2
3,,...n ψ
ψψ成立一个新集合{}i ψ，
Q
{}2
3,,...n ψ
ψψ是完全集。则1ψ肯定能表为23,,...n ψψψ的线性叠加
∴新集合
{}i
ψ是线性相关的与它是线性无关相矛盾。
在n 维空间中的一个完全集
{}i
ψ去掉一个矢量1
ψ
后不是完全集
#
3.5、在有限维空间中，有A 和B 两个相互对易的厄米算符。它们的全部线性无关的正交归一化本征矢量字分别为{}αi 和{β
i ：
i m ，j m 分别为本征值i a 和j b 的简并度（它们也可以等于1）。
（1）证明 ia j j ji ββαβ
∑=
是A 和B 的共同本征矢量。它们是否归一化？彼此是否正交？
（2） 全部不为零的ija 的总数是多少？它们是线性相关的还是线性无关的？
（做题：陈捷狮，审查人：刘强。） 解：（1）αααββαββαβ
β
ji i j j a i j j A
ji A i j ===∑∑
所以：αji 是A 和B 的共同的本征矢量。
由于1==?
??
? ??
=∑∑∑*
ia ia j j j j i j j i j j jia jia βββ
βαββ
αββ
β
β
β
他们是归一的。
由于A 和B 作用在αji 的本征值不同，所以彼此是正交。 （2）全部不为零的ija 的总数是j i m m 。它们是线性无关的。 #
练习4 .1 在任何表象中，与厄米算符H 对应的矩阵（ij H ）称为厄米矩阵，与幺正
算符对应的矩阵（ij U ）称为幺正矩阵。证明它们分别满足下列关系：
（做题：陈捷狮，审查人：刘强。） 解：（1
）*
*
*
=====ij
ji H j
H Hj i Hj i H j H （2） 利用完全性关系可得：
证毕!
练习4.2 在某表象中，算符A
?的矩阵形式为 （1） 求A
?的本征值及相应的本征矢量；
（2） 用A
?的一组正交归一化本征矢量集表示这一表象的三个基失。 解：（1）本征值方程为????? ??=????? ?????????
? ??
++-+-+c b a c b a
λ）（）（）（）（21102110
202110211
则久期方程为：
02
110
2
11020
2
1102
11=-+
+--+
--+
）
（）
（）（）（）（λλλ
解得：λ1=λ2=2，λ3=2
当λ1=λ2=2时本征函数为：???
?
?
??+????? ??=????? ??01010121K K c b a
即此时本征函数分别为：?
?????
?
??=220221ψ ,?
???? ??=ψ0102 当时λ3=2本征函数为：????
??
? ??-=220223ψ
因为0*0*0*323121===ψψψψψψ，，
所以用A
?的一组正交归一化本征矢量集表示这一表象的三个基失为ψ1，ψ2，
ψ3。 #
练习4.3 在三维空间中，K 表象的基是1ε，2ε，3ε。有一算符A ，在此表
象中的矩阵为 ????
?
? ??=503020307A
（1）求A 的本征矢量在K 表象中的形式及相应的本征值；
（2）取A 的本征矢量1α，2α，3α为L 表象（即A 表象）的基，求表象变换的幺正矩阵U 和1-U ; （3）验证所求矩阵的幺正性；
（4）用U 与1-U 计算算符A 在L 表象中的矩阵。
（作题人：胡项英 校对人：韩丽芳）
解：（1）设A 在K 表象中的本征矢量为???
?
? ??=321c c c ψ ，相应的本征矢量为λ ，则：
有解则：
050
3
020307=---λ
λλ
所以得：8,4,2=λ
所以：当21=λ时，代入本征值方程且根据12
32
22
1=++c c c 则：
1,0231===c c c 所以：???
?
? ??=0101ψ
同理：当42=λ时，则：
2
3
,0,21321-===c c c 所以：??????? ??-=230212ψ
当83=λ时，则：
21
,0,23321===c c c 所以：??????
?
?
?=210233ψ （2）根据幺正矩阵i i U αε=则A 在K 表象中矢量按列排列即为U ，
所以：????
??
?
?
?
-=212
30001
23210U ????
???
?
?
?-=-210
2
3230210101U (3)将U ,1-U 的值代入得：111==--U U UU 所以：U 为幺正矩阵
（4）根据U A U A k l )(1)(-=，分别代入1,-U U 则：
#
练习4.4 H
?为厄米算符，)?ex p(?H i S = （侯书进） 证明：(1)S
?是幺正算符； (2))?ex p(?det H itr S
= 证明：（1） H
?为厄米算符，则H H ??*= 所以)?ex p(??1*H i S S
-==- 即I S S S S
??*??*?*1==- 则S
?是幺正算符 (2)因为S
?是H ?的函数，则S ?与H ?可以同时对角化。在H ?表象中，H ?表现为对角矩阵，对角矩阵元n nn H H =为H
?的本征值，则 而S ?的本征值）（n i ex p H
即）（n nn n i ex p H S S ==
则)?exp(i exp
)exp ?det n n
n
n nn H itr H iH B S n
∑∏∏====）（（ #
练习4.5 （吴汉成 完成，董延旭 核对）
在三维空间中，有矩阵A 和B ：
??????
?
?=102
2255
255A ， ?????
?
?
?------=02
221121
1B
（1） 证明A 和B 均为厄米矩阵，而且[A ，B]=0；
（2） 分别求A 和B 的本征值与本征矢量；
（3） 求A 和B 两算符的（归一化的）共同本征矢量集； （4） 求能使A 和B 都对角化的幺正变换矩阵U ； （5） 用U 将A 和B 对角化。
解： （1）证明：由题意得A 的转置矩阵A ~
： 显然又得A ~
的共轭矩阵：
*)~(A 与A 比较，得：A A =*)~
(
又Θ*
)~
(A A =+，
∴A A
=+
，显然A 为厄米矩阵，
同理可证B 为厄米矩阵。
又?????
?
??---------=?????? ??------??????
?
?=42
102
1021022
2102
2
02
2
21121
1102
2255
255AB Θ
∴ AB — BA = 0
∴ []0,=-=BA AB B A ，故得证。
（2）设A 的本征值为a ，本征矢量为：???
??
??=321A A A A ψψψψ；B 的本征值为b,本征矢量
为:???
?
? ??=321B B B B ψψψψ。
则必有本征方程：A A a A ψψ= 即：
01022255255321=???
?
? ???????? ??---A A A a a a ψψψ ————[1]
久期方程：
解之得： 01=a 82=a 123=a 当01==a a ,代入[1]式得： 整理得：
联解得： 0,321=-=A A A ψψψ
即得： ????
? ??-=????? ??=011321A A A A A A ψψψψψψ
归一化条件： 1=+
A A ψψ
即： (
)
10011*1
*
1
=????
?
??--A A A A ψψψψ 即得 ： 11*
11*1=+A A A A ψψψψ
解之得： 2
21=
A ψ ∴ A 的本征矢量： ??
?
??
??
?
? ??-=????? ??=02222321A A A A ψψψψ。
同理可得：
当A 的本征值82==a a 时，A 本征值矢量：??
?
?
??
??
??-=????? ??=222121321A A A A ψψψψ
当A 的本征值123==a a 时，A 本征值矢量：??
?
?
??
?
? ??=????? ??=222121321A A A A ψψψψ
至于求B 本征值和本征矢量的方法步骤，与求A 的本征值和本征矢量的方法步骤是一样的，因此同理可求得B 的本征值分别是： 21=b 22=b 23-=b 而且相应本征值b 的本征矢量分别为：
1）本征值21==b b 时，??
???
??
?
?
??-=????? ??=02222321B B B B ψψψψ
2）本征值22==b b 时A ，??
???
??
?
? ??-=????? ??=02222321B B B B ψψψψ
3）本征值23-==b b 时，????
???
?
?
?=???
?
? ??=222121321B B B B ψψψψ (3) 设A 和B 的共同本征矢量???
?
? ??=321ψψψψ ，则必有本征方程：
显然也有方程： ψψψψba bA Ab AB ===
设,ba =λ则λψψ=AB
又Θ ????
?
?
??---------=42
1021021022
21022AB ；并代入λψψ=AB 式
得： ????? ??=????? ???????
?
??---------321321421021021022
2102
2ψψψλψψψ
∴ 042
1021021022
21022321=???
?
? ????????
?
?------------ψψψλλλ ————————————[2]
所以得久期方程：
解之得： 24,16,0321-===λλλ 当01==λλ时，代入[2]式得：
整理得： 021022321=---ψψψ 联解得： 0,321=-=ψψψ 所以得：
由归一化条件：1=+
ψψ，得：
解之得： 2
21=
ψ
所以,当本征值01==λλ时，ψ的本征矢量：??
?????
?
? ??-=????? ??=02222321)
1(ψψψψ 同理可得：
当本征值162==λλ时，ψ的本征矢量：????????
??-=222121)
2(ψ 当本征值243-==λλ时，ψ的本征矢量：???????
? ??=222121)3(ψ 综上所述得A 和B 的（归一化）共同本征矢量集：{
})3()2()
1(ψψψ
，
（4） 设能使A 和Ｂ都对角化的幺正变换矩阵为U ，则必有 1-+
=U U
，+-==UAU UAU A 1'，+-==UBU UBU B 1'
又Θ 1=+
U U ，并代入上式
此关系式说明了：能使A 和B 都对角化的幺正变换矩阵，与能使（AB ）对角化的幺正变换的矩阵，都是相同的，两者都是U 。另一方面，由（3）的结果可得能AB 对角化的幺正矩阵为：
()
????????
? ?
?--==02
22
2222121222121)1()2()
3(ψψψU ——————[3] （5）由于U 是幺正矩阵，所以+-=U U 1
，并联系[3]式得
所以对角化：
???
?
? ??=0000800012，其对角元为A 的本征值，与（2）小题的结果完全一致.
???
?
? ??-=200020002，其对角元为B 的本征值，与（2）小题的结果完全一致。
#
练习 4.6 在一个9维空间中有二矩阵A 和B ；
式中空格及圆点均代表零。
（1）分别求A 和B 的本征值与本征矢量（不必归一化，取最简单形式），若本征值是m 重简并的，写出其本征子空间的m 个代表矢量； （2）写出A 和B 的共同本征矢量完全集（共有9个矢量）。 （做题人:宁宏新 校对人:胡项英）
解：１．设Ａ的本征值为λ，则det ()0=E -A λ,即 当654321=====λλλλλ时，有
由()0=-A χλ?
得
????
???
????????
??+??????????????? ??+??????????????? ??+??????????????? ??+??????????????? ????????????
?????=?=========?10000000001010000000102010000000101000000000125432199
8
87
744
867
57
342
11k k k k k χχχχχχχχχχχχχχχχχχχ? （51k k →为不同时为零的权）
本征值为６时，其是５重简并的，代表矢量为 当2876===λλλ时，有
由()0=-A χλ?
得
????
???
????????
??-+??????????????? ??-+??????????????? ??-??????????
?????=?====-==-=-==?0101000000010001000000010100
032198
87
744
8657
342
1k k k χχχχχχχχχχχχχχ
χχ?（31k k →为不同时为零的权） 本征值为２时为三重简并，代表矢量为 当09=λ时，有
由()0=-A χλ?
得
()0001010100000000987
74
67
55
32
1≠???????
????????
??-??????????
?????=?=====-=-===?k k χχχχχχχχχχχχχ?代表矢量为????
??????????
? ??-=001010100χ? 设Ｂ的本征值为δ，则det ()0=E -B δ,即 当0321===?δδδ时
???
???
?????
???
? ?
?---20
00100000000000000000001000000000000000000010000000000000000000100
00000002
?????????
?????
?
→10
0010000000000000000000100000000000000000001000000000000000000010由()0=E -B χδ?
得 ????
???
????????
??+??????????????? ??+??????????????? ????????????
?????=?=========?00100000000001000000000010000000
03219
87
74
65
53
32
1k k k χχχχχχχχχχχχχ?（31k k →为不同时为零的权） 当0321===δδδ时,为三重简并,代表矢量为: 当154-==δδ时,有
??????????????
? ?
?-10
0000000000001000000000000000000010000000002000000000100000000020000000003
?????????
?????
?
→10
0000000000001000000000000000000010000000001000000000100000000010由()0=E -B χδ?
得 ????
???????????
??+??????????????? ????????????
?????=?=========?0001000000100000000000
0219
8
874
66532
1k k χχχχχχχχχχχχ?(2
1k k 不同时为零) 154-==δδ为二重简并,代表矢量为()()???????????????
??=??????????????? ??=000100000;0100000002221χχ??
当176==δδ时,有
???
???
?????
???
?
?
?------30
000000
0020000000001000000000200000000010000000000000000000100000000000000000001?????????
?????
? ??→10
0010000000001000000000100000000010000000000000000000100000000000000000001
由()0=E -B χδ?
得 ????
???????????
??+??????????????? ????????????
?????=?=========?00000100000000001000000
0219
8744
65322
1k k χχχχχχχχχχχχ?(2
1k k 不同时为零) 176==δδ为二重简并,代表矢量为()()??????????????
?
??=??????????????? ??=000010000;0000000102221χχ??
当28=δ时
???
???
?????
???
? ?
?--------40
0000000300000000020000000003000000000200000000010000000002000000000100
00000000?????????
?????
? ??→10
0010000000001000000000100000000010000000001000000000100000000010000000000
由()0=E -B χδ?
得 ()0000000001000000
9874
6532
11≠???????
????????
????????????
?????=?=========?k k χχχχχχχχχχχ?不简并,代表矢量为????
??????????
? ??=000000001χ? 当29-=δ时
??????????????? ?
?00000000
0010000000002000000000100000000020000000003000000000200000000030000000004?????????
?????
? ?
?→00
0010000000001000000000100000000010000000001000000000100000000010000000001
由()0=E -B χδ?
得 ()010000000000000
0099874
6532
1≠???????
????????
????????????
?????=?=========?k k χδχχχχχχχχχ?不简并,代表矢量为????
??????????
? ??=100000000χ? (3)求A,B 的共同本正矢量完全集:对于A,λ=6本征值是5重简并的,则
()(){}????
?
??? ??--=B ?B =B 2000002000000000002000
00266ij ij j i χχ设为
()
0;2;20det ,54321''=-====?=E -B B b b b b b b
当221==b b 时有
???
????
?
??→???????? ?
?---?10000
01000
00100
00000
0000040000040000020000
0000
000由()?????????=====?=E -B 0000543221
1'
C C C C C C C C b ?
取()()000100,0,0,0,121，，，，或==C C 当243-==b b 时有
???
?????
??→???????? ???0000000000
00000
0001000001
0000000000002000004000004
由()?????
????=====?=E -B 5
544
321'000
0C C C C C C C C b ?
取()()100000,1,0,0,043，，，，
或==C C 当05=b 时
???
????
?
??→???????? ?
?--?1000001000
00000
00010
0000120000020000000000
02000002
由()?????????=====?=E -B 0000
0543321'
C C C C C C C b ?
取()0,0,1,0,05=C
λ=2是三重简并的()
()
{}'''33010000002B ij ij j
i =???
?
?
??=B ?B =B χχ
当21=b 时???
?
? ??=????? ??--?10001000021002000
由()
()0,0,10002
21
1'''=?????===?=E -B C C C C C C b 取? 则 ???????
???????
? ??-=0000010106J ? 当12=b 时???
?
? ??→????? ??-?100000001100000001
由()
()0,1,000
03
221'''=?????===?=E -B C C C C C C b 取? 则 ???????
???????
?
??-=0010001007J ? 当03=b 时???
?
? ??→????? ???000010001010000002
由()
()1,0,000
033
21'''=?????===?=E -B C C C C C C b 取? 则 ???????
???????
?
??-=010*******J ? λ=0时A 与B 有相同的本征态,即
????????
??????
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喀兴林高等量子力学习题6、7、8
练习 6.1 在ψ按A 的本征矢量{}i a 展开的（6.1）式中，证明若ψ 是归一化的，则 1=∑*i i i c c ，即A 取各值的概率也是归一化的。（杜花伟） 证明：若ψ是归一化的，则1=ψψ。根据(6.1)式 ∑=i i i c a ψ, ψi i a c = 可得 1===∑∑* ψψψψ i i i i i i a a c c 即A 取各值的概率是归一化的。 # 练习6.2 (1) 证明在定态中,所有物理量取各可能值的概率都不随时间变化,因而,所有物理量的平均值也不随时间改变. (2) 两个定态的叠加是不是定态? （杜花伟 核对：王俊美） (1)证明：在定态中i E i H i = , Λ3,2,1=i 则 ()t E i i i i t η -=ψ 所以 i A i e i A e A t E i t E i i i ==-η η ψψ. 即所有物理量的平均值不随时间变化. (2)两个定态的叠加不一定是定态.例如 ()()()t E i t E i e x v e x u t x 21,η η --+=ψ 当21E E =时,叠加后()t x ,ψ是定态;当21E E ≠时, 叠加后()t x ,ψ不是定态. # 6.3证明：当函数)(x f 可以写成x 的多项式时，下列形式上含有对算符求导的公式成立： ) (]),([)()](,[X f X i P X f P f P i P f X ?? =?? =ηη （解答：玉辉 核对：项朋） 证明：（1）
) ()()()()()()()()](,[P f P i P i P f P i P f P f P i P i P f P f P i X P f P Xf P f X ??=??-??+??=??-??=-=ηηηηηηψψ ψψψ ψψ ψψ 所以 )()](,[P f P i P f X ?? =η （2） ) () ()())(())(()()())(()()(]),([X f X i X f X i X i X f X i X f X f X i X i X f X Pf P X f P X f ??=?? --??--??-=?? --??-=-=ηηηηηηψψψψψ ψψ ψψ 所以 )(]),([X f X i P X f ?? =η # 练习6.4 下面公式是否正确？（解答：玉辉 核对：项朋） ),()],(,[P X f P i P X f X ?? =η 解：不正确。 因为),(P X f 是X 的函数，所以)],(,[P X f X =0 # 练习6.5 试利用Civita Levi -符号，证明：（孟祥海） （1）00=?=?L X ,L P （2）[]0=?P X L, （3）()()P X X P P X P X L ?-??-=ηi 22 2 2 证明： （1）∑∑∑∑=== ?ijk k j i ijk k j jk ijk i i i i i P X P P X P L P εε L P
高等量子力学复习题
上册 1.3 粒子在深度为0V ,宽度为a 的直角势阱(如图1.3)中运动,求 (a)阱口刚好出现一个束缚态能级(即0V E ≈)的条件; (b)束缚态能级总和,并和无限深势阱作比较 . 解 粒子能量0V E 小于时为游离态,能量本征值方程为: []0)(22''=-+ ψψx V E m (1) 令002k mV = ,β=- )(20E V m (2) 式(1)还可以写成 ?? ???≥=-≤=+）（阱外）（阱内4)(2,03)(2,022''2''a x a x mE ψβψψψ 无限远处束缚态波函 数应趋于0，因此式(4)的解应取为()2,a x Ce x x ≥=-βψ 当阱口刚好出现束缚态能级时,0,0≈≈βV E ,因此 2,0)('a x Ce x x ≥≈±=-ββψ （6） 阱内波函数可由式(3)解出,当0V E ≈解为 ()()2,s i n ,c o s 00a x x k x x k x ≤?? ?==ψψ奇宇称 偶宇称 （7） 阱内、外ψ和ψ应该连续，而由式（6）可知，2a x =处，0'=ψ， 将这条件用于式（7），即得 ,5,3,,02cos ,6,4,2,02 sin 0000ππππππ====a k a k a k a k 奇宇称偶宇称(8) 亦即阱口刚好出现束缚能级的条件为 ,3,2,1, 0==n n a k π （9） 即2 22202π n a mV = （10） 这种类型的一维势阱至少有一个束缚能级，因此，如果 2 2202π< a mV ，只存在一个束缚态，偶宇称（基态）。如果22202π = a mV ，除基态外，阱口将再出现一个能级（奇宇称态），共两个能级。如() 222022π= a mV ，阱口将出现第三个能级(偶宇称)。依此类推，由此可知，对于任何20a V 值，束缚态能级总数为 其中符号[A]表示不超过A 的最大整数。 当粒子在宽度为a 的无限深方势阱中运动时，能级为 ,3,2,1,212 =?? ? ??=n a n m E n π 则0V E ≤的能级数为 120-=?? ????=N mV a n π （12） 也就是说，如果只计算0V E ≤的能级数，则有限深)(0V 势阱的能级数比无限深势阱的能级数多一个。注意，后者的每一个能级均一一对应的高于前者的相应能级。
高等量子力学习题汇总(可编辑修改word版)
2 i i i j i j ± 第一章 1、简述量子力学基本原理。 答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是 Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是 Hillbert 空间内的厄米算符( A ? )；2、物理量所能取的值是相应算符 A ? 的本征值；3、 一个任意态总可以用算符 A ? 的本征态 a i 展开如下： = ∑C i a i i C i = a i ；而 物理量 A 在 中出现的几率与 C i 成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置 算符 x ? 和相应的正则动量算符 p ? 有如下对易关系： [x ? , x ? ]= 0 ， [p ? , p ? ] = 0 ， [x ?i , p ? j ]= i ij 原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量 (t ) 随时间变化的规律由薛定谔方程给 i ? ?t (t ) = H ? (t ) 在海森堡图景中，一个厄米算符 A ?(H ) (t ) 的运动规律由海森堡 方程给出： d A ?(H ) (t ) = 1 [A ?(H ), H ? ] 原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在 dt i Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念？ 答： (x, t ) =< x |(t )>式中态矢随时间而变而 x 不含 t ，结果波函数ψ(x ，t )中的宗量 t 来自 ψ(t ) 而 x 来自 x ，这叫做薛定谔图景. ?1 ? ? 0? 3、 已知 = ?,= ?. 0 1 (1)请写出 Pauli 矩阵的 3 个分量； (2)证明σ x 的本征态 ? ? ? ? 1 ?1 ? 1 | S x ± >= ? = ? 1? (± ). 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为： 求 证： 2 2
喀兴林高等量子力学习题EX1矢量空间
EX1.矢量空间 练习 1.1 试只用条件（1）~（8）证明2ψψψ+=，0ψ=O 和1ψψ-=-（）。 （完成人：梁立欢 审核人：高思泽） 证明：由条件（5）、（7）得 只需证明O =0ψ和ψψ-=-)1(这两式互相等价 根据条件（7） 现在等式两边加上)0(ψ-，得 根据条件（4）， 上式左O =-+=)0(0ψψ 根据条件（4）、（2） 上式右00)00(0ψψψψψ=O +=-+= 由O =0ψ，根据条件（4）、（7）得 # 练习 1.2 证明在内积空间中若()()?ψ?ψ,,21=对任意?成立，则必有21ψψ=。 （完成人：谷巍 审核人：肖钰斐） 证明 由题意可知，在内积空间中若()()?ψ?ψ,,21=对任意?成立，则有 (1ψ,)?－(2ψ,)?=0 (1) 于是有 ()0,21=-?ψψ (2) 由于在内积空间中()()?ψ?ψ,,21=对任意?成立，则可取21ψψ?-=,则有 ()2121,ψψψψ--=0 成立 （3） 根据数乘的条件（12）可知，则必有 21=-ψψ （4） 即21ψψ= 故命题成立，即必有21ψψ=.
# 练习1.3 矢量空间运算的12个条件是不是独立的？有没有一条或两条是其余各条的逻辑推论？如有，试证明之。 （完成人：赵中亮 审核人：张伟） 解：矢量空间运算的12个条件是独立的。 # 练习 1.4 （1）在第二个例子中若将加法的规定改为：和矢量的长度为二矢量长度之和，方向为二矢量所夹角()??180的分角线方向，空间是否仍为内积空间？ （2）在第二个例子中若将二矢量和内积的定义改为θ?或 θ，空间是否仍为内积空间？ （3）在第三个例子的空间中，若将内积的定义改为 空间是否仍为内积空间？ （4）在第四个例子的函数空间中，若将内积的定义改为 空间是否仍为内积空间？ （完成人：张伟 审核人：赵中亮） 解：（1）在第二个例子中若将加法的规定改变之后，空间不是内积空间。 因为将规定改之后对于任意的矢量不一定存在逆元，如一个不为零的矢量设为A ，则任意矢量和它相加后，得到的矢量的长度不为零，所以一定不能得到零矢量，即找不到逆元。所以空间不是内积空间。 （2）在第二个例子中若将内积的定义改之后，空间不是一个内积空间。证明如下： +≠+,即有 () ,=+C B A θ+θθ?+≠=()()C A B A ,,+ 所以内积的定义改变之后不是内积空间。 （3）在第三个例子中若将内积的定义改之后，空间仍然是一个内积空间。证明如下： i
高等量子力学习题.
高等量子力学习题 1、 对于一维问题，定义平移算符()a D x ，它对波函数的作用是() ()()a x x a D x -=ψψ，其中a 为实数。设()x ψ的各阶导数存在，试证明()dx d a x e i p a a D -=?? ? ??= ?exp 。 2、 当体系具有空间平移不变性时，证明动量为守恒量。 3、 若算符()x f 与平移算符()a D x 对易，试讨论()x f 的性质。 4、 给定算符B A ,，证明[][][]....,,! 21 ,++ +=-B A A B A B Be e A A ξξ。 5、 给定算符C B A 和、，存在对易关系[]C B A =,，同时[][]0,,0,==C B C A 。证明Glauber 公式C A B C B A B A e e e e e e e 2 12 1 ==-+。 6、 设U 为幺正算符，证明U 必可分解成iB A U +=，其中A 和B 为厄密算符，并满足 122=+B A 和[]0,=B A 。试找出A 和B ，并证明U 可以表示为iH e U =，H 为厄密 算符。 7、 已知二阶矩阵A 和B 满足下列关系：02 =A ，1=+++AA A A ，A A B + =。试证明 B B =2，并在B 表象中求出矩阵A 、B 。 8、 对于一维谐振子，求湮灭算符a ?的本征态，将其表示为谐振子各能量本征态n 的线性叠加。已知1?-=n n n a 。 9、 从谐振子对易关系[ ]1,=+ a a 出发，证明a e ae e a a a a λλλ--=+ +。 10、 证明谐振子相干态可以表示为 0*a a e ααα-+=。 11、 谐振子的产生和湮灭算符用a 和+ a 表示，经线性变换得+ +=va ua b 和 ++=ua va b ，其中u 和v 为实数，并满足关系122=-v u 。试证明：对于算符b 的任 何一个本征态，2 =???p x 。 12、 某量子体系的哈密顿量为，() 223 2 35++++= a a a a H ，其中对易关系[]1,=-≡++ + a a aa a a 。试求该体系的能量本征值。 13、 用+ a ?和a ?表示费米子体系的某个单粒子态的产生和湮灭算符，满足基本对易式
量子力学第一章习题答案
第一章 1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律： 能量密度极大值所对应的波长λm 与温度T 成反 比，即λm T = b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到两位有效数字。 解：黑体辐射的普朗克公式为：) 1(833 -=kT h e c h ν νν πρ ∵ v=c/λ ∴ dv/dλ= -c/λ2 又 ∵ ρv dv= -ρλdλ ∴ ρλ=-ρv dv/dλ=8πhc/[λ5(e hc/λkT -1)] 令x=hc/λkT ,则 ρλ=8πhc(kT/hc)5x 5/(e x -1) 求ρλ极大值，即令dρλ(x)/dx=0，得： 5(e x -1)=xe x 可得： x≈4.965 ∴ b=λm T=hc/kx ≈6.626 *10-34*3*108/(4.965*1.381*10-23) ≈2.9*10-3（m K ） 1.2√. 在0 K 附近，钠的价电子能量约为3电子伏，求其德布罗意波长。 解： h = 6.626×10-34 J ·s , m e = 9.1×10-31 Kg,， 1 eV = 1.6×10-19 J 故其德布罗意波长为： 07.0727A λ=== 或λ= h/2mE = 6.626×10-34/(2×9.1×10-31×3×1.6×10-19)1/2 ≈ 7.08 ? 1.3 √.氦原子的动能是E= 32 KT （K B 为波尔兹曼常数），求T=1 K 时，氦原子的德布罗意波长。 解：h = 6.626×10-34 J ·s , 氦原子的质量约为=-26-2711.993104=6.641012 kg ???? , 波尔兹曼常数K B =1.381×10-23 J/K 故其德布罗意波长为： λ = 6.626×10-34/ (2×-276.6410?×1.5×1.381×10-23×1)1/2 ≈0 1.2706A 或λ= 而KT E 23 =601.270610A λ-==? 1.4利用玻尔-索末菲量子化条件，求： a ） 一维谐振子的能量： b ） 在均匀磁场作圆周运动的电子轨道的可能半径。 解： a ）解法一：设一维谐振子的质量为m ，广义坐标为 q=Acos(ωt+φ) 根据玻尔—索末菲量子化条件 ∮pdq = nh 得：∮m(dq/dt)dq = m ωA 2∮sin 2θd θ=m ωA 2π=nh ∴ A 2 =nh/(πm ω)=2nh/m ω (其中h=h/2π) 又 ∵ 一维谐振子的周期 T =2π(m/k)0.5
喀兴林高等量子力学EX3、4、5
3.1 （做题人：韩丽芳 校对人：胡相英） (好) 幺正算符也有本征矢量。证明幺正算符的本征值都是绝对值是1的复数；幺正算符的两个本征矢量，若所属本征值不同亦必正交。 证明： 设算符U 为幺正算符，ψ为其任意本征矢量，u 为对应的本征值。 即 ψψu U = 则 ψψψψψψψψu u U U U U *+=== 因 0≠ψψ，所以1=*u u 即 1=u 即证得幺正算符的本征值都是绝对值是1的复数。 设算符U 为幺正算符的两个本征值为1u 、2u ，对应的矢量分别为 1ψ 、2ψ，且 21u u ≠。 则 111ψψu U = 11 111 ψψu U =- 222ψψu U = 22 211 ψψu U = - 因为幺正算符1-+ =U U 则有 21212121ψψψψψψu u U U *+== 212 1211 ψψψψu u UU * + = = 所以 01212121=??? ? ? ?-**ψψu u u u 因为01 2 121≠- * * u u u u ，故021=ψψ，即 1ψ和2ψ正交。 即证得幺正算符的两个本征矢量，若所属本征值不同亦必正交。 3.2 投影于某一子空间的投影算符P ，既然是厄米算符，它的本征值是什么？有无简并？本证子空间是什么？(好)
解：投影于某一子空间的投影算符∑==m i i P 1，设全空间是n 维的，且n m <。 则本征值方程 ψλψψ==∑=m i i P 1 ⑴ 其中λ为本征值， ψ为相应的本征态。 则 ψλψλψ22==P P ⑵ 由幺正算符等幂性P P =2得 ψψP P =2 ⑶ 由⑴、⑵和⑶式得λλ=2 ，所以1=λ或0=λ。 即求得投影算符的本征值是1或0。 当1=λ时，本征失量是i ，其中m i Λ,2,1=。所以是简并的，本征子空间S 是由这m 个基矢构成的矢量空间。 当0=λ时，本征矢量是与i 正交的矢量。所以也是简并的，本征子空间是S 空间的补空间。 # 练习3.3 证明若算符的本征值谱中有零本征值，则这个算符肯定没有逆。 证明：假设算符A 有逆，则在值域中取一任意|φ>，则定义域有|ψ>存在 即 ψφφ-==AA 1 Q 已知A 的全部本征值和相应的本征矢量：i i i a A ψφ= i=1，2，3…， ∴ ()ψψφ--==A a AA Q 算符A 存在零本征值，即00=?=φa a ∴对于任意本征矢量 ()ψφa A -≠与()ψφ-=A a 矛盾 ∴假设不成立，即算符的本征值谱中有零本征值，这个算符肯定没有逆。 # 练习3.4 根据完全性和封闭性的定义，分别证明：在n 维空间中的一个完全矢量集 ｛i ψ｝， （i ψ归一化但彼此不一定正交，i=1,2,3…,n ）,若从其中去掉一个矢量，例如
量子力学期末考试试卷及答案
量子力学期末试题及答案 红色为我认为可能考的题目 一、填空题： 1、波函数的标准条件：单值、连续性、有限性。 2、|Ψ（r,t）|^2的物理意义：t时刻粒子出现在r处的概率密度。 3、一个量的本征值对应多个本征态，这样的态称为简并。 4、两个力学量对应的算符对易，它们具有共同的确定值。 二、简答题： 1、简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。 答：力学量的观测值应为实数，力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值，量子力学中，可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符；量子力学中还必须满足态叠加原理，而要满足态叠加原理，算符必须是线性算符。综上所述，在量子力学中，能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符。 2、一个量子态分为本征态和非本征态，这种说法确切吗？ 答：不确切。针对某个特定的力学量，对应算符为A，它的本征态对另一个力学量（对应算符为B）就不是它的本征态，它们有各自的本征值，只有两个算符彼此对易，它们才有共同的本征态。 3、辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素？ 答：某一单色光辐射的话可能吸收，也可能受激跃迁。谱线的位置决定于跃迁的频率和跃迁的速度；谱线强度取决于始末态的能量差。 三、证明题。
2、证明概率流密度J不显含时间。 四、计算题。 1、
第二题： 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球， 计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。 解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。据题意知 )()(?0 r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 2004ze U r r πε=-（） )(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域， r Ze r U 024)(πε-= 在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ?∞ -=r E d r e r U )( ???????≥≤=??=)( 4 )( ,43441 02 003003303 420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε ??∞ --=0 )(r r r Edr e Edr e r U ?? ∞ - - =00 20 2 3 002 144r r r dr r Ze rdr r Ze πεπε )3(84)(82 203 020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤ ?? ???≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(?00022 2030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε
吉林大学高等量子力学习题答案共11页word资料
高等量子力学习题和解答 ? 量子力学中的对称性 1、 试证明：若体系在线性变换Q ?下保持不变，则必有0]?,?[=Q H 。这里H ?为 体系的哈密顿算符，变换Q ?不显含时间，且存在逆变换1?-Q 。进一步证明，若Q ?为幺正的，则体系可能有相应的守恒量存在。 解：设有线性变换Q ?，与时间无关；存在逆变换1?-Q 。在变换 若体系在此变换下不变，即变换前后波函数满足同一运动方程 ?''?t t i H i H ?ψ=ψ?ψ=ψ h h 进而有 2、 令坐标系xyz O -绕z 轴转θd 角，试写出几何转动算符)(θd R z e ρ的矩阵表示。 解： 'cos sin 'sin cos 'O xyz z d x x d y d y x d y d z z θθθθθ -=+=-+=考虑坐标系绕轴转角 用矩阵表示 '10'10'00 1x d x y d y z z θθ?????? ? ???=- ? ??? ? ?????? ??? 还可表示为 '()z e r R d r θ=r 3、 设体系的状态可用标量函数描述，现将坐标系绕空间任意轴n ρ 转θ d 角， 在此转动下，态函数由),,(z y x ψ变为),,(),()',','(z y x d n U z y x ψθψρ =。试导出转动算符),(θd n U ρ 的表达式，并由此说明，若体系在转动),(θd n U ρ 下保持不变，则体系的轨道角动量为守恒量。 解：从波函数在坐标系旋转变换下的变化规律，可导出旋转变换算符
()z e U d θr 利用 (')()()z e r U d r θψ=ψ 及 (')()r Rr ψ=ψr r 可得 ()1z e z i U d d L θθ=-r h 通过连续作无穷多次无穷小转动可得到有限大小的转动算符 绕任意轴n 转θ角的转动算符为 1U U U -+=? 为幺正算符 若 (')()()z e r U d r θψ=ψr r r 则必有 1 (')()()()()[,] z z e e z H r U d H r U d i H r d H L θθθ-==+r r r r r h 若哈密顿量具有旋转对称性，就有[,]0z H L =→角动量守恒 4、 设某微观粒子的状态需要用矢量函数描述，试证明该粒子具有内禀自旋 1=S 。 解：矢量函数在旋转变换下 后式代入前式 '(')(')[](')[](')x x y y x y z z r r e d e r d e e r e θθψ=ψ++ψ-++ψr r r r r r r r r r 又 '(')'(')'(')'(')x x y y z z r r e r e r e ψ=ψ+ψ+ψr r r r r r r r 比较得 '(')(')(') ?[1]()[1]()[1]()() x x y z x z y z x y r r d r i i d L r d d L r i d L r d r θθ θθθθψ=ψ-ψ=-ψ--ψ=-ψ-ψr r r r r h h r r h 类似可得 ?'(')()[1]()?'(')[1]()y x z y z z z i r d r d L r i r d L r θθθψ=ψ+-ψψ=-ψr r r h r r h
高等量子力学考试知识点
1、黑体辐射： 任何物体总在吸收投射在它身上的辐射。物体吸收的辐射能量与投射到物体上的辐射能之比称为该物体的吸收系数。如果一个物体能吸收投射到它表面上的全部辐射，即吸收系数为1时，则称这个物体为黑体。 光子可以被物质发射和吸收。黑体向辐射场发射或吸收能量hv的过程就是发射或吸收光子的过程。 2、光电效应（条件）： 当光子照射到金属的表面上时，能量为hv的光子被电子吸收。 临界频率v0满足 （1）存在临界频率v0，当入射光的频率v 7、一维无限深势阱（P31） 8、束缚态：粒子只能束缚在空间的有限区域，在无穷远处波函数为零的状态。 一维无限深势阱给出的波函数全部是束缚态波函数。 从（2.4.6）式还可证明，当n分别是奇数和偶数时，满足 即n是奇数时，波函数是x的偶函数，我们称这时的波函数具有偶宇称；当n是偶数时，波函数是x的奇函数，我们称这时的波函数具有奇宇称。 9、谐振子（P35） 10、在量子力学中，常把一个能级对应多个相互独立的能量本征函数，或者说，多个相互独立的能量本征函数具有相同能量本征值的现象称为简并，而把对应的本征函数的个数称为简并度。但对一维非奇性势的薛定谔方程，可以证明一个能量本征值对应一个束缚态，无简并。 11、半壁无限高（P51例2） 12、玻尔磁子 13、算符 对易子 厄米共轭算符 厄米算符：若，则称算符为自厄米共轭算符，简称厄米算符 性质：（1）两厄米算符之和仍为厄米算符 （2）当且仅当两厄米算符和对易时，它们之积才为厄米算符，因为 只在时，，才有，即仍为厄米算符 第一章 1、简述量子力学基本原理。 答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是Hillbert 空间内的厄米算符(A ?)；2、物理量所能取的值是相应算符A ?的本征值；3、一个任意态 总可以用算符A ?的本征态i a 展开如下：ψψi i i i i a C a C ==∑,；而物理量A 在 ψ 中出现的几率与2 i C 成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置算符i x ?和相应的正则动量算符i p ?有如下对易关系：[]0?,?=j i x x ，[]0?,?=j i p p ，[] ij j i i p x δ =?,? 原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量()t ψ随时间变化的规律由薛定谔方程给 ()()t H t t i ψψ?=?? 在海森堡图景中，一个厄米算符() ()t A H ?的运动规律由海森堡 方程给出： ()()()[] H A i t A dt d H H ? ,?1? = 原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念？ 答：()()t x t ψψ|,x =<>式中态矢随时间而变而x 不含t ，结果波函数()t x ，ψ中的宗量t 来自()t ψ而x 来自x ，这叫做薛定谔图景. 3、 已知.10,01??? ? ??=???? ??=βα (1)请写出Pauli 矩阵的3个分量； (2)证明σx 的本征态).(211121|βα±=??? ? ??±>=±x S 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为： 求证： 答案：设：C 1=x 1+iy 1,C 2=x 2+iy 2 量子力学思考题 1、以下说法是否正确： （1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系； （2）量子力学适用于 不能忽略的体系，而经典力学适用于 可以忽略的体系。 解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。 （2）对于宏观体系或 可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已 经过渡到经典力学，二者相吻合了。 2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？ 解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子（不考虑自旋）波函数)(r ψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(r ψ而完全确定。由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。 3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。 解答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112 ψψψ c c +=确定，2 ψ中 出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2* 21* 21ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。 4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加 2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。 （1）是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=； （2）对其中的1c 与2c 是任意与r 无关的复数，但可能是时间t 的函数。这种理解正确吗？ 解答：（1）可能，这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。 （2）如按这种理解 ),()(),()(),(2211t x t c t x t c t x ψψψ+= EX1.矢量空间 练习 试只用条件（1）~（8）证明2ψψψ+=，0ψ=O 和1ψψ-=-（）。 （完成人：梁立欢 审核人：高思泽） 证明：由条件（5）、（7）得 11112ψψψψψψ+=+=+=（） 只需证明O =0ψ和ψψ-=-)1(这两式互相等价 根据条件（7） 00)00(0ψψψψ+=+= 现在等式两边加上)0(ψ-，得 )0()00()0(0ψψψψψ-++=-+ 根据条件（4）， 上式左O =-+=)0(0ψψ 根据条件（4）、（2） 上式右00)00(0ψψψψψ=O +=-+= O =∴0ψ 由O =0ψ，根据条件（4）、（7）得 ψψψψψψ-=O =-+=-=)1()11(0 ψψ-=-?)1( # 练习 证明在内积空间中若()()?ψ?ψ,,21=对任意?成立，则必有21ψψ=。 （完成人：谷巍 审核人：肖钰斐） 证明 由题意可知，在内积空间中若()()?ψ?ψ,,21=对任意?成立，则有 (1ψ,)?－(2ψ,)?=0 (1) 于是有 ()0,21=-?ψψ (2) 由于在内积空间中()()?ψ?ψ,,21=对任意?成立，则可取21ψψ?-=,则有 ()2121,ψψψψ--=0 成立 （3） 根据数乘的条件（12）可知，则必有 021=-ψψ （4） 即21ψψ= 故命题成立，即必有21ψψ=. # 练习 矢量空间运算的12个条件是不是独立的？有没有一条或两条是其余各条的逻辑推论？如有，试证明之。 （完成人：赵中亮 审核人：张伟） 解：矢量空间运算的12个条件是独立的。 # 练习 （1）在第二个例子中若将加法的规定改为：和矢量的长度为二矢量长度之和，方向为二矢量所夹角()??180的分角线方向，空间是否仍为内积空间？ （2）在第二个例子中若将二矢量和内积的定义改为θB A ?或 θ2 1 B A ，空间是否仍为内积空间？ （3）在第三个例子的空间中，若将内积的定义改为 ()4* 43* 32* 21* 1432,m l m l m l m l m l +++= 空间是否仍为内积空间？ （4）在第四个例子的函数空间中，若将内积的定义改为 ()()??==b a b a dx x x g x f x g x f xdx x g x f x g x f 2 * *)()()(),()()()(),(或 空间是否仍为内积空间？ （完成人：张伟 审核人：赵中亮） 解：（1）在第二个例子中若将加法的规定改变之后，空间不是内积空间。 研究生课程教学大纲 高等量子力学 一、课程编码：21-070200-B01-17 课内学时： 64 学分： 4 二、适用学科专业：理学，工学 三、先修课程：数理方法，理论力学，电动力学，量子力学，热力学统计物理 四、教学目标 通过本课程的学习，使研究生掌握希尔伯特空间，量子力学基本理论框架，了解狄拉克 方程，量子力学中的对称性与守恒定律，二次量子化等理论知识，提升在微观体系中运用量 子力学的基本能力。 五、教学方式：课堂讲授 六、主要内容及学时分配 1 希尔伯特空间10学时 1.1 矢量空间 1.2 算符 1.3 本征矢量和本征值 1.4 表象理论 1.5 矢量空间的直和与直积 2 量子力学基本理论框架20学时 2.1 量子力学基本原理 2.2 位置表象和动量表象 2.3 角动量算符和角动量表象 2.4 运动方程 2.5 谐振子的相干态 2.6 密度算符 3 狄拉克方程 6学时 4 量子力学中的对称性 5学时 5 角动量理论简介 5学时 6 二次量子化方法16学时 6.1 二次量子化 6.2 费米子 6.3 玻色子 复习 2学时七、考核与成绩评定：以百分制衡量。 成绩评定依据: 平时作业成绩占30%，期末笔试成绩占70%。 八、参考书及学生必读参考资料 1. 喀兴林，《高等量子力学》，.[M]北京：高等教育出版社，2001 2. Franz Schwabl,《Advanced Quantum Mechanics》，.[M]北京：世界图书出版公司：2012 3. 曾谨言，《量子力学》，.[M]北京：科学出版社：第五版2014或第四版2007 4. ndau, M.E.Lifshitz，《Quantum Mechanics (Non-reativistic Theory)》，.[M]北京：世界 图书出版公司：1999 5. 倪光炯，《高等量子力学》，. [M]上海：复旦大学出版社：2005 九、大纲撰写人：曾天海 ?k ijk j i S i S S ε=],[2322212S S S S ++=> >=+0|)(!1 |n b n n ∫=++?x x x x e e d ****2φφφφπ φ高等量子力学第一章习题： 1、两个态矢量|+＞和|－＞形成完全集。在它们所构成的Hilbert 空间中定义如下三个算符： 试证明它们满足如下对易和反对易关系： 并求出两个态矢量|+＞和|－＞之间的翻转变换算符及算符的表 达式 2、二能级系统的哈密顿算符一般可表达为： H ＝a|1><1|+b|2><2|+c|1><2|+d|2><1| 其中|1>和|2>分别表示二能级的状态，形成正交归一集。 问：H 的厄密性对系数a,b,c,d 有何限制?求该系统的能量本征值及相应的本征态矢量(表示为|1>和|2>的线性叠加)。 3、已知一线性谐振子在其哈密顿表象中的本征态矢量为 其中，基态|0>满足b|0>=0,并且b 和b +与其坐标和动量算符的关系为 试求态矢量|n>转换到坐标表象表达式 量子力学该怎么学? 我想对于考物理的同学来说量子是必须的。我一直在想可能是国内流行的一些教材的失误造成了大多数人对着门学科的难以掌握，就算你能解题，也基本上是概念茫然，当然，有时连题目都不知道什么意思，更不知如何下手，有时，算着算着突然不知道意思了，……其实这些都不是咱们的错。 想起当年本人上课时，量子老师（老牛人）说，“现在教量子的那些人那里懂量子呀！”哥们当时只是笑。现在才明白果然不错。 其实，目前而言，在下对量子也是刚入点门而已，不过，对于国内的考研量子力学题我现在是把握全部搞定的，要是当初就这么猛就好了.我把一些想法写下来算是抛砖引玉了！ 正文 （一）选书的建议 对于量子力学最重要的是概念的清晰把握，只有明白了量子力学的形式体系和核心概念才会觉得的量子好神秘啊！才会在解题时不至于找不到北。真正的掌握它的概念需要学习Hilbert 空间的知识和Dirac符号体系，又以后者最为重要。愚蒙认为： 第一，优秀的量子力学书的最重要的标准是：深入浅出的讲解Hilbert空间和大量篇幅，透彻的讲授Dirac符号. 第二，应该明确指出量子力学的5到6 条基本原理或假设。 第三，关键性的步骤或概念一定要指出。 下面就以上原则分析一下国内的流行教科书 1 曾谨言《量子力学导论》 2 周世洵《量子力学》 3 尹鸿钧《量子力学》 4 苏汝铿《量子力学》 首先，我想说得是国内没有一本面向初等量子力学的教科书把概念说明白的，尤其，以北大的曾谨言先生《量子力学导论》为首，此书发行量巨大，我上本科时就是用它的。坦白说。它的错误很少,但这决不是好书的标准，对于Dirac符号就写了两页，而且语焉不详，关键地方几乎没有说。我想，就算P A M.Dirac亲临也估计看不太明白。：），至于曾老师的《量子力学》第一。二卷，的确详细，不过缺点仍然一样，作为研究生教材，没有完整的理论体系，当字典用到行，可以作参考书，不适合当教材。 复旦的周世洵先生写的《量子力学》相比而言比曾谨言的强了不少，虽然年代久了点，但讲解较为透彻，步骤也详细点，。当然对付考研也不用与时俱进，老一点没什么问题。 科大的尹鸿钧先生编的《量子力学》是面向本科和研究生的教材，对于本科来说难了点,关于Hilbert空间和Dirac符号都写的比较多，但没形成主线，比较可惜。另外编排有点乱，印刷太差，不知第二版（？）有无改进？我想如果修改一下使之完全面向初等量子力学倒也不错。 复旦大学，苏汝铿先生的《量子力学》在以上几本书中算是最好了，讲解很是透彻，覆盖面也很广。最近，我在书店看到了高教版的苏先生的《量子力学》，这本书包括研究生课的内容，对于Dirac符号倒也多说了一些，不过，仍不令人满意，想以此书弄懂量子力学基本上也是做梦。 到目前为止我所看过的最好的初等或高等量子力学入门书是法国Cohen等人著的《Quantum Mechanics》英文版，第一卷第一分册有中译本，刘家莫，等译。全书厚度惊人，英文版的上下两册有半尺厚，不过看起来很爽，全书行文流畅，且有助于英文写作的提高，呵呵。且正文与补充文章分列，初学者可以选择阅读，整个内容以初等量子开始，在第二章就详尽地， 2.1 如图所示 左右 0 x 设粒子的能量为，下面就和两种情况来讨论（一）的情形 此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其中 其解分别为 （1）粒子从左向右运动 右边只有透射波无反射波，所以为零 由波函数的连续性 得 得 解得 由概率流密度公式 入射 反射系数 透射系数 （2）粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以为零 同理可得两个方程 解 反射系数 透射系数 （二）的情形 令 ,不变 此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其解分别为 由在右边波函数的有界性得为零 （1）粒子从左向右运动 得 得 解得 入射 反射系数 透射系数 (2)粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以为零 同理可得方程 由于全部透射过去，所以 反射系数 透射系数 2.2 如图所示 在有隧穿效应，粒子穿过垒厚为的方势垒的透射系数为 总透射系数 2.3 以势阱底为零势能参考点，如图所示 （1） ∞ ∞ 左中右 0 a x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得 ∴ ∴ 相应的 因为正负号不影响其幅度特性可直接写成 由波函数归一化条件得 所以波函数 （2） ∞∞ 左中右 0 x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得 当，为任意整数， 则 当，为任意整数， 则 综合得 ∴ 当时，， 波函数 归一化后 当时，， 波函数 归一化后 2.4 如图所示∞ 左 0 a 显然 在中间和右边粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为其中 其解为 由在右边波函数的有界性得为零 ∴ 再由连续性条件，即由 得 则 得 得 除以得 再由公式 ,注意到 令 , 2008~2009郑州大学物理工程学院电子科学与技术专业 光电子方向量子力学试题（A 卷） （说明：考试时间120分钟，共6页，满分100分） 计分人： 复查人： 一、填空题：（每题 4 分，共 40 分） 1. 微观粒子具有 波粒 二象性。 2．德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关系，其表达式为： E=h ν, p=/h λ 。 3．根据波函数的统计解释，dx t x 2 ),(ψ的物理意义为：粒子在x —dx 范围内的几率 。 4．量子力学中力学量用 厄米 算符表示。 5．坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符x p 的对易关系为：[],x p i =h 。 6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数ψ(x)所描写的状态时，测量某力学量 F 所得的数值，必定是算符F ?的 本征值 。 7．定态波函数的形式为： t E i n n e x t x η -=)(),(?ψ。 8．一个力学量A 为守恒量的条件是：A 不显含时间，且与哈密顿算符对易 。 9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的_______ _。 10．每个电子具有自旋角动量S ρ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为： 2 η± 。 二、证明题：（每题10分，共20分） 1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系： 证明： z y x L i L L? ] ?, ?[η = ] ? ? , ? ? [ ] ?, ?[ z x y z y x p x p z p z p y L L- - = ] ? ? , ? [ ] ? ? , ? [ z x y z x z p x p z p z p x p z p y- - - = ] ? , ? [ ] ? , ? [ ] ? , ? [ ] ? , ? [ z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z p y+ - - = ] ? , ? [ ] ? , ? [ z y x z p x p z p z p y+ = y z z y z x x z p p x z p x p z p p z y p z p y?] ? , [ ] ? , ?[ ?] ? , [ ] ? , ?[+ + + = y z x z p p x z p z p y?] ? , [ ] ? , ?[+ = y z y z x z x z p p x z p p z x p z p y p p yz? ?] , [ ?] ?, [ ?] , ?[ ] ?, ?[+ + + = y x p i x p i y?) ( ?) (η η+ - = ] ? ? [ x y p y p x i- =η z L i?η =高等量子力学习题汇总
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